资料中包含下列文件，点击文件名可预览资料内容
还剩31页未读，
继续阅读
上海市徐汇区三年(2020-2022)九年级上学期期末数学试题汇编
展开
这是一份上海市徐汇区三年(2020-2022)九年级上学期期末数学试题汇编，文件包含上海市徐汇区三年2020-2022九年级上学期期末数学试题汇编-03解答题提升题知识点分类doc、上海市徐汇区三年2020-2022九年级上学期期末数学试题汇编-02填空题知识点分类doc、上海市徐汇区三年2020-2022九年级上学期期末数学试题汇编-01选择题知识点分类doc、上海市徐汇区三年2020-2022九年级上学期期末数学试题汇编-03解答题基础题知识点分类doc等4份试卷配套教学资源，其中试卷共86页， 欢迎下载使用。
上海市徐汇区三年(2020-2022)九年级上学期期末数学试题汇编-03解答题（提升题）知识点分类
一．二次函数综合题（共3小题）
1．（2020秋•徐汇区期末）已知二次函数y＝ax2﹣2ax+a+4（a＜0）的大致图象如图所示，这个函数图象的顶点为点D．
（1）求该函数图象的开口方向、对称轴及点D的坐标；
（2）设该函数图象与y轴正半轴交于点C，与x轴正半轴交于点B，图象的对称轴与x轴交于点A，如果DC⊥BC，tan∠DBC＝，求该二次函数的解析式；
（3）在（2）的条件下，设点M在第一象限该函数的图象上，且点M的横坐标为t（t＞1），如果△ACM的面积是，求点M的坐标．
2．（2021秋•徐汇区期末）如图，抛物线y＝﹣x2+x+2与x轴交于点A，与y轴交于点B，C为线段OA上的一个动点，过点C作x轴的垂线，交直线AB于点D，交该抛物线于点E．
（1）求直线AB的表达式，直接写出顶点M的坐标；
（2）当以B，E，D为顶点的三角形与△CDA相似时，求点C的坐标；
（3）当∠BED＝2∠OAB时，求△BDE与△CDA的面积之比．
3．（2022秋•徐汇区期末）在平面直角坐标系xOy（如图）中，抛物线y＝ax2+bx+2经过点A（4，0）、B（2，2），与y轴的交点为C．
（1）试求这个抛物线的表达式；
（2）如果这个抛物线的顶点为M，求△AMC的面积；
（3）如果这个抛物线的对称轴与直线BC交于点D，点E在线段AB上，且∠DOE＝45°，求点E的坐标．
二．相似三角形的判定与性质（共2小题）
4．（2021秋•徐汇区期末）已知：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD＝4，BC＝6，对角线BD，AC相交于点E，过点A作AF∥DC，交对角线BD于点F．
（1）求的值；
（2）设＝，＝，请用向量、表示向量．
5．（2021秋•徐汇区期末）如图，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，射线CD交AB于点D，点E是CD上一点，且∠AEC＝∠ABC，联结BE．
（1）求证：△ACD∽△EBD；
（2）如果CD平分∠ACB，求证：AB2＝2ED•EC．
三．相似形综合题（共3小题）
6．（2020秋•徐汇区期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝12，BC＝5，点D是边AC上的动点，以CD为边在△ABC外作正方形CDEF，分别联结AE、BE，BE与AC交于点G
（1）当AE⊥BE时，求正方形CDEF的面积；
（2）延长ED交AB于点H，如果△BEH和△ABG相似，求sin∠ABE的值；
（3）当AG＝AE时，求CD的长．
7．（2021秋•徐汇区期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，cotA＝，点D为边AC上的一个动点，以点D为顶点作∠BDE＝∠A，射线DE交边AB于点E，过点B作射线DE的垂线，垂足为点F．
（1）当点D是边AC中点时，求tan∠ABD的值；
（2）求证：AD•BF＝BC•DE；
（3）当DE：EF＝3：1时，求AE：EB．
8．（2022秋•徐汇区期末）如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4，点D为边BC上一动点（与点B、C不重合），点E为AB上一点，∠EDB＝∠ADC，过点E作EF⊥AD，垂足为点G，交射线AC于点F．
（1）如果点D为边BC的中点，求∠DAB的正切值；
（2）当点F在边AC上时，设CD＝x，CF＝y，求y关于x的函数解析式及x的取值范围；
（3）联结DF，如果△CDF与△AGE相似，求线段CD的长．
四．解直角三角形（共1小题）
9．（2022秋•徐汇区期末）如图，已知在△ABC中，CD⊥AB，垂足为点D，AD＝2，BD＝6，tanB＝，点E是边BC的中点．
（1）求边AC的长；
（2）求∠EAB的正弦值．
五．解直角三角形的应用-坡度坡角问题（共1小题）
10．（2021秋•徐汇区期末）图1是一种自卸货车，图2是该货车的示意图，货箱侧面是一个矩形，长AB＝4米，宽BC＝2米，初始时点A、B、F在同一水平线上，车厢底部AB离地面的高度为1.3米．卸货时货箱在千斤顶的作用下绕着点A旋转，箱体底部AB形成不同角度的斜坡．
（1）当斜坡AB的坡角为37°时，求车厢最高点C离地面的距离；
（2）点A处的转轴与后车轮转轴（点E处）的水平距离叫做安全轴距，已知该车的安全轴距为0.7m．货厢对角线AC、BD的交点G是货厢侧面的重心，卸货时如果A、G两点的水平距离小于安全轴距时，会发生车辆倾覆安全事故．
当斜坡AB的坡角为45°时，根据上述车辆设计技术参数，该货车会发生车辆倾覆安全事故吗？试说明你的理由．（精确到0.1米，参考值：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37≈0.75，≈1.4142）
六．解直角三角形的应用-仰角俯角问题（共2小题）
11．（2020秋•徐汇区期末）为加强对市内道路交通安全的监督，王警官利用无人机进行检测．某高架路有一段限速每小时60千米的道路AB（如图所示），当无人机在限速道路的正上方C处时，测得限速道路的起点A的俯角是37°，无人机继续向右水平飞行220米到达D处，此时又测得起点A的俯角是30°，同时测得限速道路终点B的俯角是45°（注：即四边形ABDC是梯形）．
（1）求限速道路AB的长（精确到1米）；
（2）如果李师傅在道路AB上行驶的时间是1分20秒，请判断他是否超速？并说明理由．
（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，≈1.73）
12．（2022秋•徐汇区期末）如图，在大楼AB的正前方有一斜坡CD，CD＝26米，坡度i＝1：2.4，小明在斜坡下端C处测得楼顶点B的仰角为60°，在斜坡上的点D处测得楼顶B的仰角为30°，DE与地面垂直，垂足为E，其中点A、C、E在同一直线上．
（1）求DE的值；
（2）求大楼AB的高度（结果保留根号）．
上海市徐汇区三年(2020-2022)九年级上学期期末数学试题汇编-03解答题（提升题）知识点分类
