模型22 瓜豆原理之曲线型（讲+练）-备战2023年中考数学解题大招复习讲义（全国通用）

  运动轨迹为圆

问题1.如图，P是圆O上一个动点，A为定点，连接AP，Q为AP中点．当点P在圆O上运动时，Q点轨迹是？

解析：Q点轨迹是一个圆

理由：Q点始终为AP中点，连接AO，取AO中点M，则M点即为Q点轨迹圆圆心，半径MQ是OP一半，任意时刻，均有△AMQ∽△AOP，．

问题2.如图，△APQ是直角三角形，∠PAQ=90°且AP=2AQ，当P在圆O运动时，Q点轨迹是？

解析：Q点轨迹是一个圆

理由：∵AP⊥AQ，∴Q点轨迹圆圆心M满足AM⊥AO；

又∵AP：AQ=2：1，∴Q点轨迹圆圆心M满足AO：AM=2：1．

即可确定圆M位置，任意时刻均有△APO∽△AQM，且相似比为2．

模型总结

条件：两个定量

（1）主动点、从动点与定点连线的夹角是定量（∠PAQ是定值）；

（2）主动点、从动点到定点的距离之比是定量（AP:AQ是定值）．

结论

（1）主、从动点与定点连线的夹角等于两圆心与定点连线的夹角：∠PAQ=∠OAM；

（2）主、从动点与定点的距离之比等于两圆心到定点的距离之比：AP:AQ=AO:AM，也等于两圆半径之比．

【例1】．如图，A是⊙B上任意一点，点C在⊙B外，已知AB＝2，BC＝4，△ACD是等边三角形，则的面积的最大值为     

变式训练

【变式1-1】．如图，线段AB为⊙O的直径，点C在AB的延长线上，AB＝4，BC＝2，点P是⊙O上一动点，连接CP，以CP为斜边在PC的上方作Rt△PCD，且使∠DCP＝60°，连接OD，则OD长的最大值为（　　）

A． B．2 C．2 D．4

【变式1-2】．如图，已知正方形ABCD的边长为4，以点C为圆心，2为半径作圆，P是⊙C上的任意一点，将点P绕点D按逆时针方向旋转90°，得到点Q，连接BQ，则BQ的最大值是（　　）

A．6 B． C． D．

【例2】．四边形ABCD是边长为4的正方形，点P是平面内一点．且满足BP⊥PC，现将点P绕点D顺时针旋转90度，则CQ的最大值＝　　．

变式训练

【变式2-1】．如图，线段AB＝4，M为AB的中点，动点P到点M的距离是1，连接PB，线段

PB绕点P逆时针旋转90°得到线段PC，连接AC，则线段AC长度的最大值是　　．

【变式2-2】．如图，AB＝4，O为AB的中点，⊙O的半径为1，点P是⊙O上一动点，以PB为直角边的等腰直角三角形PBC（点P、B、C按逆时针方向排列），则线段AC的长的取值范围为　  　．

1．如图，点A是双曲线y＝在第一象限上的一动点，连接AO并延长交另一分支于点B，以AB为斜边作等腰Rt△ABC，点C在第二象限，随着点A的运动，点C的位置也不断的变化，但始终在一函数图象上运动，则这个函数的解析式为（　　）

A．y＝﹣x B．y＝﹣x C．y＝﹣ D．y＝﹣

2．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，D是以点A为圆心，2为半径的圆上一点，连接BD，M为BD的中点，则线段CM长度的最大值为（　　）

A．7 B．3.5 C．4.5 D．3

3．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，点O是AB的三等分点，半圆O与AC相切，M，N分别是BC与半圆弧上的动点，则MN的最小值和最大值之和是（　　）

A．5 B．6 C．7 D．8

4．如图，一次函数y＝2x与反比例函数y＝（k＞0）的图象交于A，B两点，点P在以C（﹣2，0）为圆心，1为半径的⊙C上，Q是AP的中点，已知OQ长的最大值为，则k的值为（　　）

A． B． C． D．

5．如图，在矩形纸片ABCD中，AB＝2，AD＝3，点E是AB的中点，点F是AD边上的一个动点，将△AEF沿EF所在直线翻折，得到△A′EF，则A′C的长的最小值是（　　）

A． B．3 C．﹣1 D．﹣1

6．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠ACB＝30°，BC＝2，△ADC与△ABC关于AC对称，点E、F分别是边DC、BC上的任意一点，且DE＝CF，BE、DF相交于点P，则CP的最小值为（　　）

A．1 B． C． D．2

7．如图，⊙O的直径AB＝4，P为⊙O上的动点，连结AP，Q为AP的中点，若点P在圆上运动一周，则点Q经过的路径长是 　　．

8．如图，已知点A是第一象限内的一个定点，若点P是以O为圆心，2个单位长为半径的圆上的一个动点，连接AP，以AP为边向AP右侧作等边三角形APB．当点P在⊙O上运动一周时，点B运动的路径长是　   　．

9．如图，⊙O的半径为3，AB为圆上一动弦，以AB为边作正方形ABCD，求OD的最大值　　  ．

10．如图，在平面直角坐标系中，B（0，4），A（3，0），⊙A的半径为2，P为⊙A上任意一点，C是BP的中点，则OC的最大值是 　　  ．

11．如图，点C是半圆上一动点，以BC为边作正方形BCDE（使在正方形内），连OE，若AB＝4cm，则OE的最大值为　  　cm．

12．如图，点O为坐标原点，⊙O的半径为1，点A（2，0），动点B在⊙O上，连接AB，作等边△ABC（A，B，C为顺时针顺序），求OC的最大值与最小值．

13．如图，点O在线段AB上，OA＝1，OB＝2，以点O为圆心、OA长为半径的圆为⊙O，在⊙O上取动点P，以PB为边作△PBC，使∠PBC＝90°，tan∠PCB＝，P、B、C三点为逆时针顺序，连接AC，求AC的取值范围．

14．已知：如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，OD⊥AC于点D，过点C作⊙O的切线，交OD的延长线于点E，连接AE．

（1）求证：AE与⊙O相切；

（2）连接BD，若ED：DO＝3：1，OA＝9，求AE的长；

（3）若AB＝10，AC＝8，点F是⊙O任意一点，点M是弦AF的中点，当点F在⊙O上运动一周，则点M运动的路径长为　   　．

15．若AC＝4，以点C为圆心，2为半径作圆，点P为该圆上的动点，连接AP．

（1）如图1，取点B，使△ABC为等腰直角三角形，∠BAC＝90°，将点P绕点A顺时针旋转90°得到AP′．

①点P'的轨迹是　   　（填“线段”或者“圆”）；

②CP′的最小值是　   　；

（2）如图2，以AP为边作等边△APQ（点A、P、Q按照顺时针方向排列），在点P运动过程中，求CQ的最大值．

（3）如图3，将点A绕点P逆时针旋转90°，得到点M，连接PM，则CM的最小值为　   　．

16．如图1，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣5x+5与x轴，y轴分别交于A、C两点，抛物线y＝x2+bx+c经过A、C两点，与x轴的另一交点为B．

（1）求抛物线解析式；

（2）若点M为x轴下方抛物线上一动点，当点M运动到某一位置时，△ABM的面积等于△ABC面积的，求此时点M的坐标；

（3）如图2，以B为圆心，2为半径的⊙B与x轴交于E、F两点（F在E右侧），若P点是⊙B上一动点，连接PA，以PA为腰作等腰Rt△PAD，使∠PAD＝90°（P、A、D三点为逆时针顺序），连接FD．求FD长度的取值范围．