2023年陕西省西安六中中考数学七模试卷（含解析）

这是一份2023年陕西省西安六中中考数学七模试卷（含解析），共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2023年陕西省西安六中中考数学七模试卷
一、选择题（本大题共8小题，共24.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. −13 的相反数是(    )
A. 13 B. 3 C. −13 D. − 3
2. 如图，该几何体的主视图是(    )
A.
B.
C.
D.
3. 2023年《陕西省人民政府工作报告》指出，465万建档立卡贫困人口全部脱贫.其中数据465万用科学记数法表示为(    )
A. 4.65×105 B. 46.5×105 C. 4.65×106 D. 4.65×107
4. 如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠B=50°，DF//EB.若∠D=70°，则∠ACD的度数为(    )
A. 30°
B. 35°
C. 40°
D. 45°
5. 在平面直角坐标系中，将直线l：y=kx(k≠0)向右平移2个单位长度后图象经过点(6,−2)，则k的值为(    )
A. −2 B. −12 C. 12 D. 2
6. 在矩形ABCD中，BC=6，∠DBC=30°，过点C作CE⊥BD，交AD于点E，则线段CE的长为
(    )
A. 4
B. 2 3
C. 3 2
D. 6
7. 如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，连接AC，BD，其中BD是⊙O的直径，若BD=6，BC=3，∠ADC=45°，则∠ACD的度数为(    )
A. 45°
B. 60°
C. 75°
D. 80°
8. 已知y=ax2+6ax+4(a≠0)是关于x的二次函数，当自变量x的取值范围为−4≤x≤1时，函数y有最大值，最大值为13，则下列结论不正确的是(    )
A. 抛物线与x轴有两个交点 B. 当抛物线开口向下时，a=−1
C. 对称轴在y轴的左侧 D. 当抛物线开口向上时，a=137
二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）
9. 计算：(−2a)2÷a= ______ ．
10. 如图，在数轴上点A表示的数是−3，点B表示的数是1，点P在数轴上，若PA=PB，则点P表示的数是______ ．
11. 我国是最早了解勾股定理的国家之一，东汉末年数学家刘徽在为《九章算术》作注中依据割补术而创造了勾股定理的无字证明“青朱出入图”，移动几个图形就直观地证明了勾股定理.如图，若CB=3，CG=4，则tan∠FEI= ______ ．

12. 若一次函数y=2x−1的图象与反比例函数y=kx(x>0)的图象相交于点(a,3)，则k= ______ ．
13. 如图，正方形ABCD的边长为4，点M在边BC上，MC=1，P为正方形内(含边上)一点，且
S△PAB=14S正方体ABCD，G为边CD上一动点，连接MG，GP，则MG+GP的最小值为______ ．


三、解答题（本大题共13小题，共81.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
14. (本小题5.0分)
计算：( 5)0+| 2−2|−3−27．
15. (本小题5.0分)
解不等式组：4(x+1)≤7x+132x−4 16. (本小题5.0分)
化简：(m+n2+2mnm)÷m2−n2m．
17. (本小题5.0分)
如图，在△ABC中，CD是中线，请用尺规作图法，在边AC上求作一点E，使得S△ABC=
4S△ADE.(保留作图痕迹，不写作法)

