2022-2023学年度吉林省长市吉大附中力旺学校九年级上学期第三次月考数学试题

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2022-2023学年度上学期九年级第三次月考数学试卷
一､选择题（每题3分，共24分）
1. 在的“□”中填入一个运算符号使运算结果最小的是（ ）
A. + B. - C. × D. ÷
【答案】A
【解析】
【分析】把各运算符号放入“□”中，计算得到结果，即可作出判断．
【详解】解：-2+（-2）=-4，-2-（-2）=0，-2×（-2）=4，-2÷（-2）=1，
∵-4＜0＜1＜4，
∴在-2□3的“□”中填入一个运算符号“+”使运算结果最小，
故选：A．
【点睛】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
2. 下列运算正确的是（　　）
A. a2•a3＝a6 B. （3a）3 ＝9a3
C. 3a﹣2a＝1 D. （﹣2a2）3＝﹣8a6
【答案】D
【解析】
【分析】利用同底数幂的乘法法则、积的乘方运算法则、合并同类项法则分别进行计算即可．
【详解】A、a2•a3=a5，故原计算错误；
B、(3a)3 =27a3，故原计算错误；
C、3a﹣2a=a，故原计算错误；
D、(﹣2a2)3=﹣8a6，故原计算正确；
故选：D．
【点睛】本题主要考查了同底数幂的乘法、积的乘方运算、合并同类项、幂的乘方运算，关键是掌握各计算法则．
3. 我国高铁通车总里程居世界第一，预计到2020年底，高铁总里程大约39000千米，39000用科学记数法表示为（　　）
A. 39×103 B. 3.9×104 C. 3.9×10﹣4 D. 39×10﹣3
【答案】B
【解析】
【分析】科学记数法表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值是易错点，由于39000有5位，所以可以确定n＝5﹣1＝4．
【详解】39000＝3.9×104．
故选：B．
【点睛】本题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
4. 图①是由五个完全相同的小正方体组成的立体图形．将图①中的一个小正方体改变位置后如图②，则三视图发生改变的是（　　）

A. 主视图 B. 俯视图
C. 左视图 D. 主视图、俯视图和左视图都改变
【答案】A
【解析】
【分析】根据从正面看得到的视图是主视图，从左边看得到的图形是左视图，从上边看得到的图形是俯视图对两个组合体进行判断，可得答案．
【详解】解：①的主视图是第一层三个小正方形，第二层中间一个小正方形；左视图是第一层两个小正方形，第二层左边一个小正方形；俯视图是第一层中间一个小正方形，第二层三个小正方形；
②的主视图是第一层三个小正方形，第二层左边一个小正方形；左视图是第一层两个小正方形，第二层左边一个小正方形；俯视图是第一层中间一个小正方形，第二层三个小正方形；
所以将图①中的一个小正方体改变位置后，俯视图和左视图均没有发生改变，只有主视图发生改变，
故选：A．
【点睛】本题考查了三视图的知识，解决此类图的关键是由三视图得到相应的立体图形．从正面看到的图是正视图，从上面看到的图形是俯视图，从左面看到的图形是左视图．
5. 将一副三角尺如图摆放，点E在上，点D在的延长线上，，则的度数是（ ）

A. 15° B. 20° C. 25° D. 30°
【答案】A
【解析】
【分析】根据三角板的特点可知∠ACB=45°、∠DEF=30°，根据可知∠CEF=∠ACB=45°，最后运用角的和差即可解答．
【详解】解：由三角板的特点可知∠ACB=45°、∠DEF=30°
∵
∴∠CEF=∠ACB=45°，
∴∠CED=∠CEF-∠DEF=45°-30°=15°．
故答案为A．
【点睛】本题考查了三角板的特点、平行线的性质以及角的和差，其中掌握平行线的性质是解答本题的关键．
6. 如图，在中，，分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于两点，作直线交于点，交于点，连结．若，则的长为（　　）

