2022-2023学年浙江省杭州市长河高级中学高二下学期期中数学试题含解析

2022-2023学年浙江省杭州市长河高级中学高二下学期期中数学试题

一、单选题

1．已知随机变量的分布列如下：

若，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据期望公式及概率和为1列方程求解.

【详解】由已知得

解得

故选：B.

2．已知等差数列的公差为正数，且，，则为（    ）

A． B． C．210 D．180

【答案】C

【分析】根据等差数列的性质求得的值，即可得通项公式，再结合等差数列前项和公式即可得的值.

【详解】设等差数列的公差为，则，所以等差数列是递增数列，

由，，得，解得或（舍），

则，所以

故.

故选：C.

3．若曲线在处的切线垂直于直线，则（    ）

A．2 B．1 C．4 D．3

【答案】B

【分析】求导，利用导函数的几何意义得到切线斜率，根据两直线垂直得到斜率乘积为-1，列出方程，求出的值.

【详解】，，

由题意得：，解得：

故选：B

4．设随机变量，且，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】由题知，，进而根据正态分布的对称性求解即可.

【详解】解：因为随机变量，

所以，

因为，

所以，

所以，根据正态分布的对称性，.

故选：A

5．在n的展开式中，所有奇数项系数之和为1 024，则中间项系数是（    ）

A．330 B．462 C．682 D．792

【答案】B

【详解】∵二项展开式中所有项的二项式系数之和为2n，而所有偶数项的二项式系数之和与所有奇数项的二项式系数之和相等，故由题意得2n－1＝1 024，∴n＝11，

∴展开式共12项，中间项为第6项、第7项，其系数为C＝C＝462.

6．如图是我国古代数学家赵爽在为《周髀算经》作注解时给出的“弦图”．现提供4种颜色给“弦图”的5个区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不相同，则不同的涂色方案共有（　　）

A．48种 B．72种 C．96种 D．144种

【答案】B

【分析】 区域与其他区域都相邻，从开始分步进行其它区域填涂可解

【详解】解：根据题意，如图，假设5个区域依次为，分4步分析：

①，对于 区域，有4种涂法，

②，对于区域，与 相邻，有3种涂法，

③，对于区域，与 相邻，有2种涂法，

④，对于区域，若其与 区域同色，则 有2种涂法，

若 区域与 区域不同色，则 有1种涂法，则 区域有2+1＝3种涂色方法，

则不同的涂色方案共有4×3×2×3＝72种；

故选： B．

【点睛】本题考查两个计数原理的综合问题

使用两个计数原理进行计数的基本思想：对需用两个计数原理解决的综合问题要“先分类，再分步”，即先分为若干个“既不重复也不遗漏”的类，再对每类中的计数问题分成若干个“完整的步骤”，求出每个步骤的方法数，按照分步乘法计数原理计算各类中的方法数，最后再按照分类加法计数原理得出总数．

7．从装有两个红球和两个黑球的口袋内任取两个球，现有如下说法：①至少有一个黑球与都是黑球是互斥而不对立的事件；②至少有一个黑球与至少有一个红球不是互斥事件；③恰好有一个黑球与恰好有两个黑球是互斥而不对立的事件；④至少有一个黑球与都是红球是对立事件.在上述说法中，正确的个数为（    ）

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】C

【分析】利用互斥事件和对立事件的定义逐个判断即可

【详解】①“至少有一个 黑球”等价于“一个黑球和一个红球或两个黑球”与“都是黑球”可以同时发生，不是互斥事件，故错误.

②“至少有一个黑球”等价于“一个黑球和一个红球或两个黑球”，“至少有一个红球”等价于“一个黑球和一个红球或两个红球”，可以同时发生，故正确.

③“恰好有一个黑球”等价于“一个黑球和一个红球”，与“恰好有两个黑球”，不同时发生，还有可能都是红球，不是对立事件，故正确.

④“至少有一个黑球”等价于“一个黑球和一个红球或两个黑球”，与“都是红球”，不同时发生，但一定会有一个发生，是对立事件，故正确.上述说法中，正确的个数为3.

故选：C

【点睛】此题考查互斥事件和对立事件的判断，属于基础题

8．已知数列满足，若存在实数，使单调递增，则的取值范围是

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】由单调递增，可得恒成立，则，分析和可排除错误选项.

【详解】由单调递增，可得，

由，可得，所以.