18. (本小题5.0分)
如图，已知DE//AB，DF//BC，DE=BC，FD=AB，求证：∠F=∠A．

19. (本小题5.0分)
甲、乙两家影院为刺激票房收入，五一期间均推出了优惠活动．
甲影院：3人以内(含3人)按原价购票，超出3人时，超出的人员购票打五折；乙影院：购票一律打八折．
若某电影在两家影院的原价都是60元一张票，小明同学一家人去看电影，若他们到甲、乙两家影院购票费用相同，请问他们一家总共多少人？
20. (本小题5.0分)
小敏同学在化学实验室取4个外观完全相同的烧杯，分别放入等体积的稀盐酸、稀硫酸、氢氧化钠溶液和水(已知上述4种物质均为无色液体并已打乱顺序，且紫色石蕊溶液遇酸性溶液变红，遇碱性溶液变蓝，遇水不变色)．
(1)若向其中1个烧杯中滴入紫色石蕊溶液，烧杯中溶液变红的概率是______ ；
(2)若向其中2个烧杯中分别滴入紫色石蕊溶液，请利用列表或画树状图的方法，求这2个烧杯中溶液都变红的概率．
21. (本小题6.0分)
小明和小亮同学打算测量某古塔EF的高度.如图，小明在A处用测角仪测得塔顶F的仰角为51°，小亮从A处沿AC方向行走20m到达C处，他用同一测角仪测得古塔基座EG的顶部G的仰角为45°.已知测角仪的高度为1.5m，基座EG的高度为6.5m，测量点A，C与基座底部E在同一水平线上，求该古塔EF的高度.(结果精确到1m，参考数据：sin51°≈0.78，cos51°≈0.63，tan51°≈1.23)

22. (本小题7.0分)
实验学校组织师生参加志愿服务活动，到距离学校124km的敬老院做义工，早上8：00他们从学校出发，行驶一段时间后在服务区休整，再次出发时司机提高了车速.如图，这是他们离学校的路程y(km)与时间x(h)的函数图象．
(1)求提速后y关于x的函数表达式；
(2)他们能否在10：30前到达敬老院？请说明理由．

23. (本小题7.0分)
某校举行了“体育锻炼”活动周，活动要求每位学生每周至少参加2次体育锻炼，为了解学生参加体育锻炼次数的情况，学校学生处对全校学生进行了随机抽样调查，并根据收集的信息进行统计，绘制了统计图(尚不完整).已知学生每周参加体育锻炼的次数为2，3，4，5，且次数为4的学生人数占抽样样本的13，请根据统计图中的信息解答下列问题：
(1)本次抽样调查了______ 名学生，请补全条形统计图；
(2)本次抽样调查的众数为______ ，中位数为______ ；
(3)若该校一共有学生1800名，请利用样本估计每周参加体育锻炼不少于4次的学生人数．

24. (本小题8.0分)
如图，AB是⊙O的直径，点P在BA的延长线上，PD与⊙O相切于点D，过点B作BC⊥PD，交PD的延长线于点C，连接AD并延长，交BC的延长线于点E．
(1)求证：∠EDC=∠PBD．
(2)若PD=4，tan∠PDA=12，求⊙O的半径．

25. (本小题8.0分)
已知抛物线L：y=ax2+bx+c与x轴交于点A(−1,0)，B(3,0)，与y轴交于点C(0,−3)，顶点为P，抛物线的对称轴交x轴于点D．
(1)求抛物线的表达式和顶点P的坐标；
(2)已知抛物线L′与抛物线L关于点M(m,0)中心对称，点P的对称点为点P′，点D的对称点为点D′，若△PDB∽△MD′P′，求抛物线L′的表达式．
26. (本小题10.0分)
问题提出
(1)如图1，△ABC内接于⊙O，BC=6，∠BAC=60°，则⊙O的半径为______ ．
问题探究
(2)如图2，已知矩形ABCD，AB=4 3，BC=6，P是矩形ABCD内一点，且∠BPC=60°，连接AP，求AP的最小值．
解决问题
(3)如图3，小乐家有一个四边形菜地ABCD，他打算种植油菜花，为了提高产量，他计划改造四边形菜地，在改造的过程中始终要满足BC=8米，∠BAD=135°，AD⊥DC，且AD=DC，求改造后四边形菜地面积的最大值．


答案和解析

1.【答案】A 
【解析】解：−13的相反数是13，
故选：A．
根据只有符号不同的两个数互为相反数，可得答案．
本题考查了相反数，在一个数的前面加上负号就是这个数的相反数．