参考答案与试题解析
一．二次函数综合题（共3小题）
1．（2020秋•徐汇区期末）已知二次函数y＝ax2﹣2ax+a+4（a＜0）的大致图象如图所示，这个函数图象的顶点为点D．
（1）求该函数图象的开口方向、对称轴及点D的坐标；
（2）设该函数图象与y轴正半轴交于点C，与x轴正半轴交于点B，图象的对称轴与x轴交于点A，如果DC⊥BC，tan∠DBC＝，求该二次函数的解析式；
（3）在（2）的条件下，设点M在第一象限该函数的图象上，且点M的横坐标为t（t＞1），如果△ACM的面积是，求点M的坐标．
【答案】（1）对称轴为直线x＝1，顶点坐标为（1，4），开口向下；
（2）y＝﹣x2+2x+3；
（3）（，）．
【解答】解：（1）∵y＝ax2﹣2ax+a+4＝a（x2﹣2x+1）+4＝a（x﹣1）2+4，
∴抛物线的对称轴为直线x＝1，顶点D（1，4），
∵a＜0，
∴抛物线的开口向下；
（2）由（1）知，抛物线的对称轴为x＝1，
∴A（1，0），
对于y＝ax2﹣2ax+a+4，
令x＝0，则y＝a+4，
∴C（0，a+4），
如图1，
过点D作DH⊥y轴于H，
∴∠CDH+∠DCH＝90°，
∵DC⊥BC，
∴∠BCD＝90°，
∴∠DCH+∠OCB＝90°，
∴∠CDH＝∠BCO，
∵∠BOC＝∠CHD＝90°，
∴△CDH∽△BCO，
∴，
在Rt△BDC中，tan∠DBC＝，
∵D（1，4），
∴DH＝1，
∴，
∴CO＝3，
∴a+4＝3，
∴a＝﹣1，
∴二次函数的解析式为y＝﹣x2+2x+3；
（3）如图2，
由（2）知，a＝﹣1，
∴C（0，3），
∴OC＝3，
连接OM，设点M的横坐标为t（t＞1），
∴点M的纵坐标为﹣t2+2t+3，
∵△ACM的面积是，
∴S△ACM＝S△OCM+S△OAM﹣S△AOC
＝×3t+×1×（﹣t2+2t+3）﹣×1×3
＝，
∴t＝，
∴M（，）．
2．（2021秋•徐汇区期末）如图，抛物线y＝﹣x2+x+2与x轴交于点A，与y轴交于点B，C为线段OA上的一个动点，过点C作x轴的垂线，交直线AB于点D，交该抛物线于点E．
（1）求直线AB的表达式，直接写出顶点M的坐标；
（2）当以B，E，D为顶点的三角形与△CDA相似时，求点C的坐标；
（3）当∠BED＝2∠OAB时，求△BDE与△CDA的面积之比．
【答案】（1）y＝﹣x+2，M（，）； （2）（，0）或（，0）；（3）．
【解答】解：（1）令y＝0，则﹣x2+x+2＝0，
∴x＝﹣或x＝3，
∴A（3，0），
令x＝0，则y＝2，
∴B（0，2），
设直线AB的解析式为y＝kx+b，
∴，
∴，
∴y＝﹣x+2，
∵y＝﹣x2+x+2＝﹣（x﹣）2+，
∴M（，）；
（2）∵∠ADC＝∠BDE，∠ACD＝90°，
∴△BED是直角三角形，
设C（t，0），
①如图1，当∠BED＝90°，时，BE∥AC，
∴E（t，2），
∴﹣t2+t+2＝2，
∴t＝0（舍）或t＝，
∴C（，0）；
②如图2，当∠EBD＝90°时，
过点E作EQ⊥y轴交于点Q，
∵∠BAO+∠ABO＝90°，∠ABO+∠QBE＝90°，
∴∠QBE＝∠BAO，
∴△ABO∽△BEQ，
∴＝，即＝，
∴BQ＝t，
∴E（t，2+t），
∴2+t＝﹣t2+t+2，
∴t＝0（舍）或t＝，
∴C（，0）；
综上所述：C点的坐标为（，0）或（，0）；
（3）如图3，作BA的垂直平分线交x轴于点Q，连接BQ，过点B作BG⊥EC于点G，
∴BQ＝AQ，
∴∠BQA＝∠QAB，
∵∠BED＝2∠OAB，
∴∠BQO＝∠BED，
在Rt△BOQ中，BQ2＝BO2+OQ2，
∴BQ2＝4+（3﹣BQ）2，
∴BQ＝，
∴QO＝，
∴tan∠BQO＝，
∴tan∠BEG＝，
设C（t，0），则D（t，﹣t+2），E（t，﹣t2+t+2），
∵BG＝t，DE＝﹣t2+4t，AC＝3﹣t，DC＝﹣t+2，EG＝﹣t2+t，
∴＝，
∴t＝，
∴S△BDE＝ED•BG，
S△CDA＝AC•CD，
∴＝＝＝．
3．（2022秋•徐汇区期末）在平面直角坐标系xOy（如图）中，抛物线y＝ax2+bx+2经过点A（4，0）、B（2，2），与y轴的交点为C．
（1）试求这个抛物线的表达式；
（2）如果这个抛物线的顶点为M，求△AMC的面积；
（3）如果这个抛物线的对称轴与直线BC交于点D，点E在线段AB上，且∠DOE＝45°，求点E的坐标．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）将A（4，0），B（2，2）代入y＝ax2+bx+2，得：，
解得：，
∴抛物线的表达式为y＝﹣x2+x+2．
（2）∵y＝﹣x2+x+2＝﹣（x﹣1）2+，
∴顶点M的坐标为（1，）．
当x＝0时，y＝﹣x2+x+2＝2，
∴点C的坐标为（0，2）．
过点M作MH⊥y轴，垂足为点H，如图1所示．
∴S△AMC＝S梯形AOHM﹣S△AOC﹣S△CHM，
＝（HM+AO）•OH﹣AO•OC﹣CH•MH，
＝×（1+4）×﹣×4×2﹣×（﹣2）×1，
＝．
（3）连接OB，过点B作BG⊥x轴，垂足为点G，如图2所示．
∵点B的坐标为（2，2），点A的坐标为（4，0），
∴BG＝2，GA＝2，
∴△BGA是等腰直角三角形，
∴∠BAO＝45°．
同理，可得：∠BOA＝45°．
∵点C的坐标为（2，0），
∴BC＝2，OC＝2，
∴△OCB是等腰直角三角形，
∴∠DBO＝45°，BO＝2，
∴∠BAO＝∠DBO．
∵∠DOE＝45°，
∴∠DOB+∠BOE＝45°．
∵∠BOE+∠EOA＝45°，
∴∠EOA＝∠DOB，
∴△AOE∽△BOD，
∴＝．
∵抛物线y＝﹣x2+x+2的对称轴是直线x＝1，
∴点D的坐标为（1，2），
∴BD＝1，
∴＝，
∴AE＝，
过点E作EF⊥x轴，垂足为点F，则△AEF为等腰直角三角形，
∴EF＝AF＝1，
∴点E的坐标为（3，1）．
二．相似三角形的判定与性质（共2小题）
4．（2021秋•徐汇区期末）已知：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD＝4，BC＝6，对角线BD，AC相交于点E，过点A作AF∥DC，交对角线BD于点F．
（1）求的值；
（2）设＝，＝，请用向量、表示向量．
【答案】（1）；（2）．
【解答】解：（1）∵AD∥BC，
∴△ADE∽△CBE，
∴，
∵AF∥CD，
∴，
设EF＝4x，则DE＝6x，BF＝5x，
∴，
（2）∵AD＝4，BC＝6，AD∥BC，
∴BC＝，△ADE∽△CBE，
∴，，
∴AE＝，
∵，
∴，
∴
＝+，
∴
＝
＝．
5．（2021秋•徐汇区期末）如图，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，射线CD交AB于点D，点E是CD上一点，且∠AEC＝∠ABC，联结BE．
（1）求证：△ACD∽△EBD；
（2）如果CD平分∠ACB，求证：AB2＝2ED•EC．
