2022-2023学年北京市丰台八中七年级（下）期中数学试卷（含解析）

2022-2023学年北京市丰台八中七年级（下）期中数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  在平面直角坐标系中，点所在的象限是(    )

A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限

2.  的算术平方根是(    )

A.  B.  C.  D.

3.  下列各数中，无理数是(    )

A.  B.  C.  D.

4.  如果，那么下列不等式成立的是(    )

A.  B.  C.  D.

5.  如图．将含角的直角三角板的直角顶点放在直尺的一边上，已知，则的度数是(    )

A.
B.
C.
D.

6.  如图是天安门周围的景点分布示意图．在图中，分别以正东，正北方向为轴，轴的正方向建立平面直角坐标系．如果表示景山的点的坐标为，表示王府井的点的坐标为，则表示人民大会堂的点的坐标为(    )

A.
B.
C.
D.

7.  下列命题中，假命题是(    )

A. 对顶角相等
B. 同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
C. 两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补
D. 若一个角的两边分别与另一个角的两边平行，那么这两个角相等或互补

8.  如图，四边形中，，交于点，如果，那么以下四个结论中错误的是(    )

A.
B.
C.
D.

9.  我国古代数学著作九章算术“盈不足”一章中记载：“今有大器五、小器一容三斛；大器一、小器五容二斛，问大小器各容几何？”意思是：今有大容器个，小容器个，总容量为斛；大容器个，小容器个，总容量为斛问个大容器、个小容器的容量各是多少斛？设个大容器的容量为斛，个小容器的容量为斛，则下列方程组正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

10.  定义表示不少于实数的最小整数，例如：给出下列结论：
；
若，则；
若，则；
若，，则．
其中正确的个数是(    )

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）

11.  已知是关于、的二元一次方程的解，则的值为          ．

12.  如图，计划把河水引到水池中，先作，垂足为，然后沿开渠，能使所开的渠道最短，这样设计的依据是：______．

13.  在平面直角坐标系中，若点到轴的距离是，则的值是______ ．

14.  如图，直线、交于点，，垂足为，，则          度．

15.  已知某正数的两个平方根分别是和，则这个正数是______ ．

16.  若关于的方程的解为正数，则的取值范围是______ ．

17.  如图，将边长分别为和的长方形如图剪开，拼成一个与长方形的面积相等的正方形，则该正方形的边长最接近的整数为______ ．

18.  某日小王驾驶一辆小型车到某地办事，上午：到达，在路边的电子收费停车区域内停车收费

如果他：离开，那么应缴费______ 元；
如果他离开时缴费元，那么停车的时长单位：分钟的取值范围是______ ．

三、解答题（本大题共9小题，共46.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

19.  本小题分
已知，求的值．

20.  本小题分
计算：

21.  本小题分
解方程组：．

22.  本小题分
解不等式组，并将解集在数轴上表示出来

23.  本小题分
如图，在平面直角坐标系中，三角形三个顶点的坐标分别是，，将三角形平移，使点与点重合，得到三角形，其中点，的对应点分别为，．
画出三角形
写出点的坐标；
若轴上存在一点，使三角形的面积与三角形的面积相等，则点的坐标为______ ．

24.  本小题分
如图，点为的角平分线上的一点，过点作交于点，过点作于点当时，求的度数．
依题意，补全图形；

完成下面的解题过程．
解：于点，
______ 填推理的依据．
，
______ ______ 填推理的依据．
平分，且
角的平分线的定义．
______
，
______

25.  本小题分
列方程组或不等式组解应用题：
学校为了支持体育社团开展活动，鼓励同学们加强锻炼，准备增购一些羽毛球拍和乒乓球拍．

根据图中信息，求出每支羽毛球拍和每支乒乓球拍的价格；
学校准备用元购买羽毛球拍和乒乓球拍，且乒乓球拍的数量为羽毛球拍数量的倍，请问最多能购买多少支羽毛球拍？

26.  本小题分
阅读下面材料：
彤彤遇到这样一个问题：
已知：如图，，为，之间一点，连接，，得到．
求证：．
彤彤是这样做的：
过点作，
则有．
，
．

．
即．
请你参考彤彤思考问题的方法，解决问题：如图，
已知：直线，点，在直线上，点，在直线上，连接，，平分，平分，且，所在的直线交于点．
如图，当点在点的左侧时，若，，则的度数为______ ；
如图，当点在点的右侧时，请你猜想并证明、与之间的数量关系．

 

27.  本小题分
对于平面直角坐标系中的图形，，给出如下定义：为图形上任意一点，为图形上任意一点，如果，两点间的距离有最小值，那么称这个最小值为图形，间的“邻近距离”，记为图形，图形．
已知点，，，．
点，线段 ______ ；
若点在轴上，且点，线段，求点的横坐标的取值范围；
依次连接，，，四点，得到正方形不含图形内部，记为图形，点，点点均不与点重合，线段，组成的图形记为图形，若图形，图形，直接写出的值．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：，，
在平面直角坐标系中，点所在的象限是第四象限．
故选：．
根据第四象限内，点的横坐标大于零，纵坐标小于零，可得答案．
本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限；第二象限；第三象限；第四象限．
 