2.【答案】B 
【解析】解：从正面看得到是图形是：
．
故选：B．
根据从正面看得到的图形是主视图，可得答案．
本题考查了简单组合体的三视图，从正面看得到的图形是主视图．

3.【答案】C 
【解析】解：465万=4650000=4.65×106．
故选：C．
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值<1时，n是负整数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．

4.【答案】A 
【解析】解：∵△ABC中，∠ACB=90°，∠B=50°，
∴∠A=40°，
∵DF//EB，∠D=70°，
∴∠D=∠CEB=70°，
∴∠ACD=∠CEB−∠A=70°−40°=30°，
故选：A．
先根据在直角三角形中，两锐角互余得出∠A=40°，根据DF//EB，∠D=70°，得到∠D=∠CEB=70°，再根据三角形外角的性质，即可得出∠ACD的度数．
本题主要考查了三角形内角和定理，外角的性质，掌握三角形内角和定理、外角的性质、平行线的性质是解题的关键．

5.【答案】B 
【解析】解：将直线l：y=kx(k≠0)向右平移2个单位长度后得到y=k(x−2)，
∵经过点(6,−2)，
∴−2=k(6−2)，
解得k=−12，
故选：B．
根据平移规律得到平移后的直线为y=k(x−2)，然后把(6,−2)代入解得即可．
此题主要考查了一次函数图象与几何变换，一次函数图象上点的坐标特征，正确把握变换规律是解题关键．

6.【答案】A 
【解析】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=CD，AD=BC，∠DCB=90°，
∵BC=6，∠DBC=30°，
∴CD=2 3，
∴BD=4 3，
∵CE⊥BD，
∴∠EOD=∠DOC=90°，
∵∠DBC=30°，
∴∠CDB=60°，
∴OD= 3，
∴DE=2，
∴CE=4，
故选：A．
根据矩形的性质得出AB=CD，AD=BC，利用含30°角的直角三角形的性质得出CD，进而解答即可．
此题考查矩形的性质，关键是根据矩形的性质得出AB=CD，AD=BC，利用含30°角的直角三角形的性质得出CD解答．

7.【答案】C 
【解析】解：∵BD是⊙O的直径，
∴∠BCD=90°，
∵BD=6，BC=3，
∴∠BDC=30°，
∵∠ADC=45°，
∴∠ADB=∠ADC−∠BDC=45°−30°=15°，
∴∠ACB=∠ADB=15°，
∴∠ACD=∠BCD−∠ACB=90°−15°=75°．
故选：C．
先根据圆周角定理得出∠BCD=90°，再由直角三角形的性质可知∠BDC=30°，进而可得出∠ADB的度数，根据圆周角定理得出∠ACB的度数，据此可得出结论．
本题考查的是圆周角定理，熟知直径所对的圆周角是直角是解题的关键．

8.【答案】D 
【解析】解：由题意得，y=ax2+6ax+4有最大值是13
∵у=ax2+6ax+4=a(x+3)2+4−9a，
∴4−9a=13，解得a=−1，
∴B选项正确．
抛物线解析式为：y=−(x+3)2+13，即对称轴是：直线x=−3，
∴C选项正确，
又当y=0时，−(x+3)2+13=0，
Δ=(−6)2−4×(−1)×4>0，
∴−(x+3)2+13=0有两个不等的实数根，
∴A选项正确，
∵у=ax2+6ax+4=a(x+3)2+4−9a，
∴当抛物线开口向上时，由−4≤x≤1时，函数y有最大值13，知当x=1时，y取得最大值13，
则a+6a+4=13，
解得a=97，
∴D选项错误．
故选：D．
先把抛物线的解析式化成顶点式，再根据二次函数的性质逐个判断即可．
本题考查了二次函数的图象、二次函数的性质和二次函数的最值，能熟记二次函数的性质是解此题的关键．

9.【答案】4a 
【解析】解：(−2a)2÷a=4a2÷a=4a．
故填4a．
本题是积的乘方与同底数幂的除法的混合运算，求解时按照各自的法则运算即可．
本题考查了积的乘方的性质，单项式的除法，熟练掌握运算法则是解题的关键，计算时要注意符号．

