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2022-2023学年河南省新乡十中八年级（下）期末数学试卷（含解析）
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这是一份2022-2023学年河南省新乡十中八年级（下）期末数学试卷（含解析），共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年河南省新乡十中八年级（下）期末数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 使代数式 x−3x−4有意义的x的取值范围是( )
A. x>3 B. x≥3 C. x>4 D. x≥3且x≠4
2. 下列运算正确的是( )
A. 2+ 3= 5 B. 2 2×3 2=6 2
C. 8÷ 2=2 D. 3 2− 2=3
3. 在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别是a，b，c，下列条件中，不能判定△ABC是直角三角形的是( )
A. ∠A+∠B=90° B. ∠A+∠B=∠C
C. a=1，b=3，c= 10 D. a：b：c=1：2：2
4. 若函数y=(m−1)x|m|−5是一次函数，则m的值为( )
A. ±1 B. −1 C. 1 D. 2
5. 某排球队6名场上队员的身高(单位：cm)是：180，184，188，190，192，194.现用一名身高为186cm的队员换下场上身高为192cm的队员，与换人前相比，场上队员的身高( )
A. 平均数变小，方差变小 B. 平均数变小，方差变大
C. 平均数变大，方差变小 D. 平均数变大，方差变大
6. 菱形，矩形，正方形都具有的性质是( )
A. 四条边相等，四个角相等 B. 对角线相等
C. 对角线互相垂直 D. 对角线互相平分
7. 已知正比例函数y=kx(k≠0)的函数值y随x的增大而增大，则一次函数y=−kx+k的图象大致是( )
A. B. C. D.
8. 如图，小冰想用一条彩带缠绕圆柱4圈，正好从A点绕到正上方的B点，已知知圆柱底面周长是3m，高为16m，则所需彩带最短是m．( )
A. 8
B. 5
C. 20
D. 10
9. 如图，点E、F、G、H分别是四边形ABCD边AB、BC、CD、DA的中点，则下列说法：①若AC=BD，则四边形EFGH为矩形；②若AC⊥BD，则四边形EFGH为菱形；③若四边形EFGH是平行四边形，则AC与BD互相平分；④若四边形EFGH是正方形，则AC与BD互相垂直且相等.其中正确的个数有个．( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
10. 如图，正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，BC=1，CE=3，H是AF的中点，那么CH的长是( )
A. 2.5
B. 5
C. 10
D. 2
二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）
11. 甲、乙两名射击运动员进行射击测试，每人10次射击成绩的平均数x−(单位：环)及方差S2(单位：环 2)如下表所示：根据表中数据，要从中选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛，应选择______．
甲
乙
x−
9
9
S2
1.6
0.8
12. 8与最简二次根式 2m−3是同类二次根式，则m的值为 ．
13. 已知一次函数y=(m−1)x3−m2+m的图象经过第二、三、四象限，则m的值是______ ．
14. 如图所示的网格是正方形网格，点A，B，C，D是网格线交点，则△ABC的面积与△ADB的面积大小关系为：S△ABC S△ADB(填“>”“=”或“<”)．
15. 如图，四边形ABCD是菱形，BD=6，AD=5，点E是CD边上的一动点，过点B作EF⊥OC于点F，EG⊥OD于点G，连接FG，则FG的最小值为______ ．
三、计算题（本大题共1小题，共8.0分）
16. (1)(2 48−6 13)÷ 3；
(2)( 5+ 3)( 5− 3)+( 3+2)2．
四、解答题（本大题共7小题，共67.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. (本小题9.0分)
2022年3月25日，教育部印发《义务教育课程方案和课程标准(2022年版)》，优化了课程设置，将劳动从综合实践活动课程中独立出来.某校为了解该校学生一周的课外劳动情况，随机抽取部分学生调查了他们一周的课外劳动时间，将数据进行整理并制成如下统计图．
请根据图中提供的信息，解答下面的问题：
(1)求图1中的m= ，本次调查数据的中位数是 h，本次调查数据的众数是 h；
(2)该校此次抽查的这些学生一周平均的课外劳动时间是多少？
(3)若该校共有2000名学生，请根据统计数据，估计该校学生一周的课外劳动时间不小于3h的人数．
18. (本小题8.0分)
如已知：如图，四边形ABCD中AB=BC=1，CD= 3，AD=1，且∠B=90°.试求∠BAD的度数．
19. (本小题9.0分)
如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，BE//AC，AE//BD，OE与AB交于点F．
(1)求证：四边形AEBO为矩形；
(2)若AB=10，AC=16，求菱形ABCD的面积．
20. (本小题9.0分)
如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=kx+b的图象经过点A(0,1)，且与直线y=2x−5相交于点P，点P的横坐标为2，直线y=2x−5与y轴交于点B．
(1)求k、b的值；
(2)根据图象可得，关于x的不等式2x−5>kx+b的解集是______ ；
(3)若点Q在x轴上，且满足S△ABQ=S△ABP，直接写出点Q的坐标．
21. (本小题10.0分)
某商店销售A型和B型两种型号的电脑，销售一台A型电脑可获利120元，销售一台B型电脑可获利140元．该商店计划一次购进两种型号的电脑共100台，其中B型电脑的进货量不超过A型电脑的3倍．设购进A型电脑x台，这100台电脑的销售总利润为y元．
(1)求y与x的函数关系式；
(2)该商店购进A型、B型电脑各多少台，才能使销售利润最大？最大利润是多少？
(3)若限定该商店最多购进A型电脑60台，则这100台电脑的销售总利润能否为12760元？请说明理由．
22. (本小题10.0分)
