【同步讲义】（人教A版2019）高中数学必修二：第25讲 圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积 讲义

第25课   圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积

知识点01   圆柱、圆锥、圆台的表面积

【即学即练1】　已知圆锥的轴截面是等腰直角三角形，且圆锥的母线长为2，则圆锥的侧面积是（    ）．

A． B．2 C． D．

知识点02  圆柱、圆锥、圆台的体积

【即学即练2】甲、乙两个圆锥的母线长相等，侧面展开图的圆心角之和为，侧面积分别为和，体积分别为和．若，则（    ）

A． B． C． D．

知识点03   球的表面积和体积公式

1．球的表面积公式S＝4πR2(R为球的半径)．

2．球的体积公式V＝πR3.

反思感悟

计算球的表面积与体积，关键是确定球心与半径．

【即学即练3】生活中有很多球缺状的建筑．一个球被平面截下的部分叫做球缺，截面做球缺的底面，球缺的曲面部分叫做球冠，垂直于截面的直径被截后的线段叫做球缺的高．球冠的面积公式为，球缺的体积公式为，其中R为球的半径，H为球缺的高．现有一个球被一平面所截形成两个球缺，若两个球冠的面积之比为，则这两个球缺的体积之比为（    ）

A． B． C． D．

【即学即练4】 已知正三棱台的高为1，上、下底面边长分别为和，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（    ）

A． B． C． D．

5．圆柱的母线长为1，圆柱的侧面积为，四边形是圆柱的轴截面，若是下底面圆的内接正三角形，且与交于点G，则与所成角的正切值为（    ）

A．3 B． C． D．2

考法01  圆柱、圆锥、圆台的表面积

【典例1】已知二面角，球与两个半平面，分别相切于，两点，且球心到的距离为，若，则球的表面积为（    ）

A． B． C． D．

【变式训练】已知圆锥的顶点为点，高是底面半径的倍，点，是底面圆周上的两点，当是等边三角形时面积为，则圆锥的侧面积为（    ）

A． B． C． D．

考法02 圆柱、圆锥、圆台的体积

【典例2】一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径相等，下列结论正确的是（    ）

A．圆柱的侧面积为 B．圆锥的侧面积为

C．圆柱的侧面积与球的表面积相等 D．球的体积是圆锥体积的两倍

【变式训练】

如果三棱锥的三条侧棱两两垂直，且侧棱长度都是2，则它的外接球的体积是___________.

考法03  球的表面积与体积

【典例3】已知三棱锥，其中平面，，，则该三棱锥外接球的表面积为（    ）

A． B． C． D．

【变式训练】如图，已知圆锥的底面半径为4，母线长为8，P为母线的中点．

(1)求圆锥的表面积和体积；

(2)若为底面直径，求沿圆锥表面，点P到点B的最短距离．

考法04  简单组合体的表面积与体积

典例　如图所示，在棱长为4的正方体上底面中心位置打一个直径为2，深为4的圆柱形孔，求打孔后的几何体的表面积和体积．

[变式训练]玉琮是中国古代玉器中重要的礼器，神人纹玉琮王是新石器时代良渚文化的典型玉器，1986年出土于浙江省余杭市反山文化遗址．玉琮王通高8.8 cm，孔径4.9 cm、外径17.6 cm.琮体四面各琢刻一完整的兽面神人图象，兽面的两侧各浅浮雕鸟纹，器形呈扁矮的方柱体，内圆外方，上下端为圆面的射，中心有一上下垂直相透的圆孔．试估计该神人纹玉琮王的体积约为(单位：cm3)(　　)

A．6 250   B．3 050

C．2 850   D．2 350

反思感悟

(1)求组合体的表面积与体积的关键是弄清组合体中各简单几何体的结构特征及组合形式，对于与旋转体有关的组合体问题，要根据条件分清各个简单几何体的底面半径及母线长，再分别代入公式求解．

(2)识别几何体的结构特征，提升直观想象素养．

题组A  基础过关练

一、单选题

1．已知四面体的棱长都等于2，那么它的外接球的表面积为（    ）

A． B． C． D．

2．已知圆锥的侧面展开图为一个面积为的半圆，则该圆锥的高为（    ）

A． B．1 C． D．

3．圆柱的母线长为1，圆柱的侧面积为，四边形是圆柱的轴截面，若是下底面圆的内接正三角形，且与交于点G，则与所成角的正切值为（    ）

A．3 B． C． D．2

4．已知圆锥的底面半径为1，侧面展开图的圆心角为，则此圆锥的表面积为（    ）

A． B． C． D．

5．三棱锥中，平面，为直角三角形，，，，则三棱锥的外接球的表面积为（    ）

A． B． C． D．

6．在三棱锥中，平面，，且，则三棱锥外接球的体积等于（    ）

A． B． C． D．

二、多选题

7．已知某球的表面积为，则下列说法中正确的是（    ）

A．球的半径为2 B．球的体积为 C．球的体积为 D．球的半径为1

8．如图，四边形是圆柱的轴截面，是圆柱的一条母线，已知，，，则下列说法正确的是（    ）

A．圆柱的侧面积为 B．圆柱的侧面积为

C．圆柱的表面积为 D．圆柱的表面积为

三、填空题

9．若一个长方体的长、宽，高分别为4，2，3，则这个长方体外接球的表面积为______________．

10．如图，是边长为1的正方形，是四分之一圆弧，则图中阴影部分绕轴旋转一周得到的旋转体的表面积为________________.

