2023年河南省信阳市浉河中学中考数学三模试卷（含解析）

2023年河南省信阳市浉河中学中考数学三模试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  的相反数是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  科学家发现一种病毒直径为微米，则用科学记数法可以表示为(    )

A.  B.  C.  D.

3.  某种零件模型如图所示，该几何体空心圆柱的从上面看到的形状图是(    )

A.
B.
C.
D.

4.  下列运算正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

5.  “方胜”是中国古代妇女的一种发饰，其图案由两个全等正方形相叠组成，寓意是同心吉祥．如图，将边长为的正方形沿对角线方向平移得到正方形，形成一个“方胜”图案，则点，之间的距离为(    )

A.  B.  C.  D.

6.  已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则(    )

A.  B.  C.  D.

7.  图是艺术家埃舍尔的作品，他将数学与绘画完美结合，在平面上创造出立体效果图是一个菱形，将图截去一个边长为原来一半的菱形得到图，用图镶嵌得到图，将图着色后，再次镶嵌便得到图，则图中的度数是(    )

 

A.  B.  C.  D.

8.  已知两点、在反比例函数的图象上，当时，下列结论正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

9.  如图，在菱形中，，动点从点出发，沿折线方向匀速运动，运动到点停止．设点的运动路程为，的面积为，与的函数图象如图所示，则的长为(    )

 

A.  B.  C.  D.

10.  若抛物线向上平移个单位后，在范围内与轴只有一个交点，则的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）

11.  不等式组的解集是______．

12.  使代数式有意义的的取值范围是______ ．

13.  在一个不透明的袋子中，装有个红球，个白球，这些球除颜色外无其它差别，从袋中随机摸出一个球是白球的概率为______．

14.  如图，将沿弦折叠，恰经过圆心，若，则阴影部分的面积为          ．

15.  如图，中，，，，点、分别在、边上不与端点重合，连接，将沿翻折，使点的对应点落在所在的直线上，若垂直于的一边，则长为______ ．

三、解答题（本大题共8小题，共75.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

16.  本小题分
计算：；
解方程：．

17.  本小题分
某校依据教育部印发的大中小学劳动教育指导纲要试行指导学生积极参加劳动教育．该校七年级数学兴趣小组利用课后托管服务时间，对七年级学生一周参加家庭劳动次数情况，开展了一次调查研究，请将下面过程补全．
收集数据
兴趣小组计划抽取该校七年级名学生进行问卷调查，下面的抽取方法中，合理的是______．
A.从该校七年级班中随机抽取名学生
B.从该校七作级女生中随机抽取名学生
C.从该校七年级学生中随机抽取男，女各名学生
通过问卷调查，兴趣小组获得了这名学生每人一周参加家庭劳动的次数，数据如下：


整理、描述数据
整理数据，结果如下：

分析数据

根据以上信息，解答下列问题：
补全频数分布直方图；
填空：______；
该校七年级现有名学生，请估计该校七年级学生每周参加家庭劳动的次数达到平均水平及以上的学生人数；
根据以上数据分析，写出一条你能得到的结论．

18.  本小题分
一个深为米的水池积存着少量水，现在打开水阀进水，下表记录了小时内个时刻的水位高度，其中表示进水用时单位：小时，表示水位高度单位：米．

为了描述水池水位高度与进水用时的关系，现有以下三种函数模型供选择：，，．













在平面直角坐标系中描出表中数据对应的点，再选出最符合实际的函数模型，求出相应的函数表达式，并画出这个函数的图象．
当水位高度达到米时，求进水用时．

19.  本小题分
数学小组研究如下问题：长春市的纬度约为北纬，求北纬纬线的长度，小组成员查阅了相关资料，得到三条信息：
在地球仪上，与南，北极距离相等的大圆圈，叫赤道，所有与赤道平行的圆圈叫纬线；
如图，是经过南、北极的圆，地球半径约为弦，过点作于点，连接若，则以为半径的圆的周长是北纬纬线的长度；
参考数据：取，，．

