【重难点讲义】浙教版数学八年级上册-第10讲 勾股定理与勾股定理逆定理

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第10讲 勾股定理与勾股定理逆定理
考点一 勾股定理
【知识点睛】
v 直角三角形勾股定理
在Rt△ABC中，两直角边的平方和=斜边的平方，即
常见变形：；；

v 注意事项：当直角三角形的给出的两边没有说明是什么边长时，利用勾股定理求长度时通常需要分类讨论
v 直角三角形求长度其他常用相关性质有：
直角三角形斜边上的中线=½斜边长
等腰三角形的两腰长相等；
等腰三角形的“三线合一”
中垂线的性质定理；
v 勾股定理常见面积模型




图形



结论

总结
当分别以直角三角形的三边为边（或底边、半径）做规则的正方形、等边三角形、等腰直角三角形、半圆时，均满足两直角边所做图形的面积和等于斜边所做图形的面积
【类题训练】
1．直角三角形的两条边长a，b满足，则其斜边长为（　　）
A．5 B． C．4或5 D．或5
【分析】由非负数的性质求出a和b的值即可求解．
【解答】解：∵a，b满足，
∴3﹣a＝0，b﹣4＝0，
∴a＝3，b＝4，
①当4是直角边时，其斜边长＝＝5，
②当4是斜边时，其斜边长为4，
故选：C．
2．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90，AC＝3，BC＝4，CD是△ABC的中线，则AD的长为（　　）

A．2 B．2.5 C．4 D．5
【分析】根据勾股定理即可得到AB的长，进而可求解．
【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90，AC＝3，BC＝4，
∴AB＝，
∵AD是BC边上中线，
∴AD＝AB＝2.5，
故选：B．
3．如图，在3×3的正方形网格中，若小正方形的边长是1，则任意两个格点间的距离不可能是（　　）

A．2 B．2 C． D．
【分析】根据勾股定理即可得到答案．
【解答】解：∵在3×3的正方形网格中，若小正方形的边长是1，
∴任意两个格点间的距离有：1，2，3，，＝2，＝，＝3，＝，＝，
∴任意两个格点间的距离不可能是，
故选：D．
4．我国是最早了解勾股定理的国家之一．据《周髀算经》记载，勾股定理的证明是在商代由商高发现的，故又称之为“商高定理”；三国时代的赵爽对《周髀算经》内的勾股定理作出了详细注释，又给出了另外一个证明．古代印度、希腊、阿拉伯等许多国家也都很重视对勾股定理的研究和应用．下面四幅图中，不能证明勾股定理的是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】由正方形面积公式、三角形面积公式以及梯形面积公式分别对各个选项进行判断即可．
【解答】解：A、大正方形的面积为：c2，
也可看作是4个直角三角形和一个小正方形组成，则其面积为：ab×4+（b﹣a）2＝a2+b2，
∴a2+b2＝c2，故A选项能证明勾股定理；
B、大正方形的面积为：（a+b）2，
也可看作是2个矩形和2个小正方形组成，则其面积为：a2+b2+2ab，
∴（a+b）2＝a2+b2+2ab，
∴B选项不能证明勾股定理．
C、大正方形的面积为：（a+b）2；
也可看作是4个直角三角形和一个小正方形组成，则其面积为：ab×4+c2＝2ab+c2，
∴（a+b）2＝2ab+c2，
∴a2+b2＝c2，故C选项能证明勾股定理；
D、梯形的面积为：（a+b）（a+b）＝（a2+b2）+ab，
也可看作是2个直角三角形和一个等腰直角三角形组成，则其面积为：ab×2+c2＝ab+c2，
∴（a2+b2）+ab＝ab+c2，
∴a2+b2＝c2，故D选项能证明勾股定理；
故选：B．
5．如图，有一个水池，水面是一边长为8尺的正方形，在水池中央有一根芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇拉向水池的一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面，这根芦苇的长度是（　　）尺．

A．7.5 B．8 C． D．9
【分析】设芦苇的长度为x尺，则AB的长为（x﹣1）尺，在Rt△ABC中，由勾股定理列方程即可．
【解答】解：设芦苇的长度为x尺，则AB的长为（x﹣1）尺，
在Rt△ABC中，由勾股定理得：BC2＝AB2+AC2，
即：，
解得：x＝，
即芦苇的长度为：尺，
故选：C．
6．为预防新冠疫情，学校大门入口的正上方A处装有红外线激光测温仪（如图所示），测温仪离地面的距离AB＝2.3米，当人体进入感应范围内时，测温仪就会自动测温并报告人体体温．当身高为1.7米的学生CD正对门缓慢走到离门0.8米处时（即BC＝0.8米），测温仪自动显示体温，此时人头顶到测温仪的距离AD等于（　　）