时，可得.①

时，可得，即.②

若，②式不成立，不合题意；

若，②式等价为，与①式矛盾，不合题意.

排除B,C,D,故选A.

【点睛】本题考查数列的性质，结合不等式的性质求解.

二、多选题

9．某学校为普及安全知识，对本校1500名高一学生开展了一次校园安全知识竞赛答题活动(满分为100分).现从中随机抽取100名学生的得分进行统计分析，整理得到如图所示的频率分布直方图，则根据该直方图，下列结论正确的是（    ）

A．图中的值为0.016

B．估计该校高一大约有77%的学生竞赛得分介于60至90之间

C．该校高一学生竞赛得分不小于90的人数估计为195人

D．该校高一学生竞赛得分的第75百分位数估计大于80

【答案】BCD

【分析】根据频率分布直方图性质可得，判断A错误；计算出得分介于60至90之间的频率，判断B正确；利用1500乘以得分不小于90频率，判断C正确；计算得分介于50至80之间的频率判断D正确.

【详解】由频率分布直方图性质可得：

，解得，故A错误；

得分介于60至90之间的频率为，故B正确；

得分不小于90的人数估计为，故C正确；

得分介于50至80之间的频率为，故D正确.

故选：BCD.

10．有3名男生，4名女生，在下列不同条件下，正确的是（    ）

A．任选其中3人相互调整座位，其余4人座位不变，则不同的调整方案有70种

B．全体站成一排，男生互不相邻有1440种

C．全体站成一排，女生必须站在一起有144种

D．全体站成一排，甲不站排头，乙不站排尾有3720种

【答案】ABD

【分析】根据排列组合的特殊方法逐项求解判断即可.

【详解】对于A，任选其中3人有种情况，这人相互调整座位方案有种，其余4人座位不变，则不同的调整方案有70种，故A正确；

对于B，全体站成一排先安排女生有种情况，则在其中个空位安排名男生的情况有种，故男生互不相邻有1440种，故B正确；

对于C，全体站成一排，4名女生必须站在一起有种，故C不正确；

对于D，甲站排头有种情况，乙站排尾有种情况，甲站排头且乙站排尾有种情况，所以甲不站排头，乙不站排尾有3720种，故D正确.

故选：ABD.

11．进入21世纪以来，全球二氧化碳排放量增长迅速，自2000年至今，全球二氧化碳排放量增加了约40%，我国作为发展中国家，经济发展仍需要大量的煤炭能源消耗．下图是2016—2020年中国二氧化碳排放量的统计图表（以2016年为第1年）．利用图表中数据计算可得，采用某非线性回归模型拟合时，；采用一元线性回归模型拟合时，线性回归方程为，．则下列说法正确的是（    ）

A．由图表可知，二氧化碳排放量y与时间x正相关

B．由决定系数可以看出，线性回归模型的拟合程度更好

C．利用线性回归方程计算2019年所对应的样本点的残差为-0.30

D．利用线性回归方程预计2025年中国二氧化碳排放量为107.24亿吨

【答案】ABD

【分析】根据散点图即可判断A；根据决定系数越接近于1，拟合效果越好即可判断B；求出2019年所对应的样本点的残差即可判断C；由回归方程求出当时的估计值即可判断D.

【详解】解：由散点图可得二氧化碳排放量y与时间x正相关，故A正确；

因为，所以线性回归模型的拟合程度更好，故B正确；

当时，，

而，故C错误；

当时，，

即利用线性回归方程预计2025年中国二氧化碳排放量为107.24亿吨，故D正确.

故选：ABD.

12．已知函数，，点分别在函数的的图象上，O为坐标原点，则下列命题正确的是（    ）

A．若关于x的方程在上无解，则

B．存在关于直线对称

C．若存在关于y轴对称，则

D．若存在满足，则

【答案】BC

【分析】根据给定条件，求出方程在上有解时的范围，从而判断A；设出的坐标，由方程有解判断B；设出的坐标，建立函数关系，求出函数的值域，判断C，D即可.

