2024届高考第一轮复习：理科数学2010-2018高考真题分类训练之专题八 立体几何第二十四讲 空间向量与立体几何

专题八  立体几何

第二十四讲  空间向量与立体几何

2019年

1.（2019全国Ⅰ理18）如图，直四棱柱ABCD–A1B1C1D1的底面是菱形，AA1=4，AB=2，∠BAD=60°，E，M，N分别是BC，BB1，A1D的中点．

（1）证明：MN∥平面C1DE；

（2）求二面角A-MA1-N的正弦值．

2.（2019北京理16）如图，在四棱锥中，，，，．E为PD的中点，点F在PC上，且．

（Ⅰ）求证：；

（Ⅱ）求二面角的余弦值;

（Ⅲ）设点G在PB上，且.判断直线AG是否在平面AEF内，说明理由.

3.（2019浙江19）如图，已知三棱柱，平面平面,，分别是AC，A1B1的中点.

（1）证明：；

（2）求直线EF与平面A1BC所成角的余弦值.

4.（2019江苏16）如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，D，E分别为BC，AC的中点，AB=BC．

求证：（1）A1B1∥平面DEC1；

（2）BE⊥C1E．

5.（2019全国Ⅲ理19）图1是由矩形ADEB、Rt△ABC和菱形BFGC组成的一个平面图形，其中AB=1，BE=BF=2，∠FBC=60°，将其沿AB，BC折起使得BE与BF重合，连结DG，如图2.

（1）证明：图2中的A，C，G，D四点共面，且平面ABC⊥平面BCGE；

（2）求图2中的二面角B-CG-A的大小.

6.（2019全国Ⅱ理17）如图，长方体ABCD–A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，点E在棱AA1上，BE⊥EC1.

（1）证明：BE⊥平面EB1C1；

（2）若AE=A1E，求二面角B–EC–C1的正弦值.

7.（2019北京理16）如图，在四棱锥中，，，，．E为PD的中点，点F在PC上，且．

（Ⅰ）求证：；

（Ⅱ）求二面角的余弦值;

（Ⅲ）设点G在PB上，且.判断直线AG是否在平面AEF内，说明理由.

8.（2019浙江19）如图，已知三棱柱，平面平面,，分别是AC，A1B1的中点.

（1）证明：；

（2）求直线EF与平面A1BC所成角的余弦值.

9.（2019全国Ⅲ理19）图1是由矩形ADEB、Rt△ABC和菱形BFGC组成的一个平面图形，其中AB=1，BE=BF=2，∠FBC=60°，将其沿AB，BC折起使得BE与BF重合，连结DG，如图2.

（1）证明：图2中的A，C，G，D四点共面，且平面ABC⊥平面BCGE；

（2）求图2中的二面角B-CG-A的大小.

10.（2019全国Ⅱ理17）如图，长方体ABCD–A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，点E在棱AA1上，BE⊥EC1.

（1）证明：BE⊥平面EB1C1；

（2）若AE=A1E，求二面角B–EC–C1的正弦值.

11.（全国Ⅰ理18）如图，直四棱柱ABCD–A1B1C1D1的底面是菱形，AA1=4，AB=2，∠BAD=60°，E，M，N分别是BC，BB1，A1D的中点．

（1）证明：MN∥平面C1DE；

（2）求二面角A-MA1-N的正弦值．

12.（2019北京理16）如图，在四棱锥中，，，，．E为PD的中点，点F在PC上，且．

（Ⅰ）求证：；

（Ⅱ）求二面角的余弦值;

（Ⅲ）设点G在PB上，且.判断直线AG是否在平面AEF内，说明理由.

13.(2019天津理17)如图，平面，，.

（Ⅰ）求证：平面；

（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值；

（Ⅲ）若二面角的余弦值为，求线段的长.