A．1.0米 B．1.25米 C．1.2米 D．1.5米
【分析】过点D作DE⊥AB于点E，构造Rt△ADE，利用勾股定理求得AD的长度即可．
【解答】解：如图，过点D作DE⊥AB于点E，

∵AB＝2.3米，BE＝CD＝1.7米，ED＝BC＝0.8米，
∴AE＝AB﹣BE＝2.3﹣1.7＝0.6（米）．
在Rt△ADE中，由勾股定理得到：AD＝＝＝1（米），
故选：A．
7．如图，在四边形ABCD中，∠DAB＝∠BCD＝90°，分别以四边形ABCD的四条边为边向外作四个正方形，面积分别为S1，S2，S3，S4．若S1＝48，S2+S3＝135，则S4＝（　　）

A．183 B．87 C．119 D．81
【分析】利用勾股定理的几何意义解答．
【解答】解：由题意可知：S1＝AB2，S2＝BC2，S3＝CD2，S4＝AD2，
如图，连接BD，
在直角△ABD和△BCD中，
BD2＝AD2+AB2＝CD2+BC2，
即S1+S4＝S3+S2，
因此S4＝135﹣48＝87，
故选：B．

8．如图Rt△ABC中，∠B＝90°，BC＝10，点F是BA延长线上一点，过点F作FD∥BC，交CA延长线于点D，点E是CD的中点，若BF＝12，DF＝5，则EF的长是（　　）

A．3 B．5 C．6.5 D．6
【分析】延长FE交BC于G，利用ASA证明△DFE≌△CGE，得BG＝DF＝5，EF＝EG，在Rt△BGF中，利用勾股定理求得FG的长，即可得出答案．
【解答】解：延长FE交BC于G，

∵点E是CD的中点，
∴DE＝CE，
∵FD∥BC，
∴∠D＝∠C，
在△DFE和△CGE中，
，
∴△DFE≌△CGE（ASA），
∴CG＝DF＝5，EF＝EG，
∴BG＝5，
在Rt△BGF中，由勾股定理得，
FG＝＝13，
∴EF＝FG＝6.5，
故选：C．
9．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，若AC+BC＝3.5，AB＝2.5，则CD的长为（　　）

A．1 B．1.2 C．1.25 D．1.5
【分析】利用勾股定理得到AC2+BC2＝AB2，然后结合AC+BC＝3.5，AB＝2.5求得AC•BC的值；最后利用等面积法求得CD的长度即可．
【解答】解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，则AC2+BC2＝AB2．
∵AC+BC＝3.5，AB＝2.5，
∴AC•BC＝[（AC+BC）2﹣（AC2+BC2）]
＝[（AC+BC）2﹣AB2]
＝（3.52﹣2.52）
＝3．
又∵CD⊥AB，
∴AC•BC＝AB•CD，
∴CD＝＝＝1.2．
故选：B．
10．代数学家赵爽为了证明勾股定理，构造了一副“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”．如图，大正方形ABCD由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成，若∠ADE＝∠AED，AD＝4，则△ADE的面积为（　　）

A．24 B．6 C．2 D．2
【分析】由已知得出AD＝AE＝AB，进而利用图形面积的割补关系解得即可．
【解答】解：如图：

∵∠ADE＝∠AED，
∴AD＝AE＝AB，
∴∠AEF＝∠ABF，
∵AF⊥BE，
∴EF＝BF＝BE，
∴GE＝AH，
∵∠GEM＝∠HAM，∠MGE＝∠MHA，
∴△GEM≌△HAM（ASA），
∴S△HAM＝S△GEM，
∴S△ADE＝S△ADH+S△DGE，
∵AD＝4，DH＝2AH，AD2＝DH2+AH2，
∴AH＝4，DH＝8，
∴DG＝GE＝4，
∴，
故选：A．
11．勾股定理在平面几何中有着不可替代的重要地位，在我国古算书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载，如图1是由边长均为1的小正方形和Rt△ABC构成，可以用其面积关系验证勾股定理，将图1按图2所示“嵌入”长方形LMJK，则该长方形的面积为（　　）

