2023年广东省深圳外国语学校中考数学三模试卷（含解析）

2023年广东省深圳外国语学校中考数学三模试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  的倒数是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  下列图形是用数学家名字命名的其中是中心对称图形的是(    )

A. 斐波那契螺旋线 B. 笛卡尔心形线
C. 彭烈斯三角 D. 赵爽弦图

3.  下列计算中正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

4.  某数学兴趣小组做“用频率估计概率”的实验时，统计了某一结果出现的频率，绘制了如图所示的统计图符合这一结果的实验最有可能的是(    )

A. 抛掷一枚质地均匀的硬币，正面向上
B. 在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“石头”
C. 掷一枚质地均匀的正六面体骰子，向上一面的点数是
D. 暗箱中有个红球和个黄球，除颜色外无其他差别，从中任取一球是黄球．

5.  孙子算经是我国古代数学名著之一，里面有一个“二人持钱的问题，其题意是有甲、乙两人所带钱数量不详，甲若得到乙所带钱数的一半，甲的钱数就达到，乙若得到甲所带钱数的，乙的钱数也将达到，问甲、乙两人原来各带多少钱？若设甲、乙两人原来各带的钱数分则是和，小明和小伟所列方程细分别是：小明：小伟：则关于所列方程组，下列说法正确的是(    )

A. 小明对，小伟不对 B. 小明不对，小伟对 C. 两人都不对 D. 两人都对

6.  下列命题中错误的个数是(    )
过任意三点可以画一个圆；
已知反比例函数的图象经过点，所以的值随值的增大而减小；
线段的正投影还是线段；
分式是最简分式；
十一边形的外角和为．

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

7.  如图，数轴上点，分别对应，，过点作，以点为圆心，长为半径画弧，交于点；以原点为圆心，长为半径画弧，交数轴于点，则点对应的数是(    )

A.
B.
C.
D.

8.  如图表示光从空气进入水中入水前与入水后的光路图，若按如图建立坐标系，并设入水与前与入水后光线所在直线的表达式分别为，，则关于与的关系，正确的是(    )

A. ， B. ，
C.  D.

9.  如图，是的弦，，垂足为，，，则的度数为(    )

A.
B.
C.
D.

10.  如图，在矩形中，，，点、分别为、的中点，、相交于点，过点作，交于点，则线段的长度是(    )
 

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）

11.  因式分解： ______ ．

12.  多少事，从来急；天地转，光阴迫一万年太久，只争朝夕一天时间为秒，用科学记数法表示这一数字是______ ．

13.  如图，第届国际数学家大会会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础进行设计的现假设可在如图的弦图区域内随机取点，若正方形中，，，则这个点落在阴影部分的概率为______ ．

14.  如图，在矩形中，，，是上的一个动点不与，重合，过点的反比例函数的图象与边交于点，若时，则 ______ ．

15.  如图，中，，，，在边上取点使，点为射线上任意一点，以，为邻边做▱，则线段的最小值为______ ．

三、解答题（本大题共7小题，共55.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

16.  本小题分
计算：．

17.  本小题分
先化简，再求值：，其中．

18.  本小题分
为落实教育厅关于做好年初中学业水平体育与健康学科考试等有关事项的通知的要求，某学校针对男生选择较为集中的四个项目开展有针对性的强化训练：跳绳；米跑；引体向上；投掷实心球，全校共有名男生选择了项目，为了了解选择项目男生的情况，从这名男生中随机抽取了名男生在操场进行测试将他们的成绩个分钟绘制成频数分布直方图．

其中这一组的数据为，，，，，，，则这组数据的中位数是______ ，众数是______ ．
根据题中信息，该校男生共有______ 人选择项目，项目扇形统计图的圆心角为______ 度；
如果学校规定每名男生要选两门不同的项目，小东和小强在选项目中，若第一项目都选了项目，请用画树状图或列表法计算出这两位同学第二项目同时选项目或项目的概率．

19.  本小题分
如图，在跳绳时，绳甩到最高处的形状可近似看作抛物线，抛物线解析式的二次项系数为，已知甲、乙两名学生拿绳的手间距为米，距地面均为米，以甲所在的地面的点为原点，建立如图所示的直角坐标系．
求抛物线的函数表达式；
身高为米的小红也想参加这个活动，请问她在跳绳时，头顶与甩绳之间的最大竖直距离为多少米？假定当绳甩到最高处时，学生双脚处于落地状态．