10.【答案】−1 
【解析】解：在数轴上点A表示的数是−3，点B表示的数是1，
∴AB=1−(−3)=4，
由题意可知点P在线段AB之间，PA=PB，
∴P到A点的距离为2，
∴P点表示的数为：−1．
故答案为：−1．
首先分析出点P的位置，在进行计算即可．
本题考查数轴，正确记忆数轴上的点的特征是解题关键．

11.【答案】34 
【解析】解：由题意得：四边形ECGF和四边形EBHI都是正方形，
∴CG=CE=4，∠BEI=∠CEF=90°，
∴∠BEI−∠CEI=∠CEF−∠CEI，
∴∠BEC=∠FEI，
在Rt△BCE中，BC=3，CE=4，
∴tan∠BEC=BCCE=34，
∴tan∠FEI=tan∠BEC=34，
故答案为：34．
根据题意可得：四边形ECGF和四边形EBHI都是正方形，从而可得CG=CE=4，∠BEI=∠CEF=90°，再利用等式的性质可得∠BEC=∠FEI，然后在Rt△BCE中，利用锐角三角函数的定义求出tan∠BEC的值，即可解答．
本题考查了解直角三角形的应用，勾股定理的证明，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键．

12.【答案】6 
【解析】解：∵一次函数y=2x−1的图象与反比例函数y=kx(x>0)的图象相交于点(a,3)，
令y=3，代入一次函数中，
解得x=2，
∴交点坐标为(2,3)．
将交点代入反比例函数解析式中，
解得k=2×3=6．
故答案为：6．
利用一次函数求出交点坐标，再代入反比例函数中求出k值．
本题以一次函数和反比例函数交点为背景，考查了函数图象的性质，难度较小，解决问题的关键就是求出交点坐标即可．

13.【答案】3 
【解析】解：过点P作EF//AB，分别交AD，BC于点E，F，
∵四边形ABCD是正方形，
∴四边形ABFE和四边形EFCD都是矩形，
∵S△PAB=14S正方形ABCD，正方形ABCD的边长为4，
∴12×4⋅EA=14×42，
解得EA=2，
∴CF=DE=AD−AE=4−2=2，

作点M关于CD的对称点M′，连接M′G，
则M′G=MG，M′C=MC=1，
∴MG+GP=M′G+GP≥M′F，
∴MG+GP的最小值为M′F的长，
∵M′F=M′C+CF=1+2=3，
∴MG+GP的最小值为3，
故答案为：3．
先确定组成点P的所有点为过AD，BC的中点E，F的线段EF，作点M关于CD的对称点M′，连接M′G，可用证明M′F的长为MG+GP的最小值，因此求出M′F的长即可．
本题考查轴对称−最短路线问题，正方形的性质，矩形的判定和性质，垂线段最短，能用一条线段的长表示两条线段和的最小值是解题的关键．

14.【答案】解：( 5)0+| 2−2|−3−27
=1+2− 2−(−3)
=1+2− 2+3
=6− 2． 
【解析】先化简各式，然后再进行计算即可解答．
本题考查了实数的运算，准确熟练地进行计算是解题的关键．

15.【答案】解：4(x+1)≤7x+13①2x−4 由①得：x≥−3，
由②得：x<45，
∴不等式组的解集是−3≤x<45． 
【解析】分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集．
本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．

16.【答案】解：原式=m2+n2+2mnm÷m2−n2m
=(m+n)2m⋅m(m+n)(m−n)
=m+nm−n． 
【解析】先把括号内通分，再把除法运算化为乘法运算，然后把分子分母因式分解，最后约分即可．
本题考查了分式的混合运算：分式的混合运算，先乘方，再乘除，然后加减，有括号的先算括号里面的．

