江苏省扬州市树人中学2021届高三上学期期中模拟卷数学试题 Word版含答案

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树人学校2020-2021学年度第一学期期中模拟考试
高三 数学
总分：150分 时间：120分钟
一、 单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.若集合，集合，则（ ）
A. B. C. D.
2.已知tana=，则的值为（ ）
A.-3 B.- C. - D.
3.函数的大致图象为（ ）

A B C D
4. 已知实数，则“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
5.刘徽(约公元225年-295年)，魏晋期间伟大的数学家，中国古典数学理论的奠基人之一他在割圆术中提出的，“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”，这可视为中国古代极限观念的佳作，割圆术的核心思想是将一个圆的内接正n边形等分成n个等腰三角形(如图所示)，当n变得很大时，这n个等腰三角形的面积之和近似等于圆的面积，运用割圆术的思想，得到的近似值为( )

A． B． C． D．
6.函数的一个零点在区间内，则实数a的取值范围是( )
A． B． C． D．
7.已知函数是偶函数，当时，，则曲线在处的切线方程为( )
A． B． C． D．
8.设函数.若曲线上存在点，使得，则实数a的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
二、 多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.
9.已知函数，若将函数的图象向右平移个单位长度后，所得图象关于轴对称，则下列结论中正确的是( )
A． B．是图象的一个对称中心
C． D．是图象的一条对称轴
10.如图,正方体的棱长为1,则下列四个命题正确的是( )

A．直线与平面所成的角等于
B．点C到面的距离为
C．两条异面直线和所成的角为
D．三棱柱外接球半径为

11.若，，则( )
A． B． C． D．
12.已知，，记，则( )
A．的最小值为 B．当最小时，
C．的最小值为 D．当最小时，

三、 填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.函数是上的单调函数，则的范围是__________
A． B． C． D．
14.是边长为1的等边三角形，点分别是边的中点，连接并延长到点，使得，则的值为__________
A． B． C． D．
15.已知实数满足，则的最大值为__________
16.已知函数，其中，是这两个函数图像的交点，且不共线.①当时，面积的最小值为___________；②若存在是等腰直角三角形，则的最小值为__________.















四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.在①；②，这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，然后解答补充完整的题目．
在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，设的面积为S，已知________．
(1)求的值；
(2)若，求b的值．





18.已知函数
(1)求的单调递增区间；
(2)求在上的最小值及取最小值时的的集合.




19.如图，在四棱锥中，是边长为4的正方形，平面，分别为的中点.

(1)证明：平面.
(2)若，求二面角的正弦值.





20.某企业有甲、乙两套设备生产同一种产品，为了检测两套设备的生产质量情况，随机从两套设备生产的大量产品中各抽取了50件产品作为样本，检测一项质量指标值，若该项质量指标值落在内，则为合格品，否则为不合格品. 表1是甲套设备的样本的频数分布表，图1是乙套设备的样本的频率分布直方图.
表1：甲套设备的样本的频数分布表
质量指标值
[95,100)
[100,105)
[105,110)
[110,115)
[115,120)
[120,125]
频数
1
4
19
20
5
1
图1：乙套设备的样本的频率分布直方图

(1)填写下面列联表，并根据列联表判断是否有90%的把握认为该企业生产的这种产品的质量指标值与甲、乙两套设备的选择有关；

甲套设备
乙套设备
合计
合格品



不合格品



合计



(2)根据表1和图1，对两套设备的优劣进行比较；
(3)将频率视为概率. 若从甲套设备生产的大量产品中，随机抽取3件产品，记抽到的不合格品的个数为，求的期望.



附：
P(K2≥k0)
0.15
0.10
0.050
0.025
0.010
k0
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
.




21.对于函数，若在定义域内存在实数x，满足，则称为“局部奇函数”．
（1）已知二次函数，试判断是否为“局部奇函数”？并说明理由；
（2）若为定义域R上的“局部奇函数”，求实数m的取值范围．






22.巳知函数f(x)=xex—ex+m.
(1)求函数f(x)的极小值；
(2)关于x 的不等式f(x)—x3<0在xÎ[,1]上存在解,求实数m 的取值范围.













