初中数学人教版九年级上册23.3 课题学习 图案设计巩固练习

第19讲 切线的判定和性质（原卷版）

第一部分 典例剖析+针对训练

类型一  利用圆的切线的性质求角度

1．（2022•哈尔滨）如图，AD，BC是⊙O的直径，点P在BC的延长线上，PA与⊙O相切于点A，连接BD，若∠P＝40°，则∠ADB的度数为（　　）

A．65° B．60° C．50° D．25°

2．（2022•琼海二模）如图，AB是⊙O的直径，点E，C在⊙O上，点A是的中点，过点A画⊙O的切线，交BC的延长线于点D，连接EC．若∠ADB＝58°，则∠ACE的度数为（　　）

A．29° B．31° C．58° D．32°

类型二  利用圆的切线的性质求长度

典例2 （2022•沙坪坝区校级三模）如图，AB是⊙O的弦，PO⊥OA交AB于点P，过点B的切线交OP的延长线于点C，若⊙O的半径为，OP＝1，则BC的长为（　　）

A．2 B． C． D．

针对训练2

2．（2022•吉州区模拟）如图，在半径为1的⊙O中，直线l为⊙O的切线，点A为切点，弦AB＝1，点P在直线l上运动，若△PAB为等腰三角形，则线段OP的长为 　 　．

类型三  圆的切线的判定

典例3 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为AB的中点，以CD为直径的⊙O分别交AC，BC于点E、F，过点F作FG⊥AB于点G．试判断FG与⊙O的位置关系，并说明理由．

针对训练3

3．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠BAC的平分线交BC于点O，以O为圆心做圆，⊙O与AC相切于点D．

（1）试判断AB与⊙O的位置关系，并加以证明．

（2）在Rt△ABC中，若AC＝6，AB＝3，求切线AD的长．

4．（2022•桥西区校级模拟）如图，已知⊙O的半径为2，四边形ABCD内接于⊙O，∠BAD＝120°，点A平分，延长OD至点M，使得DM＝OD，连接AM．

（1）当点C在优弧BD上移动时，AM的位置 　 　；（选填“改变”或“不变”）

（2）判断AM与⊙O的位置关系，并说明理由；

类型四  圆的切线的判定与性质的综合应用

典例4（2022•夹江县模拟）如图，BC是⊙O的直径，△ABC是等边三角形，D是边AC与⊙O的交点，过点D作DE⊥AB于点E．

（1）求证：DE是⊙O的切线；

（2）连接OE，若AE＝1．求线段OE的长度．

针对训练4

4．（2021•回民区二模）如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，P为AB延长线上一点，∠BCP＝∠BAC，∠ACB的平分线交⊙O于点D，交AB于点E，

①求证：PC是⊙O的切线；

②求证：△PEC是等腰三角形；

③若AC+BC＝2时，求CD的长．

5．（2018•锡山区校级一模）如图所示，AB是⊙O的直径，AD与⊙O相切于点A，DE与⊙O相切于点E，点C为DE延长线上一点，且CE＝CB．

（1）求证：BC为⊙O的切线；（2）若AB＝4，AD＝1，求线段CE的长．

第二部分   专题提优训练

1．（2022•蒲城县二模）如图，在⊙O中，AB与⊙O相切于点A，连接OB交⊙O于点C，过点A作AD∥OB交⊙O于点D，连接CD．若∠B＝20°，则∠OCD为（　　）

A．20° B．35° C．40° D．50°

2．（2022•长沙）如图，PA，PB是⊙O的切线，A、B为切点，若∠AOB＝128°，则∠P的度数为（　　）

A．32° B．52° C．64° D．72°

3．（2022•石狮市模拟）如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，过点C的切线交BA的延长线于点D，连接BC．若∠B＝α，则∠D的大小为（　　）

A．2α B．90°﹣2α C．90°﹣α D．90°α

4．（2022•新华区校级一模）如图，AB为⊙O的直径，射线CB为⊙O的切线，连接OC，交⊙O于点D，连接AD．若

∠C＝30°，⊙O的半径为2，则AD的长为（　　）

A． B．2 C．2 D．1

5．（2022•胶州市二模）如图，点B，D，E为⊙O上的三个点，OC⊥OB，过点D作⊙O的切线，交OE的延长线于点C，连接BE，DE．若∠OCD＝30°，则∠BED的度数为（　　）

A．10° B．15° C．20° D．25°

6．（2022•南岗区三模）如图，△ABC内接于⊙O，BD为⊙O的切线，连接AD，若AD经过圆心O，且∠D＝50°，则∠C的大小为 　 　度．

7．（2022•合肥模拟）如图，在⊙O中，AB与⊙O相切于点A，连接OB交⊙O于点C，过点A作AD∥OB交⊙O于点D，连接CD．若∠B＝40°，则∠OCD的度数为 　  　．

8．（2022•长春二模）如图，AB为⊙O的直径，点C在AB的延长线上，CD与⊙O相切于D，过点B作BE∥CD交⊙O于点E，连接AD，AE，且∠EAD＝22.5°．若BC＝22，则BE的长为 　 　．

9．（2022•兴化市二模）如图，AB是⊙O的直径，点E、C在⊙O上，点A是弧EC的中点，过点A画⊙O的切线，交BC的延长线于点D，连接EC，若∠ADB＝59°，则∠ACE＝　 　°．

10．（2022•怀化）如图，AB与⊙O相切于点C，AO＝3，⊙O的半径为2，则AC的长为 　　．

11．（2022•福山区一模）如图，A，B是⊙O上两点，且AB＝OA，连接OB并延长到点C，使BC＝OB，连接AC．

（1）求证：AC是⊙O的切线；

（2）已知OC＝16，点D，E分别是AC，OA的中点，DE所在直线交⊙O于点F，G，求GF的长．

12．（2019•江西）如图1，AB为半圆的直径，点O为圆心，AF为半圆的切线，过半圆上的点C作CD∥AB交AF于点D，连接BC．

（1）连接DO，若BC∥OD，求证：CD是半圆的切线；

（2）如图2，当线段CD与半圆交于点E时，连接AE，AC，判断∠AED和∠ACD的数量关系，并证明你的结论．

13．（2021秋•郯城县期中）阅读资料：我们把顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角，如图1中∠ABC所示．同学们研究发现：P为圆上任意一点，当弦AC经过圆心O时，且AB切⊙O于点A，此时弦切角∠CAB＝∠P（图2）．

证明：∵AB切⊙O于点A，∴∠CAB＝90°，又∵AC是直径，∴∠P＝90°，∴∠CAB＝∠P

问题拓展：若AC不经过圆心O（如图3），该结论：弦切角∠CAB＝∠P还成立吗？请说明理由．

知识运用：如图4，AD是△ABC中∠BAC的平分线，经过点A的⊙O与BC切于点D，与AB、AC分别相交于E、F．求证：EF∥BC．