2022-2023学年福建省厦门外国语学校海沧附校教育集团八年级（下）期中数学试卷（含解析）

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2022-2023学年福建省厦门外国语学校海沧附校教育集团八年级（下）期中数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 要使二次根式 x−9有意义，则x的取值范围是(    )
A. x≠9 B. x>9 C. x≤9 D. x≥9
2. 以下列长度的三条线段为边，能组成直角三角形的是(    )
A. 1，1，1 B. 2，3，4 C. 1， 3，2 D. 7，3，5
3. 下列计算正确的是(    )
A. 2+ 3= 5 B. 2 2− 2= 2
C. 2+ 2=2 2 D. (2 3)2=6
4. 在菱形ABCD中，与AC互相垂直的线段是(    )
A. BC B. BA C. BD D. CD
5. 如图，在▱ABCD中，AD=6，点E，F分别是BD，CD的中点，则EF的长为(    )


A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
6. 下列命题的逆命题是真命题的是(    )
A. 等边三角形是等腰三角形 B. 若ac2>bc2，则a>b
C. 对顶角相等 D. 平行四边形的对边相等
7. 如图，AD，CE是△ABC的高，过点A作AF/​/BC，则下列线段的长可表示图中两条平行线之间的距离的是(    )


A. AB B. AD C. CE D. AC
8. 如图，在▱ABCD中，AB=m，BC=n，点E、F分别在边BC、AD上，若将△ABE沿着射线AD平移后，会与△FEC重合，则平移的距离是(    )
A. m B. n C. 12m D. 12n
9. 如图，在正方形ABCD右侧作△CDE，使DE=DC，连接AE，随着∠CDE逐渐增大，∠AEC的度数(    )

A. 逐渐变大 B. 逐渐变小 C. 先变大后变小 D. 保持不变
10. 如图，在▱ABCD中，AB=2，BC=4，∠D=60°，点P、Q分别是AC和BC上的动点，在点P和点Q运动的过程中，PB+PQ的最小值为(    )

A. 4 B. 3 C. 2 3 D. 4 3
二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）
11. 化简：
(1)( 7)2= ______ ．
(2) 18= ______ ．
12. 如图，在▱ABCD中，∠A=60°，则∠B= ______ ．


13. 比较大小： 22           33．
14. 若矩形的两条邻边分别为6和(6+x)，对角线长为(8+x)，则该矩形的面积为______ ．
15. 已知a为实数，若有整数b，m，满足(a+b)(a−b)=m2，则称a是b，m的弦数．若a<15且a为整数，请写出一组a，b，m，使得a是b，m的弦数：______．
16. 如图，在一张菱形纸片ABCD中，AB=4，∠B=30°.点E在BC边上(不与B，C重合)，将△ABE沿直线AE折叠得到△AFE，连接BF，EF，DF.有以下四个结论：①AE=EF，②∠BFD的大小不变；③当AE⊥BC时，FD=AC；④当FA=FB时，则FE平分∠AFB.以上结论中，其中正确结论是______ (写出所有正确答案的序号)．
三、解答题（本大题共9小题，共86.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. (本小题10.0分)
计算：
(1)( 5+2)×( 5−1)；
(2)−12023−(π−3)0+(12)−1+|2− 3|．
18. (本小题10.0分)
(1)解不等式组：−3x−2>1x−12−1>−3；
(2)解方程组：x−y=43x+y=8．
19. (本小题8.0分)
先化简，再求值：(x−1x)÷x+12x，其中x= 2+1．
20. (本小题8.0分)
如图，在▱ABCD中，点E、F分别在AD、BC上，且AE=CF．
求证：BE=DF．

21. (本小题8.0分)
如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，∠ABD=90°，AB=OB=2，求线段OC的长度．

22. (本小题9.0分)
如图，在正方形ABCD内有等边△BCE、等边△ADF，AF交BE于点G，DF交CE于点H．
(1)请用尺规作图的方法作出△ADF(保留作图痕迹，不写作法)．
(2)四边形EGFH是什么特殊四边形？请证明你的结论．