17.【答案】解：如图，点E即为所求．
 
【解析】根据题意，结合三角形的中位线的性质，可得出点E为线段AC的中点时，S△ABC=4S△ADE，首先以点A和点C为圆心，以大于12AC的相同长为半径，分别在线段AC两侧画弧，其弧的交点分布于线段AC的两侧，连接两交点，交线段AC于点E，此点即为所求点，然后连接DE．
本题考查了三角形的中位线的性质、尺规作图，解本题的关键在理清题意，通过尺规作出线段AC的中点．

18.【答案】证明：∵DE//AB，DF//BC，
∴∠D=∠AGF，∠AGF=∠B，
∴∠D=∠B，
在△DEF和△BCA中，
DE=BC ∠D=∠B FD=AB ，
∴△DEF≌△BCA(SAS)，
∴∠F=∠A． 
【解析】根据平行线的性质推出∠D=∠B，利用SAS证明△DEF≌△BCA，根据全等三角形的性质即可得解．
此题考查了全等三角形的判定与性质，熟记全等三角形的判定与性质是解题的关键．

19.【答案】解：设他们一家总共x人，由题意有：
60×3+0.5×60(x−3)=0.8×60x，
解得x=5．
故他们一家总共5人． 
【解析】根据等量关系：在两家影院购票费用相同，列出方程计算即可求解．
此题考查了一元一次方程的应用，弄清题意找到等量关系列出方程是解本题的关键．

20.【答案】12 
【解析】解：(1)若向其中1个烧杯中滴入紫色石蕊溶液，烧杯中溶液变红的概率是24=12，
故答案为：12；
(2)把稀盐酸、稀硫酸、氢氧化钠溶液和水分别记为A、B、C、D，
画树状图如下：

共有16种等可能的结果，其中2个烧杯中溶液都变红的结果有4种，即AA、AB、BA、BB，
∴2个烧杯中溶液都变红的概率为416=14．
(1)直接由概率公式求解即可；
(2)画树状图，共有16种等可能的结果，其中2个烧杯中溶液都变红的结果有4种，再由概率公式求解即可．
本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．

21.【答案】解：延长BD交EF于点H，

由题意得：BH⊥EF，AB=CD=EH=1.5m，BD=AC=20m，
∵EG=6.5m，
∴GH=EG−EH=5(m)，
在Rt△GHD中，∠GDH=45°，
∴DH=GHtan45∘=5(m)，
∴BH=DH+BD=25(m)，
在Rt△FHB中，∠FBH=51°，
∴FH=BH⋅tan51°≈1.23×25=30.75(m)，
∴EF=FH+EH=30.75+1.5≈32(m)，
∴该古塔EF的高度约为32m． 
【解析】延长BD交EF于点H，根据题意可得：BH⊥EF，AB=CD=EH=1.5m，BD=AC=20m，从而可得GH=5m，然后在Rt△GHD中，利用锐角三角函数的定义求出DH的长，从而求出BH的长，再在Rt△FHB中，利用锐角三角函数的定义求出FH的长，最后利用线段的和差关系进行计算，即可解答．
本题考查了解直角三角形的应用−仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．

22.【答案】解：(1)设提速后y关于x的函数表达式为y=kx+b，根据题意得：
1.4k+b=402k+b=82，
解得k=70b=−58，
即提速后y关于x的函数表达式为：y=70x−58；
(2)把y=124代入y=70x−58，得：70x−58=124，
解得x=2.6，
2.6小时即两小时36分，所以他们在10：36到达敬老院．
故不能在10：30前到达敬老院． 
【解析】(1)利用待定系数法求解即可；
(2)把y=124代入(1)的结论，求出x的值即可判断．
本题考查一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，熟练运用待定系数法求出相关直线解析式．

