2023年湖南省邵阳市中考数学试卷

这是一份2023年湖南省邵阳市中考数学试卷，共25页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2023年湖南省邵阳市中考数学试卷
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）
1．（3分）2023的倒数是（　　）
A．﹣2023 B．2023 C． D．
2．（3分）下列四个图形中，是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
3．（3分）党的二十大报告提出，要坚持以文塑旅、以旅彰文，推进文化和旅游深度融合发展．湖南是文化旅游资源大省，深挖红色文化、非遗文化和乡村文化，推进文旅产业赋能乡村振兴．湖南红色旅游区（点）2022年接待游客约165000000人次，则165000000用科学记数法可表示为（　　）
A．0.165×109 B．1.65×108 C．1.65×107 D．16.5×107
4．（3分）下列计算正确的是（　　）
A．＝a2
B．（a2）3＝a5
C．＝a+b
D．（﹣）0＝1
5．（3分）如图，直线a，b被直线c所截，已知a∥b，∠1＝50°，则∠2的大小为（　　）

A．40° B．50° C．70° D．130°
6．（3分）不等式组的解集在数轴上可表示为（　　）
A．
B．
C．
D．
7．（3分）有数字4，5，6的三张卡片，将这三张卡片任意摆成一个三位数，摆出的三位数是5的倍数的概率是（　　）
A． B． C． D．
8．（3分）如图，矩形OABC的顶点B和正方形ADEF的顶点E都在反比例函数y＝（k≠0）的图象上，点B的坐标为（2，4），则点E的坐标为（　　）

A．（4，4） B．（2，2） C．（2，4） D．（4，2）
9．（3分）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，若添加一个条件，使四边形ABCD为平行四边形，则下列正确的是（　　）

A．AD＝BC B．∠ABD＝∠BDC C．AB＝AD D．∠A＝∠C
10．（3分）已知P1（x1，y1），P2（x2，y2）是抛物线y＝ax2+4ax+3（a是常数，a≠0）上的点，现有以下四个结论：①该抛物线的对称轴是直线x＝﹣2；②点（0，3）在抛物线上；③若x1＞x2＞﹣2，则y1＞y2；④若y1＝y2，则x1+x2＝﹣2，其中，正确结论的个数为（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题（本大题有8个小题，每小题3分，共24分）
11．（3分）的立方根是 　 　．
12．（3分）因式分解：3a2+6ab+3b2＝　 　．
13．（3分）分式方程﹣＝0的解是 　 　．
14．（3分）下表是小红参加一次“阳光体育”活动比赛的得分情况：
项目
跑步
花样跳绳
跳绳
得分
90
80
70
评总分时，按跑步占50%，花样跳绳占30%，跳绳占20%考评，则小红的最终得分为 　 　．
15．（3分）如图，AD是⊙O的直径，AB是⊙O的弦，BC与⊙O相切于点B，连接OB，若∠ABC＝65°，则∠BOD的大小为 　 　．

16．（3分）如图，某数学兴趣小组用一张半径为30cm的扇形纸板做成一个圆锥形帽子（接缝忽略不计），如果做成的圆锥形帽子的底面半径为8cm，那么这张扇形纸板的面积为 　 　cm2．（结果保留π）

17．（3分）某校截止到2022年底，校园绿化面积为1000平方米．为美化环境，该校计划2024年底绿化面积达到1440平方米．利用方程思想，设这两年绿化面积的年平均增长率为x，则依题意列方程为 　 　．
18．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝，动点P在矩形的边上沿B→C→D→A运动．当点P不与点A、B重合时，将△ABP沿AP对折，得到△AB′P，连接CB'，则在点P的运动过程中，线段CB′的最小值为 　 　．
​

三、解答题（本大题有8个小题，第19-25题每题8分，第26题10分，共56分，解答应写出必要的文字说明、验算步骤或证明过程）
19．（8分）计算：tan45°+（）﹣1+|﹣2|．
20．（8分）先化简，再求值：（a﹣3b）（a+3b）+（a﹣3b）2，其中a＝﹣3，b＝．
21．（8分）如图，CA⊥AD，ED⊥AD，点B是线段AD上的一点，且CB⊥BE．已知AB＝8，AC＝6，DE＝4．
（1）证明：△ABC∽△DEB．
（2）求线段BD的长．