23. (本小题10.0分)
以3，4，5为边长的三角形是直角三角形，称3，4，5为勾股数组，记为(3,4,5)，类似地，还可得到下列勾股数组：(5,12,13)，(7,24,25)等．
(1)根据上述三组勾股数的规律，写出第四组勾股数组；
(2)用含n(n为正整数)的数学等式描述上述勾股数组的规律，并证明．
24. (本小题11.0分)
如图，将矩形ABOC放置于第一象限，使其顶点O位于原点，且点B，C分别位于x轴，y轴上.若A(m,n)满足 m−10+n2−12n+36=0．
(1)求点A的坐标；
(2)取AC中点M，连接MO，△CMO与△NMO关于MO所在直线对称，连AN并延长交x轴于P点，求点P的坐标．

25. (本小题12.0分)
如图1，在正方形ABCD中，E是边AB上的一动点(不与B重合)，EH⊥DE，EH=DE，DH交BC于点G，连接BH．
(1)若AD=4，E为AB的中点，则DE= ______ ；
(2)探究线段BH与AE的数量关系，并给出证明．
(3)如图2，连接EG，比较∠GEH和∠BEH的大小关系，并说明理由．


答案和解析

1.【答案】D 
【解析】解：由题意得：x−9≥0，
解得：x≥9，
故选：D．
根据二次根式的被开方数是非负数列出不等式，解不等式得到答案．
本题考查的是二次根式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．

2.【答案】C 
【解析】
【分析】
本题考查的是勾股定理的逆定理，熟知如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形是解答此题的关键．
由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可．
【解答】
解：A、∵12+12≠12，
∴不能构成直角三角形，故本选项不符合题意；
B、∵22+32≠42，
∴不能构成直角三角形，故本选项不符合题意；
C、∵12+( 3)2=22，
∴能构成直角三角形，故本选项符合题意；
D、∵( 7)2+32≠52，
∴不能构成直角三角形，故本选项不符合题意．
故选：C．  
3.【答案】B 
【解析】解：A、 2与 3不能合并，故A不符合题意；
B、2 2− 2= 2，故B符合题意；
C、2与 2不能合并，故C不符合题意；
D、(2 3)2=12，故D不符合题意；
故选：B．
根据二次根式的加法，减法，乘法运算法则，进行计算逐一判断即可解答．
本题考查了二次根式混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键．

4.【答案】C 
【解析】解：如图所示：
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
故选：C．
由菱形的性质即可得出结论．
本题考查了菱形的性质，熟练掌握菱形的对角线互相垂直是解题的关键．

5.【答案】A 
【解析】解：∵在▱ABCD中，AD=6，
∴BC=AD=6，
∵点E，F分别是BD，CD的中点，
∴EF=12BC=3．
故选：A．
根据平行四边形的性质可得BC=AD=6，根据中位线的性质即可求解．
本题考查了平行四边形的性质，三角形中位线的性质，掌握三角形中位线的性质是解题的关键．

6.【答案】D 
【解析】解：A.“等边三角形是等腰三角形”的逆命题为“等腰三角形是等边三角形”，此逆命题为假命题，所以A选项不符合题意；
B.“若ac2>bc2，则a>b”的逆命题为“若a>b，则ac2>bc2”，此逆命题为假命题，所以B选项不符合题意；
C.“对顶角相等”的逆命题为“相等的角为对顶角”，此逆命题为假命题，所以C选项不符合题意；
D.“平行四边形的对边相等”的逆命题为“两组对边分别相等的四边形为平行四边形”，此逆命题为真命题，所以D选项符合题意．
故选：D．
先写出四个命题的逆命题，然后根据等边三角形的判定方法可对A选项进行判断；利用反例(c=0)可对B选项进行判断；根据对顶角的定义对C选项进行判断；根据平行四边形的判定方法对D选项进行判断．
本题考查了命题：要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．理解对顶角、等边三角形的判定和平行四边形的性质是解决问题的关键．

7.【答案】B 
【解析】解：表示图中两条平行线之间的距离的是AD，
故选：B．
根据平行线之间的距离的定义解答即可．平行线间的距离：从一条平行线上的任意一点，向另一条平行线作垂线，垂线段的长度叫做平行线间的距离．
本题考查了平行线之间的距离，熟记定义是解题的关键．

8.【答案】D 
【解析】解：∵△ABE沿着射线AD平移后，会与△FEC重合，
∴BE=EC=12BC=12n，
∴平移的距离为12n.
故选：D．
由平移性质得知：BE=EC，即可知道平移的距离．
本题主要考查了平移的性质，清楚对应点平移距离相等．

