2023-2024学年广东省广州市番禺区高一（上）期末数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年广东省广州市番禺区高一（上）期末数学试卷（含解析），共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.设函数y= 4−x2的定义域为A，函数y=ln(1−x)的定义域为B，则A∩B=( )
A. (1,2)B. (1,2]C. (−2,1)D. [−2,1)
2.下列函数中，值域为[0,+∞)的是( )
A. y=2xB. y=x12C. y=tanxD. y=csx
3.已知角θ的终边过点P(−12,5)，则( )
A. csθ=513B. sinθ=−1213C. tanθ=−512D. tanθ=−125
4.命题“∃x∈R，x+1≥0”的否定是( )
A. ∀x∈R，x+1≥0B. ∀x∈R，x+1<0
C. ∃x∈R，x+1<0D. ∃x∈R，x+1>0
5.若f(x)=x+2x+a的零点所在的区间为(−1,1)，则实数a的取值范围为( )
A. (−2,34)B. (−3,74)C. (−3,12)D. (0,54)
6.已知α为锐角，csα=1+ 54，则sinα2=( )
A. 3− 58B. −1+ 58C. 3− 54D. −1+ 54
7.中国的5G技术领先世界，5G技术的数学原理之一便是著名的香农公式：C=Wlg2(1+SN).它表示：在受噪声干扰的信道中，最大信息传递速度C取决于信道带宽W，信道内信号的平均功率S，信道内部的高斯噪声功率N的大小，其中SN叫做信噪比．当信噪比比较大时，公式中真数中的1可以忽略不计．按照香农公式，若不改变带宽W，而将信噪比SN从1000提升至4000，则C大约增加了附：lg2≈0.3010( )
A. 10%B. 20%C. 50%D. 100%
8.“α=kπ+β，k∈Z”是“tanα=tanβ”成立的( )
A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.若1a<1b<0，则下列不等式正确的是( )
A. |a|>|b|B. ab3
10.设函数f(x)=(12)x,x<2lg2(x−1),x≥2，若f(f(x))=1，则x取值可能是( )
A. 9B. 3C. 2D. −lg23
11.1500多年前祖冲之通过“割圆法”精确计算出圆周率在3.1415926～3.1415927之间.他的方法是：先画出一个直径为1丈的圆，然后在圆内画出一个内接正六边形，接着再画出一个内接正十二边形，以此类推，一直画到内接正二万四千五百七十六边形，这样就可以得到圆的周长.利用周长与半径之比，祖冲之得到了圆周率的近似值为3.1415927；古希腊数学家阿基米德计算圆周率的方法是：利用圆的内接正多边形和外切正多边形的周长来双侧逼近圆的周长.已知正n边形的边长为a，其外接圆的半径为R，内切圆的半径为r.给出下列四个结论中，正确的是( )
A. R=a2sinπnB. r=a2tanπn
C. R+r=a2tanπnD. R−r=a2tanπ2n
12.高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有数学王子的美誉，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其姓名命名的“高斯函数”为：设用[x]表示不超过x的最大整数，则y=[x]称为高斯函数，例如[−3.4]=−4，[2.1]=2，已知函数f(x)=ex−1ex+1，函数g(x)=[f(x)]，则下列结论正确的是( )
A. f(x)在R是增函数B. g(x)是偶函数
C. f(x)是奇函数D. g(x)的值域是{−1,0}
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.tan5π4= ．
14.已知常数a>0，a≠1，假设无论a为何值，函数y=lga(x−2)+1的图像恒经过一个定点，则这个定点的坐标是______．
15.把函数y=f(x)图像上所有点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移π3个单位长度，得到函数y=sin(x−π4)的图像，则函数y=f(x)的解析式f(x)= ______ ．
16.已知定义在R上的函数f(x)满足：对任意实数x，y，都有f(x+y)+f(x−y)=2f(x)f(y)，且f(1)=0，直接写出f(x)的所有零点为______ ．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x≤0时，f(x)=x(x+2)．
(1)画出函数f(x)的图像，并写出f(x)的单调区间；
(2)求出f(x)的解析式．
18.(本小题12分)
在△ABC中，sinA=513，csB=35，求sinC、csC与tanC的值．
19.(本小题12分)
(1)根据定义证明函数f(x)=lgx6在区间(1,+∞)上是单调递减；
(2)比较下列三个值的大小：
lg0.26，lg0.36，lg46.