A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据平行线的性质和勾股定理进行计算，即可得到答案.
【详解】解：由作法得垂直平分，
，，
，
，
，
为斜边上的中线，
，
．
故选．
【点睛】本题考查平行线的性质和勾股定理,解题的关键是掌握平行线的性质和勾股定理.
7. 如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点A在x轴的正半轴上，矩形的另一个顶点D在y轴的正半轴上，矩形的边．则点C到x轴的距离等于（ ）

A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】作CE⊥y轴于E．解直角三角形求出OD，DE即可解决问题．
【详解】作CE⊥y轴于E．

在Rt△OAD中，
∵∠AOD=90°，AD=BC=，∠OAD=，
∴OD=，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ADC=90°，
∴∠CDE+∠ADO=90°，
又∵∠OAD+∠ADO=90°，
∴∠CDE=∠OAD=，
∴在Rt△CDE中，
∵CD=AB=，∠CDE=，
∴DE=，
∴点C到轴的距离=EO=DE+OD=，
故选：A．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，矩形的性质，正确作出辅助线是解题的关键．
8. 如图，在直角坐标系中，以坐标原点O（0，0），A（0，4），B（3，0）为顶点的Rt△AOB，其两个锐角对应的外角角平分线相交于点P，且点P恰好在反比例函数y＝的图象上，则k的值为（ ）

A. 36 B. 48 C. 49 D. 64
【答案】A
【解析】
【详解】过P分别作AB、x轴、y轴的垂线，垂足分别为C、D、E，如图，利用勾股定理计算出AB＝5，根据角平分线的性质得PE＝PC＝PD，设P（t，t），利用面积的和差得到×t×（t﹣4）+×5×t+×t×（t﹣3）+×3×4＝t×t，求出t得到P点坐标，然后把P点坐标代入y＝中求出k的值．
【解答】解：过P分别作AB、x轴、y轴的垂线，垂足分别为C、D、E，如图，

