数学中考总复习——专题二-直角三角形存在性问题（必考题型）课件

这是一份数学中考总复习——专题二-直角三角形存在性问题（必考题型）课件，共22页。PPT课件主要包含了解题策略，代入A点坐标可得，如图2同理，解得OQ31或3，解得x3，△P1EC∽△COA，∴P2NNF，m4＝等内容，欢迎下载使用。

解直角三角形的存在性问题时，若没有明确指出直角三角形的直角，就需要进行分类讨论．通常这类问题的解题策略有：以线段AB为边的直角三角形构造方法如右图所示：
◆直角三角形的另一个顶点: 在以A为圆心，以AB为直径的圆上. 或过A、B且与AB垂直的直线上 （A，B两点除外）．
（1）几何法：先分类讨论直角，再画出直角三角形，后计算． 如图，若∠ACB＝90°．过点A、B作经过点C的直线的垂线，垂足分别为E、F．则△AEC∽△CFB．从而得到线段间的关系式解决问题．
（2）代数法：先罗列三边长，再分类讨论直角，根据勾股定理列出方程，然后解方程并检验． 有时候将几何法和代数法相结合．可以使得解题又快又好！
小试牛刀：在平面直角坐标系中，点A.B的坐标分别为(-3,0)、（3,0）点P在反比例函数 的图象上。若△PAB直角三角形，则满足条件的点P的个数为（ ） A.2个 B.4个 C.5个 D.6个
当∠APB=90°时，以AB为直径作圆，如图所示。∵圆与双曲线无交点，∴点P不存在；当∠PAB=90°时，x=-3 .∴点P的坐标（-3，-3）；当∠PBA=90°时，x=3，∴点P的坐标为(3,3) 综上所述：满足条件的点P有2个。
设点P的坐标为（x，y）
例1 如图，已知直线y=kx-6经过点A(1,-4)，与x轴相交于点B，若点Q是y轴上一点，且△ABQ为直角三角形，求点Q的坐标.
将A(1,-4)代入y=kx-6，得k=2
∴y=2x-6，B(3,0)
如图1,设AQ1解析式为
③如图3，以AB为直径画圆与y轴分别交于Q3,Q4
过点A作AE⊥y轴于点E
△BOQ3∽△Q3EA
◆练1 如图，在△ABC中，AB=AC=10， ，D、E为线段BC上的两个动点，且DE=3（E在D的右边），运动初始时D与B重合，当E与C重合时运动停止，过点E作EF∥AC交AB于F，连接DF，设BD=x，如果三角形BDF为直角三角形，求x的值.
◆点拨：∠B为锐角，直角顶点分类，直角三角形BDF存在两种情况
把∠B的两条边用含有x的式子表示出来
由题可知△BFE∽△BAC
①如图2，当∠BDF=90°时
②如图3，当∠BFD=90°时
巩固练习 如图，在平面直角坐标系中，已知点A的坐标是（4，0），OA=OC=4OB并且，动点P在过A、B、C三点的抛物线上.1）求抛物线的解析式；2）在抛物线上是否存在点P，使得△ACP是以AC为直角边的直角三角形，若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由.
2)作CP1⊥AC交抛物线于点P1
作P1E⊥y轴于点E
∵OC=OA ∴P1E=EC
2)作AP2⊥AC交抛物线于点P2
作P2N⊥y轴于点N
△P2NF ∽△CAF，且都是等腰三角形
◆例题精讲 例1 如图，抛物线l：y＝ax2＋2x+3与x轴交于A，B（3，0）两点 （点A在点B的左侧）．与y轴交于点C（0，3）．已知对称轴为x＝1．（1）求抛物线的表达式；（2）设点P是抛物线l上任意一点，点Q在直线x＝－3上，问：△PBQ能否成为以点P为直角顶点的等腰直角三角形？若能，求出符合条件的点P的坐标；若不能，请说明理由．
解：（1）由题意可得点A的坐标为（1，0）．所以抛物线表达式可变为 y＝a（x－3）（x＋1）＝ax2－2ax－3a 由点C的坐标可得－3a＝3，a＝－1 所以抛物线的表达式为y＝－x2＋2x＋3．
（2）如图，过点P作PM垂直于直线l，垂足为M．过点B作BN垂直于直线PM．垂足为N．若△PBQ是以点P为直角顶点的等腰直角三角形，无论点P在BQ的上方或下方，由“弦图模型”均可得△PQM∽△BPN． 所以PM＝BN．
设点P的坐标为（m，－m2＋2m＋3）．
则PM＝|m＋3|，BN＝|－m2＋2m＋3|，所以|m＋3|＝|－m2＋2m＋3|
解得m1＝0，m2＝1，m3＝
所以点P的坐标为（0,3）（1,4）（ ）（ ）。
变式1．抛物线y＝﹣x2＋2x＋3的顶点为C，点A 的坐标为（﹣1，4），其对称轴l上是否存在点M，使线段MA 绕点M 逆时针旋转90°得到线段MB，且点B 恰好落在抛物线上？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．
解：存在，点M的坐标为（1，2）或（1，5）．【提示】如图，连结AC，则AC⊥l，作BD⊥l于点D，则△MCA≌△BDM，从而MD＝AC＝2，BD＝MC．无论点A，B在l同侧还是异侧，设点M（1，m），都可得B（m－3，m－2），代入抛物线表达式即可求得m＝2或5，从而点M 的坐标为（1，2）或（1，5）．
变式2.如图，已知抛物线C1：y=a(x+2)2-5 的顶点为P，与x轴相交于 A、B两点（点A在点B的左边），点B的横坐标是1. （1）求P点的坐标及a的值；
1) P(-2,-5)
把B(1,0)带入到解析式得
如图，已知抛物线 C1：y=a(x+2)2-5 的顶点为P，与x轴相交于A、B两点（点A在点B的右边），点B的横坐标是1.
（2）如图1，抛物线C2与C 1抛物线关于x轴对称，将抛物线C2向右平移，平移后抛物线记为C3，C3的顶点为M，当点P、M关于点B成中心对称时，求C3的解析式；
2) 由题可知C2解析式为
如图，已知抛物线 C1：y=a(x+2)2-5 的顶点为P，与x轴相交于A、B两点（点A在点B的右边），点B的横坐标是1.
（3）如图2，点Q是x轴正半轴上一点，将C 1抛物线绕点Q旋转180°后得到抛物线C 4，抛物线C 4的顶点为N，与x轴相交于E、F两点（点E在点F的左边），当以P、N、F为顶点的三角形是直角三角形时，求点Q的坐标.
顶点N、P关于Q成中心对称，求出N点坐标可得Q点坐标
设N点的坐标为(m,5)
用m表示F点坐标，用坐标表示三边长，分情况用勾股定理列式求m