【答案】（1）证明过程见解答；
（2）证明过程见解答．
【解答】证明：（1）∵∠AEC＝∠ABC，∠ADE＝∠BDC，
∴△ADE∽△CDB，
∴，
又∵∠ADC＝∠EDB，
∴△ACD∽△EBD；
（2）∵△ADE∽△CDB，
∴∠DCB＝∠EAB，
∵△ACD∽△EBD，
∴∠ACD＝∠EBD，
∵∠ACB＝90°，
∴∠EAB+∠EBD＝∠DCB+∠ACD＝90°，
∴∠AEB＝90°，
∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD＝∠BCD＝45°，
∴∠EBD＝∠EAB＝45°，
∴EA＝EB，
∴△EAB是等腰直角三角形，
∴∠EAD＝∠ACE，∠AED＝∠CEA，
∵△AED∽△CEA，
∴＝，
∴AE2＝ED•EC，
∵AE2+EB2＝AB2，
∴2AE2＝AB2，
∴AE2＝AB2，
∴AB2＝ED•EC，
∴AB2＝2ED•EC．
三．相似形综合题（共3小题）
6．（2020秋•徐汇区期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝12，BC＝5，点D是边AC上的动点，以CD为边在△ABC外作正方形CDEF，分别联结AE、BE，BE与AC交于点G
（1）当AE⊥BE时，求正方形CDEF的面积；
（2）延长ED交AB于点H，如果△BEH和△ABG相似，求sin∠ABE的值；
（3）当AG＝AE时，求CD的长．
【答案】（1）．
（2）．
（3）1+．
【解答】解：（1）如图1中，
∵四边形ABCD是正方形，
∴CD＝DE＝EF＝CF，∠CDE＝∠DEF＝∠F＝90°，
∵AE⊥BE，
∴∠AEB＝∠DEF＝90°，
∴∠AED＝∠BEF，
∵∠ADE＝∠F＝90°，DE＝FE，
∴△ADE≌△BFE（ASA），
∴AD＝BF，
∴AD＝5+CF＝5+CD，
∵AC＝CD+AD＝12，
∴CD+5+CD＝12，
∴CD＝，
∴正方形CDEF的面积为．
（2）如图2中，过点A作AM⊥BE于M．
∵∠ABG＝∠EBH，
∴当∠BAG＝∠BEH＝∠CBG时，△ABG∽△EBH，
∵∠BCG＝∠ACB，∠CBG＝∠BAG，
∴△CBG∽△CAB，
∴CB2＝CG•CA，
∴CG＝，
∴BG＝＝＝，
∴AG＝AC﹣CG＝，
∵∠BCG＝∠AMG＝90°，∠CGB＝∠AGM，
∴∠GAM＝∠CBG，
∴cos∠GAM＝cos∠CBG＝＝＝，
∴AM＝，
∵AB＝＝＝13，
∴sin∠ABM＝＝．
（3）如图3中，延长CA到N，使得AN＝AG．
∵AE＝AG＝AN，
∴∠GEN＝90°，
由（1）可知，△NDE≌△BFE，
∴ND＝BF，
设CD＝DE＝EF＝CF＝x，则AD＝12﹣x，DN＝BF＝5+x，
∴AN＝AE＝5+x﹣（12﹣x）＝2x﹣7，
在Rt△ADE中，∵AE2＝AD2+DE2，
∴x2+（12﹣x）2＝（2x﹣7）2，
∴x＝1+或1﹣（舍弃），
∴CD＝1+．
7．（2021秋•徐汇区期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，cotA＝，点D为边AC上的一个动点，以点D为顶点作∠BDE＝∠A，射线DE交边AB于点E，过点B作射线DE的垂线，垂足为点F．
（1）当点D是边AC中点时，求tan∠ABD的值；
（2）求证：AD•BF＝BC•DE；
（3）当DE：EF＝3：1时，求AE：EB．
【答案】（1）；（2）见解析；（3）5：3．
【解答】（1）解：如图，过点D作DG⊥AB于G，
在Rt△ABC中，
cotA＝，
设AC＝a，BC＝a，
∵∠ACB＝90°，
∴AB＝＝＝a，
∵D是AC的中点，
∴AD＝，
∵S，
∴DG＝，
在Rt△ADG中，
AG＝＝＝，
∴BG＝AB﹣AG＝a﹣＝，
在Rt△GDB中，tan；
（2）证明：∵∠BDE＝∠A，∠DBE＝∠ABD，
∴△ADB∽△DEB，
∴，
∵∠F＝∠C＝90°，∠A＝∠BDE，
∴△ACB∽△DFB，
∴，
∴，
∴AD•BF＝BC•DE；
（3）解：∵DE：EF＝3：1，
∴设DE＝3x，EF＝x，
∴DF＝4x，
∵∠A＝∠BDE，
∴cotA＝cot∠BDE＝，
在 Rt△BDF中，cot，
∴BF＝x，
在Rt△BEF中，BE＝
＝
＝3x，
在Rt△BDF中，DB＝
＝＝2x，
由（2）可知，△ADB∽△DEB，
∴，
∴，
∴AB＝8x，
∴AE＝AB﹣BE＝5x，
∴AE+EB＝5：3，
即AE：EB＝5：3．
8．（2022秋•徐汇区期末）如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4，点D为边BC上一动点（与点B、C不重合），点E为AB上一点，∠EDB＝∠ADC，过点E作EF⊥AD，垂足为点G，交射线AC于点F．
（1）如果点D为边BC的中点，求∠DAB的正切值；
（2）当点F在边AC上时，设CD＝x，CF＝y，求y关于x的函数解析式及x的取值范围；
（3）联结DF，如果△CDF与△AGE相似，求线段CD的长．
【答案】（1）tan△DAB＝．
（2）y＝4﹣2x（0＜x＜2）．
（3）4﹣4或8﹣4或．
【解答】解：（1）如图1中，过点D作DH⊥AB于H．
∵CA＝CB＝4，∠ACB＝90°，
∴AB＝＝＝4，
∵CD＝DB＝2，∠B＝45°，∠DHB＝90°，
∴DH＝BH＝DB＝，
∴AH＝AB﹣BH＝3，
∴tan∠DAB＝＝．
（2）如图2中，过点A作AT⊥AC，延长FE交AT于T，直线DE交AT于K，交AC的延长线于R．
∵AT⊥AC，BC⊥AC，
∴AT∥BC，
∴∠ADC＝∠DAK，∠EDB＝∠AKD，
∵∠ADC＝∠EDB，
∴∠DAK＝∠DKA，
∴DA＝DK，
∵∠R+∠DKA＝90°，∠DAC+∠DAK＝90°，
∴∠DAC＝∠R，
∴DA＝DR，
∵DC⊥AR，
∴AC＝CR＝4，
∵∠AFE+∠CAD＝90°，∠AKE+∠R＝90°，
∴∠AFE＝∠AKE，
∵∠EAF＝∠EAK＝45°，AE＝AE，
∴△AEF≌△AEK（AAS），
∴AF＝AK，
∵∠RAK＝∠TAF＝90°，∠AKR＝∠AFT，
∴△AKR≌△AFT（ASA），
∴AR＝AT＝8，∠R＝∠T＝∠DAC，
∵∠ACD＝∠TAF，
∴△ACD∽△TAF，
∴＝＝，
∴AF＝2CD＝2x，
∵CF+AF＝4，
∴y+2x＝4，
∴y＝4﹣2x（0＜x＜2）．
（3）如图3中，连接DF，作DH⊥AB于H．
∵∠GAE＝∠DAH，∠AGE＝∠AHD，
∴△AGE∽△AHD，
∵△CDF与△AGE相似，
∴△CFD与△ADH相似，
∴＝或＝，
∴＝或＝，
整理得，x2+8x﹣16＝0或x2﹣16x+16＝0，
解得，x＝4﹣4或﹣4﹣4（舍弃）或8﹣4或8+4（舍弃），
∴CD＝4﹣4或8﹣4，
当点F在下方时，同法可得，CD＝，
综上所述，满足条件的CD的值为4﹣4或8﹣4或．
四．解直角三角形（共1小题）