∵A（0，4），B（3，0），
∴OA＝4，OB＝3，
∴AB＝＝5，
∵△OAB的两个锐角对应的外角角平分线相交于点P，
∴PE＝PC，PD＝PC，
∴PE＝PC＝PD，
设P（t，t），则PC＝t，
∵S△PAE+S△PAB+S△PBD+S△OAB＝S矩形PEOD，
∴×t×（t﹣4）+×5×t+×t×（t﹣3）+×3×4＝t×t，
解得t＝6，∴P（6，6），
把P（6，6）代入y＝得k＝6×6＝36．
故选：A．
【点评】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数图象上点的坐标满足其解析式．也考查了角平分线的性质和三角形面积公式．
二､填空题（每题3分，共18分）
9. _________．
【答案】
【解析】
【分析】首先计算乘方、开方，然后计算减法，求出算式的值是多少即可．
【详解】解： =3-=．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了实数的运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数一样，要从高到低．
10. 分解因式：_____________．
【答案】
【解析】
【分析】提取公因式4后再运用平方差公式进行因式分解即可．
详解】解：
=
=
故答案为：
【点睛】此题主要考查了提公因式法和公式法分解因式，关键是灵活使用各种方法对多项式进行因式分解，一般来说，如果可以先提取公因式的要先提取公因式，再考虑运用公式法分解．
11. 说明命题“若x>－4，则x2>16”是假命题的一个反例可以是_______.
【答案】x=-3,答案不唯一
【解析】
【分析】当x=-3时，满足x＞-4，但不能得到x2＞16，于是x=-3可作为说明命题“x＞-4，则x2＞16”是假命题的一个反例．
【详解】说明命题“x＞-4，则x2＞16”是假命题的一个反例可以是x=-3．
故答案为-3．
【点睛】本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式．有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．
12. 明代大数学家程大名著的《算法统宗》一书中，记载了这样一道数学题：“八万三千短竹竿，将来要把笔头安，管三套五为期定，问郡多少能完成?”用现代的话说就是：有83000根短竹，每根短竹可制成毛笔的笔管3个或笔套5个，怎样安排笔管或笔套的短竹的数量，使制成的1个笔管与1个笔套正好配套?设用于制作笔管的短竹数为x根，则可列方程为：___________．
【答案】
【解析】
【分析】设用于制作笔管的短竹数为x根，用于制作笔套的短竹数为（83000-x）根，根据题意列出方程组解答即可．
【详解】解：设用于制作笔管的短竹数为x根，用于制作笔套的短竹数为（83000-x）根，根据题意可得：
故答案为：
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用．解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列方程．
13. 二次函数，当时，y的取值范围是_______．
【答案】
【解析】
【分析】先求出二次函数的对称轴，再根据二次函数的增减性求出最小值和最大值即可．
【详解】解：∵y=-x2+2x-4，
=-（x2-2x+4）
=-（x-1）2-3，
∴二次函数的对称轴为直线x=1，
∴时，x=1取得最大值为-3，
x=-1时取得最小值为-（-1）2+2×（-1）-4=-7，
∴y的取值范围是-7≤y≤-3．
故答案为：-7≤y≤-3．
【点睛】本题考查了二次函数与不等式，主要利用了二次函数的增减性和对称性，确定出对称轴从而判断出取得最大值和最小值的情况是解题的关键．
14. 九连环是我国从古至今广泛流传的一种益智游戏，它用九个圆环相连成串，以解开为胜，据明代杨慎《丹铅总录》记载：“两环互相贯为一，得其关捩，解之为二，又合面为一”，在某种玩法中，用表示解下n（，n为正整数）个圆环所需的移动最少次数，若，且，则解下5个环所需的最少移动次数为_______．
【答案】16
【解析】
【分析】根据已知的递推关系，把代入求得，把代入可得，依次递推，即可求出的值，本题即得解．
【详解】∵，且，
∴，
，
，
，
∴解下五个环所需的最少次数为16；
故填16．
【点睛】本题主要考查以数字文化为背景，考查递推公式，求指定项的知识．
三､解答题（本大题共10小题，共78分）
15. 先化简，再求值：（1﹣）÷，从﹣1，2，3中选择一个适当的数作为x值代入．
【答案】原式=
【解析】
【分析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再选取合适的x的值代入进行计算即可．
【详解】解：原式==
当x=3时，原式==3．
考点：分式的化简求值．
16. 某市从今年1月1同起调整居民用水价格，每立方米水费上涨20%．小丽家去年12月份的水费是15元，而今年5月的水费则是30元．已知小丽家今年5月的用水量比去年12月的用水量多5m3．求该市今年居民用水的价格．
【答案】该市今年居民用水的价格是每立方米2.4元．
【解析】
【分析】利用总水费÷单价＝用水量，结合小丽家今年5月的用水量比去年12月的用水量多5m3，进而得出等式即可．
【详解】设去年居民用水价格为x元/m3，根据题意列方程：，
解得：x＝2，
经检验：x＝2是原方程的根，
∴（1+20%）x＝2.4，
答：该市今年居民用水的价格是每立方米2.4元．
【点睛】本题考查了分式方程的应用，应用题中一般有三个量，求一个量，明显的有一个量，一定是根据另一量来列等量关系的．分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键．
17. 防疫期间，全市所有学校都严格落实测体温进校园的防控要求．某校开设了A、B、C三个测温通道，某天早晨，该校小明和小丽两位同学将随机通过测温通道进入校园．
（1）小明从A测温通道通过的概率是________；
（2）利用画树状图或列表的方法，求小明和小丽从同一个测温通道通过的概率．
【答案】(1) ;(2) ．
【解析】
【分析】(1) 因为共开设了A、B、C三个测温通道，小明从A测温通道通过的概率是．
(2)根据题意画出树状图，再根据所得结果算出概率即可．
【详解】(1) 因为共开设了A、B、C三个测温通道，小明从A测温通道通过的概率是，
故答案为：．
(2)由题意画出树状图：

