小学数学循环小数优质教学设计

4、循环小数

     教学内容

  教材第59-62页例1、例2的“循环小数的认识，意义和应用”。课堂活动及练习十四的相关练习。 

     教材提示

本节的主要内容是认识和掌握循环小数的意义和怎样利用循环小数取近似值，所以本节课的知识点有：

知识点一：认识循环小数，并寻找出循环小数的规律。

知识点二：会运用循环节表示循环小数。

知识点三：循环小数的实际运用。

本节内容是以小数除法的意义、小数除法的计算及商的近似值为基础上进行教学的。例1的两个小数除法商除不尽时，引导学生发现商有两种情况：一种是从某位起重复某一个数字；另一种是从某位起几个数字依次不断重复出现。由此引出循环小数的概念，适时介绍有限小数和无限小数的概念。接着要让学生学会用自己的语言来叙述循环小数。本节课的学习难点在用循环小数来取近似值。在教学中，教师要充分利用例2的问题情境，再让学生联系前面的取近似值的知识来学习。

     教学目标

 知识与技能：

 使学生初步认识循环小数、有限小数和无限小数，能用循环节的形式表示循环小数，能用循环小数表示除法的商，并能正确区分有限小数和无限小数。能根据要求取循环小数的近似值。

过程与方法：

根据教材提供的例题，引导学生在计算中发现，在与前面学习的内容的对比和例题中的两个商的对比中，得出无限与有限，循环与不循环小数的区别与联系。

    情感、态度和价值观：

    在引导学生认识和发现知识的过程中，培养学生的探究学习的意识和能力。

     重点、难点

    重点

    正确区分有限小数和无限小数。认识循环小数并能正确表示，会用循环小数取商的近似值。

    难点

    探索循环小数的循环规律，正确运用循环小数取近似值。

     教学准备

    教师准备：课件。

    学生准备：草稿纸。

     教学过程

（一）新课导入：

     1.做游戏。

     师：同学们在上体育课时都做过原地踏步走，下面我们也来一起做一做。

     师生一起做，并让学生喊口号：“一二一，一二一，……。”

     同学们在喊口号时，发现你们喊的口号中的数字有什么特别的？

     引导学生发现：口号中的121反复出现。

     追问：这样的口号，我们能喊到什么时候为止呢？

     学生发现：可以无限制的喊下去，没有结束的时候。也就是有无限个组合。

2.揭示课题。

师：这种重复的现象在有的数学中也会遇到：课件出示算式：2÷6=

请同学们算一算这个算式，看计算过程中你又能发现什么？

学生计算并引导学生发现：2÷6这个算式的三个特点：

①除不尽，②商的小数部分连续地重复出现“3”，③余数重复出现“2”。

     揭示课题：怎样表示这种除不尽的商？这种商有些什么特点?就是这节课我们要研究的问题，

 板书课题：循环小数

设计意图：以学生游戏为引入点，并让学生在活动中明白重复，无限等与循环小数相关的重点环节点。为后面学习顺利开展奠定基础。。　

（二）探究新知：

1.教学例1：认识循环小数，并会用循环节来表示循环小数。

（1）初步认识循环小数

    师生一起把2÷6的竖式计算结果板演在黑板上。并提出问题：现在我们一起来探讨一个问题：为什么商的小数部分总是不断地重复出现“3”呢？它的每次出现与余数有什么关系呢？

    学生回答：当余数2重复出现时，商3就重复出现；商3是随余数2重复出现才不断重复出现的。

    追问：猜想一下，如果让我们继续除下去，商会怎么样？它的第6位商是多少？第78位呢？

学生回答：如果继续除下去，无论除到哪一位，只要余数2重复出现，它的商3也就重复出现。所商会永远出现3。第6位是3。每78位还是3。……

再问：是这样的吗？

让学生在草稿纸上继续向下除来验证，并感受到无限的意义。

（2）问：我们怎样表示2÷6的商呢？

方法一：可以用省略号来表示永远除不尽的商。

板书：2÷6=0.333…

小结：我们所说的重复也叫做循环，像0.333…这样小数部分有一个数字依次不断地重复出现的小数，就是循环小数。

设计意图：通过让学生实际的除一除，真切地感知到循环和无限的含义，从实际操作中感知什么是循环小数。

（3）进一步认识循环小数：上面我们研究了循环小数，下面我们再来算一道题，从中你发现与上面的循环小数有什么相同的地方和不同的地方？

 课件出示：7.3÷2.2=   

    ①让同学们先独立计算，然后在小组内讨论这样几个问题，通过讨论看看你又能从中发现些什么？

    ②当学生除到小数后第三位后、让在小组内讨论交流，教师组织全班学生汇报交流计算结果：

    可能一：这个算式不能除尽，但它的商不会循环。 

    可能二：这里的商不会除尽，但是会循环。

    引导：现在有两种不同的结果，我们可以接着向下除来选择。

    学生通过接着除的发现：商的小数部分有数字“1”和“8”的不断重复出现，所以商是循环小数；再有就是余数4和18总是不断地重复出现，所以商是除不尽的，有数字1和8不断地重复出现，是循环小数。