20.(本小题12分)
已知函数f(x)=sin(ωx+φ)其中ω>0，φ∈(0,π2)，函数f(x)最小正周期为π；从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知条件，求：
(1)f(x)的单调递增区间；
(2)f(x)在区间[0,π2]的最大值和最小值．
条件①：函数f(x)图象关于点(−π6,0)对称；
条件②：函数f(x)图象关于x=π12对称．
注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．
21.(本小题12分)
如图，为处理含有某种杂质的污水，要制造一底宽为2米的无盖长方体沉淀箱.设箱体的长度为a米，高度为b米.现有制箱材料60平方米.问当a，b各为多少米时，该沉淀箱的体积最大，并求体积的最大值．
22.(本小题12分)
已知函数f(x)=x2−mx+4(m∈R)，g(x)=lg2(2x+1)．
(1)若对任意x∈[1,2]，不等式g(0)>f(x)恒成立，求m的取值范围；
(2)若对任意x1∈[1,2]，存在x2∈[lg23,lg27]，使得f(x1)=g(x2)，求m的取值范围．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查函数定义域的求法，交集及其运算，考查计算能力．
求出函数的定义域，即可求得A和B，进而求得A∩B．
【解答】
解：由4−x2≥0，解得：−2≤x≤2，
则函数y= 4−x2的定义域为[−2,2]，即A=[−2,2]，
由对数函数的定义域可知：1−x>0，解得：x<1，
则函数y=ln(1−x)的定义域为(−∞,1)，即B=(−∞,1)，
则A∩B=[−2,1)．
故选D．
2.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查函数的值域，属于基础题．
分别求出各选项的值域，即可求解．
【解答】
解：A，y=2x的值域为(0,+∞)，故A错；
B，y= x的定义域为[0,+∞)，值域也是[0,+∞)，故B正确；
C，y=tanx的值域为(−∞,+∞)，故C错；
D，y=csx的值域为[−1,1]，故D错．
故选：B．
3.【答案】C
【解析】解：∵角θ的终边过点P(−12,5)，
∴|OP|= (−12)2+52=13，
则sinθ=513，csθ=−1213，tanθ=−512．
故选：C．
由已知求得|OP|，再由任意角的三角函数的定义求解．
本题考查任意角的三角函数的定义，是基础题．
4.【答案】B
【解析】解：命题“∃x∈R，x+1≥0”为存在量词命题，该命题的否定为“∀x∈R，x+1<0”．
故选：B．
利用存在量词命题的否定可得出结论．
本题主要考查特称命题的否定，属于基础题．
5.【答案】C
【解析】【分析】
利用函数的单调性，结合零点判断定理，列出不等式，求解即可．
本题考查函数的零点判断定理的应用，是基础题．
【解答】
解：f(x)=x+2x+a是增函数，
因为f(x)=x+2x+a的零点所在的区间为(−1,1)，
所以只需f(−1)⋅f(1)<0，
即(a−1+12)(a+1+2)<0，解得−3故选：C．
6.【答案】D
【解析】解：csα=1+ 54，
则csα=1−2sin2α2，
故2sin2α2=1−csα=3− 54，即sin2α2=3− 58=( 5)2+12−2 516=( 5−1)216，
∵α为锐角，
∴sinα2>0，
∴sinα2=−1+ 54．
故选：D．
根据已知条件，结合二倍角公式，以及角α的取值范围，即可求解．
本题主要考查半角的三角函数，属于基础题．
7.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查的是对数的运算，掌握对数的运算法则和运算性质是解题的关键，属于基础题．
根据题意，计算出lg24000lg21000即可．
【解答】
解：当SN=1000时，C=Wlg21000，
当SN=4000时，C=Wlg24000，
因为lg24000lg21000=lg4000lg1000=3+2lg23≈3.60203≈1.2，
所以将信噪比SN从1000提升至4000，则C大约增加了20%，
故选：B．