如图，把矩形OABC放入平面直角坐标系xOy中，使OA、OC分别落在x、y轴的正半轴上，其中AB=15，对角线AC所在直线解析式为y=−53x+b，将矩形OABC沿着BE折叠，使点A落在边OC上的点D处．
(1)求点B的坐标；
(2)求EA的长度；
(3)点P是y轴上一动点，是否存在点P使得△PBE的周长最小，若存在，请求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．
23. (本小题12.0分)
实践操作：在矩形ABCD中，AB=4，AD=3，现将纸片折叠，点D的对应点记为点P，折痕为EF(点E、F是折痕与矩形的边的交点)，再将纸片还原．
(1)初步思考：若点P落在矩形ABCD的边AB上(如图①)．
①当点P与点A重合时，∠DEF= ______ ，当点E与点A重合时，∠DEF= ______ ；
②当点E在AB上，点F在DC上时(如图②)，求证：四边形DEPF为菱形，并直接写出当AP=3.5时的菱形EPFD的边长．
(2)深入探究：点F与点C重合，点E在AD上，线段BA与线段FP交于点M(如图③).是否存在使得线段AM与线段DE的长度相等的情况？若存在，请直接写出线段AE的长度；若不存在，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】
【分析】
此题主要考查了分式与二次根式有意义的条件，属于基础题．
根据二次根式有意义的条件可得x−3≥0，根据分式有意义条件可得x−4≠0，再解不等式即可．
【解答】
解：由题意得：x−4≠0，且x−3≥0，
解得：x≥3且x≠4，
故选：D．
2.【答案】C
【解析】解：A、 2与 3不能合并，所以A选项错误；
B、原式=6×2=12，所以B选项错误；
C、原式= 8÷2=2，所以C选项正确；
D、原式=2 2，所以D选项错误．
故选：C．
本题主要考查了二次根式的乘除法、加减法，熟练掌握运算法则是解题的关键．
根据二次根式的加减法对A、D进行判断；根据二次根式的乘法法则对B进行判断；根据二次根式的除法法则对C进行判断．
3.【答案】D
【解析】解：A.∵∠A+∠B+∠C=180∘，∠A+∠B=90∘，∴∠C=90∘，∴△ABC是直角三角形，故本选项不符合题意;
B、∵∠A+∠B=∠C，∠A+∠B+∠C=180∘，∴∠C=90∘，能判定△ABC为直角三角形，不符合题意;
C、∵a=1，b=3，c= 10，∴a2+b2=c2，符合勾股定理的逆定理，能判定△ABC为直角三角形，不符合题意;
D、设a=x，b=2x，c=2x，∵x2+(2x)2≠(2x)2，∴不能判定△ABC为直角三角形，符合题意;
故选：D．
根据三角形内角和定理以及勾股定理的逆定理即可求出答案．
本题考查直角三角形，解题的关键是熟练运用三角形内角和定理以及勾股定理的逆定理，本题属于基础题型．
4.【答案】B
【解析】
【分析】
本题主要考查了一次函数的定义，一次函数y=kx+b的定义条件是：k、b为常数，k≠0，自变量次数为1．
根据一次函数的定义列式计算即可得解．
【解答】
解：根据题意得，|m|=1且m−1≠0，
解得m=±1且m≠1，
所以，m=−1．
故选B．
5.【答案】A
【解析】
【分析】
本题主要考查方差和平均数，解题的关键是掌握平均数和方差的计算公式．
分别计算出原数据和新数据的平均数和方差即可得．
【解答】
解：原数据的平均数为180+184+188+190+192+1946=188，
则原数据的方差为16×[(180−188)2+(184−188)2+(188−188)2+(190−188)2+(192−188)2+(194−188)2]=683，
新数据的平均数为180+184+188+190+186+1946=187，
则新数据的方差为16×[(180−187)2+(184−187)2+(188−187)2+(190−187)2+(186−187)2+(194−187)2]=593，
所以平均数变小，方差变小，
故选：A．
6.【答案】D
【解析】
【分析】
本题主要考查菱形的性质、矩形的性质以及正方形的性质．
根据菱形，矩形，正方形具有的性质依次判断选项即可．
【解答】
A项，矩形四边不相等，菱形四角不相等，故A项错误;
B项，菱形对角线不相等，故B项错误;
C项，矩形对角线不互相垂直，故C项错误;
D项，菱形、矩形、正方形的对角线都互相平分，故D项正确，
故选：D．
7.【答案】C
【解析】解：∵正比例函数y=kx的函数值y随x的增大而增大，
∴k>0，
∴一次函数y=−kx+k的图象经过一、二、四象限．
故选：C．
先根据正比例函数y=kx的函数值y随x的增大而增大判断出k的符号，再根据一次函数的性质即可得出结论．
本题考查的是一次函数的图象与系数的关系，即一次函数y=kx+b(k≠0)中，当k<0，b>0时函数的图象在一、二、四象限．
8.【答案】C
【解析】解：如图，线段AB即为所需彩带最短，
由图可知AC=3×4=12，BC=16，
∴由勾股定理得，
AB= AC2+BC2= 122+162=20，
故选：C．
把曲面展开变为平面，利用两点间线段最短，再根据勾股定理即可求解．
本题考查两点间线段最短和勾股定理在生活中的应用．将曲面问题变为平面问题是解答本题的关键．
9.【答案】A
【解析】解：因为一般四边形的中点四边形是平行四边形，
当对角线BD=AC时，中点四边形是菱形，当对角线AC⊥BD时，中点四边形是矩形，当对角线AC=BD，且AC⊥BD时，中点四边形是正方形，
故④选项正确，
故选：A．
因为一般四边形的中点四边形是平行四边形，当对角线BD=AC时，中点四边形是菱形，当对角线AC⊥BD时，中点四边形是矩形，当对角线AC=BD，且AC⊥BD时，中点四边形是正方形，
本题考查中点四边形、平行四边形、矩形、菱形的判定等知识，解题的关键是记住一般四边形的中点四边形是平行四边形，当对角线BD=AC时，中点四边形是菱形，当对角线AC⊥BD时，中点四边形是矩形，当对角线AC=BD，且AC⊥BD时，中点四边形是正方形．
10.【答案】B
【解析】解：连接AC、CF，如图，
∵四边形ABCD和四边形CEFG都是正方形，
∴∠ACD=45°，∠FCG=45°，AC= 2BC= 2，CF= 2CE=3 2，
∴∠ACF=45°+45°=90°，
在Rt△ACF中，AF= ( 2)2+(3 2)2=2 5，
∵H是AF的中点，
∴CH=12AF= 5．
故选：B．
连接AC、CF，如图，根据正方形的性质得∠ACD=45°，∠FCG=45°，AC= 2，CF=3 2，则∠ACF=90°，再利用勾股定理计算出AF=2 5，然后根据直角三角形斜边上的中线求CH的长．