9．（2022秋•徐汇区期末）如图，已知在△ABC中，CD⊥AB，垂足为点D，AD＝2，BD＝6，tanB＝，点E是边BC的中点．
（1）求边AC的长；
（2）求∠EAB的正弦值．
【答案】（1）2；（2）．
【解答】解：（1）∵CD⊥AB，
∴△ACD、△BCD均为直角三角形．
在Rt△CDB中，
∵BD＝6，tanB＝＝，
∴CD＝4．
在Rt△CDA中，
AC＝
＝
＝2．
（2）过点E作EF⊥AB，垂足为F．
∵CD⊥AB，EF⊥AB，
∴CD∥EF．
又∵点E是边BC的中点，
∴EF是△BCD的中位线．
∴DF＝BF＝3，EF＝CD＝2．
∴AF＝AD+DF＝5．
在Rt△AEF中，
AE＝
＝
＝．
∴sin∠EAB＝
＝
＝．
五．解直角三角形的应用-坡度坡角问题（共1小题）
10．（2021秋•徐汇区期末）图1是一种自卸货车，图2是该货车的示意图，货箱侧面是一个矩形，长AB＝4米，宽BC＝2米，初始时点A、B、F在同一水平线上，车厢底部AB离地面的高度为1.3米．卸货时货箱在千斤顶的作用下绕着点A旋转，箱体底部AB形成不同角度的斜坡．
（1）当斜坡AB的坡角为37°时，求车厢最高点C离地面的距离；
（2）点A处的转轴与后车轮转轴（点E处）的水平距离叫做安全轴距，已知该车的安全轴距为0.7m．货厢对角线AC、BD的交点G是货厢侧面的重心，卸货时如果A、G两点的水平距离小于安全轴距时，会发生车辆倾覆安全事故．
当斜坡AB的坡角为45°时，根据上述车辆设计技术参数，该货车会发生车辆倾覆安全事故吗？试说明你的理由．（精确到0.1米，参考值：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37≈0.75，≈1.4142）
【答案】（1）车厢最高点C离地面的距离是5.3米；
（2）不会发生安全事故，理由见解答．
【解答】解：过点C作CH⊥AF，垂足为H，过点B作BP⊥AF，垂足为P，过点B作BQ⊥CH，垂足为Q，
则四边形BPHQ为矩形，
∴BP＝QH，
在Rt△ABP中，BP＝ABsin37°＝4×0.6＝2.4（m），
∴BP＝QH＝2.4（m），
∵BQ∥AP，
∴∠BAF＝∠QBA＝37°，
∴∠CBQ＝∠CBA﹣∠QBA＝90°﹣37°＝53°，
∵∠BQC＝90°，
∴∠BCQ＝90°﹣∠CBQ＝37°，
在Rt△BCQ中，CQ＝BCcos37°＝2×0.8＝1.6（m），
∴1.6+2.4+1.3＝5.3（m），
答：车厢最高点C离地面的距离是5.3米；
（2）不会发生安全事故，
理由是：过点G作GO⊥AF，垂足为O，过点C作CM⊥AF，垂足为M，交AB于点I，过点B作BN⊥AF，垂足为N，过点B作BK⊥CM，垂足为K，
则四边形BNMK为矩形，
∴BN＝KM，
在Rt△ABN中，BN＝ABsin45°＝4×＝（m），
∴BN＝KM＝（m），
∵BK∥AN，
∴∠BAN＝∠KBA＝45°，
∴∠CBK＝∠CBA﹣∠KBA＝90°﹣45°＝45°，
在Rt△BCK中，BK＝BCcos45°＝2×＝（m），
∴BK＝CK＝（m），
在Rt△BKI中，
∵∠KBA＝45°，
∴BK＝KI＝（m），
∴IM＝KM﹣KI＝（m），
在Rt△AMI中，
∵∠BAF＝45°，
∴IM＝AM＝（m），
∵CM∥GO，
∴，
∵AG＝CG，
∴AO＝OM＝AM＝≈0.71（m），
∵0.71＞0.7，
∴不会发生安全事故．
六．解直角三角形的应用-仰角俯角问题（共2小题）
11．（2020秋•徐汇区期末）为加强对市内道路交通安全的监督，王警官利用无人机进行检测．某高架路有一段限速每小时60千米的道路AB（如图所示），当无人机在限速道路的正上方C处时，测得限速道路的起点A的俯角是37°，无人机继续向右水平飞行220米到达D处，此时又测得起点A的俯角是30°，同时测得限速道路终点B的俯角是45°（注：即四边形ABDC是梯形）．
（1）求限速道路AB的长（精确到1米）；
（2）如果李师傅在道路AB上行驶的时间是1分20秒，请判断他是否超速？并说明理由．
（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，≈1.73）
【答案】（1）1507米；
（2）该车超速．
【解答】解：（1）根据题意，得∠CAB＝37°，CD＝220米，∠DAB＝30°，∠DBA＝45°，
如图，过点C和点D作CE和DF垂直于AB于点E和F，
∵CD∥AB，
∴四边形CDFE是矩形，
∴CE＝DF，CD＝EF，
∵∠DBA＝45°，
∴DF＝BF，
设DF＝BF＝CE＝x米，
在Rt△ADF中，∠DAF＝30°，DF＝x米，
∴AF＝DF＝x（米），
∴AE＝AF﹣EF＝（x﹣220）米，
在Rt△AEC中，∠CAE＝37°，
∵CE＝AE•tan37°，
∴x＝（x﹣220）×0.75，
解得x＝60（3+4）＝180+240，
∴AE＝x﹣220＝（320+240）米，
FB＝x＝（180+240）（米），
∴AB＝AE+EF+FB
＝320+240+220+180+240
＝780+420
≈1507（米），
答：限速道路AB的长约为1507米；
（2）∵1分20秒＝小时，
∴该汽车的速度约为：1507÷≈67.8km/h＞60km/h，
∴该车超速．
12．（2022秋•徐汇区期末）如图，在大楼AB的正前方有一斜坡CD，CD＝26米，坡度i＝1：2.4，小明在斜坡下端C处测得楼顶点B的仰角为60°，在斜坡上的点D处测得楼顶B的仰角为30°，DE与地面垂直，垂足为E，其中点A、C、E在同一直线上．
（1）求DE的值；
（2）求大楼AB的高度（结果保留根号）．
【答案】大楼AB的高度为（15+12）米．
【解答】解：（1）∵斜坡CD的坡度为i＝1：2.4，
∴＝，
设DE＝5x米，则CE＝12x米，
在Rt△CDE中，CD＝26米，
由勾股定理得（5x）2+（12x）2＝（13x）2＝262，
解得x＝2．
∴斜坡CD的高度DE为10米；
（2）在Rt△CDE中，
∵CD＝26米，DE＝10米，
∴CE＝＝24米，
过点D作DF⊥AB于点F．
则DE＝AF＝10米，DF＝AE，
在Rt△BDF中，∠BDF＝30°，
∴BF＝DF，
设BF＝a米，则DF＝a米，
则AB＝BF+AF＝（10+a）米，
在Rt△ABC中，∠ACB＝60°，
tan60°＝＝＝，
解得AC＝（10+a），
∴AE＝AC+CE＝（10+a）+24＝a，
解得a＝5+12．
∴AB＝10+5+12＝（15+12）米．
∴大楼AB的高度为（15+12）米．
上海市徐汇区三年(2020-2022)九年级上学期期末数学试题汇编-03解答题（提升题）知识点分类
一．二次函数综合题（共3小题）
1．（2020秋•徐汇区期末）已知二次函数y＝ax2﹣2ax+a+4（a＜0）的大致图象如图所示，这个函数图象的顶点为点D．
（1）求该函数图象的开口方向、对称轴及点D的坐标；