A．60 B．100 C．110 D．121
【分析】延长AB交KL于点O，延长AC交LM于点P，证△OBF≌△ACB（AAS），得AC＝OB，同理△ACB≌△PGC（AAS），得PC＝AB，再证矩形AOLP是正方形，边长AO＝7，则KL＝10，LM＝11，即可解决问题．
【解答】解：延长AB交KL于点O，延长AC交LM于点P，如图所示：
则四边形AOLP是矩形，
∴∠BOF＝∠BAC＝90°，
∵四边形BCGF是正方形，
∴BC＝BF，∠CBF＝90°，
∴∠ABC+∠OBF＝90°，
又∵Rt△ABC中，∠ABC+∠ACB＝90°，
∴∠OBF＝∠ACB，
在△OBF和△ACB中，
，
∴△OBF≌△ACB（AAS），
∴AC＝OB，
同理：△ACB≌△PGC（AAS），
∴PC＝AB，
∴AB+OB＝PC+AC，
即OA＝AP，
∴矩形AOLP是正方形，边长AO＝AB+OB＝AB+AC＝3+4＝7，
∴KL＝3+7＝10，LM＝4+7＝11，
∴长方形LMJK的面积为：10×11＝110，
故选：C．

12．如图，将一副三角尺叠放在一起，若AB＝2cm，则AF的长为 　 　cm．

【分析】先利用30°的直角三角形的性质可得AC长，再利用BC∥DE可得∠AFC＝45°，进而可得△ACF为等腰直角三角形，根据勾股定理即可求出AF长．
【解答】解：在Rt△ABC中，AB＝2cm，∠B＝30°，
∴AC＝＝1，
∵BC∥DE，
∴∠AFC＝∠D＝45°，
∴△ACF为等腰直角三角形，
∴AF＝＝．
故答案为：．
13．对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形ABCD，若AD＝3，BC＝5，则AB2+CD2＝　 　．

【分析】根据“垂美”四边形的定义得到BD⊥AC，根据勾股定理计算，得到答案．
【解答】解：∵四边形ABCD为“垂美”四边形，
∴BD⊥AC，
∴∠AEB＝∠AED＝∠BEC＝∠DEC＝90°，
在Rt△AED中，AE2+DE2＝AD2＝9，
在Rt△BEC中，BE2+CE2＝BC2＝25，
∴AE2+DE2+BE2+CE2＝9+25＝34，
在Rt△AEB中，AE2+BE2＝AB2，
在Rt△CED中，CE2+DE2＝CD2，
∴AB2+CD2＝AE2+DE2+BE2+CE2＝9+25＝34，
故答案为：34．
14．如图，一架梯子AB斜靠在某个胡同竖直的左墙上，顶端在点A处，底端在水平地面的点B处，保持梯子底端B的位置不变，将梯子斜靠在竖直的右墙上，此时梯子的顶端在点E处．已知顶端A距离地面的高度AC为2米，BC为1.5米．
（1）梯子的长为 　 　米；
（2）若顶端E距离地面的高度EF比AC多0.4米，则胡同的宽CF为 　 　米．

【分析】（1）根据勾股定理可求出梯子的长；
（2）根据勾股定理可得出BD的长，进而可求解．
【解答】解：（1）在Rt△AOB中，
∵∠AOB＝90°，AC＝2米，CB＝1.5米，BC2+AC2＝AB2，
∴AB2＝22+1.52＝6.25，
∴AB＝±2.5，
∵AB＞0，
∴AB＝2.5米，
即梯子的长为2.5米，
故答案为：2.5；
（2）由题意得CD＝AC+0.4＝2.4米，BE＝AB＝2.5米，
∴BF2＝2.52﹣2.42＝0.49，
∴BF＝0.7米，
∴CD＝CB+BF＝1.5+0.7＝2.2米，
故答案为：2.2．
15．如图，已知，∠MON＝∠BAC＝90°，且点A在OM上运动，点B在ON上运动，若AB＝8，AC＝6，则OC的最大值为 　 　．

【分析】取AB的中点E，连接OE，CE，利用勾股定理求出CE，再利用直角三角形斜边上中线的性质得OE的长，最后利用三角形三边关系可得答案．
【解答】解：取AB的中点E，连接OE，CE，