20.  本小题分
如图，在▱中，平分交于点，过点作交于点，连接交于点．
求证：四边形是菱形；
若于点，且，，求的长．

21.  本小题分
综合实践请阅读下面材料完成相应的任务．
借助“鲁班尺”三等分角如图，“鲁班尺”也称为“木工尺”木工师傅中有人找到了利用“鲁班尺”三等分任一角的方法．
如图，在与尺边垂直的尺边上取一点，使等于尺宽如图，任意画一个角，先用班尺画一条到的距离等于尺宽且与平行的直线，如图，将鲁班尺绕点旋转并反复调整，使点落在直线上，点落在上，且尺边经过点，则沿尺边画出的直线和三等分．
任务在图中，过点作，垂足为．
比较大小： ______ 填“、或”．
证明：和三等分．

任务爱动脑筋的某同学受到阅读材料中借助“鲁班尺”三等分角方法的启发，想到了通过折叠矩形纸片三等分一个已知角的方法，他的前个操作步聚如下：
步聚：如图，在矩形纸片上折出任意角将矩形对折，折痕记为，再将矩形对折，折痕记为，展开矩形；
步聚：如图，将矩形沿着折叠，点的对应点恰好落在上，再移动位置并调整使点的对应点恰好落在上，若，请根据这位同学的操作过程求的度数．

22.  本小题分
圆内各几何要素之间存在一定的数量关系和位置关系，这也是国内外数学家感兴趣的研究对象，其中就有对角线互相垂直的圆内接四边形我们把这类对角线互相垂直的圆内接四边形称为“雅系四边形”．
若平行四边形是“雅系四边形”，则四边形是______ 填序号；
矩形
菱形
正方形
如图，四边形内接于圆，为圆内一点，，且，求证：四边形为“雅系四边形”；
在的条件下，，且．
当时，求的长度；
当的长度最小时，请直接写出的值．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：的倒数是．
故选：．
乘积是的两数互为倒数，由此即可得到答案．
本题考查倒数，关键是掌握倒数的意义．
 

2.【答案】 

【解析】解：由各个选项中的图形可知：中的图形是中心对称图形，其他的都不是中心对称图形，
故选：．
根据中心对称图形的定义和各个选项中的图形，可以判断哪个选项中的图形是中心对称图形．
本题考查中心对称图形，解答本题的关键是明确中心对称图形的定义．
 

3.【答案】 

【解析】解：、，故A错误；
B、，故B错误；
C、，故C正确；
D、，故D错误；
故选：．
根据合并同类项的法则：系数相加字母部分不变，可得答案．
本题考查了同类项，系数相加字母部分不变是解题关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：抛掷一枚质地均匀的硬币，正面向上的概率为，故A选项不符合题意；
B.在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“石头”的概率为，故B选项不符合题意；
C.掷一枚质地均匀的正六面体骰子，向上一面的点数是的概率为，故C选项符合题意；
D.暗箱中有个红球和个黄球，除颜色外无其他差别，从中任取一球是黄球的概率为，故D选项不符合题意；
故选：．
据统计图可知，试验结果在附近波动，即其概率，计算四个选项的概率，约为者即为正确答案．
此题考查了利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：频率所求情况数与总情况数之比．同时此题在解答中要用到概率公式．
 

5.【答案】 

【解析】解：设甲、乙两人原来各带的钱数分则是和，
根据题意，得：
所以小伟的正确，小明的错误．
故选：．
设甲、乙两人原来各带的钱数分则是和，根据题意可得，甲的钱乙的钱的一半文钱，乙的钱甲所有钱的文钱，据此列方程组可得．
此题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，正确得出等量关系是解题关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：过不在同一直线上的三点可以画一个圆，故本小题说法错误；
已知反比例函数的图象经过点，
，
图象在第一、三象限，在每个象限，的值随值的增大而减小，故本小题说法错误；
线段的正投影还是线段或点，故本小题说法错误；
分式不是最简分式，故本小题说法错误；
十一边形的外角和为，说法正确；
故选：．
根据确定圆的条件、反比例函数的性质、正投影、最简分式的概念、多边形的外角和是判断．
本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．
 

7.【答案】 

【解析】解：由题意可得：，，
则，
故点对应的数是：．
故选：．
直接利用勾股定理得出的长，进而得出答案．
此题主要考查了勾股定理，根据题意得出的长是解题关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：如图，在两个图象上分别取横坐标为，的两个点和，
则，，
，
，
当取横坐标为正数时，同理可得，
，，
，
故选：．