  （4）引导学生比较0.33……和3.31818……这两个循环小数有什么不同？

   结论：上一个循环小数是一个数字3不断地循环出现，而这个循环小数是两个数字1和8不断地循环出现。 我们只要除到有余数重复出现后，就可以不除了。

   （5）巩固练习：计算第59页中的试一试两道题。看一看这两个算式的商是不是循环小数？为什么？

    学生完成后汇报。

    教师随着学生的回答板书：

4÷37=0.108108…

17÷6=2.83333…

    ③总结：像0.333…，3.31818…，0.108108…，2.83333… 这样的小数都是循环小数。

    ④提问：观察这些循环小数，说说它们有什么共同之处？

结论：循环小数都是从小数部分的某一位起，有一个数字或几个数字依次不断地重复出现。

 设计意图：通过引导学生观察和运算，得出两种循环小数，并会判断循环小数。

    2.认识循环节，用循环节的形式表示循环小数

   （1）学生自主学习教材第60页循环节的知识，并让学生找出我们计算的循环小数的循环节各是多少？

学生汇报：0.3333… 的循环节是“3”       

          3.31818… 的循环节是“18”      

          0.108108… 的循环节是“108”

（2）教师指导用循环节记写循环小数：这些在小数部分依次不断地重复的一个或几个数字，就叫做这个循环小数的循环节。

0.3333…的循环节是“3”，我们可以在“3”的头上点一个小黑点表示“3”是循环节，所以这个循环小数可以写成：0.。

3.31818…写作3.3          0.108108…写作0.0

    （3）问：循环小数的小数位数能写完吗？

     生答：写不完，因为循环小数是一个或几个数字不断地重复出现。

     小结：所以循环小数是无限小数。

     追问：那么0.33，2.56……这些是什么小数呢？

     小结：小数的位数是有限个时，这个小数叫有限小数。

总结：小数的位数是有限的小数叫做有限小数。小数的位数是无限的小数，叫做无限小数，我们学习的循环小数就是一个无限小数。

     设计意图：通过引导学生自学，在发现中适时的点拨，使学生学会知识，培养学生的自学知识的能力。

     3.学习例3：循环小数的应用。

     课件出示例3。 

（1）学生读题，找出条件和问题并理解题意，根据题意，列出算式。

学生的列式为：47÷22=

问：这道题除了有解决问题的条件和问题外，还有一个限制条件是：“得数保留两位小数”，这是什么意思？ 我们要除到哪一位？

学生小组讨论后，再全班汇报。

汇报：得数保留两位小数，就看小数的第3位，所以我们只要除到小数部分第3位就可以了。

（2）要求学生计算并用循环小数表示出商。

 组织学生汇报，教师板书：

 47÷22=2.1

   （3）让学生在小组内讨论：循环小数怎样保留两位小数？

    ①先在小组内说一说，再在全班汇报。 

    ②指导学生取近似值，提醒要用四舍五入法，最后用约等于符号连接。

    ③小组讨论：为什么这道题的第1步用等于而第2步却用约等于？

    强调：像上面这种题的商取近似值的时候，先用循环小数表示出的是准确值，所以先用等于符号，然后再取近似值，就只能用约等于符号了。

设计意图：通过分层分类的逐层引导，让学生在除的实践中感受除不尽的无限性和重复出现的循环性的循环小数的特质，结合“四舍五入法”来求近似值。

（三）巩固新知：

1、完成第61页课堂活动。

让学生们议一议，如果不能得到整数商，商会有哪些情况？

汇报：①有限小数。②无限小数或循环小数。

2、完成第61页练习十四第1题。

     让学生把是循环小数的小数圈起来，并说一说为什么？循环节是什么？

     3、完成第61页练习十四第2题。

     ①先让学生回忆有限小数与无限小数的区别。

     ②按要求连一连。然后在小组内交流订正。

     4、完成第62页练习十四第5题。

     ①先让学生计算第（1）题，并用循环小数记写。

     ②找规律，按规律完成第（2）题的结果，并让学生在小组内交流。

     5、完成第62页练习十四第6题。

     让学生先计算，并用循环小数表示出商，再取近似值

（四）达标反馈

    习题：1.0.586÷0.11的商是(    )小数，商的循环节是(    )，保留两位小数取商的近似值是(      )，保留四位小数取商的近似值是(      )。