∴AE＝4，
在Rt△ACE中，由勾股定理得，
CE＝＝＝2，
∵∠AOB＝90°，点E为AB的中点，
∴OE＝AB＝4，
∵OC≤OE+CE，
∴当点O、E、C共线时，OC最大值为4+2，
故答案为：4+2．
16．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，，，分别以Rt△ABC的三条边AC、AB、BC为直径画半圆，则两个月牙形图案的面积之和（阴影部分）为 　 　．

【分析】首先利用勾股定理求出AB的长，设以AB，BC，AC为直径的半径分别为①，②，③，由勾股定理得S①+S②＝S③，从而得出两个月牙形图案的面积之和为△ABC的面积，进而得出答案．
【解答】解：在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，
由勾股定理得：AB＝＝3，
设以AB，BC，AC为直径的半径分别为①，②，③，
∴S①＝，
同理S，S，
∴S①+S②＝S③，
∴S阴影＝S①+S②+S△ABC﹣S③
＝S×
＝，
故答案为：．
17．在一条东西走向的河的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，其中AB＝AC，由于某种原由，C到A的路现在已经不通，某村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H（A，H，B在一条直线上），并新修一条路CH，测得CB＝3km，CH＝2.4km，BH＝1.8km．求原来的路线AC的长．

【分析】先利用勾股定理的逆定理证明∠CHB＝90°，得出∠CHA＝90°，再利用勾股定理列出方程AC2＝（AC﹣1.8）2+2.42，解方程即可求出AC的长度．
【解答】解：∵CH2+BH2＝2.42+1.82＝9，BC2＝32＝9，
∴CH2+BH2＝BC2，
∴△CHB是直角三角形，且∠CHB＝90°，
∴∠CHA＝90°，
∴AC2＝AH2+CH2，
∵AB＝AC，
∴AH＝AB﹣HB＝AC﹣1.8，
∴AC2＝（AC﹣1.8）2+2.42，
解得：AC＝2.5，
答：原来的路线AC的长为2.5km．
18．如图，在△ABC中，AC＝BC＝6，E为BC边上一点，且CE＝2，AE＝2．
（1）求AB的长；
（2）点F为AB边上的动点，当△BEF为等腰三角形时，求AF的长．

【分析】（1）由勾股定理的逆定理证出∠ACE＝90°，由勾股定理可求出答案；
（2）分三种情况，由勾股定理可求出答案．
【解答】解：（1）∵AC＝6，CE＝2，AE＝2，
∴AC2+CE2＝40，AE2＝40，
∴AC2+CE2＝AE2，
∴∠ACE＝90°，
∴AB＝＝＝6；
（2）①∵BC＝6，CE＝2，
∴BE＝4，
当BF＝BE＝4时，
∴AF＝AB﹣BF＝6﹣4；
②如图，当BF＝EF时，有∠FEB＝∠B＝45°，

∴∠BFE＝90°，BF＝EF，
设BF＝EF＝x，
∵BF2+EF2＝BE2，
∴x2+x2＝42，
∴x＝2（负值舍去），
∴AF＝AB﹣BF＝6﹣2＝4；
③如图，当BE＝EF时，有∠EFB＝∠B＝45°，

∴∠BEF＝90°，EF＝BE＝4，
∴BF＝＝4，
∴AF＝AB﹣BF＝6﹣4＝2．
综上所述，AF的长为6﹣4或4或2．
19．如图，在△DEF中，∠D＝90°，DE＝16cm，EF＝20cm，P，Q是△DEF的边上的两个动点，其中点P从点E开始沿E→D方向运动，且速度为每秒1cm，点Q从点D开始沿D→F→E方向运动，且速度为每秒2m，它们同时出发，设出发的时间为ts．
（1）DF＝　 　cm．
（2）当点P在边EF的垂直平分线上时，t＝　 　s．
（3）当点Q在边EF上时，求使△DFQ成为等腰三角形的运动时间．

【分析】（1）根据勾股定理求得DF便可；
（2）设EF的垂直平分线MN分别与DE、EF交于点M、点N，由勾股定理列出t的方程，进行解答便可；
（3）分FD＝FQ，DF＝DQ，QD＝DF三种情形分别进行计算即可．
【解答】解：（1）∵∠D＝90°，
∴DF＝（cm），
故答案为：12；
（2）设EF的垂直平分线MN分别与DE、EF交于点M、点N，如下图，