本题考查了正方形的性质：正方形的四条边都相等，四个角都是直角；正方形的两条对角线相等，互相垂直平分，并且每条对角线平分一组对角；正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质．两条对角线将正方形分成四个全等的等腰直角三角形．也考查了直角三角形斜边上的中线性质．
11.【答案】乙
【解析】解：甲、乙射击成绩的平均数相等，
∵乙的方差<甲的方差，
∴乙发挥稳定，
故答案为：乙．
根据平均环数比较成绩的好坏，根据方差比较数据的稳定程度．
本题考查的是方差，掌握方差反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，方差越小，数据越稳定是解题的关键．
12.【答案】52
【解析】解：∵ 8=2 2，
∴2m−3=2，
∴m=52．
故答案为52．
先把 8化为最简二次根式2 2，再根据同类二次根式得到2m−3=2，然后解方程即可．
本题考查了同类二次根式：几个二次根式化为最简二次根式后，若被开方数相同，那么这几个二次根式叫同类二次根式．
13.【答案】− 2
【解析】解：若一次函数y=(m−1)x3−m2+m的图象经过第二、三、四象限，
则得到m−1<03−m2=1m<0，
解得m=− 2．
根据一次函数的性质求解．
解决本题可以根据已知条件将其转化为解方程组的问题．
14.【答案】=
【解析】解：∵AB2=8，BC2=2，AC2=10，
∴AB2+BC2=AC2，
∴△ABC是直角三角形，
∴S△ABC=12× 2×2 2=2，S△ABD=12×2×2=2，
∴S△ABC=S△ABD，
故答案为：=．
根据勾股定理逆定理证明△ABC是直角三角形，然后分别求出△ABC的面积和△ABD的面积，即可求解．
本题考查了三角形的面积，勾股定理的逆定理，掌握三角形的面积公式是本题的关键．
15.【答案】125
【解析】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，AD=DC，
∵EF⊥OC于点F，EG⊥OD于点G，
∴四边形OGEF是矩形，
连接OE，则OE=GF，
当OE⊥DC时，GF的值最小，
∵BD=6，AD=5，
∴OC= DC2−OD2= 52−32=4，
∵S△ODC=12OD⋅OC=12DC⋅OE，
∴OD⋅OC=DC⋅OE，
∴OE=3×45=125，
∴FG=125，
故答案为：125．
由条件可知四边形OGEF是矩形，连接OE，则OE=GF，当OE⊥DC时，GF的值最小，可由OD⋅OC=DC⋅OE求出OE的值即可．
本题考查了菱形的性质、矩形的判定与性质、垂线段最短、勾股定理、三角形面积；熟练掌握菱形的性质，证明四边形OGEF为矩形是解决问题的关键．
16.【答案】解：(1)(2 48−6 13)÷ 3
=(8 3−2 3)÷ 3
=6 3÷ 3
=6；
(2)( 5+ 3)( 5− 3)+( 3+2)2
=5−3+3+4 3+4
=9+4 3．
【解析】(1)先算括号里，再算括号外，即可解答；
(2)利用平方差公式，完全平方公式进行计算即可解答．
本题考查了二次根式的混合运算，平方差公式，完全平方公式，准确熟练地进行计算是解题的关键．
17.【答案】解：(1)∵m%=104+8+15+10+3×100%=25%，
∴m=25，
中位数为第20与21个数的平均数，即3+32=3，
由条形统计图可知，众数为3，
故答案为：25，3，3；
(2)此次抽查的这些学生一周平均的课外劳动时间是140×(4×1+8×2+15×3+10×4+3×5)=3小时，
答：此次抽查的这些学生一周平均的课外劳动时间是3小时；
(3)2000×15+10+340=1400(人)，
答：估计该校学生一周的课外劳动时间不小于3h的人数为1400人．
【解析】解：(1)∵m%=104+8+15+10+3×100%=25%，
∴m=25，
中位数为第20与21个数的平均数，即3+32=3，
由条形统计图可知，众数为3，
故答案为：25，3，3；
(2)见答案；
(3)见答案．
(1)用劳动时间为4小时的人数除以总人数得出m的值，根据中位数与众数的意义结合统计图即可求解；
(2)根据平均数的定义结合条形统计图即可求解；
(3)用2000乘以3小时及以上的人数的占比即可求解．
本题主要考查了条形统计图和扇形统计图的综合运用，样本估计总体，中位数和众数，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
18.【答案】解：如图，连接AC．
∵AB=BC=1，∠B=90°，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∴AC= 2，∠BAC=45°，
又∵CD= 3，AD=1，AC= 2，
∴AD2+AC2=CD2，
∴△ACD为直角三角形，
∴∠CAD=90°，
∴∠BAD=∠BAC+∠CAD=135°．
【解析】本题考查勾股定理和勾股定理逆定理，等腰直角三角形的判定与性质，掌握勾股定理逆定理证明△ACD为直角三角形是解题关键．，
连接AC，根据勾股定理可得AC= 2，再由勾股定理逆定理可得△ACD为直角三角形，即可求得．
19.【答案】(1)证明：∵BE//AC，AE//BD，
∴四边形AEBO是平行四边形．
又∵菱形ABCD对角线交于O点，
∴AC⊥BD，即∠AOB=90°．
∴四边形AEBO是矩形．
(2)解：∵菱形ABCD，
∴OA=8，
∵四边形AEBO是矩形，
∴AB=OE=10，
∵OE=10，
∴AE=6，
∴OB=6．
∴S△ABC=12AC×OB=12×16×6=48．
∴菱形ABCD的面积为96．
【解析】(1)先证四边形AEBO为平行四边形，再由菱形的性质得∠AOB=90°，即可得出结论；
(2)由勾股定理和菱形的面积公式解答即可．
本题考查了菱形的性质、矩形的判定与性质和判定、勾股定理、平行四边形的判定与性质等知识，熟练掌握矩形的判定与性质是解题的关键．
20.【答案】x>2
【解析】解：(1)∵一次函数y=kx+b的图象经过点A(0,1)，
∴b=1，
∵一次函数y=kx+b的图象与直线y=2x−5相交于点P，点P的横坐标为2，
∴点P的纵坐标为y=2×2−5=−1，
即P(2,−1)，
把点P(2,−1)代入y=kx+1中，得k=−1，
因此k=−1，b=1；
(2)∵一次函数y=kx+b的图象与直线y=2x−5相交于点P，点P的横坐标为2，
观察图象可知，关于x的不等式2x−5>kx+b的解集为x>2；
故答案为：x>2；
(3)∵A(0,1)，B(0,−5)，
∴AB=6，
又∵P(2,−1)，
∴S△ABP=12×6×2=6，
∵点Q在x轴上，且满足S△ABQ=S△ABP，
∴S△ABQ=12×6×OQ=6，
则OQ=2，
那么点Q的坐标是(2,0)或(−2,0)．
(1)利用待定系数法即可求k、b的值；
