【同步讲义】北师大版数学八年级上册：第一次月考押题预测卷（考试范围：第一、二章）

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第一次月考押题预测卷
（考试范围：第一、二章）
姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________
注意事项：
本试卷满分120分，考试时间90分钟，试题共26题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2022·四川宜宾·八年级期末）已知△ABC中，∠A、∠B、∠C所对的边分别是a、b、c，满足下列条件的三角形中，不能判定△ABC为直角三角形是的（       ）
A．∠A：∠B：∠C＝3：4：5 B．∠A＝∠C﹣∠B
C．a：b：c＝5：12：13 D．∠A：∠B：∠C＝1：2：3
【答案】A
【分析】利用三角形的内角和定理可判断A，B，D，利用勾股定理的逆定理可判断C，从而可得答案.
【详解】解： ∠A：∠B：∠C＝3：4：5，
故A符合题意；
则
故B不符合题意；
a：b：c＝5：12：13，设 则
所以能构成直角三角形，故C不符合题意；
∠A：∠B：∠C＝1：2：3，
故D不符合题意；故选A
【点睛】本题考查的是三角形的内角和定理的应用，勾股定理的逆定理的应用，熟练的掌握“判定直角三角形的方法”是解本题的关键.
2．（2022·四川·九年级专题练习）函数中，自变量的取值范围是（     ）
A． B．且 C． D．且
【答案】B
【分析】根据二次根式有意义的条件以及分式有意义的条件可得结果．
【详解】解：由题意得：，，解得：且，故选：．
【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件以及分式有意义的条件，熟知根号下为非负数以及分母不为零是解题的关键．
3.（2022·河南鹤壁·八年级期末）如图，在一个长为，宽为的长方形草地上，放着一根长方体木块，它较长的边和草地的宽平行且长大于，木块从正面看是边长为的正方形，一只蚂蚁从点A出发到达点C处需要走的最短路程为（       ）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】解答此题要将木块展开，然后根据两点之间线段最短解答．
【详解】由题意可知，将木块展开，如图，

长相当于是AB+2个正方形的宽，
∴长为9+2×1＝11(m)；宽为6 m．
于是最短路径为： (m)．故选B．
【点睛】本题考查了勾股定理求最短距离，掌握勾股定理是解题的关键．
4．（2022·四川广元·八年级期末）下列计算正确的是（       ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据根式的混合运算法则，对选项进行运算，即可求出答案．
【详解】A项等于 ，不正确；
B项原式不能合并，不正确；C项原式＝ ，不正确；
D原式＝ ，正确．故答案选D
【点睛】本题考查根式的混合运算，关键要熟记其运算法则．
5．（2022·新疆·乌鲁木齐市第四中学八年级期末）已知直角三角形两边的长为3和4，则此三角形的周长为（　　）
A．12 B．7+ C．12或7+ D．以上都不对
【答案】C
【详解】解：设Rt△ABC的第三边长为x，
①当4为直角三角形的直角边时，x为斜边，由勾股定理得，x==5，
此时这个三角形的周长=3+4+5=12；
②当4为直角三角形的斜边时，x为直角边，由勾股定理得，x=，
此时这个三角形的周长=3+4+=7+．故选C
6．（2022·黑龙江·八年级期末）把中根号前的（m－1）移到根号内得 （　     ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先判断出m-1的符号，然后解答即可．
【详解】∵被开方数，分母.∴，∴.
∴原式．故选D．
【点睛】本题考查二次根式的性质与化简：|a|．考查二次根式的成立的条件以及二次根式的乘法．
7．（2022·福建·厦门一中八年级期中）我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”．如图是由弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成．记图中正方形，正方形，正方形的面积分别为，若，则的值是（       ）

A．6 B．8 C．10 D．12
【答案】B
【分析】根据正方形的面积和勾股定理即可求解．
【详解】解：设全等的直角三角形的两条直角边为、且，
由题意可知：，，，
因为，即，
，所以，的值是．故选：B．
【点睛】本题考查了正方形的面积、勾股定理，解决本题的关键是随着正方形的边长的变化表示面积．
8．（2022·重庆南开中学八年级月考）如图，已知ABCD是长方形纸片，，在CD上存在一点E，沿直线AE将折叠，D恰好落在BC边上的点F处，且，则的面积是（ ）．