2010-2018年

解答题

1．（2018全国卷Ⅰ）如图，四边形为正方形，，分别为，的中点，以为折痕把折起，使点到达点的位置，且．

(1)证明：平面平面；

(2)求与平面所成角的正弦值．

2．（2018北京）如图，在三棱柱中，平面，，，， 分别为，，，的中点，，．

(1)求证：⊥平面；

(2)求二面角的余弦值；

(3)证明：直线与平面相交．

3．(2018全国卷Ⅱ)如图，在三棱锥中，，

，为的中点．

(1)证明：平面；

(2)若点在棱上，且二面角为，求与平面所成角的正弦值．

4．（2018全国卷Ⅲ）如图，边长为2的正方形所在的平面与半圆弧所在平面垂直，是 上异于，的点．

(1)证明：平面平面；

(2)当三棱锥体积最大时，求面与面所成二面角的正弦值．

5．(2018天津)如图，且，，且，且，平面，．

(1)若为的中点，为的中点，求证：平面；

(2)求二面角的正弦值；

(3)若点在线段上，且直线与平面所成的角为，求线段的长．

6．（2018江苏）如图，在正三棱柱中，，点，分别为，的中点．

(1)求异面直线与所成角的余弦值；

(2)求直线与平面所成角的正弦值．

7．（2017新课标Ⅰ）如图，在四棱锥中，∥，且．

(1)证明：平面⊥平面；

(2)若， ，求二面角的余弦值．

8．（2017新课标Ⅱ）如图，四棱锥中，侧面为等边三角形且垂直于底面三角形，，，是的中点．

(1)证明：直线∥平面；

(2)点在棱上，且直线与底面所成角为，求二面角的余弦值

9．（2017新课标Ⅲ）如图，四面体中，是正三角形，是直角三角形，，．

(1)证明：平面⊥平面；

(2)过的平面交于点，若平面把四面体分成体积相等的两部分，求二面角的余弦值．

10．（2017天津）如图，在三棱锥中，⊥底面，．点，，分别为棱，，的中点，是线段的中点，，

．

（Ⅰ）求证：∥平面；

（Ⅱ）求二面角的正弦值；

（Ⅲ）已知点在棱上，且直线与直线所成角的余弦值为，求线段的长．

11．（2017北京）如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面⊥平面，点在线段上，//平面，，．

（Ⅰ）求证：为的中点；

（Ⅱ）求二面角的大小；

（Ⅲ）求直线与平面所成角的正弦值．

12．（2016年北京） 如图，在四棱锥中，平面平面，，

，，，，.

（1）求证：平面；

（2）求直线与平面所成角的正弦值；

（3）在棱上是否存在点，使得平面？若存在，求的值；若不存在，说明理由.

13．（2016年山东）在如图所示的圆台中，是下底面圆的直径，是上底面圆的直径，是圆台的一条母线.

（I）已知,分别为，的中点，求证：∥平面；

（II）已知===，．求二面角的余弦值.

14．（2016年天津）如图，正方形的中心为，四边形为矩形，平面⊥平面，点为的中点，．

（Ⅰ）求证：∥平面；

（Ⅱ）求二面角的正弦值；

（Ⅲ）设为线段上的点，且=，求直线和平面所成角的正弦值.