8.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查了充要条件的判断与应用，属于基础题．
利用充要条件的定义即可判断逻辑关系．
【解答】
解：∵“α=kπ+β(k∈Z)”推不出“tanα=tanβ”，
例如当α=kπ+π2，k∈Z时，tanα和tanβ不存在，
“tanα=tanβ”⇒“α=kπ+β(k∈Z)”，
∴“α=kπ+β(k∈Z)”是“tanα=tanβ”成立的必要而不充分条件．
故选：B．
9.【答案】CD
【解析】【分析】
本题考查了不等关系与不等式，考查解不等式的能力，属于基础题．
由已知可得b【解答】
解：由已知若1a<1b<0可得：b则|a|<|b|，A错误，而a+b<0，ab>0，所以a+b因为a>b，所以a3>b3，D正确，
故选：CD．
10.【答案】ACD
【解析】解：因为f(x)=(12)x,x<2lg2(x−1),x≥2，
当x=9时，f(9)=lg28=3，f(f(x))=f(3)=lg22=1，符合题意，A正确；
当x=3时，f(3)=1，f(1)=12，B不符合题意；
当x=2时，f(2)=lg21=0，f(0)=(12)0=1，C符合题意；
当x=−lg23时，f(−lg23)=(12)−lg23=3，f(3)=lg22=1，D符合题意．
故选：ACD．
根据分段函数的定义分类讨论求值即可．
本题考查分段函数的应用，考查运算求解能力，属于基础题．
11.【答案】AD
【解析】解：如图，设OA=R，OB=r，AB=a2，
在Rt△OAB中，R=ABsin∠AOB=a2sinπn=a2sinπn，
r=R⋅csπn=a2sinπn⋅csπn=acsπn2sinπn=a2tanπn，
所以R+r=a2sinπn+acsπn2sinπn=a(1+csπn)2sinπn=2acs2π2n4sinπ2ncsπ2n=a2tanπ2n，
R−r=a2sinπn−acsπnsinπn=a(1−csπn)2sinπn=2asin2π2n4sinπ2ncsπ2n=a2tanπ2n，
因此AD正确．
故选：AD．
由题画出图形，解直角三角形可得R，r，再由三角恒等变换化简可求得R+r，R−r即可得到答案．
本题考查解直角三角形和三角恒等变换，属于中档题．
12.【答案】ACD
【解析】解：对于A，因为f(x)=ex+1−2ex+1=1+−2ex+1，因为2ex+1是递减的，所以−2 ex+1是递增的，A对；
对于B，因为ex+1∈(1,+∞)⇒1ex+1∈(0,1)⇒−2 ex+1∈(−2,0)⇒f(x)∈(−1,1)，
所以f(x)的值域为(−1,1)，所以g(x)=0(x≥0)−1x<0，g(−1)=−1，g(1)=0≠g(−1)，B错；
对于C，f(−x)=e−x−1e−x+1=1−ex1+ex=−ex−1ex+1=−f(x)，根据奇函数定义知，f(x)是奇函数，C对；
对于D，由B知，D对．
故选：ACD．
根据复合函数单调性判断可判断A；
化简函数并求出分段表达式，根据偶函数定义，用特值法可判断B；
根据奇函数定义，用特值法可判断C；
由表达式求出g(x)的值域可判断D．
本题考查函数奇偶性的性质与判断，考查了运算求解能力，属中档题．
13.【答案】1
【解析】【分析】
由题意利用诱导公式，计算求得结果．
本题主要考查诱导公式的应用，属于基础题．
【解答】
解：∵tan5π4=tanπ4=1，
故答案为：1．
14.【答案】(3,1)
【解析】解：因为y=lgax的图象必过点(1,0)，即lga1=0，
y=lga(x−2)+1中，当x−2=1，x=3时，y=1，
从而y=lga(x−2)+1图象必过定点(3,1)．
故答案为：(3,1)．
利用对数函数性质，令x−2=1，则函数y=lga(x−2)+1的取值与a无关，可得恒过定点．
本题考查函数恒过定点问题，属于基础题．
15.【答案】sin(12x+π12)
【解析】解：由题意得y=sin(x−π4)的图像向左平移π3个单位长度，再把图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍可得y=f(x)，
故f(x)=sin(12x−π4+π3)=sin(12x+π12).
故答案为：sin(12x+π12).