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据面积求出BF、AF、CF，设DE为x，列方程求出即可．
【详解】解：ABCD是长方形纸片，∴AB=CD=3，
，∴，∴BF=4，∴AF=，
∴AF=AD=BC=5，CF=1，设DE为x，EF=DE=x，EC=3-x，
x2=(3-x)2+1，解得，x= ，∴，故选：B．
【点睛】本题考查了勾股定理与翻折，解题关键是恰当的设未知数，根据勾股定理列方程．
9．（2022·安庆市八年级期中）实数，在数轴上的位置如图所示，化简：的结果是（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据二次根式的性质先化简，再根据绝对值的性质进行计算即可．
【详解】解：观察实数a，b在数轴上的位置可知：
a+1＞0，a-b＜0，1-b＜0，a+b＞0，
∴，=|a+1|+|a-b|+2|1-b|-|a+b|
=a+1+b-a+2（b-1）-（a+b）=a+1+b-a+2b-2-a-b=-a+2b-1．故选：C．
【点睛】本题考查了二次根式的性质与化简、实数与数轴，解决本题的关键是掌握二次根式得性质及绝对值的性质．
10．（2022·湖南八年级期中）如图，在中，，，点D，E为BC上两点．，F为外一点，且，，则下列结论：
①；②；③；④，其中正确的是

A．①②③④ B．①②④ C．①③④ D．②③
【答案】A
【分析】①用全等三角形的判定得≌，再用全等三角形的性质得结论；②用全等三角形的判定和全等三角形的性质得，再利用勾股定理得结论；③利用等腰三角形的性质得，再利用三角形的面积计算结论；④利用勾股定理和等腰直角三角形的性质计算得结论．
【详解】解：如图：

对于①，因为，
所以，
，因此．
又因为，所以．
又因为，所以．
因此≌，所以．故①正确．
对于②，由①知≌，所以．
又因为，所以，连接FD，
因此≌．所以．
在中，因为，所以．故②正确．
对于③，设EF与AD交于G．
因为，所以．
因此．故③正确．
对于④，因为，又在中，
又是以EF为斜边的等腰直角三角形，所以
因此，故④正确．故选A．
【点睛】本题考查全等三角形的判定，全等三角形的性质，勾股定理，等腰三角形的性质和三角形的面积．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
11．（2022·北京·八年级期中）把无理数，，，﹣表示在数轴上，在这四个无理数中，被墨迹（如图所示）覆盖住的无理数是_______．

【答案】
【分析】根据无理数的估算求出各个无理数的取值范围，由此即可得出答案．
【详解】解：，，即，，，
则在这四个无理数中，被墨迹（如图所示）覆盖住的无理数是，故答案为：．
【点睛】本题考查了无理数的估算，熟练掌握无理数的估算方法是解题关键．
12．（2022·甘肃·高台县八年级期末）估算比较大小：_______；______．
【答案】     >     <
【分析】①二次根式比较大小，可比较其平方的大小；
②二者作差与作比较，可比较二者的大小．
【详解】解：①，，故答案为：．
②，故答案为：．
【点睛】本题考察了根式的大小比较．解题的关键在于识别根式适用的方法．常用的方法有：平方法、作差法、作商法、分子有理化、分母有理化等．
13．（2022·黑龙江哈尔滨·八年级期末）已知，在中，，高，则边长为____________．
【答案】7或5
【分析】根据题意画出符合条件的图形，分别考虑当高AD在内部和外部的情况，再用勾股定理求解．
【详解】如图：当AD在△ABC内部时，∵，，
∴，，∴BC=6+1=7；

如图：当AD在△ABC外部时，∵，，
∴，，
∴BC=6-1=5；故答案为：7或5
【点睛】本题主要考查了用勾股定理求三角形的边，熟练地掌握勾股定理的内容，根据题意进行分类讨论是解题的关键．
14．（2022·河南八年级期末）我国古代数学名著《算法统宗）有一道“荡秋干”的问题，“平地秋千未起，踏板一尺离地．送行二步与人齐，5尺人高曾记，仕女家人争蹴．良工高士素好奇，算出索长有几？”此问题可理解为：如图，有一架秋千，当它静止时，踏板离地距离PA的长为1尺，将它向前水平推送10尺时，即尺，秋千踏板离地的距离就和身高5尺的人一样高，秋千的绳索始终拉得很直，则秋千的绳索长为________尺．