由图可知，小明和小丽从同一个测温通道通过的概率=．
【点睛】本题考查概率的计算和树状图的画法，关键在于理解题意，由图得出相关概率．
18. 数学爱好小组要测量信号基站高度，一名同学站在距离信号基站的点E处，测得基站项部的仰角，已知测角仪的高度．求这个信号基站的高（精确到）．（参考数据：）

【答案】40
【解析】
【分析】先过点C作，垂足为D；则四边形是矩形，；在中，利用的正切可得，；而，进而把，代入即可得基站的高的值．
【详解】解：如图，过点C作，垂足为D．则四边形是矩形，
，
在中，

∵，
∴．
∴．
答：这个信号基站的高约为．
【点睛】本题主要考查锐角三角函数的应用．通过做辅助线，分割图形，构建直角三角形，并解直角三角形是解答本题的关键．
19. 如图，菱形中，与交于点，， ．

（1）求证：四边形是矩形；
（2）连接，交于点，连接，若，求长．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）根据菱形的性质，得到，，再根据等量代换，得出，再根据矩形的判定定理，即可得到结论；
（2）根据直角三角形的性质，得到，进而得出，再根据勾股定理，计算即可得到答案．
【小问1详解】
证明：∵四边形为菱形，
∴， ，
∴，
∵， ，
∴，
∴四边形为平行四边形，
又∵，
∴四边形是矩形；
【小问2详解】
解：由（1）得：四边形是矩形，
∴，，
∵是中点，
∴为中点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了矩形的判定和性质、菱形的性质、直角三角形的性质、勾股定理等知识；熟练掌握矩形的判定和性质是解题的关键．
20. 某校为了了解七年级1000名学生的身体健康情况，从该年级随机抽取了若干名学生，将他们按体重（均为整数，单位：）分成五组（A：39.5—46.5；B：46.5—53.5；C：53.5—60.5；D：60.5—67.5：E：67.5—74.5），并依据统计数据绘制了如下两幅尚不完整的统计图．

请解答下列问题：
（1）这次随机抽取了________名学生调查，并补全频数分布直方图．
（2）在抽取调查的若干名学生中体重在_____组的人数最多．
（3）请你估计该校七年级体重超过学生大约有多少名?
【答案】（1）图见解析（2）C（3）360
【解析】
【分析】(1)根据A组的百分比和频数得出样本容量，并计算出B组的频数补全频数分布直方图即可，
(2)由图表得出C组学生的频率即可得到结果，
(3)根据样本进行估算总体即可．
【详解】解：解:（1）这次抽样调查的样本容量是4÷8%=50，
B组的频数=50-4-16-10-8=12，
补全频数分布直方图，如图：

故答案为：50，
(2)在抽取调查的若干名学生中体重在C组的人数最多，
故答案为：C，
（3）样本中体重超过60kg的学生是10+8=18人，
估计该校七年级体重超过60kg的学生大约有×1000=360人．
【点睛】本题主要考查条形统计图和扇形统计图分析，解决本题的关键是要熟练掌握样本容量，频数，频率之间关系．
21. 某种机器工作前先将空油箱加满，然后停止加油立即开始工作，当停止工作时，油箱中油量为．在整个过程中，油箱里的油量（单位：）与时间（单位：）之间的关系如图所示．