22．（8分）低碳生活已是如今社会的一种潮流形式，人们的环保观念也在逐渐加深．“低碳环保，绿色出行”成为大家的生活理念，不少人选择自行车出行．某公司销售甲、乙两种型号的自行车，其中甲型自行车进货价格为每台500元，乙型自行车进货价格为每台800元．该公司销售3台甲型自行车和2台乙型自行车，可获利650元，销售1台甲型自行车和2台乙型自行车，可获利350元．
（1）该公司销售一台甲型、一台乙型自行车的利润各是多少元？
（2）为满足大众需求，该公司准备加购甲、乙两种型号的自行车共20台，且资金不超过13000元，最少需要购买甲型自行车多少台？
23．（8分）某市对九年级学生进行“综合素质”评价，评价的结果为A（优）、B（良好）、C（合格）、D（不合格）四个等级．现从中随机抽测了若干名学生的“综合素质”等级作为样本进行数据处理，并作出了如下频数分布图和如图所示的条形统计图（不完整）．请根据图表中的信息回答下列问题．
等级
频数
频率
A
a
0.2
B
1600
b
C
1400
0.35
D
200
0.05
（1）求频数分布表中a，b的值．
（2）补全条形统计图．
（3）该市九年级学生约80000人，试估计该市有多少名九年级学生可以评为“A”级．

24．（8分）我国航天事业捷报频传，2023年5月30日，被誉为“神箭”的长征二号F运载火箭托举神舟十六号载人飞船跃入苍穹，中国空间站应用与发展阶段首次载人发射任务取得圆满成功．如图，有一枚运载火箭从地面O处发射，当火箭到达P处时，地面A处的雷达站测得AP距离是5000m，仰角为23°，9s后，火箭直线到达Q处，此时地面A处雷达站测得Q处的仰角为45°，求火箭从P到Q处的平均速度（结果精确到1m/s）．
（参考数据：sin23°≈0.39，cos23°≈0.92，tan23°≈0.42）

25．（8分）如图，在等边三角形ABC中，D为AB上的一点，过点D作BC的平行线DE交AC于点E，点P是线段DE上的动点（点P不与D、E重合）．将△ABP绕点A逆时针方向旋转60°，得到△ACQ，连接EQ、PQ，PQ交AC于F．
（1）证明：在点P的运动过程中，总有∠PEQ＝120°．
（2）当为何值时，△AQF是直角三角形？
​
26．（10分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+x+c经过点A（﹣2，0）和点B（4，0），且与直线l：y＝﹣x﹣1交于D、E两点（点D在点E的右侧），点M为直线l上的一动点，设点M的横坐标为t．
（1）求抛物线的解析式．
（2）过点M作x轴的垂线，与抛物线交于点N．若0＜t＜4，求△NED面积的最大值．
（3）抛物线与y轴交于点C，点R为平面直角坐标系上一点，若以B、C、M、R为顶点的四边形是菱形，请求出所有满足条件的点R的坐标．


2023年湖南省邵阳市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）
1．（3分）2023的倒数是（　　）
A．﹣2023 B．2023 C． D．
【分析】由倒数的意义可得出结论．
【解答】解：由倒数的定义可知：2023的倒数是，
故选：C．
【点评】本题考查了倒数的定义及应用，明确倒数的概念是解题的关键．
2．（3分）下列四个图形中，是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
【分析】由中心对称图形的定义可得出结论．
【解答】解：由中心对称图形可知：A、该图形旋转180°可与原图形重合，故本选项正确；
B、C、D中图形旋转180°均未与原图形重合；
故选：A．
【点评】本题考查了旋转的知识，掌握中心对称图形的概念是关键．
3．（3分）党的二十大报告提出，要坚持以文塑旅、以旅彰文，推进文化和旅游深度融合发展．湖南是文化旅游资源大省，深挖红色文化、非遗文化和乡村文化，推进文旅产业赋能乡村振兴．湖南红色旅游区（点）2022年接待游客约165000000人次，则165000000用科学记数法可表示为（　　）
A．0.165×109 B．1.65×108 C．1.65×107 D．16.5×107
【分析】由科学记数法a×10n（0＜a＜10）可得出结论．
【解答】解：165000000＝1.65×108，
故选：B．
【点评】本题考查了用科学记数法a×10n表示较大的数，注意数a的取值范围是解题的关键．
4．（3分）下列计算正确的是（　　）
A．＝a2
B．（a2）3＝a5
C．＝a+b
D．（﹣）0＝1
【分析】分别根据分式的加减法则、幂的乘方与积的乘方法则、零指数幂的运算法则对各选项进行逐一计算即可．
【解答】解：A、＝a3，原计算错误，不符合题意；
B、（a2）3＝a6，原计算错误，不符合题意；
C、+＝，原计算错误，不符合题意；
D、（﹣）0＝1，正确，符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查的是分式的加减法，涉及到幂的乘方与积的乘方法则、零指数幂的运算法则，熟知以上知识是解题的关键．
5．（3分）如图，直线a，b被直线c所截，已知a∥b，∠1＝50°，则∠2的大小为（　　）