【答案】14.5
【分析】设秋千的绳索长为x尺，由题意知：OC=x-（5-1）=（x-4）尺，CP′=10尺，OP′=x尺，根据勾股定理列方程即可得出结论．
【详解】解：设秋千的绳索长为x尺，由题意知：OC=x-（5-1）=（x-4）尺，CP′=10尺，OP′=x尺，
在Rt△OCP′中，由勾股定理得：（x-4）²+10²=x²，解得：x=14.5，故答案为：14.5．
【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，由勾股定理建立方程是解题的关键．
15．（2022·河北·平泉市九年级学业考试）已知长方形的长为a，宽为b，且，．
（1）这个长方形的周长为__；（2）若一正方形的面积和这个长方形的面积相等，则这个正方形的边长为__．
【答案】         
【分析】利用长方形的周长公式列出代数式并求值；利用等量关系另一个正方形的面积=这个长方形的面积列出等式并计算．
【详解】解：∵，．
长方形的周长=2×(+)= 2×(+)=12；
长方形的面积===24，
根据面积相等，则正方形的边长==．
故答案为：；．
【点睛】此题主要考查了二次根式的应用，需要掌握长方形和正方形的面积公式与长方形周长公式．
16．（2022·浙江八年级专题练习）已知，则2x﹣18y2＝_____．
【答案】
【分析】直接利用二次根式的性质将已知化简，再将原式变形求出答案．
【详解】解：∵一定有意义，∴x≥11，
∴﹣|7﹣x|+＝3y﹣2，
﹣x+7+x﹣9＝3y﹣2，
整理得：＝3y，∴x﹣11＝9y2，
则2x﹣18y2＝2x﹣2（x﹣11）＝22．故答案为：22．
【点睛】本题考查二次根式有意义的应用，以及二次根式的性质应用，属于提高题．
17．（2022·山西吕梁·七年级阶段练习）据说，我国著名数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：一个数是59319，希望求它的立方根．华罗庚脱口而出：39．邻座的乘客十分惊奇，忙问计算的奥秘．华罗庚给出了如下方法：（1）由，，确定是两位数；（2）由59319个位上的数是9，确定个位上的数是9；（3）划去59319后面的三位319得到59，而，，由此确定十位上的数是3．请你类比上述过程，确定21952的立方根是______．
【答案】28
【分析】首先由，，确定是两位数，再由21952个位上的数是2，确定个位上的数是8，然后划去21952后面的三位952得到21，而，，由此确定十位上的数是2，即可得出结果．
【详解】解：∵
∴
∴是两位数
又∵只有个位上是8的数的立方的个位上的数是2
∴的个位上的数是8
∵划去21952后面的三位952得到21，而，
∴十位上的数是2
∴的值为28
故答案为：28
【点睛】本题考查了数的立方根，理解一个数的立方根的个位数就是这个数的个位数的立方的个位数是解本题的关键．
18．（2022·江苏八年级期中）如图，矩形中，，．点是的中点，点是边上的任意一点（不与、重合），沿翻折，点落在处，当的长度最小时，的长度为______．

【答案】
【分析】先确定当，，共线时，的值最小，再根据勾股定理解题．
【详解】如图，连接，

∵，，，∴，
∴当，，共线时，的值最小，不妨设此时点落在上的点处，设，
∵，∴，解得．故答案为：．
【点睛】本道题考查了两点之间，线段最短、勾股定理(在直角三角形中，两直角边的平方之和等于斜边的平方) ．解题的关键是确定当，，共线时，的值最小．
三、解答题（本大题共8小题，共66分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2022·江苏苏州市·八年级期中）计算：
（1）； （2）；
（3） （4）
【答案】（1）；（2）；（3）；（4）
【分析】（1）根据二次根式的性质、平方差公式和二次根式的除法公式计算即可；
（2）利用完全平方公式和二次根式的乘法公式计算即可；
（3）根据二次根式的性质、立方根的定义、乘方的意义和绝对值的性质计算即可；
（4）根据二次根式的乘法公式和合并同类二次根式法则计算即可．
【详解】解：（1）=
==
（2）====
（3）==
（4）=
==
【点睛】此题考查的是二次根式的混合运算，掌握二次根式的性质、二次根式的乘法公式、二次根式的除法公式和合并同类二次根式法则是解题关键．
20．（2022·辽宁鞍山·八年级期中）如图，每个小正方形的边长都为1．求出四边形ABCD的周长和面积．