2.【答案】 

【解析】解：，
的算术平方根是，
故选：．
根据算术平方根的定义即可求解．
本题主要考查了算术平方根，掌握算术平方根的定义是解题的关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：、是有理数，选项不合题意；
B、是有理数，选项不合题意；
C、是无理数，选项符合题意；
D、，是有理数，选项不合题意；
故选：．
无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．
此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：，等；开方开不尽的数；以及像，等有这样规律的数．
 

4.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了不等式的性质，掌握不等式的两边同时加上或减去同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变；不等式的两边同时乘或除以同一个正数，不等号的方向不变；不等式的两边同时乘或除以同一个负数，不等号的方向改变是解题的关键．
根据不等式的性质判断即可．
【解答】
解：若，根据不等式的性质得，，原变形不成立，故本选项不符合题意；
B.若，根据不等式的性质得，，原变形成立，故本选项符合题意；
C.若，根据不等式的性质得，，原变形不成立，故本选项不符合题意；
D.若，令，，，原变形不成立，故本选项不符合题意；
故选：．  

5.【答案】 

【解析】解：如图，，
，
又，
，
故选：．
依据平行线的性质，即可得出的度数，再根据直角即可得到的度数．
本题主要考查了平行线的性质，解题时注意：两直线平行，内错角相等．
 

6.【答案】 

【解析】解：如图所示：人民大会堂的点的坐标为是：．
故选：．
直接利用已知点坐标进而确定原点位置进而得出答案．
此题主要考查了坐标确定位置，正确得出原点位置是解题关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：、对顶角相等，所以选项为真命题；
B、同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，所以选项为真命题；
C、两条平行直线被第三条直线所截，同旁内角互补，所以选项为假命题；
D、若一个角的两边分别与另一个角的两边平行，那么这两个角相等或互补，正确，所以选项为真命题．
故选：．
根据对顶角的性质、垂线的性质、平行线的性质一一判断即可．
主要考查命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．
 

8.【答案】 

【解析】解：，
，
，，
故A符合题意；，，不符合题意，
故选：．
根据平行线的判定定理及性质定理判断即可得解．
此题考查了平行线的判定及性质，熟记“内错角相等，两直线平行”及“两直线平行，内错角相等”、“两直线平行，同旁内角互补”是解题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：设个大容器的容量为斛，个小容器的容量为斛，
根据题意得：，
故选：．
设个大容器的容量为斛，个小容器的容量为斛，根据“大容器个，小容器个，总容量为斛；大容器个，小容器个，总容量为斛”即可得出关于、的二元一次方程组．
本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，根据数量关系列出关于、的二元一次方程组是解题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：根据题意可得结论正确，符合题意；
若，根据的意义，得，故结论错误，符合题意；
若，则，所以结论正确，符合题意；
当，时，
有：，，
，
或，即，所以结论是正确，符合题意．
故选：．
根据表示不少于实数的最小整数，即可解答．
本题考查了新定义，不等式的性质，理解新定义得出不等式是解题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了二元一次方程的解，解题关键是把方程的解代入方程，关于和的方程转变成是关于的一元一次方程，求解即可．
把方程的解代入方程，得到一个含有未知数的一元一次方程，解方程可得答案．
【解答】
解：把代入方程，得
，
解得．
故答案为：．  

12.【答案】垂线段最短 

【解析】解：计划把河水引到水池中，先作，垂足为，然后沿开渠，能使所开的渠道最短，这样设计的依据是垂线段最短．
故答案为：垂线段最短．
根据垂线段的性质：垂线段最短可得答案．
此题主要考查了垂线段的性质．关键是熟练掌握垂线段最短．
 

13.【答案】 

【解析】解：因为点到轴的距离是，
所以，
解得．
故答案为：．
根据点到轴的距离等于纵坐标的绝对值可得到的值．
本题考查了点的坐标，熟记点到轴的距离等于纵坐标的绝对值是解题的关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：，
．
又，
．
对顶角相等，
，
故答案为：．
根据图形求得；然后由对顶角相等的性质来求的度数．
本题考查了垂线，对顶角、邻补角等知识点．求的度数时，也可以利用邻补角的定义先求得，再由邻补角的定义求的度数．
 

15.【答案】 

【解析】解：正数的两个平方根分别是和，
，
解得，
所以这个正数是，
故答案为：．
先根据两个平方根互为相反数列出关于的方程，解之求出的值，再根据平方根的定义计算即可．
本题主要考查平方根，一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数，零的平方根是零，负数没有平方根．
 

16.【答案】 

【解析】解：，
，
，
，
方程的解为正数，
，
，
，
故答案为：．
先解方程可得，再根据题意可得，从而可得，然后按照解一元一次不等式的步骤进行计算，即可解答．
本题考查了解一元一次不等式，一元一次方程的解，准确熟练地进行计算是解题的关键．
 

