高考数学二轮复习知识 方法篇 专题3　函数与导数 第10练 含答案

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第10练　重应用——函数的实际应用
[题型分析·高考展望]　函数的实际应用也是高考常考题型，特别是基本函数模型的应用，在选择题、填空题、解答题中都会出现，多以实际生活、常见的自然现象为背景，较新颖、灵活，解决此类问题时，应从实际问题中分析涉及的数学知识，从而抽象出基本函数模型，然后利用基本函数的性质或相应的数学方法，使问题得以解决.
体验高考
1.(2015·课标全国Ⅱ)如图，长方形ABCD的边AB＝2，BC＝1，O是AB的中点，点P沿着边BC，CD与DA运动，记∠BOP＝x.将动点P到A，B两点距离之和表示为x的函数f(x)，则y＝f(x)的图象大致为(　　)



答案　B
解析　由已知得，当点P沿着边BC运动，
即0≤x≤时，PA＋PB＝＋tan x；
当点P在CD边上运动时，
即≤x≤时，
PA＋PB＝ ＋ ，
当x＝时，PA＋PB＝2；当点P在AD边上运动时，即≤x≤π时，PA＋PB＝－tan x.
从点P的运动过程可以看出，轨迹关于直线x＝对称，且f()＞f()，且轨迹非线型，故选B.
2.(2015·四川)某食品的保鲜时间y(单位：小时)与储藏温度x(单位：℃)满足函数关系y＝ekx＋b(e＝2.718…为自然对数的底数，k，b为常数).若该食品在0 ℃的保鲜时间是192小时，在22 ℃的保鲜时间是48小时，则该食品在33 ℃的保鲜时间是________小时.
答案　24
解析　由题意得
∴e22k＝＝，∴e11k＝，
∴x＝33时，y＝e33k＋b＝(e11k)3·eb
＝3·eb＝×192＝24.
3.(2015·上海)如图，A，B，C三地有直道相通，AB＝5千米，AC＝3千米，BC＝4千米.现甲、乙两警员同时从A地出发匀速前往B地，经过t小时，他们之间的距离为f(t)(单位：千米).甲的路线是AB，速度为5千米/小时，乙的路线是ACB，速度为8千米/小时.乙到达B地后原地等待.设t＝t1时乙到达C地.

(1)求t1与f(t1)的值；
(2)已知警员的对讲机的有效通话距离是3千米，当t1≤t≤1时，求f(t)的表达式，并判断f(t)在[t1，1]上的最大值是否超过3？说明理由.
解　(1)t1＝.
记乙到C时甲所在地为D，则AD＝千米.在△ACD中，CD2＝AC2＋AD2－2AC·ADcos A，
所以f(t1)＝CD＝(千米).
(2)甲到达B用时1小时；乙到达C用时小时，从A到B总用时小时.
当t1＝≤t≤时，
f(t)＝＝；
当≤t≤1时，f(t)＝5－5t，
所以f(t)＝
因为f(t)在上的最大值是f＝，
f(t)在上的最大值是f＝，
所以f(t)在上的最大值是，不超过3.
4.(2015·江苏)某山区外围有两条相互垂直的直线型公路，为进一步改善山区的交通现状，计划修建一条连接两条公路和山区边界的直线型公路，记两条相互垂直的公路为l1，l2，山区边界曲线为C，计划修建的公路为l.如图所示，M，N为C的两个端点，测得点M到l1，l2的距离分别为5千米和40千米，点N到l1，l2的距离分别为20千米和2.5千米.以l2，l1所在的直线分别为x，y轴，建立平面直角坐标系xOy，假设曲线C符合函数y＝(其中a，b为常数)模型.

(1)求a，b的值；
(2)设公路l与曲线C相切于P点，P的横坐标为t.
①请写出公路l长度的函数解析式f(t)，并写出其定义域；
②当t为何值时，公路l的长度最短？求出最短长度.
解　(1)由题意知，点M，N的坐标分别为(5，40)，(20，2.5).
将其分别代入y＝，
得解得
(2)①由(1)知，y＝(5≤x≤20)，
则点P的坐标为，
设在点P处的切线l分别交x，y轴于A，B点，

