2024届高考第一轮复习：理科数学2010-2018高考真题分类训练之专题八 立体几何第二十四讲 空间向量与立体几何

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专题八  立体几何第二十四讲  空间向量与立体几何2019年1.（2019全国Ⅰ理18）如图，直四棱柱ABCD–A1B1C1D1的底面是菱形，AA1=4，AB=2，∠BAD=60°，E，M，N分别是BC，BB1，A1D的中点． （1）证明：MN∥平面C1DE；（2）求二面角A-MA1-N的正弦值．2.（2019北京理16）如图，在四棱锥中，，，，．E为PD的中点，点F在PC上，且．          （Ⅰ）求证：；（Ⅱ）求二面角的余弦值;（Ⅲ）设点G在PB上，且.判断直线AG是否在平面AEF内，说明理由.3.（2019浙江19）如图，已知三棱柱，平面平面,，分别是AC，A1B1的中点.（1）证明：；（2）求直线EF与平面A1BC所成角的余弦值.4.（2019江苏16）如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，D，E分别为BC，AC的中点，AB=BC．求证：（1）A1B1∥平面DEC1；（2）BE⊥C1E．5.（2019全国Ⅲ理19）图1是由矩形ADEB、Rt△ABC和菱形BFGC组成的一个平面图形，其中AB=1，BE=BF=2，∠FBC=60°，将其沿AB，BC折起使得BE与BF重合，连结DG，如图2.（1）证明：图2中的A，C，G，D四点共面，且平面ABC⊥平面BCGE；（2）求图2中的二面角B-CG-A的大小. 6.（2019全国Ⅱ理17）如图，长方体ABCD–A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，点E在棱AA1上，BE⊥EC1.（1）证明：BE⊥平面EB1C1；（2）若AE=A1E，求二面角B–EC–C1的正弦值.7.（2019北京理16）如图，在四棱锥中，，，，．E为PD的中点，点F在PC上，且．          （Ⅰ）求证：；（Ⅱ）求二面角的余弦值;（Ⅲ）设点G在PB上，且.判断直线AG是否在平面AEF内，说明理由.8.（2019浙江19）如图，已知三棱柱，平面平面,，分别是AC，A1B1的中点.（1）证明：；（2）求直线EF与平面A1BC所成角的余弦值.9.（2019全国Ⅲ理19）图1是由矩形ADEB、Rt△ABC和菱形BFGC组成的一个平面图形，其中AB=1，BE=BF=2，∠FBC=60°，将其沿AB，BC折起使得BE与BF重合，连结DG，如图2.（1）证明：图2中的A，C，G，D四点共面，且平面ABC⊥平面BCGE；（2）求图2中的二面角B-CG-A的大小. 10.（2019全国Ⅱ理17）如图，长方体ABCD–A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，点E在棱AA1上，BE⊥EC1.（1）证明：BE⊥平面EB1C1；（2）若AE=A1E，求二面角B–EC–C1的正弦值.11.（全国Ⅰ理18）如图，直四棱柱ABCD–A1B1C1D1的底面是菱形，AA1=4，AB=2，∠BAD=60°，E，M，N分别是BC，BB1，A1D的中点． （1）证明：MN∥平面C1DE；（2）求二面角A-MA1-N的正弦值．12.（2019北京理16）如图，在四棱锥中，，，，．E为PD的中点，点F在PC上，且．          （Ⅰ）求证：；（Ⅱ）求二面角的余弦值;（Ⅲ）设点G在PB上，且.判断直线AG是否在平面AEF内，说明理由.13.(2019天津理17)如图，平面，，.（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值；（Ⅲ）若二面角的余弦值为，求线段的长. 2010-2018年解答题1．