11．将一个边长为2的正三角形以其一边所在直线为旋转轴旋转一周，所得几何体的表面积为_____________.

12．四面体A﹣BCD中，AB＝CD＝5，，，则四面体A﹣BCD外接球的表面积为_____．

四、解答题

13．已知圆锥的底面半径为1，高为，求圆锥的表面积.

14．如图，△ABC中，，，在三角形内挖去一个半圆（圆心O在边BC上，半圆与AC、AB分别相切于点C，M，与BC交于点N），将△ABC绕直线BC旋转一周得到一个旋转体

(1)求该几何体中间一个空心球的表面积的大小；

(2)求图中阴影部分绕直线BC旋转一周所得旋转体的体积．

15．已知圆锥的表面积为，其侧面展开图是一个半圆，求该圆锥的体积．

16．已知球与正四面体的六条棱都相切，求球与正四面体的体积之比．

题组B  能力提升练

一、单选题

1．圆柱的底面直径与高都等于球的直径，则球的表面积与圆柱的侧面积的比值为（    ）

A．1∶1 B．1∶2 C．2∶1 D．2∶3

2．已知球的内接圆柱（圆柱的底面圆周在球面上）的高恰好是球的半径，则圆柱侧面积与球的表面积之比为（    ）

A． B． C． D．

3．一个圆柱内接于一个底面半径为2，高为4的圆锥，则内接圆柱侧面积的最大值是（    ）

A． B． C． D．

4．菱形中，，，将沿折起，C点变为E点，当四面体的体积最大时，四面体的外接球的面积为（    ）

A． B． C． D．

5．已知三棱锥的四个顶点在球的球面上，，是边长为的正三角形，三棱锥的体积为，为的中点，则过点的平面截球所得截面面积的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

二、多选题

6．“阿基米德多面体”也称为半正多面体，是由边数不全相同的正多边形为面围成的多面体，它体现了数学的对称美.如图所示，将正方体沿交于一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥，共可截去八个三棱锥，得到八个面为正三角形、六个面为正方形的一种半正多面体.已知，则关于如图半正多面体的下列说法中，正确的有（    ）

A．该半正多面体的体积为

B．该半正多面体过三点的截面面积为

C．该半正多面体外接球的表面积为

D．该半正多面体的顶点数、面数、棱数满足关系式

7．已知三棱柱的个顶点全部在球的表面上，，，三棱柱的侧面积为，则球体积可能是（    ）

A． B． C． D．

三、填空题

8．表面积为的球的体积是__________．

9．已知三棱锥中，，，则该三棱锥内切球的表面积为____________．

10．已知球为三棱锥的外接球，球的体积为，正三角形的外接圆半径为，则三棱锥的体积的最大值为______．

11．中国古代数学经典《九章算术》系统地总结了战国、秦、汉时期的数学成就，书中将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑，如图为一个阳马与一个鳖臑的组合体，已知平面，四边形为正方形，，，若鳖臑的外接球的体积为，则阳马的外接球的表面积等于______.

四、解答题

12．计算地球的表面积（地球的半径约为6371km）．

13．如图，用铁皮作一个无盖的圆锥形容器，已知该圆锥的母线与底面所在平面的夹角为45°，容器的高为10cm，制作该容器需要多少面积的铁皮？（不计耗损，结果精确到整数）

题组C  培优拔尖练

1.勒洛四面体是一个非常神奇的“四面体”，它能在两个平行平面间自由转动，并且始终保持与两平面都接触，因此它能像球一样来回滚动.勒洛四面体是以正四面体的四个顶点为球心，以正四面体的棱长为半径的四个球的公共部分，如图所示，若正四面体ABCD的棱长为a，则（       ）

A．能够容纳勒洛四面体的正方体的棱长的最小值为a

B．勒洛四面体能够容纳的最大球的半径为

C．勒洛四面体的截面面积的最大值为

D．勒洛四面体的体积

2．正四棱锥的顶点都在同一球面上．若该棱锥的高为4，底面边长为2，求该球的体积．

3．某工厂承接制作各种弯管的业务，其中一类弯管由两节圆管组成，且两节圆管是形状､大小均相同的斜截圆柱，其尺寸如图1所示(单位：)，其中斜截面与底面所成的角为，将其中一个斜截圆柱的侧面沿剪开并摊平，可以证明由截口展开而成的曲线是函数的图像，其中，，如图2所示.

（1）若，求的解析式；

（2）已知函数的图像与x轴围成区域的面积可由公式计算，若制作该种该类弯管的一截圆管所用材料面积(即斜截圆柱的侧面积)等于与之底面相同且高为的圆柱的面积，求的值(结果精确到).