23.【答案】90  5  4 
【解析】解：(1)由于每周体育锻炼次数为4的学生人数占抽样样本的13，而样本中每周体育锻炼次数为4的学生人数是30人，
所以抽样调查的人数为：30÷13=90(人)，
因此每周体育锻炼次数为5的学生人数为：90−15−5−30=40(人)，补全条形统计图如图所示：
故答案为：90；
(2)这90名被抽取的学生每周体育锻炼次数出现次数最多的是5次，共出现40次，因此学生每周体育锻炼次数的众数是5次，将这90名学生每周体育锻炼次数从小到大排列，处在中间位置的两个数的平均数为4+42=4次，因此中位数是4次，
故答案为：5，4；
(3)1800×30+4090=1400(人)，
答：该校1800学生名，每周参加体育锻炼不少于4次的学生大约有1400人．
(1)根据频率=频数总数可求出抽查的人数，求出每周体育锻炼次数为5次的学生人数即可补全条形统计图；
(2)根据中位数、众数的定义进行计算即可；
(3)求出样本中每周体育锻炼次数不少于4次的学生人数所占的百分比，进而估计总体中的百分比，再由频率=频数总数进行计算即可．
本题考查条形统计图，中位数、众数，理解中位数、众数的定义和计算方法以及频率=频数总数是正确解答的前提．

24.【答案】(1)证明：连接BD，OD，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
∴∠DAB+∠ABD=90°，
∵PD与⊙O相切于点D，
∴∠ODP=90°，
∴∠PDA+∠ADO=90°，
∵OA=OD，
∴∠ADO=∠DAO，
∴∠ADP=∠ABD，
∵∠ADP=∠CDE，
∴∠EDC=∠PBD；
(2)解：∵∠P=∠P，∠ADP=∠PBD，
∴△APD∽△DPB，
∵tan∠PDA=tan∠ABD=ADBD=12，
∴PDPB=PAPD=ADBD=12，
∴4PB=PA4=12，
∴PB=8，PA=2，
∴AB=6
∴⊙O的半径为3． 
【解析】(1)连接BD，OD，根据圆周角定理得到∠ADB=90°，求得∠DAB+∠ABD=90°，根据切线的性质得到∠ODP=90°，求得∠ADP=∠ABD，于是得到结论；(2)根据三角函数的定义和相似三角形的判定和性质定理即可得到结论．
本题考查了切线的性质，相似三角形的判定和性质，三角函数的定义，圆周角定理，正确地作出辅助线是解题的关键．

25.【答案】解：(1)设抛物线的表达式为y=a(x+1)(x−3)，代入C(0,−3)得，a=1，
∴y=(x+1)(x−3)=x2−2x−3，
∵y=x2−2x−3=(x−1)2−4，
∴顶点P的坐标为(1,−4)．
(2)∵抛物线的对称轴为直线x=1，
∴D(1,0)，
∵P(1,−4).B(3,0)，
∴BD=2，DP=4，设P′(x,y)，
∵抛物线L′与抛物线L关于点M(m,0)中心对称，点P的对称点为点P′，点D的对称点为点D′，
∴△MDP≌△MD′P′，
∵△PDB∽△MD′P′，
∴△PDB∽△MDP，
∴DBDP=DPDM，即24=4DM，
∴DM=8，
当M在D(1,0)左侧时，M(−7,0)，
∵P(1,−4)，P′(x,y)，
∴由中点坐标公式得−7=1+x20=−4+y2，
∴x=−15y=4，
∴P′(−15,4)，
∵抛物线L′与抛物线L关于点M(m,0)中心对称，
∴开口方向发生了变化，开口大小没变，
∴抛物线L′的表达式为y=−(x+15)2+4；
当M在D(1,0)右侧时，M(9,0)，
∵P(1,−4)，P′(x,y)，
∴由中点坐标公式得9=1+x20=−4+y2，
∴x=17y=4，
∴P′(17,4)，
∴抛物线L′的表达式为y=−(x−17)2+4．
综上，抛物线L′的表达式为y=−(x+15)2+4或y=−(x−17)2+4．
 
