高考数学二轮复习知识 方法篇 专题3　函数与导数 第12练 含答案

这是一份高考数学二轮复习知识 方法篇 专题3　函数与导数 第12练 含答案，共12页。
第12练　导数几何意义的必会题型
[题型分析·高考展望]　本部分题目考查导数的几何意义：函数f(x)在x＝x0处的导数即为函数图象在该点处的切线的斜率，考查形式主要为选择题和填空题或者在解答题的某一步中出现(难度为低中档)，内容就是求导，注意审题是过点(x0，y0)的切线还是在点(x0，y0)处的切线.
体验高考
1.(2016·四川)设直线l1，l2分别是函数f(x)＝图象上点P1，P2处的切线，l1与l2垂直相交于点P，且l1，l2分别与y轴相交于点A，B，则△PAB的面积的取值范围是(　　)
A.(0，1) B.(0，2) C.(0，＋∞) D.(1，＋∞)
答案　A
解析　∵f(x)＝
∴f′(x)＝
若k1·k2＝－1，则两个切点一个在x∈(0，1)的图象上为P1，一个在x∈(1，＋∞)的图象上为P2.

设P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，
则k1＝－，k2＝.
∵k1k2＝－1，∴x1x2＝1.
令x1＝x0(00等价于ln x－>0，设g(x)＝ln x－，
则g′(x)＝－＝，g(1)＝0.
①当a≤2，x∈(1，＋∞)时，
x2＋2(1－a)x＋1≥x2－2x＋1>0，
故g′(x)>0，g(x)在(1，＋∞)上单调递增，
因此g(x)>0；
②当a>2时，令g′(x)＝0得，
x1＝a－1－，x2＝a－1＋.
由x2>1和x1x2＝1得x12a－a＝a>0，
∴f(0)·f(a)0，则m>0，∴g(m)在(0，＋∞)上单调递增，
令g′(x)0)，曲线y＝(x>0)在点P处的切线斜率k2＝－ (m>0)，因为两切线垂直，所以k1k2＝－1，所以m＝1，n＝1，则点P的坐标为(1，1).
8.已知f(x)＝x3＋f′()x2－x，则f(x)的图象在点(，f())处的切线斜率是________.
答案　－1
解析　f′(x)＝3x2＋2f′()x－1，令x＝，
可得f′()＝3×()2＋2f′()×－1，
解得f′()＝－1，
所以f(x)的图象在点(，f())处的切线斜率是－1.
9.已知曲线C：f(x)＝x3－ax＋a，若过曲线C外一点A(1，0)引曲线C的两条切线，它们的倾斜角互补，则a的值为________.
答案　
解析　设切点坐标为(t，t3－at＋a).
由题意知，f′(x)＝3x2－a，
切线的斜率为k＝y′|x＝t＝3t2－a， ①
所以切线方程为y－(t3－at＋a)＝(3t2－a)(x－t). ②
将点(1，0)代入②式得，
－(t3－at＋a)＝(3t2－a)(1－t)，解得t＝0或t＝.
分别将t＝0和t＝代入①式，得k＝－a和k＝－a，
由题意它们互为相反数，得a＝.
10.已知函数y＝f(x)及其导函数y＝f′(x)的图象如图所示，则曲线y＝f(x)在点P处的切线方程是________.

答案　x－y－2＝0
解析　根据导数的几何意义及图象可知，曲线y＝f(x)在点P处的切线的斜率k＝f′(2)＝1，又过点P(2，0)，所以切线方程为x－y－2＝0.
11.(2015·课标全国Ⅰ)已知函数f(x)＝x3＋ax＋，g(x)＝－ln x.
(1)当a为何值时，x轴为曲线y＝f(x)的切线；
(2)用min{m，n}表示m，n中的最小值，设函数h(x)＝min(x>0)，讨论h(x)零点的个数.
解　(1)设曲线y＝f(x)与x轴相切于点(x0，0)，
则f(x0)＝0，f′(x0)＝0.即
解得
因此，当a＝－时，x轴为曲线y＝f(x)的切线.
(2)当x∈(1，＋∞)时，g(x)＝－ln x