【详解】对于A，当方程，即在上有解时，

易知在上单调递增，则，解得，

因此关于x的方程在上无解，则或，故A错误；

对于B，设，依题意，点关于直线对称点在函数的图象上，

即关于的方程有解，即有解，此时，

令函数，则，

所以在上单调递增，所以，

而函数在上单调递增，

它们的取值集合分别为、，

因此函数的值域为，

又因为，于是在有解，

所以存在关于直线对称，故B正确；

对于C，设点，则点关于轴对称点在函数的图象上，

即，

令，则，

即函数在上单调递减，所以，

又，恒有，因此，故C正确；

对于D，令，

由，可得，

显然，且，，

令，则，

所以当时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减，

因此，即有，

而，当且仅当时取等号，

所以，即，故D错误.

故选：BC．

【点睛】方法点睛：在根据函数在给定区间上恒成立或能成立的情况下，求参数的值，常采用分离常数法，只需求出分离后的常数与函数的最值之间的关系即可解答.

三、填空题

13．4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去1个小区，每个小区至少安排1名同学，则不同的安排方法共有__________种.

【答案】

【分析】根据题意，有且只有2名同学在同一个小区，利用先选后排的思想，结合排列组合和乘法计数原理得解.

【详解】4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去1个小区，每个小区至少安排1名同学

先取2名同学看作一组，选法有：

现在可看成是3组同学分配到3个小区，分法有：

根据分步乘法原理，可得不同的安排方法种

故答案为：.

【点睛】本题主要考查了计数原理的综合应用，解题关键是掌握分步乘法原理和捆绑法的使用，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.

14．若，且，则的展开式中二项式系数最大的项的系数是________．（用数字作答）

【答案】

【分析】根据给定条件，求出二项式的展开式的通项并求出n，再求出展开式中二项式系数最大的项的系数作答.

【详解】二项式展开式的通项为，

于是，整理得，而，解得，

所以展开式中二项式系数最大的项是第5项，

所以的展开式中二项式系数最大的项的系数是.

故答案为：

15．已知数列的前n项和，若存在正整数n，使得成立，则实数p的取值范围是________．

【答案】

【分析】分成奇偶求出，得出数列的奇数项为递减的等比数列且各项为正；偶数项为递增的等比数列且各项为负，进一步得出存在正整数使得成立.

【详解】根据题意可得，，

又；

易知，数列的奇数项为递减的等比数列且各项为正；偶数项为递增的等比数列且各项为负，于是不等式成立即存在正整数使得成立，

只需要，即即可.

故．

故答案为：.

16．已知函数的定义域为，其导函数为，若.，则关于x的不等式的解集为__________.

【答案】

【分析】根据给定条件，构造函数，再利用函数探讨单调性，求解不等式作答.

【详解】令函数，则，因此函数在上单调递减，

，因此，即，解得，

所以不等式的解集为.

故答案为：

四、解答题

17．已知函数．

(1)求曲线在点处的切线方程；

(2)求函数的单调增区间．

【答案】(1)；

(2)，.

【分析】（1）利用导数几何意义即可求得曲线在点处的切线方程；

（2）利用导数即可求得函数的单调增区间．

【详解】（1），则

则，又，

则曲线在点处的切线方程为，即

（2），

则，

由可得或，

则函数的单调增区间为，.

18．数列的前项和为，且，，．

(1)求数列的通项公式；

(2)求数列的前项和．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据已知条件，利用，可得，即可根据等比数列的通项公式求得，再检验即可求解；

（2）根据，令和，利用等比数列的前n项和公式求解，并检验即可求解.

【详解】（1）解：已知，则，

两式相减可得，即，

所以数列是在n ≥ 2上公比为3的等比数列，则，

因为，不符合上式，

所以数列的通项公式为.

（2）根据题意，得，

当时，，

当时，，

因为符合上式，所以数列的前项和.

19．“学习强国”学习平台是由中共中央宣传部主管，以习近平新时代中国特色社会主义思想和党的十九大精神为主要内容，立足全体党员、面向全社会的优质学习平台．2021年4月7日，“学习强国”上线“强国医生”功能，提供智能导诊、疾病自查、疾病百科、健康宣传等多种医疗健康服务，传播普及健康常识、卫生知识，助力健康生活．