（1）机器每分钟加油量为_____，机器工作的过程中每分钟耗油量为_____．
（2）求机器工作时关于的函数解析式，并写出自变量的取值范围．
（3）直接写出油箱中油量为油箱容积的一半时的值．
【答案】（1）3，；（2），；（3）5或40．
【解析】
【分析】（1）根据加油量为即可得；根据时剩余油量为即可得；
（2）根据函数图象，直接利用待定系数法即可得；
（3）先求出机器加油过程中的关于的函数解析式，再求出时，两个函数对应的x的值即可．
【详解】（1）由函数图象得：机器每分钟加油量为
机器工作的过程中每分钟耗油量为
故答案为：3，；
（2）由函数图象得：当时，机器油箱加满，并开始工作；当时，机器停止工作
则自变量的取值范围为，且机器工作时的函数图象经过点
设机器工作时关于的函数解析式
将点代入得：
解得
则机器工作时关于的函数解析式；
（3）设机器加油过程中的关于的函数解析式
将点代入得：
解得
则机器加油过程中的关于的函数解析式
油箱中油量为油箱容积的一半时，有以下两种情况：
①在机器加油过程中
当时，，解得
②在机器工作过程中
当时，，解得
综上，油箱中油量为油箱容积的一半时的值为5或40．
【点睛】本题考查了函数图象、利用待定系数法求一次函数和正比例函数的解析式等知识点，从函数图象中正确获取信息是解题关键．
22. 已知和，，连结．
感知：如图①，当点E在边上时，试判断线段之间的关系是_______．
探究：将图①中的绕点A旋转至如图②所示位置时，探究线段之间的关系，并说明理由；
应用：将图①中绕点A旋转至与直线垂直，直线交直线于点F，若，请直接写出线段的长度．

【答案】（1），
（2）结论： 过程见解析
（3）或；
【解析】
【分析】（1）根据已知条件证明△ABD≌△ACE即可得到结论；
（2）根据已知条件证明△ABD ≌△ACE即可得到BD、CE的数量关系，延长线段CE交AB于点G，交BD点于H，根据∠BGH＝∠AGC，∠AGC+∠ACE＝∠BAC=90°，易得∠BHG＝90°，即可得到结论；
（3）当DE在AB左边、当DE在AB右边两种情况分类讨论，通过证明△BFN ∽CME，对应线段成比例即可求解．
【详解】（1），
在△ABD和△ACE中，

∴△ABD≌△ACE (SAS)，
∴BD＝CE，BD⊥EC．
故答案为：BD＝CE，BD⊥EC．
（2）结论：．
如图1，延长线段CE交AB于点G，交BD点于H．

∵∠BAC=∠DAE=90°，
即∠CAE+∠BAE＝∠DAB+∠BAE＝90°，
∴∠DAB＝∠CAE．                                             
在△ABD和△ACE中，

∴△ABD ≌△ACE（SAS），
∴BD＝CE，∠ABD＝∠ACE，
∵∠BGH＝∠AGC,∠AGC+∠ACE＝∠BAC=90°
∴∠BGH+∠ABD＝90°
∴∠BHG＝90°，
∴BD⊥CE．
（3）或；
如图2所示，当DE在AB左边时，设CA延长线与DE交于点M，AB与CE交于点N，
∵DE与直线AC垂直，∠BAC=∠DAE=90°，AB=AC， AD=AE，AB=15，AD=，

∴DE=10，AM=ME=5， ∴CE=，
可证△ACN ∽△MCE，
得 ，
∴ ，
∴ ，
∴，
再证△BFN ∽△CME，
得，
∴，
∴BF=；
如图3所示，当DE在AB右边时，设AC与DE交于点M，BA延长线与CE延长线交于点N，

∵DE与直线AC垂直，∠BAC=∠DAE=90°，AB=AC， AD=AE，AB=15，AD=，
∴DE=10，AM=ME=5，∴CE=，
可证△ACN ∽△MCE，
得，
∴，
∴，
∴，
再证△BFN ∽△CME，
得，
∴，
∴BF=．
【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质等内容，解题的关键是作出合适的辅助线．
23. 如图，，，，，动点P从点A出发沿折线以2个单位每秒的速度运动，到达点C时停止，过P作于Q，以为斜边作等腰直角，且A､D在的同侧，设P点运动时间为t秒．