(2)根据图象即可得关于x的不等式2x−5>kx+b的解集；
(3)分两种情况，确定点Q在x轴上，且满足S△ABQ=S△ABP，即可求出点Q的坐标．
本题考查了一次函数与一元一次不等式、待定系数法求一次函数解析式、两条直线相交或平行，结合一次函数图象解决问题是关键．
21.【答案】解：(1)由题意可得，
y=120x+140(100−x)=−20x+14000，
即y与x的函数关系是y=−20x+14000．
(2)∵B型电脑的进货量不超过A型电脑的3倍，
∴100−x≤3x，
解得，x≥25，
∵y=−20x+14000，−20<0，
∴y随x的增大而减小，
∴当x=25时，y取得最大值，此时y=13500，100−x=75．
答：该商店购进A型、B型电脑分别为25台、75台时，才能使销售利润最大，最大利润是13500元；
(3)不能，
理由：由(2)知，x≥25，
∵y=−20x+14000，限定该商店最多购进A型电脑60台，
∴当x=60时，y取得最小值，此时y=−20×60+14000=12800，
∵12800>12760，
∴若限定该商店最多购进A型电脑60台，则这100台电脑的销售总利润不能为12760元．
【解析】(1)根据题意，可以写出y与x的函数关系式；
(2)根据该商店计划一次购进两种型号的电脑共100台，其中B型电脑的进货量不超过A型电脑的3倍．可以求得x的取值范围，再根据(1)中的结果，一次函数的性质，即可解答本题；
(3)根据一次函数的性质和x的取值范围，可以解答本题．
本题考查一次函数的性质、一元一次不等式的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质解答．
22.【答案】解：(1)∵AB=15，四边形OABC是矩形，
∴OC=AB=15，
∴C(0,15)，代入y=−53x+b得到b=15，
∴直线AC的解析式为y=−53x+15，
令y=0，得到x=9，
∴A(9,0)，B(9,15)．
(2)在Rt△BCD中，BC=9，BD=AB=15，
∴CD= 152−92=12，
∴OD=15−12=3，
设DE=AE=x，
在Rt△DEO中，DE2=OD2+OE2，
∴x2=32+(9−x)2，
∴x=5，
∴AE=5
(3)如图作点E关于y轴的对称点E′，连接BE′交y轴于P，
此时△BPE的周长最小．
∵E(4,0)，
∴E′(−4,0)，
设直线BE′的解析式为y=kx+m，则有9k+m=15−4k+m=0,
解得k=1513m=6013,
∴直线BE′的解析式为y=1513x+6013，
∴P(0,6013).
【解析】本题考查一次函数综合题、矩形的性质、翻折变换、勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握待定系数法解决问题，学会利用轴对称解决最短问题，难度较大
(1)根据点C的坐标确定b的值，利用待定系数法求出点A坐标即可解决问题；
(2)在Rt△BCD中，BC=9，BD=AB=15，KDCD= 152−92=12，TCOD=15−12=3，设DE=AE=x，在Rt△DEO中，根据DE2=OD2+OE2，构建方程即可解决问题；
(3)如图作点E关于y轴的对称点E′，连接BE′交y轴于P，此时△BPE的周长最小．利用待定系数法求出直线BE′的解析式即可解决问题；
23.【答案】90° 45°
【解析】解：(1)①如图，
当点P与点A重合时，∠DEF=∠AEF=12×180°=90°，
当点E与点A重合时，∠DEF=∠BEF=12×90°=45°；
故答案为：90°；45；
②如图②，
由折叠可知，DF=PF，DE=PE，
∵DF//EP
∴∠DFE=∠FEP，
∵∠DFE=∠PFE，
∴∠PFE=∠PEF，
∴PF=PE，
∴DE=DF=PE=PF，
∴四边形DEPF为菱形，
AP=3.5时，设 AE=x，则 PE=DE=3.5−x，
则 32+x2=(3.5−x)2，
解得x=1328，
∴EP=AP−AE=3.5−1328=8528，
所以菱形边长为 8528．
(2)存在使得线段AM与线段DE的长度相等的情况，理由如下：
如图④中，连接 EM．
∵DE=EP=AM，
∴Rt△EAM≌Rt△MPE(HL)，
∴AE=PM，设 AE=x，则 AM=DE=3−x，
则 BM=x+1，
∵MP=EA=x，CP=CD=4，
∴MC=4−x，
∴(x+1)2+32=(4−x)2，
∴x=35，
∴AE=35．
(1)①根据折叠的性质，得到等角，进而求解；
②由折叠知DF=PF，DE=PE，由平行线的性质可知∠DFE=∠FEP，于是∠PFE=∠PEF，进而推出DE=DF=PE=PF，得证四边形DEPF为菱形，设AE=x，PE=DE=3.5−x，勾股定理求得x=1328，得菱形边长为8528．
(2)如图④中，连接 EM.可证△EAM≌△MPE(HL)，于是AE=PM，设 AE=x，则 AM=DE=3−x，Rt△CMB中，运用勾股定理，(x+1)2+32=(4−x)2，解得x=35，AE=35．
本题考查折叠的性质，平行四边形的性质，菱形的判定，勾股定理，添设辅助线构造全等三角形是解题的关键．
2022-2023学年河南省新乡十中八年级（下）期末数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 使代数式 x−3x−4有意义的x的取值范围是( )
A. x>3 B. x≥3 C. x>4 D. x≥3且x≠4
2. 下列运算正确的是( )
A. 2+ 3= 5 B. 2 2×3 2=6 2
C. 8÷ 2=2 D. 3 2− 2=3
3. 在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别是a，b，c，下列条件中，不能判定△ABC是直角三角形的是( )
A. ∠A+∠B=90° B. ∠A+∠B=∠C
C. a=1，b=3，c= 10 D. a：b：c=1：2：2
4. 若函数y=(m−1)x|m|−5是一次函数，则m的值为( )
A. ±1 B. −1 C. 1 D. 2
5. 某排球队6名场上队员的身高(单位：cm)是：180，184，188，190，192，194.现用一名身高为186cm的队员换下场上身高为192cm的队员，与换人前相比，场上队员的身高( )
A. 平均数变小，方差变小 B. 平均数变小，方差变大
C. 平均数变大，方差变小 D. 平均数变大，方差变大
6. 菱形，矩形，正方形都具有的性质是( )
A. 四条边相等，四个角相等 B. 对角线相等
C. 对角线互相垂直 D. 对角线互相平分
7. 已知正比例函数y=kx(k≠0)的函数值y随x的增大而增大，则一次函数y=−kx+k的图象大致是( )