（2）设该函数图象与y轴正半轴交于点C，与x轴正半轴交于点B，图象的对称轴与x轴交于点A，如果DC⊥BC，tan∠DBC＝，求该二次函数的解析式；
（3）在（2）的条件下，设点M在第一象限该函数的图象上，且点M的横坐标为t（t＞1），如果△ACM的面积是，求点M的坐标．
2．（2021秋•徐汇区期末）如图，抛物线y＝﹣x2+x+2与x轴交于点A，与y轴交于点B，C为线段OA上的一个动点，过点C作x轴的垂线，交直线AB于点D，交该抛物线于点E．
（1）求直线AB的表达式，直接写出顶点M的坐标；
（2）当以B，E，D为顶点的三角形与△CDA相似时，求点C的坐标；
（3）当∠BED＝2∠OAB时，求△BDE与△CDA的面积之比．
3．（2022秋•徐汇区期末）在平面直角坐标系xOy（如图）中，抛物线y＝ax2+bx+2经过点A（4，0）、B（2，2），与y轴的交点为C．
（1）试求这个抛物线的表达式；
（2）如果这个抛物线的顶点为M，求△AMC的面积；
（3）如果这个抛物线的对称轴与直线BC交于点D，点E在线段AB上，且∠DOE＝45°，求点E的坐标．
二．相似三角形的判定与性质（共2小题）
4．（2021秋•徐汇区期末）已知：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD＝4，BC＝6，对角线BD，AC相交于点E，过点A作AF∥DC，交对角线BD于点F．
（1）求的值；
（2）设＝，＝，请用向量、表示向量．
5．（2021秋•徐汇区期末）如图，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，射线CD交AB于点D，点E是CD上一点，且∠AEC＝∠ABC，联结BE．
（1）求证：△ACD∽△EBD；
（2）如果CD平分∠ACB，求证：AB2＝2ED•EC．
三．相似形综合题（共3小题）
6．（2020秋•徐汇区期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝12，BC＝5，点D是边AC上的动点，以CD为边在△ABC外作正方形CDEF，分别联结AE、BE，BE与AC交于点G
（1）当AE⊥BE时，求正方形CDEF的面积；
（2）延长ED交AB于点H，如果△BEH和△ABG相似，求sin∠ABE的值；
（3）当AG＝AE时，求CD的长．
7．（2021秋•徐汇区期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，cotA＝，点D为边AC上的一个动点，以点D为顶点作∠BDE＝∠A，射线DE交边AB于点E，过点B作射线DE的垂线，垂足为点F．
（1）当点D是边AC中点时，求tan∠ABD的值；
（2）求证：AD•BF＝BC•DE；
（3）当DE：EF＝3：1时，求AE：EB．
8．（2022秋•徐汇区期末）如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4，点D为边BC上一动点（与点B、C不重合），点E为AB上一点，∠EDB＝∠ADC，过点E作EF⊥AD，垂足为点G，交射线AC于点F．
（1）如果点D为边BC的中点，求∠DAB的正切值；
（2）当点F在边AC上时，设CD＝x，CF＝y，求y关于x的函数解析式及x的取值范围；
（3）联结DF，如果△CDF与△AGE相似，求线段CD的长．
四．解直角三角形（共1小题）
9．（2022秋•徐汇区期末）如图，已知在△ABC中，CD⊥AB，垂足为点D，AD＝2，BD＝6，tanB＝，点E是边BC的中点．
（1）求边AC的长；
（2）求∠EAB的正弦值．
五．解直角三角形的应用-坡度坡角问题（共1小题）
10．（2021秋•徐汇区期末）图1是一种自卸货车，图2是该货车的示意图，货箱侧面是一个矩形，长AB＝4米，宽BC＝2米，初始时点A、B、F在同一水平线上，车厢底部AB离地面的高度为1.3米．卸货时货箱在千斤顶的作用下绕着点A旋转，箱体底部AB形成不同角度的斜坡．
（1）当斜坡AB的坡角为37°时，求车厢最高点C离地面的距离；
（2）点A处的转轴与后车轮转轴（点E处）的水平距离叫做安全轴距，已知该车的安全轴距为0.7m．货厢对角线AC、BD的交点G是货厢侧面的重心，卸货时如果A、G两点的水平距离小于安全轴距时，会发生车辆倾覆安全事故．
当斜坡AB的坡角为45°时，根据上述车辆设计技术参数，该货车会发生车辆倾覆安全事故吗？试说明你的理由．（精确到0.1米，参考值：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37≈0.75，≈1.4142）
六．解直角三角形的应用-仰角俯角问题（共2小题）
11．（2020秋•徐汇区期末）为加强对市内道路交通安全的监督，王警官利用无人机进行检测．某高架路有一段限速每小时60千米的道路AB（如图所示），当无人机在限速道路的正上方C处时，测得限速道路的起点A的俯角是37°，无人机继续向右水平飞行220米到达D处，此时又测得起点A的俯角是30°，同时测得限速道路终点B的俯角是45°（注：即四边形ABDC是梯形）．
（1）求限速道路AB的长（精确到1米）；
（2）如果李师傅在道路AB上行驶的时间是1分20秒，请判断他是否超速？并说明理由．
（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，≈1.73）
12．（2022秋•徐汇区期末）如图，在大楼AB的正前方有一斜坡CD，CD＝26米，坡度i＝1：2.4，小明在斜坡下端C处测得楼顶点B的仰角为60°，在斜坡上的点D处测得楼顶B的仰角为30°，DE与地面垂直，垂足为E，其中点A、C、E在同一直线上．
（1）求DE的值；
（2）求大楼AB的高度（结果保留根号）．
上海市徐汇区三年(2020-2022)九年级上学期期末数学试题汇编-03解答题（提升题）知识点分类
参考答案与试题解析
一．二次函数综合题（共3小题）
1．（2020秋•徐汇区期末）已知二次函数y＝ax2﹣2ax+a+4（a＜0）的大致图象如图所示，这个函数图象的顶点为点D．
（1）求该函数图象的开口方向、对称轴及点D的坐标；
（2）设该函数图象与y轴正半轴交于点C，与x轴正半轴交于点B，图象的对称轴与x轴交于点A，如果DC⊥BC，tan∠DBC＝，求该二次函数的解析式；
（3）在（2）的条件下，设点M在第一象限该函数的图象上，且点M的横坐标为t（t＞1），如果△ACM的面积是，求点M的坐标．
【答案】（1）对称轴为直线x＝1，顶点坐标为（1，4），开口向下；
（2）y＝﹣x2+2x+3；
（3）（，）．
【解答】解：（1）∵y＝ax2﹣2ax+a+4＝a（x2﹣2x+1）+4＝a（x﹣1）2+4，
∴抛物线的对称轴为直线x＝1，顶点D（1，4），
∵a＜0，
∴抛物线的开口向下；
（2）由（1）知，抛物线的对称轴为x＝1，
∴A（1，0），
对于y＝ax2﹣2ax+a+4，
令x＝0，则y＝a+4，
∴C（0，a+4），
如图1，
过点D作DH⊥y轴于H，
∴∠CDH+∠DCH＝90°，