A．40° B．50° C．70° D．130°
【分析】根据对顶角相等，可得∠1＝∠3，又由平行线的性质，求得∠2的度数．
【解答】解：如图所示：

∵a∥b，
∴∠2＝∠3，
∵∠1＝∠3，∠1＝50°，
∴∠1＝∠2＝50°．
故选：B．
【点评】此题考查了平行线的性质与对顶角的性质，注意掌握两直线平行，同位角相等是解此题的关键．
6．（3分）不等式组的解集在数轴上可表示为（　　）
A．
B．
C．
D．
【分析】分别求出各不等式的解集，再在数轴上表示出来即可．
【解答】解：，
由①得，x＜1，
由②得，x≥﹣2，
在数轴上表示为：
．
故选：A．
【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
7．（3分）有数字4，5，6的三张卡片，将这三张卡片任意摆成一个三位数，摆出的三位数是5的倍数的概率是（　　）
A． B． C． D．
【分析】根据题意，画出图形即可，再根据数据进行分析．
【解答】解：
，
三位数有6个，是5的倍数的三位数是：465，645；
三位数是5的倍数的概率为：；
故选：C．
【点评】本题主要考查了概率的相关知识，难度不大，认真分析即可．
8．（3分）如图，矩形OABC的顶点B和正方形ADEF的顶点E都在反比例函数y＝（k≠0）的图象上，点B的坐标为（2，4），则点E的坐标为（　　）

A．（4，4） B．（2，2） C．（2，4） D．（4，2）
【分析】由题意，首先根据B的坐标求出k，然后可设E（a，），再由正方形ADEF，建立关于a的方程，进而得解．
【解答】解：∵点B的坐标为（2，4）在反比例函数y＝上，
∴4＝．
∴k＝8．
∴反比例函数的解析式为y＝．
∵点E在反比例函数上，
∴可设（a，）．
∴AD＝a﹣2＝ED＝．
∴a1＝4，a2＝﹣2．
∵a＞0，
∴a＝4．
∴E（4，2）．
故选：D．
【点评】本题主要考查了反比例函数的图象与性质的应用，解题时需要理解并能灵活运用．
9．（3分）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，若添加一个条件，使四边形ABCD为平行四边形，则下列正确的是（　　）