A. B. C. D.
8. 如图，小冰想用一条彩带缠绕圆柱4圈，正好从A点绕到正上方的B点，已知知圆柱底面周长是3m，高为16m，则所需彩带最短是m．( )
A. 8
B. 5
C. 20
D. 10
9. 如图，点E、F、G、H分别是四边形ABCD边AB、BC、CD、DA的中点，则下列说法：①若AC=BD，则四边形EFGH为矩形；②若AC⊥BD，则四边形EFGH为菱形；③若四边形EFGH是平行四边形，则AC与BD互相平分；④若四边形EFGH是正方形，则AC与BD互相垂直且相等.其中正确的个数有个．( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
10. 如图，正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，BC=1，CE=3，H是AF的中点，那么CH的长是( )
A. 2.5
B. 5
C. 10
D. 2
二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）
11. 甲、乙两名射击运动员进行射击测试，每人10次射击成绩的平均数x−(单位：环)及方差S2(单位：环 2)如下表所示：根据表中数据，要从中选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛，应选择______．
甲
乙
x−
9
9
S2
1.6
0.8
12. 8与最简二次根式 2m−3是同类二次根式，则m的值为 ．
13. 已知一次函数y=(m−1)x3−m2+m的图象经过第二、三、四象限，则m的值是______ ．
14. 如图所示的网格是正方形网格，点A，B，C，D是网格线交点，则△ABC的面积与△ADB的面积大小关系为：S△ABC S△ADB(填“>”“=”或“<”)．
15. 如图，四边形ABCD是菱形，BD=6，AD=5，点E是CD边上的一动点，过点B作EF⊥OC于点F，EG⊥OD于点G，连接FG，则FG的最小值为______ ．
三、计算题（本大题共1小题，共8.0分）
16. (1)(2 48−6 13)÷ 3；
(2)( 5+ 3)( 5− 3)+( 3+2)2．
四、解答题（本大题共7小题，共67.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. (本小题9.0分)
2022年3月25日，教育部印发《义务教育课程方案和课程标准(2022年版)》，优化了课程设置，将劳动从综合实践活动课程中独立出来.某校为了解该校学生一周的课外劳动情况，随机抽取部分学生调查了他们一周的课外劳动时间，将数据进行整理并制成如下统计图．
请根据图中提供的信息，解答下面的问题：
(1)求图1中的m= ，本次调查数据的中位数是 h，本次调查数据的众数是 h；
(2)该校此次抽查的这些学生一周平均的课外劳动时间是多少？
(3)若该校共有2000名学生，请根据统计数据，估计该校学生一周的课外劳动时间不小于3h的人数．
18. (本小题8.0分)
如已知：如图，四边形ABCD中AB=BC=1，CD= 3，AD=1，且∠B=90°.试求∠BAD的度数．
19. (本小题9.0分)
如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，BE//AC，AE//BD，OE与AB交于点F．
(1)求证：四边形AEBO为矩形；
(2)若AB=10，AC=16，求菱形ABCD的面积．
20. (本小题9.0分)
如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=kx+b的图象经过点A(0,1)，且与直线y=2x−5相交于点P，点P的横坐标为2，直线y=2x−5与y轴交于点B．
(1)求k、b的值；
(2)根据图象可得，关于x的不等式2x−5>kx+b的解集是______ ；
(3)若点Q在x轴上，且满足S△ABQ=S△ABP，直接写出点Q的坐标．
21. (本小题10.0分)
某商店销售A型和B型两种型号的电脑，销售一台A型电脑可获利120元，销售一台B型电脑可获利140元．该商店计划一次购进两种型号的电脑共100台，其中B型电脑的进货量不超过A型电脑的3倍．设购进A型电脑x台，这100台电脑的销售总利润为y元．
(1)求y与x的函数关系式；
(2)该商店购进A型、B型电脑各多少台，才能使销售利润最大？最大利润是多少？
(3)若限定该商店最多购进A型电脑60台，则这100台电脑的销售总利润能否为12760元？请说明理由．
22. (本小题10.0分)
如图，把矩形OABC放入平面直角坐标系xOy中，使OA、OC分别落在x、y轴的正半轴上，其中AB=15，对角线AC所在直线解析式为y=−53x+b，将矩形OABC沿着BE折叠，使点A落在边OC上的点D处．
(1)求点B的坐标；
(2)求EA的长度；
(3)点P是y轴上一动点，是否存在点P使得△PBE的周长最小，若存在，请求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．
23. (本小题12.0分)
实践操作：在矩形ABCD中，AB=4，AD=3，现将纸片折叠，点D的对应点记为点P，折痕为EF(点E、F是折痕与矩形的边的交点)，再将纸片还原．
(1)初步思考：若点P落在矩形ABCD的边AB上(如图①)．
①当点P与点A重合时，∠DEF= ______ ，当点E与点A重合时，∠DEF= ______ ；
②当点E在AB上，点F在DC上时(如图②)，求证：四边形DEPF为菱形，并直接写出当AP=3.5时的菱形EPFD的边长．
(2)深入探究：点F与点C重合，点E在AD上，线段BA与线段FP交于点M(如图③).是否存在使得线段AM与线段DE的长度相等的情况？若存在，请直接写出线段AE的长度；若不存在，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】