【答案】周长为；面积为26
【分析】根据勾股定理分别求出AB，BC，CD，AD的长即可得到四边形ABCD的周长；根据四边形ABCD的面积等于其所在的长方形面积减去周围四个三角形面积求解即可．
【详解】解：根据勾股定理得，，， ，
故四边形ABCD的周长：；
四边形ABCD的面积：．
【点睛】本题主要考查了勾股定理与网格问题，熟知勾股定理是解题的关键．
21．（2022·山西省运城市八年级阶段练习）如图第4号台风“黑格比”的中心于2020年8月5日下午位于浙江省绍兴市境内的B处，最大风力有9级（23m/s），中心最低气压为990百帕，台风中心沿东北（BC）方向以25km/h的速度向D移动在距离B地250km的正北方有一A地，已知A地到BC的距离AD＝70km，那么台风中心经过多长时间从B点移到D点？如果在距台风中心70km的圆形区域内都将有受到台风破坏的危险，正在D点休闲的游人在接到台风警报后的几个小时内撤离才可脱离危险？

【答案】台风中心经过小时从B点移到D点，在接到台风警报后的小时内撤离才可脱离危险．
【分析】由勾股定理解得BD的长，继而解得台风从B点移到D点的时间，即可解得BE的长，及从点B到点E的时间，据此解题．
【详解】解：在ΔABD中，根据勾股定理，BD===240(km），
则台风中心经过240÷25=小时从B点移到D点，
如图，距台风中心70km的圆形区域内都会受到不同程度的影响，
∴所以人们要在台风中心到达E点之前撤离，
∵BE=BD-DE=240-70=170km，170÷25=（小时），
∴正在D点休闲的游人在接到台风警报后的小时内撤离才可脱离危险．

【点睛】本题考查勾股定理的实际应用，是重要考点，掌握相关知识是解题关键．
22．（2021·福建八年级期末）如图，在中，，，是上一点，，．
（1）求证：；（2）求的长．

【答案】（1）见解析；（2）的长为．
【分析】(1)计算△BCD各边的平方，看是否满足勾股定理的逆定理，依此判断直线的位置关系；(2)用方程思想，表达勾股定理计算即可.
【详解】（1）证明：，，
，，；
（2）设，则，