小组成员给出了如下解答，请你补充完整：
解：因为，，
所以______ 填推理依据，
因为，所以，
在中，．
______ 填“”或“”．
所以北纬的纬线长．
______ 填相应的三角形函数值
______ 结果取整数．

20.  本小题分
如图，已知点在第一象限，点，点，将线段沿方向平移，得到线段．
请用无刻度直尺和圆规作出点，不写作法，保留作图痕迹，使用铅笔作图点的坐标为______ 用含的式子表示；
若点和点恰好落在反比例函数的图象上求的值和直线的表达式．

21.  本小题分
中国元代数学家朱世杰所著四元玉鉴记载有“锁套吞容”之“方田圆池结角图”“方田一段，一角圆池占之”意思是说：“一块正方形田地，在其一角有一个圆形的水池其中圆与正方形一角的两边相切”，如图所示．
若圆与正方形的两边相切于、两点，试判断四边形的形状并说明理由；
此图中，正方形一条对角线与相交于点、点在点的右上方，若的长度为丈，的半径为丈，求的长度．

22.  本小题分
阅读与思考
下面是小明同学的数学日记，请仔细阅读并完成相应的任务．

任务：
请补充完整小明的日记： ______ ， ______ ， ______ ， ______ ， ______ ；
解决问题：若多项式是一个完全平方式，利用以上结论求出的值；
除因式分解外，初中数学还有许多知识的学习中也用到了完全平方公式，例如：用配方法解一元二次方程请你再举出一例．

23.  本小题分
综合与实践：
问题情境：数学活动课上，老师让同学们拿出大小两副三角板，按照如图所示的方式摆放其中，，．
问题探究：将三角板绕点按顺时针方向旋转．
如图，当点落在边上时，延长交于点，试判断与的数量关系，并说明理由；
在图中，连接，请求出的长度；
如图，为的中点，则在旋转过程中，点到直线的距离的最大值是______ ．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】

【分析】
本题主要考查了相反数的性质，只有符号不同的两个数互为相反数，的相反数是．
根据相反数的定义直接求得结果．
【解答】
解：的相反数是．
故选：．  

2.【答案】 

【解析】解：微米，则这种病毒的直径用科学记数法可以表示为微米，
故选：．
绝对值小于的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定．
本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，为由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定．
 

3.【答案】 

【解析】解：由上向下看空心圆柱，看到的是一个圆环，中间的圆要画成实线．
故选：．
找到从上面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在主视图中．
本题考查了三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图．
 

4.【答案】 

【解析】解：，故本选项符合题意；
B.，故本选项不合题意；
C.，故本选项不合题意；
D.，故本选项不合题意；
故选：．
选项A根据同底数幂的除法法则判定即可，同底数幂的除法法则：底数不变，指数相减；
选项B根据合并同类项法则判定即可，合并同类项的法则：把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变；
选项C根据幂的乘方运算法则判定即可，幂的乘方法则：底数不变，指数相乘；
选项D根据同底数幂的乘法法则判定即可，同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加．
本题考查了同底数幂的乘除法，合并同类项以及幂的乘方，掌握相关运算法则是解答本题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：四边形为边长为的正方形，
，
由平移的性质可知，，
，
故选：．
根据正方形的性质、勾股定理求出，根据平移的概念求出，计算即可．
本题考查的是平移的性质、正方形的性质，根据平移的概念求出是解题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：根据题意得，
解得．
故选：．
根据判别式的意义得到，然后解不等式即可．
本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．
 