【分析】
此题主要考查了分式与二次根式有意义的条件，属于基础题．
根据二次根式有意义的条件可得x−3≥0，根据分式有意义条件可得x−4≠0，再解不等式即可．
【解答】
解：由题意得：x−4≠0，且x−3≥0，
解得：x≥3且x≠4，
故选：D．
2.【答案】C
【解析】解：A、 2与 3不能合并，所以A选项错误；
B、原式=6×2=12，所以B选项错误；
C、原式= 8÷2=2，所以C选项正确；
D、原式=2 2，所以D选项错误．
故选：C．
本题主要考查了二次根式的乘除法、加减法，熟练掌握运算法则是解题的关键．
根据二次根式的加减法对A、D进行判断；根据二次根式的乘法法则对B进行判断；根据二次根式的除法法则对C进行判断．
3.【答案】D
【解析】解：A.∵∠A+∠B+∠C=180∘，∠A+∠B=90∘，∴∠C=90∘，∴△ABC是直角三角形，故本选项不符合题意;
B、∵∠A+∠B=∠C，∠A+∠B+∠C=180∘，∴∠C=90∘，能判定△ABC为直角三角形，不符合题意;
C、∵a=1，b=3，c= 10，∴a2+b2=c2，符合勾股定理的逆定理，能判定△ABC为直角三角形，不符合题意;
D、设a=x，b=2x，c=2x，∵x2+(2x)2≠(2x)2，∴不能判定△ABC为直角三角形，符合题意;
故选：D．
根据三角形内角和定理以及勾股定理的逆定理即可求出答案．
本题考查直角三角形，解题的关键是熟练运用三角形内角和定理以及勾股定理的逆定理，本题属于基础题型．
4.【答案】B
【解析】
【分析】
本题主要考查了一次函数的定义，一次函数y=kx+b的定义条件是：k、b为常数，k≠0，自变量次数为1．
根据一次函数的定义列式计算即可得解．
【解答】
解：根据题意得，|m|=1且m−1≠0，
解得m=±1且m≠1，
所以，m=−1．
故选B．
5.【答案】A
【解析】
【分析】
本题主要考查方差和平均数，解题的关键是掌握平均数和方差的计算公式．
分别计算出原数据和新数据的平均数和方差即可得．
【解答】
解：原数据的平均数为180+184+188+190+192+1946=188，
则原数据的方差为16×[(180−188)2+(184−188)2+(188−188)2+(190−188)2+(192−188)2+(194−188)2]=683，
新数据的平均数为180+184+188+190+186+1946=187，
则新数据的方差为16×[(180−187)2+(184−187)2+(188−187)2+(190−187)2+(186−187)2+(194−187)2]=593，
所以平均数变小，方差变小，
故选：A．
6.【答案】D
【解析】
【分析】
本题主要考查菱形的性质、矩形的性质以及正方形的性质．
根据菱形，矩形，正方形具有的性质依次判断选项即可．
【解答】
A项，矩形四边不相等，菱形四角不相等，故A项错误;
B项，菱形对角线不相等，故B项错误;
C项，矩形对角线不互相垂直，故C项错误;
D项，菱形、矩形、正方形的对角线都互相平分，故D项正确，
故选：D．
7.【答案】C
【解析】解：∵正比例函数y=kx的函数值y随x的增大而增大，
∴k>0，
∴一次函数y=−kx+k的图象经过一、二、四象限．
故选：C．
先根据正比例函数y=kx的函数值y随x的增大而增大判断出k的符号，再根据一次函数的性质即可得出结论．
本题考查的是一次函数的图象与系数的关系，即一次函数y=kx+b(k≠0)中，当k<0，b>0时函数的图象在一、二、四象限．
8.【答案】C
【解析】解：如图，线段AB即为所需彩带最短，
由图可知AC=3×4=12，BC=16，
∴由勾股定理得，
AB= AC2+BC2= 122+162=20，
故选：C．
把曲面展开变为平面，利用两点间线段最短，再根据勾股定理即可求解．
本题考查两点间线段最短和勾股定理在生活中的应用．将曲面问题变为平面问题是解答本题的关键．
9.【答案】A
【解析】解：因为一般四边形的中点四边形是平行四边形，
当对角线BD=AC时，中点四边形是菱形，当对角线AC⊥BD时，中点四边形是矩形，当对角线AC=BD，且AC⊥BD时，中点四边形是正方形，
故④选项正确，
故选：A．
因为一般四边形的中点四边形是平行四边形，当对角线BD=AC时，中点四边形是菱形，当对角线AC⊥BD时，中点四边形是矩形，当对角线AC=BD，且AC⊥BD时，中点四边形是正方形，
本题考查中点四边形、平行四边形、矩形、菱形的判定等知识，解题的关键是记住一般四边形的中点四边形是平行四边形，当对角线BD=AC时，中点四边形是菱形，当对角线AC⊥BD时，中点四边形是矩形，当对角线AC=BD，且AC⊥BD时，中点四边形是正方形．
10.【答案】B
【解析】解：连接AC、CF，如图，
∵四边形ABCD和四边形CEFG都是正方形，
∴∠ACD=45°，∠FCG=45°，AC= 2BC= 2，CF= 2CE=3 2，
∴∠ACF=45°+45°=90°，
在Rt△ACF中，AF= ( 2)2+(3 2)2=2 5，
∵H是AF的中点，
∴CH=12AF= 5．
故选：B．
连接AC、CF，如图，根据正方形的性质得∠ACD=45°，∠FCG=45°，AC= 2，CF=3 2，则∠ACF=90°，再利用勾股定理计算出AF=2 5，然后根据直角三角形斜边上的中线求CH的长．
本题考查了正方形的性质：正方形的四条边都相等，四个角都是直角；正方形的两条对角线相等，互相垂直平分，并且每条对角线平分一组对角；正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质．两条对角线将正方形分成四个全等的等腰直角三角形．也考查了直角三角形斜边上的中线性质．
11.【答案】乙
【解析】解：甲、乙射击成绩的平均数相等，