17.【答案】 

【解析】解：，
，
即：，
最接近的整数为，
故答案为：．
现根据面积求出边长，再估算结果．
本题考查了图形的剪拼，掌握无理数的估算是解题的关键．
 

18.【答案】   

【解析】解：如果他：离开，那么收费标准以白天的首小时内为准，且为个计时单位，
因此，应缴费为元，
故答案为：；
如果他在：离开，则应缴费为，
如果他在：离开，则应缴费为，
因此，他是在：：之间某个时间点离开的，
因为，
所以在以白天的首小时后为收费标准内，他停留了个计时单位，即分钟，
设停车的时长为分钟，
因为不足一个计时单位不收取费用，
所以，即，
则停车的时长可能是分钟，
故答案为：答案不唯一，在大于等于且小于内的数值均可．
根据白天的小型车收费标准列出运算式子，进行计算即可得；
先根据离开时缴费元可得出他是在：：之间某个时间点离开的，再根据白天收费标准列出式子即可得．
本题考查了有理数加减乘除的实际应用，正确列出各运算式子是解题关键．
 

19.【答案】解：，
． 

【解析】得到，然后根据平方根的定义求解．
本题考查了平方根的定义：若一个数的平方等于，那么这个数叫的平方根，记作．
 

20.【答案】解：


． 

【解析】先化简各式，然后再进行计算即可解答．
本题考查了实数的运算，准确熟练地进行计算是解题的关键．
 

21.【答案】解：，
，得，
解得：，
把代入，得，
解得：，
所以方程组的解是． 

【解析】得出，求出，再把代入求出即可．
本题考查了解二元一次方程组，能把二元一次方程组转化成一元一次方程是解此题的关键．
 

22.【答案】解：
解不等式得，
解不等式得，
所以不等式组的解集为，
用数轴表示为：
 

【解析】分别解两个不等式得到和，则根据大小小大中间找得到不等式组的解集，然后利用数轴表示其解集．
本题考查了解一元一次不等式组：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分．
 

23.【答案】或 

【解析】解：如图所示，即为所求．

由图知，，；
设，
，
解得，
点的坐标为或，
故答案为：或
将点、、分别向右平移个单位长度、向上平移个单位得到其对应点，再首尾顺次连接即可；
根据所作图形可得答案；
根据三角形的面积公式列方程即可得到结论．
本题主要考查作图平移变换，解题的关键是掌握平移变换的定义和性质，并据此得出变换后的对应点及割补法求三角形的面积．
 

24.【答案】垂直的定义    两直线平行，内错角相等     

【解析】解：如图，

：于点，
垂直的定义，
，
两直线平行，内错角相等．
平分，且，，
角的平分线的定义．
．
，
．
故答案为：垂直的定义，，两直线平行，内错角相等，，．
根据几何语言画出对应的几何图形；
先利用垂直的定义得到，再根据平行线的性质和角平分线的定义证明然后利用互余计算出．
本题考查了作图复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了平行线的性质．
 

25.【答案】解：设每支羽毛球拍的价格为元，每支乒乓球拍的价格为元，
依题意得：，
解得：．
答：每支羽毛球拍的价格为元，每支乒乓球拍的价格为元．
设购买支羽毛球拍，则购买支乒乓球拍，
依题意得：，
解得：．
又为整数，
的最大值为．
答：最多能购买支羽毛球拍． 

【解析】设每支羽毛球拍的价格为元，每支乒乓球拍的价格为元，利用总价单价数量，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论；
设购买支羽毛球拍，则购买支乒乓球拍，利用总价单价数量，结合总价不超过元，即可得出关于的一元一次不等式，解之即可得出的取值范围，再取其中的最大整数值即可得出结论．
本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出二元一次方程组；根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
 

26.【答案】 

【解析】解：如图，过点作，
有．
，
．
．
．
即，
平分，平分，
，，
．
故答案为：；

如图，过点作，
设，，
有．
，
，
．
．
．
即，
平分，平分，
，，
．
，
答：．
如图，过点作，当点在点的左侧时，根据，，参考彤彤思考问题的方法即可求的度数；
如图，过点作，当点在点的右侧时，参考彤彤思考问题的方法即可求出的度数．
本题考查了平行线的判定与性质，解决本题的关键是熟练掌握平行线的判定与性质．
 

27.【答案】 

【解析】解：，，
线段平行于轴，
点到线段的距离为，
即点，线段，
故答案为；
当点在轴上，
又线段平行于轴，
当时，
点，线段，
当或时，
点，线段，
故点的横坐标的取值范围为：或；
如图，图形为正方形，

当图形，图形，
分情况讨论：
当时，
，
或，
解得或，
当时，，不符合题意，舍去，
当时，，；
当时，
，即或，
解得或，
当时，，舍去，
当时，，，
，即，
，即或，
解得或，
当时，舍去，
时，；
，即，
，即或，
解得或，
当时，舍去，
当时，，
综上，的值为，，，．
：，，线段平行于轴，点到线段的距离为，点，线段；
当点在轴上，又线段平行于轴，当时，点，线段，当或时，点，线段；
图形为正方形，当图形，图形，分情况讨论：当时，，当时，；，；，即，．
本题考查新定义题和正方形平面直角坐标系综合题，解题的关键是对新定义题目的理解．