（1）用含t代数式表示的长度．
（2）当D落在的边上时，求t的值．
（3）若与的重叠部分面积为S，当重叠部分为三角形时，求S与t之间的函数关系．
（4）当点D与某个顶点所连直线平分的面积时，直接写出t的值．
【答案】（1）
（2）
（3）
（4）
【解析】
【分析】（1）根据题意利用条件证明△AQP∽△ABC即可求得结果；
（2）只有点P在BC上时，点D才能落在△ABC上，根据题意作图，利用三角形相似证明求解即可；
（3）根据题意知道重叠部分三部分求解，当P在AC上时为第一种，当P在BC上且D在△ABC外为第二种（舍去），当P在BC上且D在△ABC内部为第三种，根据三角形面积公式代入相应数量求值即可；
（4）分情况讨论AD连线所在直线过BC中点E时，CD连线所在直线过AB中点时，BD连线所在直线过AC中点E时这三种情况，分别利用相似三角形对应边成比解题即可．
【详解】解：（1）当点P在AB上时，
∠C=90°，PQ⊥AC，
∴BC⊥AC，PQAC，
∴ ，
又∠A=∠A，
∠APQ=∠B，
∠AQP=∠C=90°，
∴△AQP∽△ABC，
∴ ，
∴PQ=1.6t，
当P在BC上时，
∵PQ⊥AC，
∴点C即为点Q，
PQ=(AB+BC)-(AB+BP)=(10+8)-2t=18-2t，
∴；
（2）只有点P在BC上时，点D才能落在△ABC上，
由（1）得，PQ=18-2t，
∵△PQD是等腰直角三角形，
作DM⊥PC,即∠BDM=90°，
则 ，
又∠B=∠B，
∴△ABC∽△DBM，
∴ ，
即
∴，
即；
（3）当点P在AB上时，AP=2t，
结合（1）知PQ= ，AQ为，
作EM⊥PQ，EN⊥AQ，
设EM=3x，PM=4x，
∴EM=MQ=PQ-PM=-4x=3x，
∴x= ，
∴EM=

当0 ，
当点P在BC上时，

此时重叠部分不是三角形，舍去，
当时，
，
∴；
（4）由题意知CD连线所在直线过AB中点，（舍去）
BD连线所在直线过AC中点E时，如图：

∴，
,
得 ，
AD连线所在直线过BC中点E时，如图：

∴，
即，
得t= ，
；
故填：．
【点睛】此题考查三角形动点问题，涉及三角形相似的性质与判定，有一定难度．
24. 已知函数的图像记作M．
（1）当时，y随x增大而增大，则m的取值范围是_______．
（2）当时，求M与x轴的交点坐标．
（3）若､，M与线段有公共点，求m的取值范围．
（4）点､，以为边向下作矩形，点E､F落在x轴上，当M与矩形有两个公共点时，直接写出m的取值范围．
【答案】（1）；（2）交点坐标为； （3）；（4）或或
【解析】
【分析】（1）根据二次函数的性质来回答即可；
（2）把代入，求方程解，问题可解；
（3）将根据点､，求出AB解析式，将点和点代入求出m的值，然后确定m的取值范围；
（4）分情况讨论：分或两种情况讨论．
【详解】解：（1）抛物线的对称轴为：，
∵，
∴时，y随x的增大而增大，
∵当时，y随x增大而增大，
∴ ，
∴ ，
故答案为：；
（2）时，
由，
解得，
∴交点坐标为 ；
（3）如图，

∵､，
∴线段AB的解析式为：，
当，，
将代入抛物线得：，
解得，，
把代入，
解得，
∴；
（4）如图，当时，
①∵､，
由2m=m-1，得
∴
∴当时，抛物线M与矩形CDEF无公共点；
②把x=2m=0代入抛物线M，y=1，
∴（2m，1）在矩形CDEF上，

∴当时，抛物线M与矩形CDEF有两个公共点；
当时，
①如图，由得，，

∴当时，抛物线M与矩形CDEF有三个公共点；
②如图，

当，抛物线M与矩形CDEF有两个交点；
③当，时，抛物线M与矩形CDEF有两个交点，

综上所述，当或或抛物线与矩形CDEF有两个交点；
【点睛】本题考查二次函数与x轴的交点，函数的增减性及图像的公共点问题等知识，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质，学会利用图象解决问题，属于中考常考题型．