7.【答案】 

【解析】解：如图，

，，
，
，
，
故选：．
先确定的度数，再利用菱形的对边平行，利用平行线的性质即可求出的度数．
本题考查了菱形的性质，学生读题审题的能力，理解题意，准确识图，求出的度数是解题关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：，
当时，随的增大而减小，
，
故选：．
根据反比例函数的性质判断即可．
本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特征，掌握反比例函数的性质、反比例函数的增减性只指在同一象限内是解题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：在菱形中，，
为等边三角形，
设，由图可知，的面积为，
的面积，
解得：，
故选：．
根据图和图判定三角形为等边三角形，它的面积为解答即可．
本题考查了动点问题的函数图象，根据菱形的性质和函数图象，能根据图形得出正确信息是解此题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：将抛物线向上平移个单位后得到，
在范围内与轴只有一个交点，
当在抛物线上时，
，
解得；
当在抛物线上时，
，
解得；
满足题意．
故选：．
先求出平移后的函数解析式，分别求出抛物线经过，时的值，进而求解即可．
本题考查二次函数与轴交点的问题，解题关键是掌握二次函数与方程的关系．
 

11.【答案】 

【解析】解：解不等式，得：，
解不等式，得：，
则不等式组的解集为．
故答案为：．
分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：二次根式的被开方数大于或等于，
．
．
故答案为：．
根据二次根式的被开方数大于或等于解决此题．
本题主要考查二次根式的被开方数大于或等于，熟练掌握二次根式有意义的条件是解决本题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：袋子中装有个红球，个白球，共有个球，
从袋子中随机摸出一个球是白球的概率是，
故答案为：．
先求出袋子中总的球数，再用白球的个数除以总的球数即可．
此题考查了概率公式，如果一个事件有种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件出现种结果，那么事件的概率．
 

14.【答案】 

【解析】

【分析】
过点作的垂线并延长，垂足为，交于点，连结，，根据垂径定理得：，根据将沿弦折叠，恰经过圆心，得到，得到，得到，进而证明是等边三角形，得到，在中根据勾股定理求出半径，证明≌，可以将补到上，得到阴影部分的面积，即可得出答案．
本题考查了扇形面积的计算，垂径定理，翻折变换折叠问题，在中，根据，得到是解题的关键．
【解答】
解：如图，过点作的垂线并延长，垂足为，交于点，连结，，

根据垂径定理得：，
将沿弦折叠，恰经过圆心，
，
，
，
，
，
是等边三角形，
，
在中，，
，
解得：，
，，，
即在和中，

≌，
阴影部分的面积．
故答案为：．  

15.【答案】或 

【解析】解：，，，
，
点、分别在、边上不与端点重合，
不可能垂直，
当时，如图：

，，
∽，
，
设，则，
，
解得，
．
当时，如图：

设，则，
，
，
解得．
，
综上，的值为或．
分情况讨论：点、分别在、边上不与端点重合，可知不可能垂直，所以有两种情况，，，再运用相似三角形的性质和锐角三角函数即可解答．
本题考查自己三角形的相关性质，相似三角形的性质，锐角三角函数，分类讨论是解题关键．
 

16.【答案】解：；

；

，
方程两边都乘，得，
解得：，
检验：当时，，
所以分式方程的解是． 

【解析】先根据有理数的乘方，二次根式的性质和零指数幂进行计算，再算加减即可；
方程两边都乘得出，求出方程的解，再进行检验即可．
本题考查了零指数幂，实数的混合运算，解分式方程等知识点，能正确根据实数的运算法则进行计算是解的关键，能把分式方程转化成整式方程是解的关键．
 

17.【答案】   

【解析】解：兴趣小组计划抽取该校七年级名学生进行问卷调查，下面的抽取方法中，合理的是从该校七年级学生中随机抽取男，女各名学生，
故答案为：；
补全频数分布直方图如下：