利用两个函数图象的位置关系取横坐标相同的点利用纵坐标的大小列出不等式，即可求解．
本题考查了正比例函数的图象与性质，解题关键是取横坐标相同的点，利用纵坐标的大小关系得到比例系数的关系．
 

9.【答案】 

【解析】解：如图：

连接，则，
，
，
，
，
，
，
，
．
故选：．
连接，则，由，则，再由，即可求出答案．
本题考查了圆，平行线的性质，解直角三角形，等腰三角形的有关知识；正确作出辅助线、利用圆的半径相等是解题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：四边形是矩形，，，
，，，
点、分别为、的中点，
，，
，
，
，
，
由勾股定理得：，
，
，
∽，
，
，
解得：，
故选：．
根据矩形的性质得出，，，求出，，求出，根据勾股定理求出，求出，根据三角形的中位线求出，根据相似三角形的判定得出∽，根据相似三角形的性质得出，再求出答案即可．
本题考查了矩形的性质和相似三角形的性质和判定，能熟记矩形的性质是解此题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：

．
故答案为：．
先提公因式然后再用平方差公式分解因式即可．
本题主要考查了分解因式，熟练掌握平方差公式是解题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：．
故答案为：．
利用科学记数法的定义解决．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．
此题考查科学记数法的定义，关键是理解运用科学记数法．
 

13.【答案】 

【解析】解：，，
，
大正方形的面积为，阴影的面积为，
这个点落在阴影部分的概率为．
故答案为：．
根据勾股定理先求出的长，从而得出三角形的面积，然后根据概率公式即可得出答案．
此题主要考查了几何概率问题，用到的知识点为：概率相应的面积与总面积之比．
 

14.【答案】 

【解析】解：连接，
由题得，三角形的面积为，
，
点为中点，
，，
，
．
故答案为：．

连接，利用同底面积比等于高之比，得到点为中点，再利用反比例函数的关系式的求法计算即可．
本题考查了反比例函数的几何意义的应用，三角形面积的同底问题的应用是解题关键．
 

15.【答案】 

【解析】解：连接，，与交于点，取的中点，的中点，作射线，过点作，垂足为，如图所示：
在平行四边形中，，，
点为射线上任意一点，
点在射线上，
当取得最小值时，取得最小值，
即当点与点重合时，取得最小值，
此时，
，，，
设，
则，
根据勾股定理，得，
解得，
，
为的中点，为的中点，
为的中位线，，
，
，
，
，
，
，
，，，
根据勾股定理，得，
，
，
在中，根据勾股定理，得，
的最小值为，
故答案为：．
连接，，与交于点，取的中点，的中点，作射线，过点作，垂足为，根据平行四边形的性质可知点在射线上，当取得最小值时，取得最小值，即当点与点重合时，取得最小值，此时，设，则，根据勾股定理，求出的值，再进一步求出的长，在中，根据勾股定理求出的长，进一步可得的最小值．
本题考查了平行四边形的性质，三角形中位线定理，含角的直角三角形的性质，勾股定理，垂线段最短等，本题综合性较强，找出点的运动轨迹是解题的关键．
 

16.【答案】解：原式

． 

【解析】根据特殊锐角的三角函数值，绝对值的性质，算术平方根，零指数幂进行计算即可．
本题考查实数的运算，其相关运算法则是基础且重要知识点，必须熟练掌握．
 

17.【答案】解：


，
当时，原式． 

【解析】先计算括号内的式子，再将除法转化为乘法进行计算即可得到最简分式，最后将的值代入化简后的式子计算即可．
本题考查分式的化简求值，熟练掌握分式的混合运算顺序是解题的关键．
 

18.【答案】       

【解析】解：将这一组的数据由小到大排列为：，，，，，，，
处于中间的数据为，
这组数据的中位数是，
这组数据中出现次，是出现次数最多的，
这组数据的众数是，
故答案为：，；
选择项目人，占百分比我，
总人数为：人，
选择项目的人数为：人，
选择项目的百分比为：，
扇形统计图中选择项目的圆心角度数为：，
故答案为：，；
每名男生要选两门不同的项目，小东和小强在选项目中，若第一项目都选了项目，
小东和小强在选项目中，第二项目只能从，，中选，
画树状图如下：

