【中职专用】高中数学 人教版2021·基础模块上册 5.1.1角的概念的推广及其度量（教案）

5.1.1  角的概念的推广及其度量

课  型

新授课

课  时

1

授课班级

授课时间

授课教师

教材分析

教材来源：“十四五”职业教育国家规划教材，人民教育出版社出版，高中一年级基础模块上册第五章；

教材内容：角的概念的推广及其度量、任意角的三角函数、三角函数的图象和性质；

地位与作用：本章内容为高中一年级基础模块上册第五章，系学生高中数学的重点内容，高考中的必然考查部分，难度适中，主要学习角的概念的推广及其度量、任意角的三角函数、三角函数的图象和性质.通过本章内容学习，学生应初步掌握任意角三角函数的定义、同角三角函数的基本关系式、诱导公式、和角公式、倍角公式、函数y=f(sinx)的最值、正弦型函数图象和性质及定理的应用.

学情分析

1. 14~16岁年龄段学生身心都有较大程度发展，情感更加丰富，认知发展变化迅速，逻辑思维、记忆能力逐步提高；
2. 通过角的概念的推广及其度量学习，理解角、正角、负角、零角的概念，理解角的加减运算的几何意义，理解象限角的定义，掌握角的推广及其度量方法，掌握角的集合表示方法；
3. 职教高考学生在初中学业水平偏弱，因此在本节课教学中需通过复习初中所学平面内的角，从现实生活中实例出发来渗透角的概念的推广及其度量方法，掌握有特殊到一般的归纳推导方法.

学习目标

1. 理解角、正角、负角、零角的概念，理解角的加减运算的几何意义，理解象限角的定义，掌握角的推广及其度量方法，掌握角的集合表示方法；
2. 学生运用分组探讨、合作学习，掌握角的概念的推广及其度量方法，掌握角的集合表示方法，提高学生的数学运算能力；
3. 通过本节课学习，使学生养成乐于学习、勇于探索的良好品质。

学习重难点

1. 理解角、正角、负角、零角的概念，理解角的加减运算的几何意义，理解象限角的定义；
2. 掌握角的推广及其度量方法；
3. 掌握角的集合表示方法.

教学方法

讲授法、谈话法、谈论法

课前准备

教师：认真备课，设计教学方法，创设问题情境，做好授课过程中出现的突发状况预案；

学生：认真预习教材，标记预习中不清楚、模糊的知识点，准备笔记本；

教学媒体

教学课件PPT、多媒体展板

教学过程

第一课时

教学环节

教师活动设计

学生活动设计

设计意图

活动一：

创设情境

生成问题

问题导入：我们在初中已经学过平面内的角，在平面内，角可以看作由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形（图5-1).当时，不考虑旋转方向，不论从射线OA旋转到OB，还是从射线OB旋转到OA，它们的旋转量都是一样的，而且旋转量不超过一个周角，在现实生活中，有很多角的大小超过这个范围，例如，运动员掷链球时旋转过的角．

根据问题思考，

并尝试利用初中所学知识解答。

通过创设问题情境，使学生回忆初中所学知识，并引出本节课所讲内容。

活动二：

调动思维

探究新知

读一读：2008年8月20日，我国选手张文秀在北京奥运会女子链球决赛中夺得铜牌，实现了中国链球奥运会奖牌零的突破，下图为张文秀在比赛中的照片.

链球是用一条链子与把手相连的金属球，掷链球是一项田径投掷运动，运动员在投掷圈内旋转3～4圈，使链球加速，最后将链球投出.

在实际中，射线OP既可以沿逆时针方向旋转，也可以沿顺时针方向旋转，OP转过的角度，也不止一个平角.为了描述OP转过的角度的大小和方向，有必要对角的概念加以推广.

问题情境

射线OP绕端点旋转，旋转的大小和方向如何度量？

首先我们来回答，如何描述射线的旋转方向？

我们曾用正负数来度量数轴上点的位移，那么能否用正负来描述射线的旋转方问呢？

在平面内，一条射线绕着它的端点旋转有两个相反的转向：顺时针方向和逆时针方向，习惯上，如图5-2所示，我们规定，一条射线绕其端点按逆时针方向旋转而成的角称为正角，按顺时针方向旋转而成的角称为负角，当射线没有旋转时，我们也把它看成一个角，称为零角.这样定义的角，由于是旋转生成的，所以也常称为转角．

值得注意的是，上述角的定义中，当射线绕其端点按逆时针方向或按顺时针方向旋转时，旋转量可以是任意的.因此，角的概念经过以上的推广以后，就包括正角、负角、零角.也就是说，角的大小是任意的.由此，我们把角的概念推广到了任意角．

作图时，常用带箭头的弧来表示旋转的方向和旋转量，如图5-3(1)(2)表示的两个转角中，射线OA绕端点O旋转到OB时，旋转量都超过了一个周角的大小，按照图中箭头所指的旋转方向和弧线所表示的周数，可知

 =450°,=-630°.