被抽取的名学生每人一周参加家庭劳动的次数从小到大排列，排在中间的两个数分别为、，故中位数，
故答案为：；
由题意可知，被抽取的名学生中达到平均水平及以上的学生人数有人，
人，
答：估计该校七年级学生每周参加家庭劳动的次数达到平均水平及以上的学生有人；
根据以上数据可知，七年级一周参加家庭劳动的次数偏少，故学校应该加强学生的劳动教育．答案不唯一．
抽样调查：根据抽样调查的要求判断即可；
由的频数为，即可补全频数分布直方图；
根据中位数的定义解答即可；
用样本估计总体即可；
根据平均数、中位数和众数的意义解答即可．
本题考查条形统计图、中位数、众数、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
 

18.【答案】解：函数的图象如图所示：

根据图象可知：选择函数，
将，代入，
得
解得
函数表达式为：；
当时，，
．
答：当水位高度达到米时，进水用时为小时． 

【解析】根据表格数对画出函数图象即可；然后利用待定系数法即可求出相应的函数表达式；
结合的函数表达式，代入值即可解决问题．
本题考查了一次函数的应用，解决本题的关键是掌握一次函数的图象和性质．
 

19.【答案】两直线平行，内错角相等； 
； 
； 
 

【解析】

【分析】
本题考查解直角三角形，平行线的性质，解题关键是熟练三角函数的含义及解直角三角形的方法．
由平行线的性质，锐角三角函数的定义求解．
【解答】
解：因为，，
所以两直线平行，内错角相等填推理依据，
因为，所以，
在中，．
填“”或“”．
所以北纬的纬线长．
填相应的三角形函数值
结果取整数．  

20.【答案】 

【解析】解：依据作平行四边形的做法作图如图示：
点平移到是向下平移个单位长度，再向右平移个单位长度，
点，
故答案为：．
点和点恰好落在反比例函数的图象上，
，，
，，
，
设直线的解析式为，
，解得，
直线解析式为：．
依据平行四边形作法作图即可，根据平移的性质，点平移到点和点平移到的平移长度一致，即可得到点的坐标；
根据点、都在反比例函数图象上，两点的坐标之积相等列出关于的方程，解得值，求出点、坐标，待定系数法解出一次函数解析式即可．
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，利用点的坐标之积相等是破解本题的关键．
 

21.【答案】解：四边形是正方形，
理由：连接，，

圆与正方形一角的两边相切，
，，
，
，
四边形是矩形，
又，
四边形是正方形；
如图，设正方形的一边与的切点为，连接，
则，
四边形是正方形，是对角线，
，
丈，
丈． 

【解析】连接，，由切线的性质及正方形的判定可得出结论；
由正方形的性质可得出答案．
本题考查的是切线的性质、正方形的性质，掌握圆的切线垂直于过切点的半径是解题的关键．
 

22.【答案】         

【解析】解：由题意得：；
；
；
的情况；
可以看作抛物线与轴有个交点时；
故答案为：；；；；；

由题意得：，
即，
解得：；

由题意得：解方程：，
则，
解得：，答案不唯一．
由完全平方的定义、抛物线和二元一次方程的关系，即可求解；
由题意得：，即可求解；
举例即可．
本题为二次函数综合题，涉及到完全平方、解一元二次方程、抛物线的基本性质、抛物线和二元一次方程的关系等，属于阅读型题目，有一定的综合性，难度适中．
 

23.【答案】 

【解析】解：，
理由：，
，
将三角板绕点按顺时针方向旋转点落在边上，
，
，
≌，
；
如图，

，，，
，，
，
；
如图，连接，取的中点，

取的中点，连接，则，
，
，
点为的中点，点为的中点，
，
点是以点为圆心，为半径的圆上，如图，
如图，过点作于，

点为的中点，，
，
，
点到直线的距离的最大值是，
故答案为：．
根据旋转的性质得到，根据全等三角形的判定和性质定理得到；
如图，解直角三角形得到，，求得，根据勾股定理即可得到结论；
先求出，再判断出点是以点为圆心，为半径的圆上，过点作于，求出，即可求出答案．
此题是几何变换综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，锐角三角函数，勾股定理，三角形的中位线定理，画出图形是解本题的关键．