树人学校2020-2021学年度第一学期期中模拟考试
高三 数学
总分：150分 时间：120分钟
四、 单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.若集合，集合，则（ ）
A. B. C. D.
答案：C
2.已知tana=，则的值为（ ）
A.-3 B.- C. - D.
答案：A
3.函数的大致图象为（ ）

A B C D
答案：A
5. 已知实数，则“”是“”的（ ）
B. 充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
答案：C
5.刘徽(约公元225年-295年)，魏晋期间伟大的数学家，中国古典数学理论的奠基人之一他在割圆术中提出的，“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”，这可视为中国古代极限观念的佳作，割圆术的核心思想是将一个圆的内接正n边形等分成n个等腰三角形(如图所示)，当n变得很大时，这n个等腰三角形的面积之和近似等于圆的面积，运用割圆术的思想，得到的近似值为( )

A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
由割圆术可知当n变得很大时,这n个等腰三角形的面积之和近似等于圆的面积,
设圆的半径为,每个等腰三角形的顶角为,
所以每个等腰三角形的面积为,
所以圆的面积为,即,
所以当时,可得,
故选:A
6.函数的一个零点在区间内，则实数a的取值范围是( )
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
由题,显然函数在区间内连续,因为的一个零点在区间内,所以,即,解得,
故选:C
7.已知函数是偶函数，当时，，则曲线在处的切线方程为( )
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
因为，，，，，所以曲线在处的切线方程为，即.
故选：A
8.设函数.若曲线上存在点，使得，则实数a的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
答案：A
五、 多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.
9.已知函数，若将函数的图象向右平移个单位长度后，所得图象关于轴对称，则下列结论中正确的是( )
A． B．是图象的一个对称中心
C． D．是图象的一条对称轴
【答案】ABD
【解析】
由题意，向右平移，
得
的图象关于轴对称，所以，
，又

即

则是图象的一个对称中心，是图象的一条对称轴
而，则C错，A,B,D正确
故选：ABD
10.如图,正方体的棱长为1,则下列四个命题正确的是( )

A．直线与平面所成的角等于
B．点C到面的距离为
C．两条异面直线和所成的角为
D．三棱柱外接球半径为
【答案】ABD
【解析】
正方体的棱长为1，
对于A，直线与平面所成的角为，故选项A正确；
对于B，因为面，点到面的距离为长度的一半，即，故选项B正确；
对于C，因为，所以异面直线和所成的角为，而为等边三角形，故两条异面直线和所成的角为，故选项C错误；
对于D，因为两两垂直，所以三棱柱外接球也是正方体的外接球，故，故选项D正确．
故选：．
11.若，，则( )
A． B． C． D．
【答案】ACD
【解析】
由，，得，，则
，
，


，
故正确的有：
12.已知，，记，则( )
A．的最小值为 B．当最小时，
C．的最小值为 D．当最小时，
【答案】BC
【解析】
由，得：，
的最小值可转化为函数图象上的点到直线上的点的距离的最小值的平方，
由得：，
与直线平行的直线的斜率为，
则令，解得：，切点坐标为，
到直线的距离.
即函数上的点到直线上的点的距离的最小值为.
的最小值为，
过与垂直的直线为，即.
由，解得：，即当最小时，.
故选：BC.

六、 填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.函数是上的单调函数，则的范围是__________
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
若函数是上的单调函数，只需 恒成立，即．
故选：C．

14.是边长为1的等边三角形，点分别是边的中点，连接并延长到点，使得，则的值为__________
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
设，，∴，，
，∴.

15.已知实数满足，则的最大值为__________
【答案】.
【解析】
由题意，





的最小值是

当，即时，
的值最大
的最大值是：
的最大值为.