∴EM＝MF＝t，
∴DM＝DE﹣EM＝16﹣t，
∵MF2﹣DM2＝DF2，
即t2﹣（16﹣t）2＝122，
角得t＝12.5，
故答案为：12.5；
（3）根据题意得，FQ＝2t﹣12，

当FD＝FQ时，2t﹣12＝12，
解得t＝12，
当QF＝QD时，
过点Q作QH⊥FD于点H，则FH＝DH，
∴HQ为△EDF的中位线，
∴2t﹣12＝10，
解得t＝11，
当DF＝DQ时，作DG⊥EF于G，

则DG＝＝＝，
在Rt△DGF中，由勾股定理得，FG＝＝＝，
∴FQ＝2FG＝，
∴2t﹣12＝，
解得t＝13.2，
综上：t＝12或11或13.2．

考点二 勾股定理的逆定理
【知识点睛】
v 勾股定理的逆定理
在△ABC中，若两边的平方和=第三边的平方，则该△为直角三角形
即在△ABC中，若，则△ABC为直角三角形，且∠C为直角


【类题训练】
1．以下列各组线段为边作三角形，不能作出直角三角形的是（　　）
A．3，7，8 B．6，8，10
C．1，2， D．0.3，0.4，0.5
【分析】先分别求出两小边的平方和和最长边的平方，再看看是否相等即可．
【解答】解：A、32+72≠82，故A选项不能构成直角三角形；
B、62+82＝102，故B选项能构成直角三角形；
C、12+22＝（）2，故C选项能构成直角三角形；
D、0.32+0.42＝0.52，故D选项能构成直角三角形．
故选：A．
2．如图，小正方形的边长均为1，A、B、C是小正方形的顶点，则∠ACB的度数是（　　）

A．30° B．45° C．60° D．90°
【分析】利用勾股定理求解AB，BC，AC的长可判断△ABC为等腰直角三角形，再利用等腰直角三角形的性质可求解．
【解答】解：由图可知：AB＝，
BC＝，
AC＝，
∴AB2+BC2＝AC2，AB＝BC，
∴△ABC为等腰直角三角形，∠ABC＝90°，
∴∠ACB＝45°．
故选：B．
3．如图，某海域有相距10海里的两个小岛A和C，甲船先由A岛沿北偏东70°方向走了8海里到达B岛，然后再从B岛走了6海里到达C岛，此时甲船位于B岛的（　　）

A．北偏东20°方向上 B．北偏西20°方向上
C．北偏西30°方向上 D．北偏西40°方向上
【分析】根据题意可得：∠DAB＝70°，AB＝8海里，BC＝6海里，AC＝10海里，然后利用勾股定理的逆定理先证明△ABC是直角三角形，从而∠ABC＝90°，最后利用平行线的性质求出∠ABE＝110°，从而利用角的和差关系即可解答．
【解答】解：如图：

由题意得：
∠DAB＝70°，AB＝8海里，BC＝6海里，AC＝10海里，
∵AB2+BC2＝82+62＝100，AC2＝102＝100，
∴AB2+BC2＝AC2，
∴△ABC是直角三角形，
∴∠ABC＝90°，
∵AD∥BE，
∴∠ABE＝180°﹣∠DAB＝110°，
∴∠CBE＝∠ABE﹣∠ABC＝20°，
∴此时甲船位于B岛的北偏西20°方向上，
故选：B．

4．如图，正方形网格中每一个小正方形的边长为1，小正方形的顶点为格点，点A，B，C为格点，点D为AC与网格线的交点，则∠ADB﹣∠ABD＝　 　．

【分析】连接AE，BE，设AE与BD交于点F，根据勾股定理的逆定理先证明△ABE是等腰直角三角形，从而可得∠BAE＝45°，再根据题意可得∠AFD＝∠ADF，然后利用三角形的外角，进行计算即可解答．
【解答】解：如图：连接AE，BE，设AE与BD交于点F，

由题意得：
AB2＝12+32＝10，
AE2＝12+22＝5，
EB2＝12+22＝5，
∴AE＝EB，BE2+AE2＝AB2，
∴△ABE是等腰直角三角形，
∴∠BAE＝45°，
∵BD∥EC，
∴∠ADB＝∠ACE，∠AFD＝∠AEC，
∵AE＝AC，
∴∠AEC＝∠ACE，
∴∠AFD＝∠ADF，
∵∠AFD是△ABF的一个外角，
∴∠AFD﹣∠ABD＝∠BAE＝45°，
∴∠ADB﹣∠ABD＝45°，
故答案为：45°．