（2018全国卷Ⅰ）如图，四边形为正方形，，分别为，的中点，以为折痕把折起，使点到达点的位置，且．(1)证明：平面平面；(2)求与平面所成角的正弦值．2．（2018北京）如图，在三棱柱中，平面，，，， 分别为，，，的中点，，．(1)求证：⊥平面；(2)求二面角的余弦值；(3)证明：直线与平面相交．3．(2018全国卷Ⅱ)如图，在三棱锥中，，，为的中点．(1)证明：平面；(2)若点在棱上，且二面角为，求与平面所成角的正弦值．4．（2018全国卷Ⅲ）如图，边长为2的正方形所在的平面与半圆弧所在平面垂直，是 上异于，的点．(1)证明：平面平面；(2)当三棱锥体积最大时，求面与面所成二面角的正弦值．5．(2018天津)如图，且，，且，且，平面，．(1)若为的中点，为的中点，求证：平面；(2)求二面角的正弦值； (3)若点在线段上，且直线与平面所成的角为，求线段的长．6．（2018江苏）如图，在正三棱柱中，，点，分别为，的中点．(1)求异面直线与所成角的余弦值；(2)求直线与平面所成角的正弦值．7．（2017新课标Ⅰ）如图，在四棱锥中，∥，且．(1)证明：平面⊥平面；(2)若， ，求二面角的余弦值．8．（2017新课标Ⅱ）如图，四棱锥中，侧面为等边三角形且垂直于底面三角形，，，是的中点．(1)证明：直线∥平面；(2)点在棱上，且直线与底面所成角为，求二面角的余弦值9．（2017新课标Ⅲ）如图，四面体中，是正三角形，是直角三角形，，．(1)证明：平面⊥平面；(2)过的平面交于点，若平面把四面体分成体积相等的两部分，求二面角的余弦值．10．（2017天津）如图，在三棱锥中，⊥底面，．点，，分别为棱，，的中点，是线段的中点，，．（Ⅰ）求证：∥平面；（Ⅱ）求二面角的正弦值；（Ⅲ）已知点在棱上，且直线与直线所成角的余弦值为，求线段的长．11．（2017北京）如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面⊥平面，点在线段上，//平面，，．（Ⅰ）求证：为的中点；（Ⅱ）求二面角的大小；（Ⅲ）求直线与平面所成角的正弦值．12．（2016年北京） 如图，在四棱锥中，平面平面，，，，，，.（1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值；（3）在棱上是否存在点，使得平面？若存在，求的值；若不存在，说明理由.13．（2016年山东）在如图所示的圆台中，是下底面圆的直径，是上底面圆的直径，是圆台的一条母线.（I）已知,分别为，的中点，求证：∥平面；（II）已知===，．求二面角的余弦值.14．（2016年天津）如图，正方形的中心为，四边形为矩形，平面⊥平面，点为的中点，．（Ⅰ）求证：∥平面；（Ⅱ）求二面角的正弦值；（Ⅲ）设为线段上的点，且=，求直线和平面所成角的正弦值. 15．（2015新课标Ⅰ）如图，四边形为菱形，，是平面同一侧的两点，⊥平面，⊥平面，=2，⊥．（Ⅰ）证明：平面⊥平面；（Ⅱ）求直线与直线所成角的余弦值．16．（2015福建）如图，在几何体中，四边形是矩形，平面，，，，分别是线段，的中点．（Ⅰ）求证：∥平面；（Ⅱ）求平面与平面所成锐二面角的余弦值．17．(2015山东)如图，在三棱台中，，分别为的中点．（Ⅰ）求证：//平面；（Ⅱ）若⊥平面，⊥，=，∠=，求平面与平面所成的角（锐角）的大小．18．（2015陕西）如图，在直角梯形中，，，，，是的中点，是与的交点．将沿折起到的位置，如图．（Ⅰ）证明：平面；（Ⅱ）若平面平面，求平面与平面夹角的余弦值．19．（2014新课标2）如图，四棱锥中，底面为矩形，⊥平面，为的中点．（Ⅰ）证明：∥平面；（Ⅱ）设二面角为60°，=1，=，求三棱锥的体积．20．（2014山东）如图，在四棱柱中，底面是等腰梯形，，是线段的中点．（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）若垂直于平面且，求平 面和平面所成的角（锐角）的余弦值．