探索研究

角的概念推广之后，利用转角给出60°+90°与90°-30°的几何意义.

利用转角，可以给出角的加减运算的一个几何意义，例如，对于60°+90°来说，如图5-4(1）所示，射线 OA 按逆时针方向旋转①到OB所形成的角为60°, OB 按逆时针方向旋转到OC所形成的角为90°，则OA按逆时针方向旋转到OC所形成的角为

60°+90°=150°.

注：①均指绕端点 O 旋转，下同．

类似地，如图5-4(2）所示，射线OA按逆时针方向旋转到OB所形成的角为90°,OB按顺时针方向旋转到OC所形成的角为-30°，则OA按逆时针方向旋转到OC所形成的角为

90°-30°=60°.

为了方便起见，通常将角放在平面直角坐标系中来讨论，并约定：角的顶点与坐标原点重合，角的始边落在x轴的正半轴上，这时，角的终边在第几象限，就把这个角称为第几象限角.如果终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何象限.

例如，图5-5(1）中的45°,-315°,405°都是第一象限角；图5-5(2）中的126°是第二象限角，210°是第三象限角，-60°是第四象限角，-90°不是象限角，其终边在 y 轴的负半轴上.

探索研究

图5-5(1）中三个角的终边相同，那么，终边相同的角没有一个共同的表示方法呢？

一般地，角+k·360°( k∈Z ）与角的终边相同，这只需把k·360°看成按逆时针或者顺时针方向旋转若干周即可.任意两个终边相同的角，它们的差一定是360°的整数倍.因此，所有与角终边相同的角组成一个集合，这个集合可记为

.

即集合S的每一个元素的终边都与角的终边相同，k =0时对应元素为.

分组讨论，尝试概括问题情境中问题，理解幂指数的相关概念，验证正整数指数幂的运算法则

认真习读并理解教材右侧方框“读一读”中的内容

认真习读并理解教材右侧方框“注”中的内容

通过分组讨论方法，解答问题情境问题，理解角、正角、负角、零角的概念，理解角的加减运算的几何意义，理解象限角的定义，掌握角的推广及其度量方法，掌握角的集合表示方法，有利于提高学生动手动脑能力，使学习效率更高效

活动三：

巩固练习

素质提升

例 1.写出与下列各角终边相同的角的集合，并指出它们是哪个象限的角：

(1)45°；         (2)135°；

(3)240°；        (4)330°.

解（1）与45°终边相同的角的集合是

.

因为45°是第一象限角，所以集合S1,中的角都是第一象限角.

(2）与135°终边相同的角的集合是

.

因为135°是第二象限角，所以集合S2中的角都是第二象限角.

(3）与240°终边相同的角的集合是

.

因为240°是第三象限角，所以集合S3中的角都是第三象限角.

(4）与330°终边相同的角的集合是

.

因为330°是第四象限角，所以集合S4中的角都是第

四象限角．

例2  写出终边在y轴上的角的集合.

解    终边在y轴的正半轴上的一个角为90°，终边在y轴的负半轴上的一个角为-90°（图5-6)，因此，终边在y轴的正半轴、负半轴上的角的集合分别是

；

.

所以终边在y轴上角的集合为

.

例 3.  在0～360°之间①，找出与下列各角终边相同的角，并分别判定各是哪个象限的角：

(1)    -120°；(2)640°；(3）-950°.

解  (1）因为-120°=240°-360°，所以﹣120°的角与240°的角的终边相同，它是第三象限角；

(2）因为640°=280°+360°，所以640°的角与280°的角的终边相同，它是第四象限角；

(3）因为-950°=130°-3×360°，所以-950°的角与130°的角的终边相同，它是第二象限角.

注：①在本书中，在0～360°之间，是指

0°≤＜360°.

例4  写出第一象限角的集合.

解   在0～360°之间，第一象限角的取值范围是

0°＜＜90°，所以第一象限角的集合是

.

分组讨论，限时完成，学生上台黑板作答，并进行讲解

鼓励学生勇于展示自己，提高学生对知识的准确认识，调动学生的课堂气氛与学习的积极性，培养学生对数学的热爱，巩固学生对本节课知识的掌握，纠正学习过程中的偏差

活动四：

课堂小结作业布置

（一）课堂小结

（二）作业布置

完成课本中P145  ——   A组1. /2./3.

B组1./2.

活动五：

板书设计

5.1.1 角的概念的推广及其度量

一、角的概念                                       例题                 小结  

二、角的加减运算的几何意义                         练习                 作业

三、角的集合表示

活动六：

教学反思

（留白）

教学反思包括5个方面，教学目标、教学内容、教学实施、教学评价、教学效果。所谓教学反思，是指教师对教育教学实践的再认识、再思考，并以此来总结经验教训，进一步提高教育教学水平。教学反思一直以来是教师提高个人业务水平的一种有效手段，教育上有成就的大家一直非常重视之。