9.【答案】D 
【解析】解：∵四边形ABCD为正方形，
∴AD=CD，∠ADC=90°，
∵DC=DE，
∴AD=DE，∠DEC=∠DCE=180°−∠CDE2，
∴△DAE为等腰三角形，
∴∠DAE=∠DEA，
∴∠ADE=∠ADC+∠CDE=90°+∠CDE，
∴∠DEA=180°−∠ADE2=45°−∠EDC2，
∴∠AEC=∠DEC−∠DEA=180°−∠CDE2−(45°−∠EDC2)=45°，
故选：D．
由等腰三角形的性质分别求出∠DEA和∠DEC的度数，即可求解．
本题考查了正方形的性质，等腰三角形的性质，分别求出∠DEA和∠DEC的度数是解题的关键．

10.【答案】C 
【解析】解：取BC的中点G，连接AG．

∵AB=BG=2，∠ABG=∠D=60°，
∴△ABG是等边三角形，
∴AG=GC=2，∠AGB=∠BAG=60°，
∴∠GAC=∠GCA=30°，
∴∠BAC=90°，作点B关于AC的对称点F，连接CF，作BE⊥CF于E，则BE的长即为PB+PQ的最小值(垂线段最短)，
易知△BCF是等边三角形，BE= 32×4=2 3，
∴BP+PQ的最小值为2 3．
故选：C．
取BC的中点G，连接AG.首先证明∠BAC=90°，作点B关于AC的对称点F，连接CF，作BE⊥CF于E，则BE的长即为PB+PQ的最小值，
本题考查轴对称−最短问题、等边三角形的判定和性质、垂线段最短等知识，解题的关键是学会利用对称，根据垂线段最短解决最值问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．

11.【答案】7  24 
【解析】解：(1)原式=7，
故答案为：7；
(2)原式= 1×28×2= 2 16= 24，
故答案为： 24．
(1)根据二次根式的性质进行计算即可；
(2)根据二次根式的性质以及二次根式乘除法的计算法则进行计算即可．
本题考查二次根式的性质与化简，二次根式的乘除法，掌握二次根式乘除法的计算法则以及二次根式的性质是正确解答的前提．

12.【答案】120° 
【解析】解：在平行四边形ABCD中，∠A+∠B=180°，又∠A=60°，
∴∠B=120°．
故应填120°．
平行四边形的一组邻角互补．
本题主要考查平行四边形的性质，能够求解一些简单的常识问题．

13.【答案】> 
【解析】解：∵( 22)2=12，( 33)2=13，12>13，
∴ 22> 33．
故答案为：>．
比较两者平方后的值即可．
本题考查了实数的大小比较，解答本题的关键是灵活变通，比较两者平方后的结果．

14.【答案】48 
【解析】解：∵四边形ABCD是矩形，

∴∠B=90°，AC=BD，
设AB=6，BC=6+x，AC=8+x，
由勾股定理可得，AB2+BC2=AC2，
即62+(6+x)2=(8+x)2，
解得：x=2，
∴AB=6，BC=8，
∴矩形的面积=AB⋅BC=6×8=48，
故答案为：48．
根据矩形的性质和勾股定理得出x，进而解答即可．
此题考查矩形的性质，关键是根据矩形的内角是直角解答．

15.【答案】5，4，3 
【解析】解：∵(5+4)×(5−4)=9×1=32，
∴5是4，3的弦数，
故答案为：5，4，3
根据题中弦数的定义判断即可．
此题考查了平方差公式，弄清题中的新定义是解本题的关键．