∵乙的方差<甲的方差，
∴乙发挥稳定，
故答案为：乙．
根据平均环数比较成绩的好坏，根据方差比较数据的稳定程度．
本题考查的是方差，掌握方差反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，方差越小，数据越稳定是解题的关键．
12.【答案】52
【解析】解：∵ 8=2 2，
∴2m−3=2，
∴m=52．
故答案为52．
先把 8化为最简二次根式2 2，再根据同类二次根式得到2m−3=2，然后解方程即可．
本题考查了同类二次根式：几个二次根式化为最简二次根式后，若被开方数相同，那么这几个二次根式叫同类二次根式．
13.【答案】− 2
【解析】解：若一次函数y=(m−1)x3−m2+m的图象经过第二、三、四象限，
则得到m−1<03−m2=1m<0，
解得m=− 2．
根据一次函数的性质求解．
解决本题可以根据已知条件将其转化为解方程组的问题．
14.【答案】=
【解析】解：∵AB2=8，BC2=2，AC2=10，
∴AB2+BC2=AC2，
∴△ABC是直角三角形，
∴S△ABC=12× 2×2 2=2，S△ABD=12×2×2=2，
∴S△ABC=S△ABD，
故答案为：=．
根据勾股定理逆定理证明△ABC是直角三角形，然后分别求出△ABC的面积和△ABD的面积，即可求解．
本题考查了三角形的面积，勾股定理的逆定理，掌握三角形的面积公式是本题的关键．
15.【答案】125
【解析】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，AD=DC，
∵EF⊥OC于点F，EG⊥OD于点G，
∴四边形OGEF是矩形，
连接OE，则OE=GF，
当OE⊥DC时，GF的值最小，
∵BD=6，AD=5，
∴OC= DC2−OD2= 52−32=4，
∵S△ODC=12OD⋅OC=12DC⋅OE，
∴OD⋅OC=DC⋅OE，
∴OE=3×45=125，
∴FG=125，
故答案为：125．
由条件可知四边形OGEF是矩形，连接OE，则OE=GF，当OE⊥DC时，GF的值最小，可由OD⋅OC=DC⋅OE求出OE的值即可．
本题考查了菱形的性质、矩形的判定与性质、垂线段最短、勾股定理、三角形面积；熟练掌握菱形的性质，证明四边形OGEF为矩形是解决问题的关键．
16.【答案】解：(1)(2 48−6 13)÷ 3
=(8 3−2 3)÷ 3
=6 3÷ 3
=6；
(2)( 5+ 3)( 5− 3)+( 3+2)2
=5−3+3+4 3+4
=9+4 3．
【解析】(1)先算括号里，再算括号外，即可解答；
(2)利用平方差公式，完全平方公式进行计算即可解答．
本题考查了二次根式的混合运算，平方差公式，完全平方公式，准确熟练地进行计算是解题的关键．
17.【答案】解：(1)∵m%=104+8+15+10+3×100%=25%，
∴m=25，
中位数为第20与21个数的平均数，即3+32=3，
由条形统计图可知，众数为3，
故答案为：25，3，3；
(2)此次抽查的这些学生一周平均的课外劳动时间是140×(4×1+8×2+15×3+10×4+3×5)=3小时，
答：此次抽查的这些学生一周平均的课外劳动时间是3小时；
(3)2000×15+10+340=1400(人)，
答：估计该校学生一周的课外劳动时间不小于3h的人数为1400人．
【解析】解：(1)∵m%=104+8+15+10+3×100%=25%，
∴m=25，
中位数为第20与21个数的平均数，即3+32=3，
由条形统计图可知，众数为3，
故答案为：25，3，3；
(2)见答案；
(3)见答案．
(1)用劳动时间为4小时的人数除以总人数得出m的值，根据中位数与众数的意义结合统计图即可求解；
(2)根据平均数的定义结合条形统计图即可求解；
(3)用2000乘以3小时及以上的人数的占比即可求解．
本题主要考查了条形统计图和扇形统计图的综合运用，样本估计总体，中位数和众数，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
18.【答案】解：如图，连接AC．
∵AB=BC=1，∠B=90°，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∴AC= 2，∠BAC=45°，
又∵CD= 3，AD=1，AC= 2，
∴AD2+AC2=CD2，
∴△ACD为直角三角形，
∴∠CAD=90°，
∴∠BAD=∠BAC+∠CAD=135°．
【解析】本题考查勾股定理和勾股定理逆定理，等腰直角三角形的判定与性质，掌握勾股定理逆定理证明△ACD为直角三角形是解题关键．，
连接AC，根据勾股定理可得AC= 2，再由勾股定理逆定理可得△ACD为直角三角形，即可求得．
19.【答案】(1)证明：∵BE//AC，AE//BD，
∴四边形AEBO是平行四边形．
又∵菱形ABCD对角线交于O点，
∴AC⊥BD，即∠AOB=90°．
∴四边形AEBO是矩形．
(2)解：∵菱形ABCD，
∴OA=8，
∵四边形AEBO是矩形，
∴AB=OE=10，
∵OE=10，
∴AE=6，
∴OB=6．
∴S△ABC=12AC×OB=12×16×6=48．
∴菱形ABCD的面积为96．
【解析】(1)先证四边形AEBO为平行四边形，再由菱形的性质得∠AOB=90°，即可得出结论；
(2)由勾股定理和菱形的面积公式解答即可．
本题考查了菱形的性质、矩形的判定与性质和判定、勾股定理、平行四边形的判定与性质等知识，熟练掌握矩形的判定与性质是解题的关键．
20.【答案】x>2
【解析】解：(1)∵一次函数y=kx+b的图象经过点A(0,1)，
∴b=1，
∵一次函数y=kx+b的图象与直线y=2x−5相交于点P，点P的横坐标为2，
∴点P的纵坐标为y=2×2−5=−1，
即P(2,−1)，
把点P(2,−1)代入y=kx+1中，得k=−1，