5．如图，四边形ABCD中，AB⊥BC，AB＝4，BC＝3，AD＝12，CD＝13，则四边形ABCD的面积是 　 　．

【分析】先连接AC，由勾股定理求得AC的长度，然后根据勾股定理的逆定理判定△ACD是直角三角形，最后根据四边形ABCD的面积＝直角△ABC的面积+直角△ADC的面积，列式计算即可．
【解答】解：如图，连接AC，
在△ABC中，AB⊥BC，AB＝4，BC＝3，
∴AC＝＝＝5．
在△ADC中，AD＝12，CD＝13，AC＝5．
∵122+52＝132，即AD2+AC2＝CD2，
∴△ADC是直角三角形，且∠DAC＝90°，
∴S四边形ABCD＝S△ABC+S△ADC
＝AB•BC+AC•AD
＝×4×3+×5×12
＝6+30
＝36．
故答案为：36．

6．如图，点A、B、C在正方形网格点上，则∠ABC+∠ACB＝　 　．

【分析】延长BA到点D，连接CD，根据勾股定理的逆定理证明△ACD是等腰直角三角形，从而可得∠DAC＝45°，然后再利用三角形的外角进行计算即可解答．
【解答】解：如图：延长BA到点D，连接CD，

由题意得：
AD2＝22+12＝5，
CD2＝22+12＝5，
AC2＝12+32＝10，
∴AD2+CD2＝AC2，
∴△ACD是直角三角形，
∴∠ADC＝90°，
∵AD＝CD，
∴∠DAC＝∠DCA＝45°，
∵∠DAC是△ABC的一个外角，
∴∠DAC＝∠ABC+∠ACB＝45°，
故答案为：45°．
7．如图，方格中的点A、B、C、D、E称为“格点”（格线的交点），以这5个格点中的3点为顶点画三角形，共可以画 　 　个直角三角形．

【分析】根据题意画出图形，再找到其中的直角三角形即可得到结论．
【解答】解：如图，一共可以画9个三角形，其中△ABE，△BCE，△CDE是直角三角形，共可以画3个直角三角形．
故答案为：3．

8．如图，点B为x轴上的一个动点，点A的坐标为（0，4），点C的坐标为（4，1），CE⊥x轴于E点，当点B的坐标为 　 　时，△ABC为直角三角形．

【分析】可设点B的坐标为（x，0），分三种情况：①AB为斜边；②AC为斜边；③BC为斜边；根据勾股定理及逆定理列出方程计算即可求解．
【解答】解：设点B的坐标为（x，0），分三种情况：
①AB为斜边，
（4﹣1）2+42+（x﹣4）2+12＝x2+42，
解得x＝；
②AC为斜边，
（x﹣4）2+12+x2+42＝（4﹣1）2+42，
解得x＝2；
③BC为斜边，
（x﹣4）2+12＝x2+42+（4﹣1）2+42，
解得x＝﹣3．
故当点B的坐标为（，0）或（2，0）或（﹣3，0）时，△ABC为直角三角形．
故答案为：（，0）或（2，0）或（﹣3，0）．
9．如图，在4×4的正方形网格中有两个格点A、B，连接AB，在网格中再找一个格点C，使得△ABC是等腰直角三角形，满足条件的格点C有 　 　个．

【分析】根据题意，结合图形，分两种情况讨论：①AB为等腰直角△ABC底边；②AB为等腰直角△ABC其中的一条腰．
【解答】解：如图：分情况讨论：

①AB为等腰直角△ABC底边时，符合条件的格点C有0个；
②AB为等腰直角△ABC其中的一条腰时，符合条件的格点C有3个．
故满足条件的格点C有3个．
故答案为：3．
10．如图所示，四边形ABCD，∠A＝90°，AB＝3m，BC＝12m，CD＝13m，DA＝4m．