由题意得y=sin(x−π4)的图像向左平移π3个单位长度，再把图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍可得y=f(x)，可求．
本题主要考查了正弦函数的平移变换及周期变换，属于基础题．
16.【答案】2n+1，n∈Z
【解析】解：因为定义在R上的函数f(x)满足：对任意实数x，y，都有f(x+y)+f(x−y)=2f(x)f(y)，且f(1)=0，
所以f(x+1)+f(x−1)=2f(x)f(1)=0，
所以f(x+1)=−f(x−1)，
所以f(x+2)=−f(x)，即f(x+4)=−f(x+2)=f(x)，
所以函数f(x)的周期为4，
因为f(−1)=−f(1)=0，
所以f(x)的所有零点为2n+1，n∈Z．
故答案为：2n+1，n∈Z．
由已知可先求出函数的周期，结合函数的周期及f(1)=0即可求解．
本题主要考查了函数周期在函数零点求解中的应用，属于中档题．
17.【答案】解：(1)根据奇函数的图象关于原点对称，作出函数f(x)的大致图像，如图所示：
函数的单调递减区间为(−∞,−1)，(1,+∞)，单调递增区间为[−1,1]；
(2)因为函数f(x)是定义在R上的奇函数，
当x≤0时，f(x)=x(x+2)，
设x<0，则−x>0，
所以f(−x)=−x(−x+2)=x(x−2)=−f(x)，
所以f(x)=x(2−x)，
故f(x)=x(2−x),x>0x(x+2),x≤0．
【解析】(1)结合已知x≤0时的函数解析式及奇函数图象的对称性可作函数图象，结合函数图象求函数的单调区间；
(2)由x≤0时，f(x)=x(x+2)，可设x>0，则−x<0，由奇函数定义即可求解．
本题主要考查了函数的奇偶性在函数解析式求解中的应用，还考查了函数单调性的判断，属于基础题．
18.【答案】解：在△ABC中，A，B，C∈(0,π)，
∵sinA=513,csB=35,
∴csA=± 1−sin2A=±1213，sinB= 1−cs2B=45，
①当0所以sinC=sin[π−(A+B)]=sin(A+B)
=sinAcsB+csAsinB
=513×35+1213×45=6365，
所以csC=−cs(A+B)=sinAsinB−csAcsB=513×35−1213×45=−3365，
tanC=sinCcsC=−6333=−2111；
②当π2所以sinC=sin(A+B)=sinAcsB+csAsinB
=513×35−1213×45=−3365<0，舍去．
【解析】由题意、内角的范围、平方关系求出csA和sinB的值，对A分类讨论后，分别由内角和定理、诱导公式、两角和的正弦函数求出sinC的值．
本题考查两角和的正弦函数，诱导公式、平方关系，以及内角和定理的应用，注意内角的范围，考查化简、计算能力．
19.【答案】证明：(1)因为函数f(x)=lgx6，x∈(1,+∞)，
所以f(x)=1lg6x，
设1则f(x1)−f(x2)=1lg6x1−1lg6x2=lg6x2−lg6x1lg6x1⋅lg6x2
因为y=lg6x在(0,+∞)上是增函数，
所以lg6x2>lg6x1>lg61=0，
所以lg6x2−lg6x1>0，
所以f(x1)−f(x2)>0，
即f(x1)>f(x2)，
所以函数f(x)=lgx6在区间(1,+∞)上是单调递减；，
(2)因为lg0.26lg0.36lg46>lg41=0．
下面比较再比较lg0.26，lg0.36的大小，
lg0.26=1lg60.2
lg0.36=1lg60.3，
因为lg60.2所以1lg60.2>1lg60.3，
即lg0.26>lg0.36
综上：lg46>lg0.26>lg0.36.