y′＝－，则l的方程为y－＝－(x－t)，
由此得A，B.
故f(t)＝＝ ，t∈[5，20].
②设g(t)＝t2＋，
则g′(t)＝2t－.
令g′(t)＝0，解得t＝10.
当t∈(5，10)时，g′(t)＜0，g(t)是减函数；
当t∈(10，20)时，g′(t)＞0，g(t)是增函数.
从而当t＝10时，函数g(t)有极小值，也是最小值，
所以g(t)min＝300，此时f(t)min＝15.
答　当t＝10时，公路l的长度最短，最短长度为15千米.
高考必会题型
题型一　基本函数模型的应用
例1　某地上年度电价为0.8元，年用电量为1亿千瓦时.本年度计划将电价调至0.55元～0.75元之间，经测算，若电价调至x元，则本年度新增用电量y(亿千瓦时)与(x－0.4)(元)成反比.又当x＝0.65时，y＝0.8.
(1)求y与x之间的函数关系式；
(2)若每千瓦时电的成本价为0.3元，则电价调至多少时，本年度电力部门的收益将比上年度增加20%？[收益＝用电量×(实际电价－成本价)]
解　(1)∵y与(x－0.4)成反比，
∴设y＝(k≠0).
把x＝0.65，y＝0.8代入上式，
得0.8＝，k＝0.2.
∴y＝＝，
即y与x之间的函数关系式为y＝.
(2)根据题意，得(1＋)·(x－0.3)
＝1×(0.8－0.3)×(1＋20%).
整理，得x2－1.1x＋0.3＝0，解得x1＝0.5，x2＝0.6.
经检验x1＝0.5，x2＝0.6都是所列方程的根.
∵x的取值范围是0.55～0.75，
故x＝0.5不符合题意，应舍去.∴x＝0.6.
∴当电价调至0.6元时，本年度电力部门的收益将比上年度增加20%.
点评　解决实际应用问题的关键在于读题，读题必须细心、耐心，从中分析出数学“元素”，确定该问题涉及的数学模型，一般程序如下：
⇒⇒⇒.
变式训练1　(1)(2015·北京)某辆汽车每次加油都把油箱加满，下表记录了该车相邻两次加油时的情况.
加油时间
加油量(升)
加油时的累计里程(千米)
2015年5月1日
12
35 000
2015年5月15日
48
35 600

注：“累计里程”指汽车从出厂开始累计行驶的路程.
在这段时间内，该车每100千米平均耗油量为(　　)
A.6升 B.8升 C.10升 D.12升
(2)2015年“五一”期间某商人购进一批家电，每台进价已按原价a扣去20%，他希望对货物定一新价，以便每台按新价让利25%销售后，仍可获得售价20%的纯利，则此商人经营这种家电的件数x与按新价让利总额y之间的函数关系式是______________.
答案　(1)B　(2)y＝x (x∈N*)
解析　(1)由表知，汽车行驶路程为35 600－35 000＝600千米，耗油量为48升，∴每100千米耗油量8升.
(2)设每台新价为b，则售价b(1－25%)，
让利b×25%，由于原价为a，则进价为a(1－20%)，
根据题意，得每件家电利润为b×(1－25%)×20%＝b×(1－25%)－a(1－20%)，化简得b＝a.
∴y＝b×25%·x＝a×25%×x＝x (x∈N*)，
即y＝x(x∈N*).
题型二　分段函数模型的应用
例2　已知美国某手机品牌公司生产某款手机的年固定成本为40万美元，每生产1万部还需另投入16万美元.设公司一年内共生产该款手机x万部并全部销售完，每万部的销售收入为R(x)万美元，且R(x)＝
(1)写出年利润W(万美元)关于年产量x(万部)的函数解析式；
(2)当年产量为多少万部时，公司在该款手机的生产中所获得的利润最大？并求出最大利润.
解　(1)当040时，
W＝xR(x)－(16x＋40)＝－－16x＋7 360.
所以W＝
(2)①当040时，W＝－－16x＋7 360，
由于＋16x≥2 ＝1 600，
当且仅当＝16x，即x＝50∈(40，＋∞)时，取等号，
所以此时W有最大值5 760.因为6 104＞5 760，
所以当x＝32时，W取得最大值6 104万元.
点评　函数有关应用题的常见类型及解题关键
(1)常见类型：与函数有关的应用题，经常涉及物价、 路程、产值、环保等实际问题，也可涉及角度、面积、体积、造价的最优化问题.
(2)解题关键：解答这类问题的关键是确切地建立相关函数解析式，然后应用函数、方程、不等式和导数的有关知识加以综合解答.
变式训练2　某市出租车收费标准如下：起步价为8元，起步里程为3 km(不超过3 km按起步价付费)；超过3 km但不超过8 km时，超过部分按每千米2.15元收费；超过8 km时，超过部分按每千米2.85元收费，另每次乘坐需付燃油附加费1元.现某人乘坐一次出租车付费22.6元，则此次出租车行驶了________ km.
答案　9
解析　设出租车行驶x km时，付费y元，
则y＝
由y＝22.6，解得x＝9.
高考题型精练
1.某位股民购进某支股票，在接下来的交易时间内，他的这支股票先经历了n次涨停(每次上涨10%)，又经历了n次跌停(每次下跌10%)，则该股民这支股票的盈亏情况(不考虑其他费用)为(　　)
A.略有盈利 B.略有亏损
C.没有盈利也没有亏损 D.无法判断盈亏情况
答案　B
解析　设该股民购进这支股票的价格为a元，则经历n次涨停后的价格为a(1＋10%)n＝a×1.1n元，经历n次跌停后的价格为a×1.1n×(1－10%)n＝a×1.1n×0.9n＝a×(1.1×0.9)n＝0.99n·aa)以及实数x(0