A．AD＝BC B．∠ABD＝∠BDC C．AB＝AD D．∠A＝∠C
【分析】由平行四边形的判定方法分别对各个选项进行判断即可．
【解答】解：A、由AB∥CD，AD＝BC，不能判定四边形ABCD为平行四边形，故选项A不符合题意；
B、∵AB∥CD，
∴∠ABD＝∠BDC，
∴不能判定四边形ABCD为平行四边形，故选项B不符合题意；
C、由AB∥CD，AB＝AD，不能判定四边形ABCD为平行四边形，故选项C不符合题意；
D、∵AB∥CD，
∴∠ABC+∠C＝180°，
∵∠A＝∠C，
∴∠ABC+∠A＝180°，
∴AD∥BC，
又∵AB∥CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，故选项D符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查了平行四边形的判定以及平行线的判定与性质，熟练掌握平行四边形的判定方法是解题的关键．
10．（3分）已知P1（x1，y1），P2（x2，y2）是抛物线y＝ax2+4ax+3（a是常数，a≠0）上的点，现有以下四个结论：①该抛物线的对称轴是直线x＝﹣2；②点（0，3）在抛物线上；③若x1＞x2＞﹣2，则y1＞y2；④若y1＝y2，则x1+x2＝﹣2，其中，正确结论的个数为（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】根据题目中的二次函数的性质，可以判断各个小题中的结论是否正确，从而可以解答本题．
【解答】解：∵抛物线y＝ax2+4ax+3的对称轴为直线x＝﹣＝﹣2，
∴①正确；
当x＝0时，y＝3，则点点（0，3）在抛物线上，
∴②正确；
当a＞0时，x1＞x2＞﹣2，则y1＞y2；
当a＜0时，x1＞x2＞﹣2，则y1＜y2；
∴③错误；
当y1＝y2，则x1+x2＝﹣4，
∴④错误；
故正确的有2个，
故选：B．
【点评】本题考查二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
二、填空题（本大题有8个小题，每小题3分，共24分）
11．（3分）的立方根是 　2　．
【分析】先求出的值，再根据立方根的定义解答即可．
【解答】解：＝8，
＝2．
故答案为：2．
【点评】本题考查的是立方根及算术平方根，熟知如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根或三次方根是解题的关键．
12．（3分）因式分解：3a2+6ab+3b2＝　3（a+b）2　．
【分析】先提取公因式3，再利用完全平方公式分解因式即可．
【解答】解：3a2+6ab+3b2，
＝3（a2+2ab+b2），
＝3（a+b）2．
【点评】本题主要考查利用完全平方公式分解因式，熟记公式结构是解题的关键，本题要进行二次分解因式，分解因式要彻底．
13．（3分）分式方程﹣＝0的解是 　4　．
【分析】确定最简公分母去分母将分式方程化为一元一次方程即可得出结论．
【解答】解：﹣＝0
分式两边同乘以x（x﹣2）得：2（x﹣2）﹣x＝0，
去括号得：2x﹣4﹣x＝0，
合并化系数为1得：x＝4．
检验：当x＝4时，x（x﹣2）≠0，
∴原分式方程的解为：x＝4．
故答案为：4．
【点评】本题考查了解分式方程，能正确找到最简公分母是解题的关键．
14．（3分）下表是小红参加一次“阳光体育”活动比赛的得分情况：
项目
跑步
花样跳绳
跳绳
得分
90
80
70
评总分时，按跑步占50%，花样跳绳占30%，跳绳占20%考评，则小红的最终得分为 　83分　．
【分析】根据加权平均数的计算公式进行计算即可．
【解答】解：小红的最终得分为：90×50%+80×30%+70×20%＝83（分）．
故答案为：83分．
【点评】本题考查的是加权平均数，熟记加权平均数的计算公式是解决本题的关键．
15．（3分）如图，AD是⊙O的直径，AB是⊙O的弦，BC与⊙O相切于点B，连接OB，若∠ABC＝65°，则∠BOD的大小为 　50°　．

【分析】利用圆的切线的性质定理，同圆的半径相等，等腰三角形的性质和圆周角定理解答即可．
【解答】解：∵BC与⊙O相切于点B，
∴OB⊥BC，
∴∠OBC＝90°．
∵∠ABC＝65°，
∴∠OBA＝∠OBC﹣∠ABC＝25°．
∵OB＝OA，
∴∠OAB＝∠OBA＝25°，
∴∠BOD＝2∠OAB＝50°．
故答案为：50°．
【点评】本题主要考查了圆的有关性质，圆周角定理，圆的切线的性质定理，熟练掌握圆的有关性质是解题的关键．
16．（3分）如图，某数学兴趣小组用一张半径为30cm的扇形纸板做成一个圆锥形帽子（接缝忽略不计），如果做成的圆锥形帽子的底面半径为8cm，那么这张扇形纸板的面积为 　240π　cm2．（结果保留π）