21．（2014辽宁）如图，和所在平面互相垂直，且，，E、F分别为AC、DC的中点．（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）求二面角的正弦值．22． (2014新课标1)如图三棱锥中，侧面为菱形，． (Ⅰ) 证明：；（Ⅱ）若，，，求二面角的余弦值．23．（2014福建）在平行四边形中，，,将沿折起，使得平面平面，如图．（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）若为中点，求直线与平面所成角的正弦值．24．（2014浙江）如图，在四棱锥中，平面平面，，，，．（Ⅰ）证明：平面；（Ⅱ）求二面角的大小．25．（2014广东）如图4，四边形为正方形，平面，，于点，，交于点．（Ⅰ）证明：（Ⅱ）求二面角的余弦值．26．(2014湖南)如图，四棱柱的所有棱长都相等，，，四边形均为矩形．(1)证明：(2)若的余弦值．27．（2014陕西）四面体及其三视图如图所示，过被的中点作平行于， 的平面分别交四面体的棱于点．（Ⅰ）证明：四边形是矩形；（Ⅱ）求直线与平面夹角的正弦值．28．（2013新课标Ⅰ）如图，三棱柱中，，，=60°．（Ⅰ）证明；（Ⅱ）若平面⊥平面，，求直线与平面所成角的正弦值．29．（2013新课标Ⅱ）如图，直三棱柱中，分别是的中点， （Ⅰ）证明：//平面；（Ⅱ）求二面角的正弦值．30．（2013广东）如图1,在等腰直角三角形中,,,分别是上的点,,为的中点.将沿折起，得到如图2所示的四棱锥,其中.（Ⅰ） 证明:平面；（Ⅱ） 求二面角的平面角的余弦值.31．(2013陕西)如图, 四棱柱的底面是正方形，为底面中心, ⊥平面，.（Ⅰ）证明：⊥平面；（Ⅱ）求平面与平面的夹角的大小．32．（2013湖北）如图，是圆的直径，点是圆上异于的点，直线平面，，分别是，的中点．（Ⅰ）记平面与平面的交线为，试判断直线与平面的位置关系，并加以证明；（Ⅱ）设（I）中的直线与圆的另一个交点为，且点满足．记直线与平面所成的角为，异面直线与所成的角为，二面角的大小为，求证：．33．(2013天津) 如图， 四棱柱中，侧棱⊥底面，，，，，为棱的中点．（Ⅰ）证明；（Ⅱ）求二面角的正弦值；（Ⅲ）设点在线段上；且直线与平面所成角的正弦值为， 求线段的长．34．（2012新课标）如图，直三棱柱中，，是棱的中点，．（Ⅰ）证明：；（Ⅱ）求二面角的大小．35．（2012福建）如图，在长方体中，为中点.（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）在棱上是否存在一点,使得∥平面？若存在，求的行；若存在，求的长；若不存在，说明理由．[ （Ⅲ）若二面角的大小为30°，求的长．36．（2012浙江）如图，在四棱锥中，底面是边长为的菱形，，且平面，，，分别为，的中点．（Ⅰ）证明：平面；（Ⅱ）过点作，垂足为点，求二面角的平面角的余弦值．37．（2011新课标）如图，四棱锥中，底面为平行四边形，，，底面．（Ⅰ）证明：；（Ⅱ）若，求二面角的余弦值．38．（2011安徽）如图，为多面体，平面与平面垂直，点在线段上，，，，都是正三角形．（Ⅰ）证明直线；（Ⅱ）求棱锥的体积．39．（2011江苏）如图，在四棱锥中，平面平面，，=60°，、分别是、的中点．求证：（Ⅰ）直线平面；（Ⅱ）平面平面．40．(2010广东)如图，是半径为的半圆，为直径，点为的中点，点和点为线段的三等分点，平面外一点满足，．（Ⅰ）证明：；（Ⅱ）已知点为线段上的点，，，求平面与平面所成二面角的正弦值．41．（2010新课标）如图，已知四棱锥的底面为等腰梯形，，，垂足为，是四棱锥的高，为中点（Ⅰ）证明：；（Ⅱ）若，求直线与平面所成角的正弦值．42．（2010天津）如图，在长方体中，、分别是棱,上的点，,．（Ⅰ）求异面直线与所成角的余弦值；（Ⅱ）证明平面；（Ⅲ）求二面角的正弦值．