高考数学二轮复习知识 方法篇 专题3　函数与导数 第16练 含答案

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第16练　定积分问题[题型分析·高考展望]　定积分在理科高考中，也是重点考查内容.主要考查定积分的计算和利用定积分求不规则图形的面积，题目难度不大，多为中低档题目，常以选择题、填空题的形式考查，掌握定积分的计算公式，会求各种类型的曲边图形的面积是本节重点.体验高考1.(2015·湖南)(x－1)dx＝________.答案　0解析　(x－1)dx＝＝×22－2＝0.2.(2015·陕西)如图，一横截面为等腰梯形的水渠，因泥沙沉积，导致水渠截面边界呈抛物线型(图中虚线表示)，则原始的最大流量与当前最大流量的比值为________.答案　1.2解析　由题意可知最大流量的比即为横截面面积的比，建立以抛物线顶点为原点的直角坐标系，如图所示.设抛物线方程为y＝ax2，将点(5，2)代入抛物线方程得a＝，故抛物线方程为y＝x2，抛物线的横截面面积为S1＝2dx＝2＝(m2)，而原梯形下底为10－×2＝6(m)，故原梯形面积为S2＝(10＋6)×2＝16(m2)，＝＝1.2.3.(2015·天津)曲线y＝x2与直线y＝x所围成的封闭图形的面积为________.答案　解析　曲线y＝x2与直线y＝x所围成的封闭图形如图，由得A(1，1)，面积S＝xdx－x2dx＝x2－x3＝－＝.4.(2015·福建)如图，点A的坐标为(1，0)，点C的坐标为(2，4)，函数f(x)＝x2.若在矩形ABCD内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率等于________.答案　解析　由题意知，阴影部分的面积S＝(4－x2)dx＝(4x－x3)＝，∴所求概率P＝＝＝.高考必会题型题型一　定积分的计算例1　(1) (sin x＋cos x)dx的值为(　　)A.0  B.  C.2  D.4(2)若f(x)＝则 f(x)dx等于(　　)A.0  B.1  C.2  D.3答案　(1)C　(2)C解析　(1)原式＝(－cos x＋sin x) ＝1－(－1)＝2，故选C.(2)f(x)dx＝(x3＋sin x)dx＋2dx＝(x4－cos x)＋(2x)＝0＋2＝2.点评　(1)计算定积分，要先将被积函数化简，然后利用运算性质分解成几个简单函数的定积分，再利用微积分基本定理求解；(2)对有关函数图象和圆的定积分问题可以利用定积分的几何意义求解.变式训练1　(1)已知复数z＝a＋(a－2)i(a∈R，i为虚数单位)为实数，则dx的值为(　　)A.2＋π  B.2＋  C.4＋2π  D.4＋4π(2)|x2－4|dx等于(　　)A.  B.  C.  D.答案　(1)A　(2)C解析　(1)因为z＝a＋(a－2)i(a∈R)为实数，所以a＝2， (＋x)dx＝ dx＋x2，由定积分的几何意义知， dx的值为以原点为圆心，以2为半径的圆的面积的四分之一，即是π，所以 dx＋x2的值为2＋π，故选A.(2)画出函数图象如图所示，可知|x2－4|dx＝(4－x2)dx＋(x2－4)dx＝8－＋(9－12－＋8)＝.题型二　利用定积分求曲边梯形的面积例2　(1)由曲线y＝x2与y＝的边界所围成区域的面积为(　　)A.  B.  C.1  D.(2)y＝在点(4，e2)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为(　　)A.e2  B.4e2  C.2e2  D.e2(3)由曲线y＝sin x，y＝cos x与直线x＝0，x＝所围成的平面图形(如图中的阴影部分所示)的面积是(　　)A.1  B.  C.  D.2－2答案　(1)A　(2)D　(3)D解析　(1)由题意可知，曲线y＝x2与y＝的边界所围成区域的面积S＝(－x2)dx＝(x－x3)＝－＝.(2)因为y′＝，所以y′|x＝4＝e2，所以在点(4，e2)处的切线方程是y－e2＝e2(x－4)，当x＝0时，y＝－e2，当y＝0时，x＝2，所以切线与坐标轴所围成三角形的面积是S＝×|－e2|×2＝e2，故选D.(3)方法一　由sin x＝cos x(x∈(0，))，得x＝.故所求阴影部分的面积S＝ (cos x－sin x)dx＋(sin x－cos x)dx＝(sin x＋cos x)＋(－cos x－sin x) ＝sin ＋cos －sin 0－cos 0＋[(－cos －sin )－(－cos －sin )]＝2－2.故选D.方法二　由sin x＝cos x(x∈(0，))，得x＝.根据图象的对称性，可知所求阴影部分的面积S＝2(cos x－sin x)dx＝2(sin x＋cos x)＝2(sin ＋cos －sin 0－cos 0)＝2－2.