【分析】根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和扇形的面积公式计算．
【解答】解：这张扇形纸板的面积＝•2π•8•30＝240π（cm2）．
故答案为：240π．
【点评】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．
17．（3分）某校截止到2022年底，校园绿化面积为1000平方米．为美化环境，该校计划2024年底绿化面积达到1440平方米．利用方程思想，设这两年绿化面积的年平均增长率为x，则依题意列方程为 　1000（1+x）2＝1440　．
【分析】根据2022年底绿化面积×（1+年平均增长率）2＝2024年底绿化面积，列出一元二次方程即可．
【解答】解：根据题意得：1000（1+x）2＝1440，
故答案为：1000（1+x）2＝1440．
【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
18．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝，动点P在矩形的边上沿B→C→D→A运动．当点P不与点A、B重合时，将△ABP沿AP对折，得到△AB′P，连接CB'，则在点P的运动过程中，线段CB′的最小值为 　﹣2　．
​

【分析】根据折叠的性质得出B'在A为圆心，2为半径的弧上运动，进而分类讨论当点P在BC上时，当点P在DC．上时，当P在AD．上时，即可求解．
【解答】解：在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝，
∴BC＝AD＝，AC＝＝，
如图所示，当点P在BC上时，

∵AB'＝AB＝2，
.∴B'在A为圆心，2为半径的弧上运动，
当A，B'，C三点共线时，CB最短，
此时CB'＝AC﹣AB'＝﹣2，
当点P在DC上时，如图所示，

此时CB'＞﹣2，
当P在AD上时，如图所示，此时CB'＞﹣2，

综上所述，CB'的最小值为﹣2，
故答案为：﹣2．
【点评】本题考查了矩形与折叠问题，圆外一点到圆上的距离的最值问题，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．
三、解答题（本大题有8个小题，第19-25题每题8分，第26题10分，共56分，解答应写出必要的文字说明、验算步骤或证明过程）
19．（8分）计算：tan45°+（）﹣1+|﹣2|．
【分析】分别根据特殊角的三角函数值、负整数指数幂的运算法则、绝对值的性质计算出各数，再根据实数混合运算的法则进行计算即可．
【解答】解：原式＝1+2+2
＝5．
【点评】本题考查的是实数的运算，涉及到特殊角的三角函数值、负整数指数幂的运算法则、绝对值的性质，熟知以上知识是解题的关键．
20．（8分）先化简，再求值：（a﹣3b）（a+3b）+（a﹣3b）2，其中a＝﹣3，b＝．
【分析】利用平方差公式和完全平方公式将原式进行化简，再将a，b的值代入计算即可求解．
【解答】解：（a﹣3b）（a+3b）+（a﹣3b）2
＝a2﹣（3b）2+（a2﹣6ab+9b2）
＝a2﹣9b2+a2﹣6ab+9b2
＝2a2﹣6ab，
当a＝﹣3，时，原式＝＝24．
【点评】本题主要考查整式的混合运算﹣化简求值，熟练掌握平方差公式和完全平方公式是解题关键．平方差公式：（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b．完全平方公式：（a±b）2＝a2±2ab＝b2．
21．（8分）如图，CA⊥AD，ED⊥AD，点B是线段AD上的一点，且CB⊥BE．已知AB＝8，AC＝6，DE＝4．
（1）证明：△ABC∽△DEB．
（2）求线段BD的长．