    2.在小数0.5353……   42.4242   7.472163……和7.71212……中，

 　   循环小数有（                   ）。

　    无限小数有（                   ）。

 　   有限小数有（                ）。

    3.用循环小数的简便记法表示下面各题的商．

　　       5÷9           3÷11     

    4.下面哪道题的商是有限小数？哪道题的商是无限小数？

　    　7.15÷4    19.35÷14    29÷11

答案：1.   循环   27   5.33  5.3273

      2.   循环小数：0.5353……   7.71212……

           无限小数：7.472163……

           有限小数：42.4242

      3.   0.   0.

      4.   商是有限小数：7.15÷4

           商是无限小数：19.35÷14    29÷11

（五）课堂小结

    问：通过今天的学习，你有什么收获？怎样取循环小数的近似值呢？

    总结：①认识了循环小数，就是一个小数，从小数部分的某一位起，一个数字或几个数字依次不断地重复出现，这就是循环小数。循环小数是无限小数。

②取循环小数的近似值时，遇到用循环节表示的循环小数，如果小数的位数不够时，要将这个循环小数的循环节多写几遍，用加上省略号的形式来表示循环小数，再用原来“四舍五入”的方法取近似值。

设计意图：通过引导学生回顾计算出租车费用的计算过程和方法，使学生更明确本节所学习的内容，为后面的练习打下基础。

   （六）布置作业

   1.完成练习十四的3、4、7、8、9题。

   2.用循环小数的简便记法表示下面各题的商．

　　     4÷3          20÷6

  3.用竖式计算下面各题，除不尽的用循环小数表示商并保留两位小数

     13÷11     57÷32       30.1÷33

答案：1.第3题：2.4  7.  1.6  12.  9  6. 

        第4题：0.4  0.44  0.444  0.5  0.54  0.535  0.7  0.72  0.716

        第7题：610÷7.2≈84.72千米

        第8题：（1）10÷3≈3.33元 （2）20÷7×2≈5.71元

        第9题： 216÷0.65≈332克

      2.     1.     3.

      3.     1.1•8•≈1.18    1.78125     0.91•≈0.91

     板书设计

教学资源

   1.判断（对的打“√”，错的打“×”）．

　（1）0.8÷0.9≈0.8（    ）

　（2）0.51313……中不断重复出现的是“13”．（    ）

　（3）循环小数都是无限小数．（    ）

   2.计算1÷11  2÷11  3÷11  4÷11，想一想它们的得数有什么规律．你能不计算直接写出下面各题的得数吗？

　　5÷11 　　　　　　　　　　　6÷11 　　　　　　　　　　　7÷11

8÷11 　　　　　　　　　　　9÷11

    3.24÷7商的小数点后面第2002位数是几？

答案：

1、×  √   √

2、1÷11＝0.090909…  2÷11=0.18181818…   3÷11=0.27272727…

    4÷11=0.36363636…

5÷11＝0.090909…×5＝0.454545…

6÷11＝0.090909…×6＝0.545454…

7÷11＝0.090909…×7＝0.636363…

8÷11＝0.090909…×8＝0.727272…

9÷11＝0.090909…×9＝0.818181…

3、24÷7=3.428571428571……（6位数字一循环）

    2002÷6=333……4  答：第2002位数是5。

资料链接：

循环小数

　　循环小数英文名：circulating decimal

　　两数相除，如果得不到整数商，会有两种情况：一种，得到有限小数。一种，得到无限小数。

从小数点后某一位开始依次不断地重复出现前一个或一节数字的十进制无限小数，叫做循环小数，如2.1666...*（混循环小数），35.232323...（纯循环小数），20.333333…（纯循环小数）等，被重复的一个或一节数字称为循环节。循环小数的缩写法是将第一个循环节以后的数字全部略去，而在第一个循环节首末两位上方各添一个小点。

[1]例如：2.966666... 缩写为 2. 9（6上面有一个点；它读作“二点九六，六循环”）

　　35.232323…缩写为 35.（2、3上面分别有一个点；它读作“三十五点二三，二三循环”）

　　循环小数可以利用等比数列求和的方法化为分数。所以在数的分类中，循环小数属于有理数。