点评　求曲边多边形面积的步骤(1)画出草图，在直角坐标系中画出曲线或直线的大致图形.(2)借助图形确定被积函数，求出交点坐标，确定积分的上限、下限.(3)将曲边梯形的面积表示为若干个定积分之和.(4)计算定积分.变式训练2　如图所示，由函数f(x)＝sin x与函数g(x)＝cos x在区间上的图象所围成的封闭图形的面积为(　　)A.3－1  B.4－2  C.  D.2答案　B解析　f(x)＝sin x和g(x)＝cos x在上的交点坐标为，，两函数图象所围成的封闭图形的面积为S＝(cos x－sin x)dx＋(sin x－cos x)dx＋(cos x－sin x)dx＝(sin x＋cos x)－(sin x＋cos x)＋(sin x＋cos x)＝4－2.故选B.高考题型精练1.已知自由落体运动的速率v＝gt，则落体运动从t＝0到t＝t0所走的路程为(　　)A.  B.gt  C.  D.答案　C解析　由题意，可知所走路程为vdt＝gtdt＝gt2＝gt.2.定积分(ex＋2x)dx的值为(　　)A.1  B.e－1  C.e  D.e＋1答案　C解析　(ex＋2x)dx＝exdx＋2xdx＝ex＋x2＝e，故选C.3.若(sin x－acos x)dx＝2，则实数a等于(　　)A.－1  B.1  C.－  D.答案　A解析　(sin x－acos x)dx＝－cos x－asin x＝－a＋1＝2，a＝－1.4.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且S10＝(1＋2x)dx，S20＝17，则S30为(　　)A.15  B.20  C.25  D.30答案　A解析　由已知得S10＝(1＋2x)dx＝12，根据等差数列性质可得S10＝12，S20－S10＝5，S30－S20＝S30－17亦成等差数列，故有12＋S30－17＝10⇒S30＝15.5.由曲线y＝，直线y＝x－2及y轴所围成的图形的面积为(　　)A.4  B.6  C.  D.答案　D解析　因为⇒x＝4，根据定积分的几何意义可得，(－x＋2)dx＝(x－x2＋2x)＝，故选D.6.设f(x)＝(其中e为自然对数的底数)，则 f(x)dx的值为(　　)A.  B.  C.  D.答案　A解析　根据定积分的运算法则，由题意，可知f(x)dx＝x2dx＋dx＝x3＋ln x＝＋1＝.7.如图，矩形OABC内的阴影部分是由曲线f(x)＝sin x，x∈(0，π)及直线x＝a，a∈(0，π)与x轴围成.向矩形OABC内随机投掷一点，若此点落在阴影部分的概率为，则a的值是(　　)A.  B.  C.  D.答案　B解析　由题意可得，是与面积有关的几何概型，构成试验的全部区域是矩形OACB，面积为a×＝6.记“向矩形OACB内随机投掷一点，若落在阴影部分”为事件A，则构成事件A的区域即为阴影部分，面积为sin xdx＝－cos x＝1－cos a，由几何概型的计算公式可得P(A)＝＝，cos a＝－，又∵a∈(0，π)，∴a＝，故选B.8.已知(3x2＋k)dx＝16，则k等于(　　)A.1  B.2  C.3  D.4答案　D解析　(3x2＋k)dx＝(x3＋kx)＝8＋2k＝16，所以k＝4.故选D.9.定积分(2＋)dx＝________.答案　＋2解析　(2＋)dx＝2dx＋dx＝2x＋dx＝2＋dx，令y＝，得x2＋y2＝1(y≥0)，点(x，y)的轨迹表示半圆.dx表示以原点为圆心，以1为半径的圆的面积的，故dx＝×π×12＝，∴(2＋)dx＝＋2.10.已知函数f(x)＝－x3＋ax2＋bx(a，b∈R)的图象如图所示，它与x轴在原点处相切，且x轴与函数图象所围区域(图中阴影部分)的面积为，则a的值为________.答案　－1解析　由曲线在原点处与x轴相切，可得f′(0)＝0＝b，此时f(x)＝－x3＋ax2＝x2(a－x)，据定积分知，阴影部分面积为－(－x3＋ax2)dx＝，解得a＝－1.11.已知a＞0，(－x)6的展开式的常数项为15，则(x2＋x＋)dx＝______.答案　＋解析　根据二项展开式的通项公式可知，Tk＋1＝C(－1)ka6－k＝C(－1)ka6－k，∴令k＝2，∴C(－1)2a4＝15⇒a＝1(a＞0)，∴(x2＋x＋)dx＝x2dx＋xdx＋dx.作出dx表示的图象如图，根据定积分的几何意义及定义，从而可知x2dx＋xdx＋dx＝＋0＋·1··2＋π·4＝＋.12.计算曲线y＝x2－2x＋3与直线y＝x＋3所围图形的面积.解　由解得x＝0及x＝3.从而所求图形的面积S＝[(x＋3)－(x2－2x＋3)]dx＝(－x2＋3x)dx＝＝.