（1）求四边形ABCD的面积；
（2）如图2，以A为坐标原点，以AB、AD所在直线为x轴、y轴建立直角坐标系，点P在y轴上，若S△PBD＝S四边形ABCD，求P的坐标．
【分析】（1）在Rt△ABC中，根据勾股定理可求出BD＝5m，然后再证明△BDC是直角三角形，从而可得∠DBC＝90°，最后根据四边形ABCD的面积＝△ABD的面积+△DBC的面积，进行计算即可解答；
（2）设P（0，a），可得PD＝|a﹣4|，然后根据已知可得•|a﹣4|•3＝9，进行计算即可解答．
【解答】解：（1）∵∠A＝90°，AB＝3m，DA＝4m，
∴BD＝＝＝5（m），
∵BC＝12m，CD＝13m，
∴DB2+BC2＝52+122＝169，CD2＝132＝169，
∴BD2+BC2＝CD2，
∴△BDC是直角三角形，
∴∠DBC＝90°，
∴四边形ABCD的面积＝△ABD的面积+△DBC的面积
＝AD•AB+DB•BC
＝×4×3+×5×12
＝36（m2），
∴四边形ABCD的面积为36m2；
（2）设P（0，a），
∵DA＝4m，
∴D（0，4），
∴PD＝|a﹣4|，
∵S△PBD＝S四边形ABCD，
PD•AB＝×36，
•|a﹣4|•3＝9，
|a﹣4|＝6，
a﹣4＝±6，
a＝10或a＝﹣2，
∴P（0，10）或（0，﹣2）．
11．在一次“探究性学习”中，老师设计了如下数表：
n
2
3
4
5
6
…
a
22﹣1
32﹣1
42﹣1
52﹣1
62﹣1
…
b
4
6
8
10
12
…
C
22+1
32+1
42+1
52+1
62+1
…
（1）观察上表，用含n（n＞1，且n为整数）的代数式表示a，b，c，则a＝　 　，b＝　 　，c＝　 　．
（2）在（1）的条件下判断：以a，b，c为边的三角形是否为直角三角形？证明你的结论．
【分析】（1）根据表格中数据，即可解答；
（2）利用勾股定理的逆定理，进行计算即可解答．
【解答】解：（1）观察上表，用含n（n＞1，且n为整数）的代数式表示a，b，c，则a＝n2﹣1，b＝2n，c＝n2+1，
故答案为：n2﹣1，2n，n2+1；
（2）以a，b，c为边的三角形是直角三角形，
证明：∵a＝n2﹣1，b＝2n，c＝n2+1，
∴a2＝（n2﹣1）2＝n4﹣2n2+1，
b2＝（2n）2＝4n2，
c2＝（ n2+1）2＝n4+2n2+1，
∴a2+b2＝n4﹣2n2+1+4n2＝n4+2n2+1，
∴a2+b2＝c2，
∴以a，b，c为边的三角形是直角三角形．
12．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，∠CBE＝45°，BE分别交AC，AD于点E、F．
（1）如图1，若AB＝13，BC＝10，求AF的长度；
（2）如图2，若AF＝BC，求证：BF2+EF2＝AE2．

【分析】（1）先根据等腰三角形三线合一的性质得BD＝5，由勾股定理计算可得AD的长，由等腰直角三角形性质得DF＝5，最后由线段的差可得结论；
（2）如图2，作辅助线，构建全等三角形，证明△CHB≌△AEF（SAS），得AE＝CH，∠AEF＝∠BHC，由等腰三角形三线合一的性质得EF＝FH，最后由勾股定理和等量代换可得结论．
【解答】（1）解：如图1，∵AB＝AC，AD⊥BC，

∴BD＝CD，
∵BC＝10，
∴BD＝5，
Rt△ABD中，∵AB＝13，
∴AD＝＝＝12，
Rt△BDF中，∵∠CBE＝45°，
∴△BDF是等腰直角三角形，
∴DF＝BD＝5，
∴AF＝AD﹣DF＝12﹣5＝7；

（2）证明：如图2，在BF上取一点H，使BH＝EF，连接CF、CH

在△CHB和△AEF中，
∵，
∴△CHB≌△AEF（SAS），
∴AE＝CH，∠AEF＝∠BHC，
∴∠CEF＝∠CHE，
∴CE＝CH，
∵BD＝CD，FD⊥BC，
∴CF＝BF，
∴∠CFD＝∠BFD＝45°，
∴∠CFB＝90°，
∴EF＝FH，
Rt△CFH中，由勾股定理得：CF2+FH2＝CH2，
∴BF2+EF2＝AE2．