因此k=−1，b=1；
(2)∵一次函数y=kx+b的图象与直线y=2x−5相交于点P，点P的横坐标为2，
观察图象可知，关于x的不等式2x−5>kx+b的解集为x>2；
故答案为：x>2；
(3)∵A(0,1)，B(0,−5)，
∴AB=6，
又∵P(2,−1)，
∴S△ABP=12×6×2=6，
∵点Q在x轴上，且满足S△ABQ=S△ABP，
∴S△ABQ=12×6×OQ=6，
则OQ=2，
那么点Q的坐标是(2,0)或(−2,0)．
(1)利用待定系数法即可求k、b的值；
(2)根据图象即可得关于x的不等式2x−5>kx+b的解集；
(3)分两种情况，确定点Q在x轴上，且满足S△ABQ=S△ABP，即可求出点Q的坐标．
本题考查了一次函数与一元一次不等式、待定系数法求一次函数解析式、两条直线相交或平行，结合一次函数图象解决问题是关键．
21.【答案】解：(1)由题意可得，
y=120x+140(100−x)=−20x+14000，
即y与x的函数关系是y=−20x+14000．
(2)∵B型电脑的进货量不超过A型电脑的3倍，
∴100−x≤3x，
解得，x≥25，
∵y=−20x+14000，−20<0，
∴y随x的增大而减小，
∴当x=25时，y取得最大值，此时y=13500，100−x=75．
答：该商店购进A型、B型电脑分别为25台、75台时，才能使销售利润最大，最大利润是13500元；
(3)不能，
理由：由(2)知，x≥25，
∵y=−20x+14000，限定该商店最多购进A型电脑60台，
∴当x=60时，y取得最小值，此时y=−20×60+14000=12800，
∵12800>12760，
∴若限定该商店最多购进A型电脑60台，则这100台电脑的销售总利润不能为12760元．
【解析】(1)根据题意，可以写出y与x的函数关系式；
(2)根据该商店计划一次购进两种型号的电脑共100台，其中B型电脑的进货量不超过A型电脑的3倍．可以求得x的取值范围，再根据(1)中的结果，一次函数的性质，即可解答本题；
(3)根据一次函数的性质和x的取值范围，可以解答本题．
本题考查一次函数的性质、一元一次不等式的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质解答．
22.【答案】解：(1)∵AB=15，四边形OABC是矩形，
∴OC=AB=15，
∴C(0,15)，代入y=−53x+b得到b=15，
∴直线AC的解析式为y=−53x+15，
令y=0，得到x=9，
∴A(9,0)，B(9,15)．
(2)在Rt△BCD中，BC=9，BD=AB=15，
∴CD= 152−92=12，
∴OD=15−12=3，
设DE=AE=x，
在Rt△DEO中，DE2=OD2+OE2，
∴x2=32+(9−x)2，
∴x=5，
∴AE=5
(3)如图作点E关于y轴的对称点E′，连接BE′交y轴于P，
此时△BPE的周长最小．
∵E(4,0)，
∴E′(−4,0)，
设直线BE′的解析式为y=kx+m，则有9k+m=15−4k+m=0,
解得k=1513m=6013,
∴直线BE′的解析式为y=1513x+6013，
∴P(0,6013).
【解析】本题考查一次函数综合题、矩形的性质、翻折变换、勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握待定系数法解决问题，学会利用轴对称解决最短问题，难度较大
(1)根据点C的坐标确定b的值，利用待定系数法求出点A坐标即可解决问题；
(2)在Rt△BCD中，BC=9，BD=AB=15，KDCD= 152−92=12，TCOD=15−12=3，设DE=AE=x，在Rt△DEO中，根据DE2=OD2+OE2，构建方程即可解决问题；
(3)如图作点E关于y轴的对称点E′，连接BE′交y轴于P，此时△BPE的周长最小．利用待定系数法求出直线BE′的解析式即可解决问题；
23.【答案】90° 45°
【解析】解：(1)①如图，
当点P与点A重合时，∠DEF=∠AEF=12×180°=90°，
当点E与点A重合时，∠DEF=∠BEF=12×90°=45°；
故答案为：90°；45；
②如图②，
由折叠可知，DF=PF，DE=PE，
∵DF//EP
∴∠DFE=∠FEP，
∵∠DFE=∠PFE，
∴∠PFE=∠PEF，
∴PF=PE，
∴DE=DF=PE=PF，
∴四边形DEPF为菱形，
AP=3.5时，设 AE=x，则 PE=DE=3.5−x，
则 32+x2=(3.5−x)2，
解得x=1328，
∴EP=AP−AE=3.5−1328=8528，
所以菱形边长为 8528．
(2)存在使得线段AM与线段DE的长度相等的情况，理由如下：
如图④中，连接 EM．
∵DE=EP=AM，
∴Rt△EAM≌Rt△MPE(HL)，
∴AE=PM，设 AE=x，则 AM=DE=3−x，
则 BM=x+1，
∵MP=EA=x，CP=CD=4，
∴MC=4−x，
∴(x+1)2+32=(4−x)2，
∴x=35，
∴AE=35．
(1)①根据折叠的性质，得到等角，进而求解；
②由折叠知DF=PF，DE=PE，由平行线的性质可知∠DFE=∠FEP，于是∠PFE=∠PEF，进而推出DE=DF=PE=PF，得证四边形DEPF为菱形，设AE=x，PE=DE=3.5−x，勾股定理求得x=1328，得菱形边长为8528．
(2)如图④中，连接 EM.可证△EAM≌△MPE(HL)，于是AE=PM，设 AE=x，则 AM=DE=3−x，Rt△CMB中，运用勾股定理，(x+1)2+32=(4−x)2，解得x=35，AE=35．
本题考查折叠的性质，平行四边形的性质，菱形的判定，勾股定理，添设辅助线构造全等三角形是解题的关键．
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