∵DC⊥BC，
∴∠BCD＝90°，
∴∠DCH+∠OCB＝90°，
∴∠CDH＝∠BCO，
∵∠BOC＝∠CHD＝90°，
∴△CDH∽△BCO，
∴，
在Rt△BDC中，tan∠DBC＝，
∵D（1，4），
∴DH＝1，
∴，
∴CO＝3，
∴a+4＝3，
∴a＝﹣1，
∴二次函数的解析式为y＝﹣x2+2x+3；
（3）如图2，
由（2）知，a＝﹣1，
∴C（0，3），
∴OC＝3，
连接OM，设点M的横坐标为t（t＞1），
∴点M的纵坐标为﹣t2+2t+3，
∵△ACM的面积是，
∴S△ACM＝S△OCM+S△OAM﹣S△AOC
＝×3t+×1×（﹣t2+2t+3）﹣×1×3
＝，
∴t＝，
∴M（，）．
2．（2021秋•徐汇区期末）如图，抛物线y＝﹣x2+x+2与x轴交于点A，与y轴交于点B，C为线段OA上的一个动点，过点C作x轴的垂线，交直线AB于点D，交该抛物线于点E．
（1）求直线AB的表达式，直接写出顶点M的坐标；
（2）当以B，E，D为顶点的三角形与△CDA相似时，求点C的坐标；
（3）当∠BED＝2∠OAB时，求△BDE与△CDA的面积之比．
【答案】（1）y＝﹣x+2，M（，）； （2）（，0）或（，0）；（3）．
【解答】解：（1）令y＝0，则﹣x2+x+2＝0，
∴x＝﹣或x＝3，
∴A（3，0），
令x＝0，则y＝2，
∴B（0，2），
设直线AB的解析式为y＝kx+b，
∴，
∴，
∴y＝﹣x+2，
∵y＝﹣x2+x+2＝﹣（x﹣）2+，
∴M（，）；
（2）∵∠ADC＝∠BDE，∠ACD＝90°，
∴△BED是直角三角形，
设C（t，0），
①如图1，当∠BED＝90°，时，BE∥AC，
∴E（t，2），
∴﹣t2+t+2＝2，
∴t＝0（舍）或t＝，
∴C（，0）；
②如图2，当∠EBD＝90°时，
过点E作EQ⊥y轴交于点Q，
∵∠BAO+∠ABO＝90°，∠ABO+∠QBE＝90°，
∴∠QBE＝∠BAO，
∴△ABO∽△BEQ，
∴＝，即＝，
∴BQ＝t，
∴E（t，2+t），
∴2+t＝﹣t2+t+2，
∴t＝0（舍）或t＝，
∴C（，0）；
综上所述：C点的坐标为（，0）或（，0）；
（3）如图3，作BA的垂直平分线交x轴于点Q，连接BQ，过点B作BG⊥EC于点G，
∴BQ＝AQ，
∴∠BQA＝∠QAB，
∵∠BED＝2∠OAB，
∴∠BQO＝∠BED，
在Rt△BOQ中，BQ2＝BO2+OQ2，
∴BQ2＝4+（3﹣BQ）2，
∴BQ＝，
∴QO＝，
∴tan∠BQO＝，
∴tan∠BEG＝，
设C（t，0），则D（t，﹣t+2），E（t，﹣t2+t+2），
∵BG＝t，DE＝﹣t2+4t，AC＝3﹣t，DC＝﹣t+2，EG＝﹣t2+t，
∴＝，
∴t＝，
∴S△BDE＝ED•BG，
S△CDA＝AC•CD，
∴＝＝＝．
3．（2022秋•徐汇区期末）在平面直角坐标系xOy（如图）中，抛物线y＝ax2+bx+2经过点A（4，0）、B（2，2），与y轴的交点为C．
（1）试求这个抛物线的表达式；
（2）如果这个抛物线的顶点为M，求△AMC的面积；
（3）如果这个抛物线的对称轴与直线BC交于点D，点E在线段AB上，且∠DOE＝45°，求点E的坐标．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）将A（4，0），B（2，2）代入y＝ax2+bx+2，得：，
解得：，
∴抛物线的表达式为y＝﹣x2+x+2．
（2）∵y＝﹣x2+x+2＝﹣（x﹣1）2+，
∴顶点M的坐标为（1，）．
当x＝0时，y＝﹣x2+x+2＝2，
∴点C的坐标为（0，2）．
过点M作MH⊥y轴，垂足为点H，如图1所示．
∴S△AMC＝S梯形AOHM﹣S△AOC﹣S△CHM，
＝（HM+AO）•OH﹣AO•OC﹣CH•MH，
＝×（1+4）×﹣×4×2﹣×（﹣2）×1，
＝．
（3）连接OB，过点B作BG⊥x轴，垂足为点G，如图2所示．
∵点B的坐标为（2，2），点A的坐标为（4，0），
∴BG＝2，GA＝2，
∴△BGA是等腰直角三角形，
∴∠BAO＝45°．
同理，可得：∠BOA＝45°．
∵点C的坐标为（2，0），
∴BC＝2，OC＝2，
∴△OCB是等腰直角三角形，
∴∠DBO＝45°，BO＝2，
∴∠BAO＝∠DBO．
∵∠DOE＝45°，
∴∠DOB+∠BOE＝45°．
∵∠BOE+∠EOA＝45°，
∴∠EOA＝∠DOB，
∴△AOE∽△BOD，
∴＝．
∵抛物线y＝﹣x2+x+2的对称轴是直线x＝1，
∴点D的坐标为（1，2），
∴BD＝1，
∴＝，
∴AE＝，
过点E作EF⊥x轴，垂足为点F，则△AEF为等腰直角三角形，
∴EF＝AF＝1，
∴点E的坐标为（3，1）．
二．相似三角形的判定与性质（共2小题）
4．（2021秋•徐汇区期末）已知：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD＝4，BC＝6，对角线BD，AC相交于点E，过点A作AF∥DC，交对角线BD于点F．
（1）求的值；
（2）设＝，＝，请用向量、表示向量．
【答案】（1）；（2）．
【解答】解：（1）∵AD∥BC，
∴△ADE∽△CBE，
∴，
∵AF∥CD，
∴，
设EF＝4x，则DE＝6x，BF＝5x，
∴，
（2）∵AD＝4，BC＝6，AD∥BC，
∴BC＝，△ADE∽△CBE，
∴，，
∴AE＝，
∵，
∴，
∴
＝+，
∴
＝
＝．
5．（2021秋•徐汇区期末）如图，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，射线CD交AB于点D，点E是CD上一点，且∠AEC＝∠ABC，联结BE．
（1）求证：△ACD∽△EBD；
（2）如果CD平分∠ACB，求证：AB2＝2ED•EC．
【答案】（1）证明过程见解答；
（2）证明过程见解答．
【解答】证明：（1）∵∠AEC＝∠ABC，∠ADE＝∠BDC，
∴△ADE∽△CDB，
∴，
又∵∠ADC＝∠EDB，
∴△ACD∽△EBD；
（2）∵△ADE∽△CDB，
∴∠DCB＝∠EAB，
∵△ACD∽△EBD，
∴∠ACD＝∠EBD，
∵∠ACB＝90°，
∴∠EAB+∠EBD＝∠DCB+∠ACD＝90°，
∴∠AEB＝90°，
∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD＝∠BCD＝45°，
∴∠EBD＝∠EAB＝45°，
∴EA＝EB，
∴△EAB是等腰直角三角形，
∴∠EAD＝∠ACE，∠AED＝∠CEA，
∵△AED∽△CEA，
∴＝，
∴AE2＝ED•EC，
∵AE2+EB2＝AB2，
∴2AE2＝AB2，
∴AE2＝AB2，
∴AB2＝ED•EC，
∴AB2＝2ED•EC．
三．相似形综合题（共3小题）
6．（2020秋•徐汇区期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝12，BC＝5，点D是边AC上的动点，以CD为边在△ABC外作正方形CDEF，分别联结AE、BE，BE与AC交于点G