【解析】(1)设成交点式，代入点C求抛物线的表达式，再配方成顶点式求顶点；
(2)作出图形，抛物线L′的位置有两个，分别确定顶点坐标，变换后开口方向发生了变化，开口大小没变，所以抛物线L′的二次项系数为−1，最后利用顶点式写出表达式．
本题考查了二次函数三种表达式，以及中心对称，三角形相似，中点坐标公式等知识点，关键是作出图形，确定a值和顶点坐标．

26.【答案】2 3 
【解析】解：(1)作⊙O的直径BD，连接DC，如图，

∵BD为⊙O的直径，
∴∠BCD=90°，
∵∠A=∠D，∠BAC=60°，
∴∠D=60°．
在Rt△BCD中，
∵sinD=BCBD，
∴BD=6 32=4 3，
∴⊙O的半径为12BD=2 3．
故答案为：2 3；
(2)∵∠BPC=60°，
∴点P在以BC为弦，BC所对的圆周角为60°的圆上运动，设该圆的圆心为O，作出⊙O，连接OB，OC，OA，OA与⊙O交于点E，如图，

则当点P于点E重合时，AP取得最小值．
由(1)知：⊙O的半径为2 3，
∴OE=OB=OC=2 3．
∵∠BOC=2∠BPC，∠BPC=60°，
∴∠BOC=120°，
∵OB=OC，
∴∠OBC=∠OCB=30°．
过点O作OF⊥BC于点F，则BF=CF=12BC=3，过点O作OH⊥AB于点H，则四边形OHBF为矩形，
∴BH=OF，OH=BF=3．
∵OF=12OB= 3，
∴BH= 3，
∴AH=AB−BH=3 3，
∴AO= AH2+OH2= (3 3)2+32=6，
∴AP的最小值=AO−OE=6−2 3；
(3)连接AC，如图，

∵AD⊥DC，且AD=DC，
∴∠DAC=∠DCA=45°，
∵∠BAD=135°，
∴∠BAC=90°，
∴点A在以BC为直径的圆上运动．
设AC=x，则AB= BC2−AC2= 64−x2，DA=DC= 22x，
∵S△ABC=12AC⋅AB=x 64−x22，S△DAC=12DA⋅DC=14x2，
∴S四边形ABCD=S△ABC+S△ADC=x 64−x22+14x2=2x 64−x2+x24．
∵(x− 64−x2)2≥0，
∴x2−2x 64−x2+64−x2≥0，
∴2x 64−x2≤64，
∴2x 64−x2的最大值为64，当且仅当x= 64−x2时，
∴当x=4 2时，2x 64−x2取得最大值为64，
∴改造后四边形菜地面积的最大值=64+(4 2)24=64+324=24．
答：改造后四边形菜地面积的最大值为24平方米．
(1)作⊙O的直径BD，连接DC，利用圆周角定理，直角三角形的边角关系定理求得直径BD的长，则结论可求；
(2)利用(1)的条件可得：点P在以BC为弦，BC所对的圆周角为60°的圆上运动，设该圆的圆心为O，作出⊙O，连接OB，OC，OA，OA与⊙O交于点E，则当点P于点E重合时，AP取得最小值；过点O作OF⊥BC于点F，则BF=CF=12BC=3，过点O作OH⊥AB于点H，则四边形OHBF为矩形，利用垂径定理和矩形的性质得到OH，AH的长，再利用勾股定理解答即可得出结论；
(3)连接AC，利用等腰直角三角形的性质，直角三角形的性质可得：点A在以BC为直径的圆上运动，设AC=x，则AB= BC2−AC2= 64−x2，DA=DC= 22x，利用三角形的面积公式求得四边形ABCD的面积，再利用非负数的性质解答即可得出结论．
本题主要考查了圆的有关性质，圆周角定理，垂径定理，直角三角形的边角关系定理，矩形的性质，函数的极值，等腰直角三角形的判定与性质，直角三角形的性质，勾股定理，熟练掌握圆的有关性质是解题的关键．