【解析】(1)设10即可得出单调性；
(2)利用单调性比较大小即可．
本题考查函数的性质应用，属于中档题．
20.【答案】解：选条件①时，
(1)函数f(x)=sin(ωx+φ)，由于函数的最小正周期为π，所以ω=2，
当x=−π6时，f(−π6)=sin(−π3+φ)=0，
故−π3+φ=kπ，(k∈Z)，整理得φ=kπ+π3(k∈Z)，
由于φ∈(0,π2)，所以φ=π3，
故f(x)=sin(2x+π3)，
令−π2+2kπ≤2x+π3≤π2+2kπ(k∈Z)，
整理得：−5π12+kπ≤x≤π12+kπ(k∈Z)，
故函数的单调递增区间为[−5π12+kπ,π12+kπ](k∈Z)；
(2)由于x∈[0,π2]，故2x+π3∈[π3,4π3]，
当2x+π3=4π3，即x=π2时，函数取得最小值为− 32，
当2x+π3=π2，即x=π12时，函数取得最大值为1．
选条件②时，
(1)由于函数的做小正周期为π，所以ω=2，
函数f(x)图象关于x=π12对称，故f(π12)=±1，
所以2×π12+φ=kπ+π2(k∈Z)，整理得φ=kπ+π3(k∈Z)，
由于φ∈(0,π2)，所以φ=π3，
故f(x)=sin(2x+π3)，
令−π2+2kπ≤2x+π3≤π2+2kπ(k∈Z)，
整理得：−5π12+kπ≤x≤π12+kπ(k∈Z)，
故函数的单调递增区间为[−5π12+kπ,π12+kπ](k∈Z)；
(2)由于x∈[0,π2]，故2x+π3∈[π3,4π3]，
当2x+π3=4π3，即x=π2时，函数取得最小值为− 32，
当2x+π3=π2，即x=π12时，函数取得最大值为1．
【解析】选条件①时，(1)首先求出函数的关系式，进一步利用整体思想的应用求出函数的单调递增区间，(2)利用函数的定义域求出函数的值域，进一步求出函数的最值；
选条件②时，(1)首先求出函数的关系式，进一步利用整体思想的应用求出函数的单调递增区间，(2)利用函数的定义域求出函数的值域，进一步求出函数的最值．
本题考查的知识要点：函数的关系式的求法，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．
21.【答案】解：由题意可得2a+2×2b+2ab=60，其中a>0，b>0；
所以a+2b+ab=30；
由均值不等式得a+2b≥2 a⋅2b(当且仅当a=2b时取等号)，
所以a+2b+ab≥2 2ab+ab，
即2 2ab+ab≤30(当且仅当a=2b时取等号)，
即( ab+5 2)( ab−3 2)≤0，
因为 ab>0，所以 ab≤3 2，所以ab≤18；
当且仅当a=2bab=18，即a=6，b=3时，ab取得最大值18，
所以a=6米，b=3米时，长方体的体积最大值为Vmax=2ab=2×18=36(立方米)．
【解析】根据题意得a>0，b>0，a+2b+ab=30；利用均值不等式求得ab的最大值，再计算长方体的体积．
本题考查了利用均值不等式求最值的问题，也考查了运算求解能力，是中档题．
22.【答案】解：(1)因为g(0)=lg22=1，所以f(x)=x2−mx+4<1对任意x∈[1,2]恒成立，
即m>x+3x,x∈[1,2]时恒成立，
令h(x)=x+3x，由对勾函数性质知，
h(x)在[1, 3]上单调递减，在[ 3,2]上单调递增，且h(1)=4,h(2)=72，
所以h(x)max=h(1)=4，所以m>4，
所以m的取值范围为{m|m>4}．
(2)由t=2x+1，y=lg2t单调递增，
根据复合函数单调性知，g(x)=lg2(2x+1)在R上单调递增，
因为x2∈[lg23,lg27]，所以g(lg23)≤g(x2)≤g(lg27)，即g(x2)∈[2,3]，
因为f(x)=x2−mx+4的对称轴方程为x=m2，
当m2≤0，即m≤0时，f(x)在x1∈[1,2]上单调递增，
所以5−m≤f(x1)≤8−2m，即f(x1)∈[5−m,8−2m]，
由题意知，[5−m,8−2m]⊆[2,3]，
所以需满足m≤02≤5−m8−2m≤3，解得m∈⌀；
当0由[5−m,8−2m]⊆[2,3]，可得0当1f(x)max为f(1)=5−m与f(2)=8−2m中较大者，
由题意可知，只需2当m2≥2，即m≥4时，f(x)在x1∈[1,2]上单调递减，
所以8−2m=f(2)≤f(x)≤f(1)=5−m，即f(x1)∈[8−2m,5−m]，
由题意，[8−2m,5−m]⊆[2,3]，则4≤m5−m≤38−2m≥2，解得m∈⌀，
综上，m的取值范围为{m|52≤m≤2 2}.
【解析】(1)分离参数后，利用对勾函数的单调性求最大值即可；
(2)根据单调性求出g(x2)的值域，对f(x)的对称轴分类讨论，分别求出f(x1)的值域，由题意g(x2)的值域包含f(x1)的值域，列出不等式组求解即可．
本题考查了利用不等式恒成立求参数的取值范围，能成立与恒成立问题的综合，考查了分类讨论思想和转化思想，属中档题．