16.已知函数，其中，是这两个函数图像的交点，且不共线.①当时，面积的最小值为___________；②若存在是等腰直角三角形，则的最小值为__________.
【答案】
【解析】
函数，其中，是这两个函数图象的交点，
当时，．
所以函数的交点间的距离为一个周期，高为．
所以：．
如图所示：

①当时，面积的最小值为；
②若存在是等腰直角三角形，利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，
则， 解得的最小值为．
故答案为：，．

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.在①；②，这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，然后解答补充完整的题目．
在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，设的面积为S，已知________．
(1)求的值；
(2)若，求b的值．
【答案】(1)；(2)；
【解析】
(1)选择条件①．，
所以，
整理得：．
即.
整理可得，
又．所以，所以.
选择条件②．因为，
由正弦定理得，，
，
即，
在中，，
所以，，所以.
(2)由，得，又，
则，解得.
将代入中，
得，解得．

18.已知函数
(1)求的单调递增区间；
(2)求在上的最小值及取最小值时的的集合.
【答案】(1)；(2)最小值为，的集合为.
【解析】
(1)，
解不等式，
得，
因此，函数的单调递增区间为；
(2)，，
当时，即当时，函数取得最小值.
因此，函数的最小值为，对应的的集合为.

19.如图，在四棱锥中，是边长为4的正方形，平面，分别为的中点.

(1)证明：平面.
(2)若，求二面角的正弦值.
【答案】(1)证明见解析(2)
【解析】
(1)证明：记的中点为，连接，.
因为分别为的中点，
则，且.
因为，且，
所以，且，
所以四边形为平行四边形，
则.
又平面，平面，
所以平面.
(2)以为原点，分别以，，为轴、轴、轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，

设平面的法向量，
则
令，则.
设平面的法向量为，
则
令，则.
，
设二面角为，则，
即二面角的正弦值为.

20.某企业有甲、乙两套设备生产同一种产品，为了检测两套设备的生产质量情况，随机从两套设备生产的大量产品中各抽取了50件产品作为样本，检测一项质量指标值，若该项质量指标值落在内，则为合格品，否则为不合格品. 表1是甲套设备的样本的频数分布表，图1是乙套设备的样本的频率分布直方图.
表1：甲套设备的样本的频数分布表
质量指标值
[95,100)
[100,105)
[105,110)
[110,115)
[115,120)
[120,125]
频数
1
4
19
20
5
1
图1：乙套设备的样本的频率分布直方图

(1)填写下面列联表，并根据列联表判断是否有90%的把握认为该企业生产的这种产品的质量指标值与甲、乙两套设备的选择有关；

甲套设备
乙套设备
合计
合格品



不合格品



合计



(2)根据表1和图1，对两套设备的优劣进行比较；
(3)将频率视为概率. 若从甲套设备生产的大量产品中，随机抽取3件产品，记抽到的不合格品的个数为，求的期望.
附：
P(K2≥k0)
0.15
0.10
0.050
0.025
0.010
k0
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
.
【答案】(1)见解析；(2)见解析；(3)
【解析】
(1)根据表1和图1得到列联表

甲套设备
乙套设备
合计
合格品
48
43
91
不合格品
2
7
9
合计
50
50
100
将列联表中的数据代入公式计算得

∵，∴有90%的把握认为产品的质量指标值与甲、乙两套设备的选择有关
(2)根据表1和图1可知，甲套设备生产的合格品的概率约为，乙套设备生产的合格品的概率约为，甲套设备生产的产品的质量指标值主要集中在[105,115)之间，乙套设备生产的产品的质量指标值与甲套设备相比较为分散.因此，可以认为甲套设备生产的合格品的概率更高，且质量指标值更稳定，从而甲套设备优于乙套设备.
(3)由题知， ∴.
21.对于函数，若在定义域内存在实数x，满足，则称为“局部奇函数”．
（1）已知二次函数，试判断是否为“局部奇函数”？并说明理由；
（2）若为定义域R上的“局部奇函数”，求实数m的取值范围．
解：（1）当时，
方程即有解，
所以为“局部奇函数”． ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅4分
（2）当时，可化为
．
设，则，┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅6分
从而在有解即可保证为“局部奇函数”．
令，
1° 当，在有解，
由，即，解得； ┅┅┅┅┅┅┅┅8分
2° 当时，在有解等价于
解得． ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅11分
（说明：也可转化为大根大于等于2求解）
综上，所求实数m的取值范围为． ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅12分

22.巳知函数f(x)=xex—ex+m.
(1)求函数f(x)的极小值；
(2)关于x 的不等式f(x)—x3<0在xÎ[,1]上存在解,求实数m 的取值范围.