【分析】（1）利用同角的余角相等得∠C＝∠DBE，可证明结论；
（2）根据相似三角形的性质即可求出答案．
【解答】（1）证明：∵CA⊥AD，ED⊥AD，CB⊥BE，
∴∠A＝∠CBE＝∠D＝90°，
∴∠C+∠CBA＝90°，∠CBA+∠DBE＝90°，
∴∠C＝∠DBE，
∴△ABC∽△DEB；
（2）解：∵△ABC∽△DEB，
∴＝，
∴＝，
∴BD＝3．
【点评】本题主要考查了相似三角形的性质和判定，利用同角的余角相等得∠C＝∠DBE是解决问题的关键．
22．（8分）低碳生活已是如今社会的一种潮流形式，人们的环保观念也在逐渐加深．“低碳环保，绿色出行”成为大家的生活理念，不少人选择自行车出行．某公司销售甲、乙两种型号的自行车，其中甲型自行车进货价格为每台500元，乙型自行车进货价格为每台800元．该公司销售3台甲型自行车和2台乙型自行车，可获利650元，销售1台甲型自行车和2台乙型自行车，可获利350元．
（1）该公司销售一台甲型、一台乙型自行车的利润各是多少元？
（2）为满足大众需求，该公司准备加购甲、乙两种型号的自行车共20台，且资金不超过13000元，最少需要购买甲型自行车多少台？
【分析】（1）设该公司销售一台甲型自行车的利润是x元，一台乙型自行车的利润是y元，根据该公司销售3台甲型自行车和2台乙型自行车，可获利650元，销售1台甲型自行车和2台乙型自行车，可获利350元．列出二元一次方程组，解方程组即可；
（2）需要购买甲型自行车m台，则需要购买乙型自行车（20﹣m）台，根据资金不超过13000元，列出一元一次不等式，解不等式即可．
【解答】解：（1）设该公司销售一台甲型自行车的利润是x元，一台乙型自行车的利润是y元，
由题意得：，
解得：，
答：该公司销售一台甲型自行车的利润是150元，一台乙型自行车的利润是100元；
（2）需要购买甲型自行车m台，则需要购买乙型自行车（20﹣m）台，
由题意得：500m+800（20﹣m）≤13000，
解得：m≥10，
答：最少需要购买甲型自行车10台．
【点评】本题考查了一元一次不等式的应用以及二元一次方程组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找出数量关系，正确列出一元一次不等式．
23．（8分）某市对九年级学生进行“综合素质”评价，评价的结果为A（优）、B（良好）、C（合格）、D（不合格）四个等级．现从中随机抽测了若干名学生的“综合素质”等级作为样本进行数据处理，并作出了如下频数分布图和如图所示的条形统计图（不完整）．请根据图表中的信息回答下列问题．
等级
频数
频率
A
a
0.2
B
1600
b
C
1400
0.35
D
200
0.05
（1）求频数分布表中a，b的值．
（2）补全条形统计图．
（3）该市九年级学生约80000人，试估计该市有多少名九年级学生可以评为“A”级．

【分析】（1）先根据D等级人数及其所占百分比求出被调查的总人数，再分别由A、B等级频率和频数即可求出a和b的值；
（2）根据a的值即可补全条形统计图；
（3）用总人数乘以样本中A等级所占比例即可．
【解答】解：（1）∵被调查的人数为200÷0.05＝4000（人），
∴a＝4000×0.2＝800，b＝＝0.4；
（2）如图：
；
（3）80000×0.2＝16000（名），
答：估计该市有16000名九年级学生可以评为“A”级．
【点评】本题考查的是频数（率）分布表，条形统计图和用样本估计总体，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据．
24．（8分）我国航天事业捷报频传，2023年5月30日，被誉为“神箭”的长征二号F运载火箭托举神舟十六号载人飞船跃入苍穹，中国空间站应用与发展阶段首次载人发射任务取得圆满成功．如图，有一枚运载火箭从地面O处发射，当火箭到达P处时，地面A处的雷达站测得AP距离是5000m，仰角为23°，9s后，火箭直线到达Q处，此时地面A处雷达站测得Q处的仰角为45°，求火箭从P到Q处的平均速度（结果精确到1m/s）．
（参考数据：sin23°≈0.39，cos23°≈0.92，tan23°≈0.42）

【分析】利用已知结合锐角三角函数关系得出PO以及QO的长，再求出PQ的长，即可得出平均速度．
【解答】解：由题意可得：∠PAO＝23°，∠QAO＝45°，AP＝5000m，
则PO＝APsin23°＝5000×0.39≈1950（m），
AO＝APcos23°＝5000×0.92≈4600（m），
∴OQ＝AO＝4600m，
∴PQ＝OQ﹣OP＝4600﹣1950＝2650（m），
则火箭从P处到Q处的平均速度为：2650÷9≈294（m/s），
答：火箭从A处到B处的平均速度294m/s．