在中，，，，
解得，的长为．
【点睛】本题考查了勾股定理及其逆定理的应用，熟练掌握定理，逆定理并灵活运用是解题的关键.
23．（2022·山东济宁·八年级期中）我们知道，是一个无理数，将这个数减去整数部分，差就是小数部分，
即的整数部分是1，小数部分是，请回答以下问题：
(1)的小数部分是________，的小数部分是________．
(2)若a是的整数部分，b是的小数部分，求的平方根．
(3)若，其中x是整数，且，求的值．
【答案】(1)，；(2)；(3)11．
【分析】（1）确定的整数部分，即可确定它的小数部分；确定的整数部分，即可确定的整数部分，从而确定的小数部分；
（2）确定的整数部分，即知a的值，同理可确定的整数部分，从而求得它的小数部分，即b的值，则可以求得代数式+1的值，从而求得其平方根；
（3）由得即，从而得x=9，y=，将x、y的值代入原式即可求解．
（1）解：∵，
∴的整数部分为3，
∴的小数部分为，
∵，
∴，
∴即，
∴的整数部分为1，
∴的小数部分为，
故答案为：，；
（2）解：∵，a是的整数部分，
∴a=9，
∵，
∴的整数部分为1，
∵b是的小数部分，
∴，
∴
∵9的平方根等于，
∴的平方根等于；
（3）解：∵，
∴即，
∵，其中x是整数，且，
∴x=9，y=，
∴．
【点睛】本题考查了无理数的估算、求平方根以及求代数式的值，关键是掌握二次根式的大小估算方法．
24．（2022·重庆·八年级期末）阅读下述材料：
我们在学习二次根式时，熟悉的分母有理化以及应用．其实，有一个类似的方法叫做“分子有理化”：
与分母有理化类似，分母和分子都乘以分子的有理化因式，从而消掉分子中的根式．比如：
分子有理化可以用来比较某些二次根式的大小，也可以用来处理一些二次根式的最值问题．例如：比较和的大小．可以先将它们分子有理化．如下：   
因为，所以
再例如：求的最大值．做法如下：
解：由，可知，而
当时，分母有最小值，所以的最大值是．
解决下述问题：（1）比较和的大小；（2）求的最大值．
【答案】（1）；（2）的最大值为．
【分析】（1）利用分母有理化得到， ，利用可判断 ；
（2）根据二次根式有意义的条件得到由1+x≥0，x≥0，则x≥0，利用分母有理化得到，由于x=0时，有最小值1，从而得到y的最大值．
【详解】解：（1），
，
而，，
，
；
（2）由，，可知x≥0，
，
当时，有最小值1，则有最大值，
所以的最大值为．
【点睛】本题考查了分母有理化：分母有理化是指把分母中的根号化去．也考查了平方差公式．
25．（2022·四川八年级期末）阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如，善于思考的小明进行了以下探索：
设（其中a、b、m、n均为正整数），则有，
∴a＝m2+2n2，b＝2mn．
这样小明就找到了一种把部分的式子化为平方式的方法．
请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：
（1）当a、b、m、n均为正整数时，若，用含m、n的式子分别表示a、b，得：a＝　 　，b＝　 　；
（2）若，且a、m、n均为正整数，求a的值；
（3）化简：．
【答案】（1）m2+6n2，2mn；（2）a＝13或7；（3）﹣1．
【分析】（1）利用完全平方公式展开得到，再利用对应值相等即可用m、n表示出a、b；
（2）直接利用完全平方公式，变形后得到对应值相等，即可求出答案；
（3）直接利用完全平方公式，变形化简即可．
【详解】解：（1）∵，
∴a＝m2+6n2，b＝2mn．
故答案为：m2+6n2，2mn；
（2）∵，
∴a＝m2+3n2，mn＝2，
∵m、n均为正整数，
∴m＝1、n＝2或m＝2，n＝1，
∴a＝13或7；
（3）∵，
则．
【点睛】本题考查了二次根式性质和完全平方式的内容，考生须先弄清材料中解题的方法，同时熟练掌握和灵活运用二次根式的相关运算法则以及二次根式的化简公式是解题的关键.
26．（2022·浙江八年级期末）如图，和都是等腰直角三角形，．
（1）如图1，点、都在外部，连结和相交于点．①判断与的位置关系和数量关系，并说明理由；②若，，求的值．（2）如图2，当点在内部，点在外部时，连结、，当，时，求的值．

【答案】（1）①BD＝CE且BD⊥CE，理由见详解；②14；（2）22
【分析】（1）①证明△ABD≌△ACE，根据全等三角形的性质得到BD＝CE，∠ABD＝∠ACE，根据三角形内角和定理得到∠CFG＝∠BAG＝90°，根据垂直的定义解答；②由，，可得BC2=2AB2=8，DE2=2AD2=6，进而即可求解；
（2）延长BD，分别交AC、CE于F、G，同理可证： BD＝CE且BD⊥CE，设DG=x，CG=y，EG=z，利用勾股定理可得= DE2+ BC2，进而即可求解．
【详解】（1）①BD＝CE且BD⊥CE，理由如下：
设BD与AC交于点G，如图，∵△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，
∴AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝90°，
∵∠BAD＝∠BAC+∠DAC，∠CAE＝∠DAE+∠DAC，∴∠BAD＝∠CAE，
在△ABD和△ACE中，，∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴BD＝CE，∠ABD＝∠ACE，
∵∠AGB＝∠FGC，∴∠CFG＝∠BAG＝90°，即BD⊥CE；

②，，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，
∴BC2=2AB2=8，DE2=2AD2=6，
∵BD⊥CE，∴= BC2+ DE2=8+6=14；
（2）延长BD，分别交AC、CE于F、G，同理可证： BD＝CE且BD⊥CE，
∵，，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，
∴BC2=2AB2=18，DE2=2AD2=4，
设DG=x，CG=y，EG=z，则在Rt∆DEG中，x2+z2= DE2=4，在Rt∆BCG中，（x+y+z）2+y2= BC2=18，在Rt∆CDG中，x2+y2= CD2，在Rt∆BEG中，（x+y+z）2+z2=BE2，
∴=（x+y+z）2+z2+ x2+y2= DE2+ BC2=4+18=22．
【点睛】本题考查的是等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质以及勾股定理，掌握相关的判定定理和性质定理是解题的关键．