16.【答案】②③④ 
【解析】解：①∵将△ABE沿直线AE折叠得到△AFE，
∴BE=EF，
只有AE=BE时，AE=EF才成立，
故结论①不正确；
②由折叠得：AF=AB，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=AD，∠BAD=180°−∠B=180°−30°=150°，
∴AB=AF=AD，
∴∠AFB=180°−∠BAF2，∠AFD=180°−∠FAD2，
∴∠BFD=∠AFB+∠AFD=180°−∠BAF2+180°−∠FAD2=180°−12(∠BAF+∠FAD)=105°，
∴∠BFD的大小不变，故结论②正确；
③如图1，∵AE⊥BC，将△ABE沿直线AE折叠得到△AFE，
∴∠AEB=∠AEF=90°，AF=AB，∠AFE=∠B，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=CD，∠B=∠ADC，AD//BC，
∴AF=CD，∠DCF=∠ADC，∠AFE=∠ADC，
∴∠AFE=∠DCF，
在△ACF和△DFC中，
AF=CD∠AFE=∠DCFCF=FC，
∴△ACF≌△DFC(SAS)，
∴FD=AC，故结论③正确；
④如图2，由折叠得：FA=AB，∠BAE=∠FAE，
∵FA=FB，
∴FA=FB=AB，
∴△ABF是等边三角形，
∴∠ABF=∠BAF=∠AFB=60°，
∵∠ABC=30°，
∴∠FBC=∠ABF−∠ABC=30°，
∴∠ABC=∠FBC，
∴AE、BE分别平分∠BAF、∠ABF，
∴EF平分∠AFB，
故结论④正确，
综上所述，正确的结论是：②③④，
故答案为：②③④．
①根据折叠的性质即可判断结论①；
②由折叠和菱形性质得：AB=AF=AD，再由三角形内角和定理和等腰三角形性质可得：∠AFB=180°−∠BAF2，∠AFD=180°−∠FAD2，得出∠BFD=105°，即可判断结论②；
③根据折叠性质和菱形性质可证得△ACF≌△DFC(SAS)，即可判断结论③；
④由折叠和已知可得△ABF是等边三角形，再根据三角形的角平分线交于内部一点即可判断结论④．
本题考查了菱形性质，等边三角形性质，折叠变换的性质，全等三角形判定和性质，等腰三角形性质，三角形内角和定理，三角形角平分线等，综合性较强，是中考数学常考题型．

17.【答案】解：(1)原式=( 5)2− 5+2 5−2
=5− 5+2 5−2
=3+ 5；
(2)原式=−1−1+2+2− 3
=2− 3． 
【解析】(1)利用多项式乘以多项式展开，然后合并即可；
(2)根据乘方的定义、零指数幂、负整数指数幂和绝对值的意义计算．
本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法和除法法则、零指数幂和负整数指数幂是解决问题的关键．

18.【答案】解：(1)−3x−2>1①x−12−1>−3②，
解不等式①，得x<−1，
解不等式②，得x>−3，
所以不等式组的解集是−3 (2)x−y=4amp;①3x+y=8amp;②，
①+②，得4x=12，
解得：x=3，
把x=3代入①，3−y=4，
解得：y=−1，
所以原方程组的解是x=3y=−1． 
【解析】(1先求出两个不等式的解集，再求出不等式组的解集即可；
(2)利用加减消元法求解即可．
本题考查了解二元一次方程组和解一元一次不等式组，能根据不等式的解集求出不等式组的解集是解(1)的关键，能把二元一次方程组转化成一元一次方程是解(2)的关键．

19.【答案】解：原式=x2−1x⋅2xx+1
=(x+1)(x−1)x⋅2xx+1
=2x−2，
当x= 2+1时，
原式=2 2+2−2=2 2． 
【解析】将原式小括号内的式子进行通分计算，然后算括号外面的除法，最后代入求值．
本题考查分式的化简求值，掌握分式混合运算的运算顺序(先算乘方，然后算乘除，最后算加减，有小括号先算小括号里面的)和计算法则是解题关键．

20.【答案】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD/​/BC，AD=BC，
∵AE=CF，
∴DE=BF，DE/​/BF，
∴四边形DEBF是平行四边形，
∴BE=DF． 
【解析】根据平行四边形性质得出AD//BC，AD=BC，求出DE=BF，DE/​/BF，得出四边形DEBF是平行四边形，根据平行四边形的性质推出即可．
本题考查了平行四边形的性质和判定的应用，注意：平行四边形的对边平行且相等．

21.【答案】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO=CO，
∵∠ABD=90°，AB=OB=2，
∴AO= AB2+OB2= 22+22=2 2，
∴OC=2 2． 
【解析】利用勾股定理计算出AO的长，由平行四边形的性质进而可得OC的长．
此题主要考查了平行四边形的性质、勾股定理等知识，关键是掌握平行四边形对角线互相平分．