一共有种等可能的结果，其中这两位同学第二项目同时选项目或项目的有种可能结果，
这两位同学第二项目同时选项目或项目．
根据中位数和众数的定义解答即可；
根据选择项目的人数和比例，求出全校男生人数，再将全校男生人数乘以选择项目的比例即可求出该校共有多少男生选择项目；先求出项目所占百分比，再用此百分比乘以即可；
用列表法或树状图法列举出所有等可能的结果，从中找出两位同学第二项目同时选项目或项目的结果，利用等可能事件的概率公式求解即可．
本题考查频数分布直方图，扇形统计图，中位数，众数，用列表法和树状图法求等可能事件的概率，能从统计图中获取有用信息，理解相关概念，掌握用列表法和树状图法求等可能事件的概率的方法是解题的关键．
 

19.【答案】解：设抛物线的函数表达式为，
由题意可知和都在该抛物线上，
，
解得：，
抛物线的函数表达式为：；

，
当时，，
甩绳与地面最大距离为米，
米，
他在跳绳时，头顶与甩绳之间的最大竖直距离为米． 

【解析】设抛物线的函数表达式为，代入和两点坐标，求出，即可．
求出的最大值，再减去米即可得到结果．
本题考查了二次函数的实际应用，掌握题意，将实际问题转化为数学问题，利用二次函数知识解决问题是关键．
 

20.【答案】证明：四边形为平行四边形，
，
，
平分，
，
，
，
同理可得，
，且，
四边形为菱形；
解：，，且四边形为菱形，
，，，
在中，
，
，
，
． 

【解析】利用平行四边形的性质和角平分线的定义可求得，可证得结论；
在中，可求得的长，根据三角形的面积公式即可求得的长．
本题主要考查平行四边形的性质及菱形的判定和性质，掌握菱形的判定方法是解题的关键．
 

21.【答案】 

【解析】解：用鲁班尺画一条到的距离等于尺宽且与平行的直线，，
；
故答案为：；
证明：，，
，
在与中，
，
≌，
，
在与中，
，
≌，
，
，
和三等分．
解：连接，过点作，．
，，
．
由翻折可知：，，
，
又，
，
，
，
四边形是矩形，
，
，
≌，
，
，
，
，
．
根据平行线间的距离相等即可得到结论；
根据垂直的定义得到，根据全等三角形的性质得到，，等量代换得到，于是得到和三等分．
连接，过点作，根据已知条件得到根据折叠的性质得到，，求得，根据等腰三角形的性质得到，求得，根据矩形的性质得到，求得，根据全等三角形的性质得到，于是得到距离．
本题考查了四边形综合题，矩形的性质，折叠的性质，全等三角形的，正确地作出辅助线是解题的关键．
 

22.【答案】 

【解析】解：若平行四边形是“雅系四边形”，则四边形是正方形．理由：

四边形是平行四边形，
，
四边形是圆内接四边形，
，
，
平行四边形是矩形，
四边形是“雅系四边形”，
，
矩形是正方形，
故答案为：；

证明：连接，交于点，交于点，如图，

，且，
∽，
，
，
，
即：，
∽，
，
，
，
，
，
，
，
四边形内接于圆，
四边形为“雅系四边形”；

解：由知：与点，
设，
，，
∽，
，
，
，
，
，
，
，
解得：，
当时，，不合题意，舍去；
，
，
，
∽，
，
，
；

设的长度为，，
，，
∽，
，
，
，
，
，
，
，
．
，
，
，
，
有最小值，
即的长度最小值为，
，
解得：，
，
，
，
，
，
由知：∽，
．
在中，
．
利用平行四边形的性质，圆内接四边形的性质，“雅系四边形”的定义和正方形的判定定理解得即可；
连接，交于点，交于点，利用相似三角形的判定与性质得到∽，；再利用直角三角形的两个锐角互余即可得出结论；
设，利用相似三角形的性质得到，在中，利用勾股定理列出方程即可求得的值，进而利用相似三角形的性质求得的长，结论可求；
设的长度为，，在中，利用勾股定理列出方程，利用即可求得的最小值，利用中的方法求得值，再利用相似三角形是性质和直角三角形的边角关系定理即可求得结论．
本题主要考查了正方形的判定，平行四边形的性质，圆内接四边形的性质，相似三角形的判定与性质，解直角三角形的应用，勾股定理，一元二次方程根的判别式，本题是新定义型题目，理解新定义并熟练运用是解题的关键．