【点评】此题主要考查了解直角三角形的应用，得出QO的长是解题关键．
25．（8分）如图，在等边三角形ABC中，D为AB上的一点，过点D作BC的平行线DE交AC于点E，点P是线段DE上的动点（点P不与D、E重合）．将△ABP绕点A逆时针方向旋转60°，得到△ACQ，连接EQ、PQ，PQ交AC于F．
（1）证明：在点P的运动过程中，总有∠PEQ＝120°．
（2）当为何值时，△AQF是直角三角形？
​
【分析】（1）由旋转的性质可得PA＝QA，∠PAQ＝60°，通过证明点A，点P，点E，点Q四点共圆，可得∠PAQ+∠PEQ＝180°，即可得结论；
（2）由旋转的性质可得∠PAQ＝60°，AP＝AQ，由角的数量关系可求∠DAP＝30°，∠APD＝90°，即可求解．
【解答】（1）证明：∵将△ABP绕点A逆时针方向旋转60°，
∴PA＝QA，∠PAQ＝60°，
∴△APQ是等边三角形，
∴∠AQP＝60°，
∵DE∥BC，
∴∠AED＝∠ACB＝60°，
∴∠AQP＝∠AED，
∴点A，点P，点E，点Q四点共圆，
∴∠PAQ+∠PEQ＝180°，
∴∠PEQ＝120°；
（2）解：如图，

根据题意：只有当∠AFQ＝90°时，成立，
∵△ABP绕点A逆时针方向旋转60°，得到△ACQ，
∴∠PAQ＝60°，AP＝AQ，
∴△APQ是等边三角形，
∴∠PAQ＝60°，
∵∠AFQ＝90°，
∴∠PAF＝∠QAF＝30°，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC＝∠BCA＝∠CAB＝60°，
∵DE∥BC，
∴∠ADP＝∠ABC＝60°，
∴∠DAP＝30°，∠APD＝90°，
∴tan∠ADP＝tan60°＝＝．
【点评】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定和性质，锐角三角函数等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
26．（10分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+x+c经过点A（﹣2，0）和点B（4，0），且与直线l：y＝﹣x﹣1交于D、E两点（点D在点E的右侧），点M为直线l上的一动点，设点M的横坐标为t．
（1）求抛物线的解析式．
（2）过点M作x轴的垂线，与抛物线交于点N．若0＜t＜4，求△NED面积的最大值．
（3）抛物线与y轴交于点C，点R为平面直角坐标系上一点，若以B、C、M、R为顶点的四边形是菱形，请求出所有满足条件的点R的坐标．

【分析】（1）待定系数法求解析式即可；
（2）根据题意，联立抛物线与直线解析式，求得点D，E的横坐标，表示出MN的长，可得S△NED＝MN•|xD﹣xE|＝﹣（t﹣2）2+7，再根据二次函数性质可得答案；
（3）求出C（0，4），设M（t，﹣t﹣1），R（m，n），分三种情况：①当BC，MR为对角线时，BC，MR的中点重合，且BM＝CM，②当BM，CR为对角线时，BM，CR的中点重合，且BC＝CM，③当BR，CM为对角线时，BR，CM的中点重合，且BC＝BM，分别列方程组可解得答案．
【解答】解：（1）把A（﹣2，0），B（4，0）代入y＝ax2+x+c 得：
，
解得：，
∴抛物线解析式为y＝﹣x2+x+4；
（2）联立，
解得或，
∴D（2+，﹣3﹣），E（2﹣，﹣3+），
∵点M为直线l上的一动点，横坐标为t，
∴M（t，﹣t﹣1），
∴N（t，﹣t2+t+4），
∴MN＝﹣t2+t+4﹣（﹣t﹣1）＝﹣t2+2t+5，
∴S△NED＝MN•|xD﹣xE|＝×（﹣t2+2t+5）×2＝﹣（t﹣2）2+7，
∵﹣＜0，0＜t＜4，
∴当t＝2时，S△NED取最大值7，
∴△NED面积的最大值是7；
（3）在y＝﹣x2+x+4中，令x＝0得y＝4，
∴C（0，4），
设M（t，﹣t﹣1），R（m，n），
又B（4，0），
①当BC，MR为对角线时，BC，MR的中点重合，且BM＝CM，
∴，
解得，
∴R（，）；
②当BM，CR为对角线时，BM，CR的中点重合，且BC＝CM，
∴，
解得或，
∴R（，）或（，）；
③当BR，CM为对角线时，BR，CM的中点重合，且BC＝BM，
∴，
解得或，
∴R（，）或（，）；
综上所述，R的坐标为（，）或（，）或（，）或（，）或（，）．
【点评】本题考查了二次函数的综合应用，涉及三角形面积问题，菱形的性质与判定，勾股定理等知识，熟练掌握二次函数的性质，准确的计算是解题的关键．
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