15．（2015新课标Ⅰ）如图，四边形为菱形，，是平面同一侧的两点，⊥平面，⊥平面，=2，⊥．

（Ⅰ）证明：平面⊥平面；

（Ⅱ）求直线与直线所成角的余弦值．

16．（2015福建）如图，在几何体中，四边形是矩形，平面，

，，，分别是线段，的中点．

（Ⅰ）求证：∥平面；

（Ⅱ）求平面与平面所成锐二面角的余弦值．

17．(2015山东)如图，在三棱台中，，分别为的中点．

（Ⅰ）求证：//平面；

（Ⅱ）若⊥平面，⊥，=，∠=，求平面与平面所成的角（锐角）的大小．

18．（2015陕西）如图，在直角梯形中，，，，，是的中点，是与的交点．将沿折起到的位置，如图．

（Ⅰ）证明：平面；

（Ⅱ）若平面平面，求平面与平面夹角的余弦值．

19．（2014新课标2）如图，四棱锥中，底面为矩形，⊥平面，为的中点．

（Ⅰ）证明：∥平面；

（Ⅱ）设二面角为60°，=1，=，求三棱锥的体积．

20．（2014山东）如图，在四棱柱中，底面是等腰梯形，

，是线段的中点．

（Ⅰ）求证：；

（Ⅱ）若垂直于平面且，求平 面和平面所成的角（锐角）的余弦值．

21．（2014辽宁）如图，和所在平面互相垂直，且，

，E、F分别为AC、DC的中点．

（Ⅰ）求证：；

（Ⅱ）求二面角的正弦值．

22． (2014新课标1)如图三棱锥中，侧面为菱形，．

 (Ⅰ) 证明：；

（Ⅱ）若，，，求二面角的余弦值．

23．（2014福建）在平行四边形中，，,将沿折起，使得平面平面，如图．

（Ⅰ）求证：；

（Ⅱ）若为中点，求直线与平面所成角的正弦值．

24．（2014浙江）如图，在四棱锥中，平面平面，

，，，．

（Ⅰ）证明：平面；

（Ⅱ）求二面角的大小．

25．（2014广东）如图4，四边形为正方形，平面，，

于点，，交于点．

（Ⅰ）证明：

（Ⅱ）求二面角的余弦值．

26．(2014湖南)如图，四棱柱的所有棱长都相等，，

，四边形均为矩形．

(1)证明：

(2)若的余弦值．

27．（2014陕西）四面体及其三视图如图所示，过被的中点作平行于， 的平面分别交四面体的棱于点．

（Ⅰ）证明：四边形是矩形；

（Ⅱ）求直线与平面夹角的正弦值．

28．（2013新课标Ⅰ）如图，三棱柱中，，，=60°．

（Ⅰ）证明；

（Ⅱ）若平面⊥平面，，求直线与平面所成角的正弦值．

29．（2013新课标Ⅱ）如图，直三棱柱中，分别是的中点，

（Ⅰ）证明：//平面；

（Ⅱ）求二面角的正弦值．

30．（2013广东）如图1,在等腰直角三角形中,,,分别是

上的点,,为的中点.将沿折起，得到如图2

所示的四棱锥,其中.

（Ⅰ） 证明:平面；

（Ⅱ） 求二面角的平面角的余弦值.

31．(2013陕西)如图, 四棱柱的底面是正方形，为底

面中心, ⊥平面，.

（Ⅰ）证明：⊥平面；

（Ⅱ）求平面与平面的夹角的大小．

32．（2013湖北）如图，是圆的直径，点是圆上异于的点，直线平面，，分别是，的中点．

（Ⅰ）记平面与平面的交线为，试判断直线与平面的位置关系，并加以证明；

（Ⅱ）设（I）中的直线与圆的另一个交点为，且点满足．记直线与平面所成的角为，异面直线与所成的角为，二面角的大小为，求证：．

33．(2013天津) 如图， 四棱柱中，侧棱⊥底面，，

，，，为棱的中点．

（Ⅰ）证明；

（Ⅱ）求二面角的正弦值；

（Ⅲ）设点在线段上；且直线与平面所成角的正弦值为， 求线段的长．

34．（2012新课标）如图，直三棱柱中，，是棱的中点，．

（Ⅰ）证明：；（Ⅱ）求二面角的大小．

35．（2012福建）如图，在长方体中，为中点.

（Ⅰ）求证：；

（Ⅱ）在棱上是否存在一点,使得∥平面？若存在，求的行；若存在，求的长；若不存在，说明理由．[

（Ⅲ）若二面角的大小为30°，求的长．

36．（2012浙江）如图，在四棱锥中，底面是边长为的菱形，，且平面，，，分别为，的中点．

（Ⅰ）证明：平面；

（Ⅱ）过点作，垂足为点，求二面角的平面角的余弦值．

37．（2011新课标）如图，四棱锥中，底面为平行四边形，，

，底面．

（Ⅰ）证明：；

（Ⅱ）若，求二面角的余弦值．

38．（2011安徽）如图，为多面体，平面与平面垂直，点在线段上，，，，都是正三角形．

（Ⅰ）证明直线；

（Ⅱ）求棱锥的体积．

39．（2011江苏）如图，在四棱锥中，平面平面，，

=60°，、分别是、的中点．

求证：（Ⅰ）直线平面；

（Ⅱ）平面平面．

40．(2010广东)如图，是半径为的半圆，为直径，点为的中点，点和点为线段的三等分点，平面外一点满足，．

（Ⅰ）证明：；

（Ⅱ）已知点为线段上的点，，，求平面与平面所成二面角的正弦值．

41．（2010新课标）如图，已知四棱锥的底面为等腰梯形，，

，垂足为，是四棱锥的高，为中点

（Ⅰ）证明：；

（Ⅱ）若，求直线与平面所成角的正弦值．

42．（2010天津）如图，在长方体中，、分别是棱,

上的点，,．

（Ⅰ）求异面直线与所成角的余弦值；

（Ⅱ）证明平面；

（Ⅲ）求二面角的正弦值．