（1）当AE⊥BE时，求正方形CDEF的面积；
（2）延长ED交AB于点H，如果△BEH和△ABG相似，求sin∠ABE的值；
（3）当AG＝AE时，求CD的长．
【答案】（1）．
（2）．
（3）1+．
【解答】解：（1）如图1中，
∵四边形ABCD是正方形，
∴CD＝DE＝EF＝CF，∠CDE＝∠DEF＝∠F＝90°，
∵AE⊥BE，
∴∠AEB＝∠DEF＝90°，
∴∠AED＝∠BEF，
∵∠ADE＝∠F＝90°，DE＝FE，
∴△ADE≌△BFE（ASA），
∴AD＝BF，
∴AD＝5+CF＝5+CD，
∵AC＝CD+AD＝12，
∴CD+5+CD＝12，
∴CD＝，
∴正方形CDEF的面积为．
（2）如图2中，过点A作AM⊥BE于M．
∵∠ABG＝∠EBH，
∴当∠BAG＝∠BEH＝∠CBG时，△ABG∽△EBH，
∵∠BCG＝∠ACB，∠CBG＝∠BAG，
∴△CBG∽△CAB，
∴CB2＝CG•CA，
∴CG＝，
∴BG＝＝＝，
∴AG＝AC﹣CG＝，
∵∠BCG＝∠AMG＝90°，∠CGB＝∠AGM，
∴∠GAM＝∠CBG，
∴cos∠GAM＝cos∠CBG＝＝＝，
∴AM＝，
∵AB＝＝＝13，
∴sin∠ABM＝＝．
（3）如图3中，延长CA到N，使得AN＝AG．
∵AE＝AG＝AN，
∴∠GEN＝90°，
由（1）可知，△NDE≌△BFE，
∴ND＝BF，
设CD＝DE＝EF＝CF＝x，则AD＝12﹣x，DN＝BF＝5+x，
∴AN＝AE＝5+x﹣（12﹣x）＝2x﹣7，
在Rt△ADE中，∵AE2＝AD2+DE2，
∴x2+（12﹣x）2＝（2x﹣7）2，
∴x＝1+或1﹣（舍弃），
∴CD＝1+．
7．（2021秋•徐汇区期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，cotA＝，点D为边AC上的一个动点，以点D为顶点作∠BDE＝∠A，射线DE交边AB于点E，过点B作射线DE的垂线，垂足为点F．
（1）当点D是边AC中点时，求tan∠ABD的值；
（2）求证：AD•BF＝BC•DE；
（3）当DE：EF＝3：1时，求AE：EB．
【答案】（1）；（2）见解析；（3）5：3．
【解答】（1）解：如图，过点D作DG⊥AB于G，
在Rt△ABC中，
cotA＝，
设AC＝a，BC＝a，
∵∠ACB＝90°，
∴AB＝＝＝a，
∵D是AC的中点，
∴AD＝，
∵S，
∴DG＝，
在Rt△ADG中，
AG＝＝＝，
∴BG＝AB﹣AG＝a﹣＝，
在Rt△GDB中，tan；
（2）证明：∵∠BDE＝∠A，∠DBE＝∠ABD，
∴△ADB∽△DEB，
∴，
∵∠F＝∠C＝90°，∠A＝∠BDE，
∴△ACB∽△DFB，
∴，
∴，
∴AD•BF＝BC•DE；
（3）解：∵DE：EF＝3：1，
∴设DE＝3x，EF＝x，
∴DF＝4x，
∵∠A＝∠BDE，
∴cotA＝cot∠BDE＝，
在 Rt△BDF中，cot，
∴BF＝x，
在Rt△BEF中，BE＝
＝
＝3x，
在Rt△BDF中，DB＝
＝＝2x，
由（2）可知，△ADB∽△DEB，
∴，
∴，
∴AB＝8x，
∴AE＝AB﹣BE＝5x，
∴AE+EB＝5：3，
即AE：EB＝5：3．
8．（2022秋•徐汇区期末）如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4，点D为边BC上一动点（与点B、C不重合），点E为AB上一点，∠EDB＝∠ADC，过点E作EF⊥AD，垂足为点G，交射线AC于点F．
（1）如果点D为边BC的中点，求∠DAB的正切值；
（2）当点F在边AC上时，设CD＝x，CF＝y，求y关于x的函数解析式及x的取值范围；
（3）联结DF，如果△CDF与△AGE相似，求线段CD的长．
【答案】（1）tan△DAB＝．
（2）y＝4﹣2x（0＜x＜2）．
（3）4﹣4或8﹣4或．
【解答】解：（1）如图1中，过点D作DH⊥AB于H．
∵CA＝CB＝4，∠ACB＝90°，
∴AB＝＝＝4，
∵CD＝DB＝2，∠B＝45°，∠DHB＝90°，
∴DH＝BH＝DB＝，
∴AH＝AB﹣BH＝3，
∴tan∠DAB＝＝．
（2）如图2中，过点A作AT⊥AC，延长FE交AT于T，直线DE交AT于K，交AC的延长线于R．
∵AT⊥AC，BC⊥AC，
∴AT∥BC，
∴∠ADC＝∠DAK，∠EDB＝∠AKD，
∵∠ADC＝∠EDB，
∴∠DAK＝∠DKA，
∴DA＝DK，
∵∠R+∠DKA＝90°，∠DAC+∠DAK＝90°，
∴∠DAC＝∠R，
∴DA＝DR，
∵DC⊥AR，
∴AC＝CR＝4，
∵∠AFE+∠CAD＝90°，∠AKE+∠R＝90°，
∴∠AFE＝∠AKE，
∵∠EAF＝∠EAK＝45°，AE＝AE，
∴△AEF≌△AEK（AAS），
∴AF＝AK，
∵∠RAK＝∠TAF＝90°，∠AKR＝∠AFT，
∴△AKR≌△AFT（ASA），
∴AR＝AT＝8，∠R＝∠T＝∠DAC，
∵∠ACD＝∠TAF，
∴△ACD∽△TAF，
∴＝＝，
∴AF＝2CD＝2x，
∵CF+AF＝4，
∴y+2x＝4，
∴y＝4﹣2x（0＜x＜2）．
（3）如图3中，连接DF，作DH⊥AB于H．
∵∠GAE＝∠DAH，∠AGE＝∠AHD，
∴△AGE∽△AHD，
∵△CDF与△AGE相似，
∴△CFD与△ADH相似，
∴＝或＝，
∴＝或＝，
整理得，x2+8x﹣16＝0或x2﹣16x+16＝0，
解得，x＝4﹣4或﹣4﹣4（舍弃）或8﹣4或8+4（舍弃），
∴CD＝4﹣4或8﹣4，
当点F在下方时，同法可得，CD＝，
综上所述，满足条件的CD的值为4﹣4或8﹣4或．
四．解直角三角形（共1小题）
9．（2022秋•徐汇区期末）如图，已知在△ABC中，CD⊥AB，垂足为点D，AD＝2，BD＝6，tanB＝，点E是边BC的中点．
（1）求边AC的长；
（2）求∠EAB的正弦值．
【答案】（1）2；（2）．
【解答】解：（1）∵CD⊥AB，
∴△ACD、△BCD均为直角三角形．
在Rt△CDB中，
∵BD＝6，tanB＝＝，
∴CD＝4．
在Rt△CDA中，
AC＝
＝
＝2．
（2）过点E作EF⊥AB，垂足为F．
∵CD⊥AB，EF⊥AB，
∴CD∥EF．
又∵点E是边BC的中点，
∴EF是△BCD的中位线．
∴DF＝BF＝3，EF＝CD＝2．
∴AF＝AD+DF＝5．
在Rt△AEF中，
AE＝
＝
＝．
∴sin∠EAB＝
＝
＝．
五．解直角三角形的应用-坡度坡角问题（共1小题）
10．（2021秋•徐汇区期末）图1是一种自卸货车，图2是该货车的示意图，货箱侧面是一个矩形，长AB＝4米，宽BC＝2米，初始时点A、B、F在同一水平线上，车厢底部AB离地面的高度为1.3米．卸货时货箱在千斤顶的作用下绕着点A旋转，箱体底部AB形成不同角度的斜坡．
（1）当斜坡AB的坡角为37°时，求车厢最高点C离地面的距离；
