苏科版九年级下册7.4 由三角函数值求锐角优秀练习

第7章  锐角三角函数

7.4由三角函数值求锐角

知识点  锐角三角函数之间的关系

如图所示，在Rt△ABC中，∠C=90°．

1.互余关系：，；
2.平方关系：；
3.倒数关系：或；
4.商数关系：．
【微点拨】锐角三角函数之间的关系式可由锐角三角函数的意义推导得出，常应用在三角函数的计算中，计算时巧用这些关系式可使运算简便．
【即学即练1】已知∠A，∠B均为锐角，且cosA＝，sinB＝，则下列结论中正确的是（    ）

A．∠A＝∠B＝60° B．∠A＝∠B＝30°

C．∠A＝30°，∠B＝60° D．∠A＝60°，∠B＝30°

【即学即练2】若，则ABC的形状是（    ）

A．含有60°直角三角形 B．等边三角形

C．含有60°的任意三角形 D．等腰直角三角形

考法01  根据特殊角三角函数值求角的度数

【典例1】如图，将矩形绕点A旋转至矩形的位置，此时的中点恰好与点重合，交于点．若，则的面积为（   ）

A． B． C． D．

考法02  利用同角三角函数的关系求值

【典例2】如图，平面直角坐标系中，四边形的边在轴正半轴上，轴，，点，连接，以为对称轴将翻折到，反比例函数的图象恰好经过点、，则的值是（   ）

A． B． C． D．

题组A  基础过关练

1．已知，则锐角α的度数是（    ）

A．60° B．45° C．30° D．75°

2．在△ABC中，∠C=90°，AB=，BC=1，则∠A的度数为（    ）

A． B． C． D．

3．若某斜面的坡度为，则该坡面的坡角的度数为（   ）

A． B． C． D．

4．在△ABC中，∠A和∠C都是锐角，且，，则△ABC的形状是(   )

A．直角三角形 B．钝角三角形 C．等边三角形 D．不能确定

5．已知，则锐角的取值是（    ）

A． B． C． D．

6．在中，∠C＝90°，CD⊥AB，垂足为点D，下列正确的是（    ）

A． B． C． D．

7．如果，那么锐角的度数为________°．

8．比较大小：sin50°_____sin60°（填“＞”或“＜”）．

9．若为锐角，已知，那么______°．

10．如果是锐角，且，那么 _________度

题组B  能力提升练

1．下列说法正确的是（　　）

A．若|a|＝a，则a＞0

B．若，则锐角∠A＝60°

C．矩形的对角线互相垂直平分

D．菱形的面积等于对角线的乘积

2．△ABC中，∠A，∠B均为锐角，且（tanB-）（2sinA-）=0，则△ABC是（     ）

A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．至少一个角是60°的三角形

3．如图，在中，弦AB垂直平分半径OC，D为垂足，，则的长为（    ）

A． B． C． D．

4．如图，梯子，，两梯脚之间的距离BC的长为d．则d与l的关系式为（    ）

A． B． C． D．

5．如图，在矩形按以下步骤作图：①分别以点和为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点和；②作直线交于点；③连接，．若，，则的度数为（    ）

A． B． C． D．

6．如图，在矩形ABCD中，，，点E是CD边上一点，连接BE，将沿BE翻折，使点C恰好落在AD边上的点F处，则下列说法中错误的是（    ）

A． B． C． D．

7．在△ABC中，，则∠C=________________________．

8．在中，，a，b，c分别是的对边．已知，那么__________．

9．如图，已知直线l：y=x，过点M（2，0）作x轴的垂线交直线l于点N，过点N作直线l的垂线交x轴于点M1；过点M1作x轴的垂线交直线l于N1，过点N1作直线l的垂线交x轴于点M2，……；按此作法继续下去，则点M2020的坐标为_______________．

10．计算：

(1)cos30°+sin45°；

(2)；

(3)已知：中，，tanA=2，求的值．

题组C  培优拔尖练

1．如图，是的外接圆，为直径，交于点E，若点C为半圆的中点，弦，则的度数为（    ）

A． B． C． D．

22．如图，射线互相垂直，，点B位于射线的上方，且在线段的垂直平分线l上，连接，．将线段绕点O按逆时针方向旋转得到对应线段，若点恰好落在射线上，则点到射线的距离是（    ）

A． B． C．4 D．

23．如图，矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝12cm，以B为圆心，BC为半径画弧交AD于点E，则扇形EBC的面积为（    ）

A． B． C． D．

24．阅读材料：一般地，当为任意角时，与的值可以用下面的公式求得：：根据以上材料，解决下列问题：如图，在中，AB是直径，，点C、D在圆上，点C在半圆弧的中点处，AD是半圆弧的，则CD的长为（    ）

A． B． C． D．1

25．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝2CB＝4.以点B为圆心、适当长为半径作弧，分别交BC，BA于点D，E，再分别以点D，E为圆心、大于的长为半径作弧，两弧在△ABC内部交于点F，作射线BF；分别以点A，C为圆心、大于的长为半径作弧，两弧交于G，H两点，作直线GH交BF于点J，交AB于点K，则△JKB的面积是（    ）

A．2 B．1 C． D．

26．如图，在等腰梯形中，，，直角三角板含角的顶点在边上移动，一直角边始终经过点，斜边与所在的直线交于点．若为等腰三角形，则的长等于______．

27．已知是关于的方程的一个实数根，则锐角的度数为____．

28．如图，在中，，，，半径为1的在内平移（可以与该三角形的边相切），则点到上的点的距离的最大值为________．

29．如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，AC平分∠DAB，于点D，E是AB延长线上一点．

(1)试判断直线CD与⊙O的位置关系，并说明理由；

(2)若，，⊙O的半径为，求线段CE的长．

30．如图，已知是的外接圆，，．

(1)求的正弦值；

(2)求弦的长．

31．在平面直角坐标系中，四边形是矩形，点，点，点．以点为旋转中心，逆时针旋转矩形，得到矩形，点，，的对应点分别为，，．记旋转角为．

(1)如图①，当时，求点的坐标；

(2)如图②，当点落在轴的正半轴上时，与交于点求点的坐标；

(3)将矩形旋转一周，求边扫过的面积S（直接写出结果即可）．

32．等面积法是一种常用的、重要的数学解题方法．它是利用“同一个图形的面积相等”“分割图形后各部分的面积之和等于原图形的面积”“同底等高或等底同高的两个三角形面积相等”等性质解决有关数学问题．在解题中，灵活运用等面积法觖相关问题，可以使解题思路清晰，解题过程简便快捷．

(1)在直角三角形中，两直角边长分别为3和4，则该直角三角形斜边上的高的长为________，其内切圆的半径长为________．

(2)①如图1，P是边长为a的正三角形ABC内任意一点，点O为△ABC的中心，设点P到△ABC各边距离分别为、、，连接AP、BP、CP．由等面积法，易知（）=，可得=________（结果用含a的式子表示）；

②如图2，P是边长为a的正五边形ABCDE内任意一点，设点P到五边形ABCDE各边距离分别为、、，，，参照①的探索过程，试用含a的式子表示的值．（参考数据：tan=36°≈， tan54°≈）

(3)①如图3，已知⊙O的半径为2，点A为⊙O外一点，OA=4，AB切⊙O于点B，弦BC∥OA，连接AC，则图中阴影部分的面积为________（结果保留）；

②如图4，现有六边形花坛ABCDEF，由于修路等原因需将花坛进行改造，若要将花坛形状改造成五边形ABCDG，其中点G在AF的延长线上，且要保证改造前后花坛的面积不变，试确定点G的位置，并说明理由．