(1)为了解“强国医生”的使用次数多少与性别之间的关系，某调查机构调研了200名“强国医生”的使用者得

根据所给数据完成上述表格，并判断是否有的把握认为“强国医生”的使用次数与性别有关；

(2)该机构统计了“强国医生”上线7天内每天使用该服务的女性人数，“强国医生”上线的第x天，每天使用“强国医生”的女性人数为y，得到以下数据：

通过观察散点图发现样本点集中于某一条曲线的周围，求y关于x的回归方程，并预测“强国医生”上线第12天使用该服务的女性人数．

附:随机变量，．

其中．

参考公式：对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，．

【答案】(1)列联表见解析，有的把握认为“强国医生”的使用次数与性别有关

(2)关于的回归方程为；上线第12天，使用该服务的女性约有3980人

【分析】（1）根据已知条件，结合独立性检验公式，即可求解．

（2）根据已知条件，结合最小二乘法和回归方程的公式，可得，将代入该回归方程中，即可求解．

【详解】（1）列联表如下：

，

所以有的把握认为“强国医生”的使用次数与性别有关

（2）将两边同时取常用对数得，设，则，

因为，，

所以，，

所以，，

所以关于的回归方程为，

把代入回归方程，得，

所以“强国医生”上线第12天，使用该服务的女性约有3980人．

20．某企业因技术升级，决定从2023年起实现新的绩效方案．方案起草后，为了解员工对新绩效方案是否满意，决定采取如下“随机化回答技术”进行问卷调查：

一个袋子中装有三个大小相同的小球，其中1个黑球，2个白球．企业所有员工从袋子中有放回的随机摸两次球，每次摸出一球．约定“若两次摸到的球的颜色不同，则按方式Ⅰ回答问卷，否则按方式Ⅱ回答问卷”．

方式Ⅰ：若第一次摸到的是白球，则在问卷中画“○”，否则画“×”；

方式Ⅱ：若你对新绩效方案满意，则在问卷中画“○”，否则画“×”．

当所有员工完成问卷调查后，统计画○，画×的比例．用频率估计概率，由所学概率知识即可求得该企业员工对新绩效方案的满意度的估计值．其中满意度．

(1)若该企业某部门有9名员工，用X表示其中按方式Ⅰ回答问卷的人数，求X的数学期望；

(2)若该企业的所有调查问卷中，画“○”与画“×”的比例为4：5，试估计该企业员工对新绩效方案的满意度．

【答案】(1)4

(2)40%．

【分析】（1）根据题意分析可得方式Ⅰ回答问卷的人数，利用二项分布的期望的公式运算求解；

（2）根据题意结合条件概率公式和全概率公式运算求解

【详解】（1）每次摸到白球的概率，摸到黑球的概率为，

每名员工两次摸到的球的颜色不同的概率，

由题意可得：该部门9名员工中按方式Ⅰ回答问卷的人数，

所以X的数学期望．

（2）记事件A为“按方式Ⅰ回答问卷”，事件B为“按方式Ⅱ回答问卷”，事件C为“在问卷中画○”．

由（1）知，，．

∵，

由全概率公式，则，解得，

故根据调查问卷估计，该企业员工对新绩效方案的满意度为40%．

21．已知数列满足，.

(1)记，证明：数列为等比数列，并求出数列的通项公式；

(2)求数列的前项和.

【答案】(1)；证明见解析

(2)

【分析】（1）根据递推关系，求出 的通项公式即可证明；

（2）将 前2n项之和分为奇数项和偶数项分别求和即可.

【详解】（1）因为，当n为奇数时， ，当n为偶数时，  ，且，

所以，

所以，∴，

所以为以2为首项，2为公比的等比数列，所以；

（2）因为，

所以，

所以数列的前项和；

综上，所以，数列的前项和.

22．已知函数，.

(1)若，求的单调区间；

(2)若关于x的不等式恒成立，求实数a的取值范围.

【答案】(1)单调递减区间为，单调递增区间为；

(2).

【分析】（1）把代入函数解析式中得，对函数进行求导即可得到的单调区间.

（2）恒成立等价于恒成立，令，则.

当时，符合题意，当时，对函数判断单调性，即可得到，即可求出答案.

【详解】（1）当时，，

则.

当时，因为，且，

所以，

所以，单调递减.

当时，因为，且，

所以，

所以，单调递增.

所以当时，的单调递减区间为，单调递增区间为.

（2）恒成立等价于恒成立，

令，

则.

①当时，在区间上恒成立，符合题意；

②当时，，

令，，即在上单调递增，，则存在，使得，此时，即，

则当时，，单调递减；当时，，单调递增.

所以.

令，得.

因为，所以.

综上，实数a的取值范围为.

【点睛】本题考查了利用导数判断函数的单调性和隐零点问题，属于难题.