（2）点A处的转轴与后车轮转轴（点E处）的水平距离叫做安全轴距，已知该车的安全轴距为0.7m．货厢对角线AC、BD的交点G是货厢侧面的重心，卸货时如果A、G两点的水平距离小于安全轴距时，会发生车辆倾覆安全事故．
当斜坡AB的坡角为45°时，根据上述车辆设计技术参数，该货车会发生车辆倾覆安全事故吗？试说明你的理由．（精确到0.1米，参考值：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37≈0.75，≈1.4142）
【答案】（1）车厢最高点C离地面的距离是5.3米；
（2）不会发生安全事故，理由见解答．
【解答】解：过点C作CH⊥AF，垂足为H，过点B作BP⊥AF，垂足为P，过点B作BQ⊥CH，垂足为Q，
则四边形BPHQ为矩形，
∴BP＝QH，
在Rt△ABP中，BP＝ABsin37°＝4×0.6＝2.4（m），
∴BP＝QH＝2.4（m），
∵BQ∥AP，
∴∠BAF＝∠QBA＝37°，
∴∠CBQ＝∠CBA﹣∠QBA＝90°﹣37°＝53°，
∵∠BQC＝90°，
∴∠BCQ＝90°﹣∠CBQ＝37°，
在Rt△BCQ中，CQ＝BCcos37°＝2×0.8＝1.6（m），
∴1.6+2.4+1.3＝5.3（m），
答：车厢最高点C离地面的距离是5.3米；
（2）不会发生安全事故，
理由是：过点G作GO⊥AF，垂足为O，过点C作CM⊥AF，垂足为M，交AB于点I，过点B作BN⊥AF，垂足为N，过点B作BK⊥CM，垂足为K，
则四边形BNMK为矩形，
∴BN＝KM，
在Rt△ABN中，BN＝ABsin45°＝4×＝（m），
∴BN＝KM＝（m），
∵BK∥AN，
∴∠BAN＝∠KBA＝45°，
∴∠CBK＝∠CBA﹣∠KBA＝90°﹣45°＝45°，
在Rt△BCK中，BK＝BCcos45°＝2×＝（m），
∴BK＝CK＝（m），
在Rt△BKI中，
∵∠KBA＝45°，
∴BK＝KI＝（m），
∴IM＝KM﹣KI＝（m），
在Rt△AMI中，
∵∠BAF＝45°，
∴IM＝AM＝（m），
∵CM∥GO，
∴，
∵AG＝CG，
∴AO＝OM＝AM＝≈0.71（m），
∵0.71＞0.7，
∴不会发生安全事故．
六．解直角三角形的应用-仰角俯角问题（共2小题）
11．（2020秋•徐汇区期末）为加强对市内道路交通安全的监督，王警官利用无人机进行检测．某高架路有一段限速每小时60千米的道路AB（如图所示），当无人机在限速道路的正上方C处时，测得限速道路的起点A的俯角是37°，无人机继续向右水平飞行220米到达D处，此时又测得起点A的俯角是30°，同时测得限速道路终点B的俯角是45°（注：即四边形ABDC是梯形）．
（1）求限速道路AB的长（精确到1米）；
（2）如果李师傅在道路AB上行驶的时间是1分20秒，请判断他是否超速？并说明理由．
（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，≈1.73）
【答案】（1）1507米；
（2）该车超速．
【解答】解：（1）根据题意，得∠CAB＝37°，CD＝220米，∠DAB＝30°，∠DBA＝45°，
如图，过点C和点D作CE和DF垂直于AB于点E和F，
∵CD∥AB，
∴四边形CDFE是矩形，
∴CE＝DF，CD＝EF，
∵∠DBA＝45°，
∴DF＝BF，
设DF＝BF＝CE＝x米，
在Rt△ADF中，∠DAF＝30°，DF＝x米，
∴AF＝DF＝x（米），
∴AE＝AF﹣EF＝（x﹣220）米，
在Rt△AEC中，∠CAE＝37°，
∵CE＝AE•tan37°，
∴x＝（x﹣220）×0.75，
解得x＝60（3+4）＝180+240，
∴AE＝x﹣220＝（320+240）米，
FB＝x＝（180+240）（米），
∴AB＝AE+EF+FB
＝320+240+220+180+240
＝780+420
≈1507（米），
答：限速道路AB的长约为1507米；
（2）∵1分20秒＝小时，
∴该汽车的速度约为：1507÷≈67.8km/h＞60km/h，
∴该车超速．
12．（2022秋•徐汇区期末）如图，在大楼AB的正前方有一斜坡CD，CD＝26米，坡度i＝1：2.4，小明在斜坡下端C处测得楼顶点B的仰角为60°，在斜坡上的点D处测得楼顶B的仰角为30°，DE与地面垂直，垂足为E，其中点A、C、E在同一直线上．
（1）求DE的值；
（2）求大楼AB的高度（结果保留根号）．
【答案】大楼AB的高度为（15+12）米．
【解答】解：（1）∵斜坡CD的坡度为i＝1：2.4，
∴＝，
设DE＝5x米，则CE＝12x米，
在Rt△CDE中，CD＝26米，
由勾股定理得（5x）2+（12x）2＝（13x）2＝262，
解得x＝2．
∴斜坡CD的高度DE为10米；
（2）在Rt△CDE中，
∵CD＝26米，DE＝10米，
∴CE＝＝24米，
过点D作DF⊥AB于点F．
则DE＝AF＝10米，DF＝AE，
在Rt△BDF中，∠BDF＝30°，
∴BF＝DF，
设BF＝a米，则DF＝a米，
则AB＝BF+AF＝（10+a）米，
在Rt△ABC中，∠ACB＝60°，
tan60°＝＝＝，
解得AC＝（10+a），
∴AE＝AC+CE＝（10+a）+24＝a，
解得a＝5+12．
∴AB＝10+5+12＝（15+12）米．
∴大楼AB的高度为（15+12）米．
相关试卷
上海市徐汇区2023-2024学年九年级上学期期末数学试题（一模）： 这是一份上海市徐汇区2023-2024学年九年级上学期期末数学试题（一模），共8页。试卷主要包含了考试结束后，将答题卡交回等内容，欢迎下载使用。
上海市杨浦区三年(2020-2022)九年级上学期期末数学试题汇编： 这是一份上海市杨浦区三年(2020-2022)九年级上学期期末数学试题汇编，文件包含上海市杨浦区三年2020-2022九年级上学期期末数学试题汇编-03解答题提升题知识点分类doc、上海市杨浦区三年2020-2022九年级上学期期末数学试题汇编-02填空题知识点分类doc、上海市杨浦区三年2020-2022九年级上学期期末数学试题汇编-01选择题知识点分类doc、上海市杨浦区三年2020-2022九年级上学期期末数学试题汇编-03解答题基础题知识点分类doc等4份试卷配套教学资源，其中试卷共84页， 欢迎下载使用。
上海市浦东新区三年(2020-2022)九年级上学期期末数学试题汇编： 这是一份上海市浦东新区三年(2020-2022)九年级上学期期末数学试题汇编，文件包含上海市浦东新区三年2020-2022九年级上学期期末数学试题汇编-03解答题提升题知识点分类doc、上海市浦东新区三年2020-2022九年级上学期期末数学试题汇编-02填空题知识点分类doc、上海市浦东新区三年2020-2022九年级上学期期末数学试题汇编-01选择题知识点分类doc、上海市浦东新区三年2020-2022九年级上学期期末数学试题汇编-03解答题基础题知识点分类doc等4份试卷配套教学资源，其中试卷共76页， 欢迎下载使用。