22.【答案】解：(1)如图，△ADF为所作；

(2)四边形EGFH是菱形．
理由如下：∵四边形ABCD为正方形，
∴AB=BC=AD，∠ABC=∠DAB=90°，
∵△BEC和△AFD都为等边三角形，
∴BE=BC=CE，AD=AF=DF，∠EBC=∠DAF=∠ADF=∠BCE=∠AFD=60°，
∴∠GAB=∠GBA=30°，
∴GA=GB，∠BGF=30°+30°=60°，
∴GE=GF，
∵∠BGF=∠AFD，
∴GE/​/FH，
同理可得HE/​/GF，
∴四边形EGFH为平行四边形，
而GE=GF，
∴四边形EGFH是菱形． 
【解析】(1)分别以A、D为圆心，AD为半径画弧，两弧在正方形ABCD内部相交于F，则△ADF满足条件；
(2)利用正方形的性质得到AB=BC=AD，利用等边三角形的性质得到BE=BC=CE，AD=AF=DF，∠EBC=∠DAF=∠ADF=∠BCE=∠AFD=60°，再证明GE=GF，接着证明GE/​/FH，HE/​/GF，则可判断四边形EGFH是菱形．
本题考查了作图−复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了等边三角形的性质和菱形的判定．

23.【答案】解：(1)上述三组勾股数组的规律是：32+42=52，52+122=132，72+242=252，
即(n2−1)2+(2n)2=(n2+1)2，
所以第四组勾股数为8，15，17．
(2)勾股数为n2−1，2n，n2+1)(n≥2的自然数)；证明如下：
(n2−1)2+(2n)2=n4+2n2+1=(n2+1)2． 
【解析】(1)根据给出的三组数以及勾股数的定义即可得出答案；
(2)根据给出的四组数以及勾股数的定义即可得出答案．
此题考查了勾股数，判断是否为勾股数，必须根据勾股数是正整数，同时还需验证两小边的平方和是否等于最长边的平方．

24.【答案】解：(1)∵ m−10+n2−12n+36=0．
∴ m−10+(n−6)2=0．
∴m−10=0，n−6=0，
解得m=10，n=6，
∴点A的坐标为(10,6)；
(2)如图，连接NC，
∵△CMO与△NMO关于MO所在直线对称，
∴ON=OC=6，MN=CM=5=AM，CN⊥OM，
∵MN=AM=MC，
∴∠MAN=∠MNA，∠MNC=∠MCN，
设∠MAN=∠MNA=α，∠MNC=∠MCN=β，
在△ACN中，∠ACN+∠CAN+∠ANM+∠MNC=180°，
∴2α+2β=180°，
∴α+β=90°，
∴∠CNA=90°，
∴∠NCA+∠CAN=90°，
∵∠NCA+∠OMC=90°，
∴∠CAN=∠OMC，
∴OM//AP，
∵AC/​/OB，
∴四边形AMOP是平行四边形，
∴OP=AM=5=12OB，
∴点P为OB的中点，
∴P(5,0)． 
【解析】(1)由 m−10+(n−6)2=0.可得m−10=0，n−6=0，即可求解；
(2)证明∠CNA=90°，得四边形AMOP是平行四边形，可得PB=CM=5=12OB，即可求解．
本题考查了矩形的性质，平行四边形的判定，解决本题的关键是得到四边形AMOP是平行四边形．

25.【答案】2 5 
【解析】解：(1)∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD=4，∠A=90°，
∵E为AB的中点，
∴AE=BE=2，
∴DE= AD2+AE2= 42+22=2 5，
∵EH⊥DE，
∴∠DEH=90°，
∵EH=DE=2 5，
故答案为：2 5；

(2)BH= 2AE，理由如下：
如图1，在线段AD上截取AF=AE，连接EF，

∵AD=AB，
∴DF=EB，
由(1)知：∠ADE=∠EDF，∠FDG=∠GDC，
∵∠A=90°，
∴∠FDE+∠AED=90°，
∵∠DEH=90°，
∴∠BEH+∠AED=90°，
∴∠FDE=∠BEH，
在△DFE和△EBH中，
DF=EB∠FDE=∠BEHDE=EH，
∴△DFE≌△EBH(SAS)，
∴FE=BH，
∵∠A=90°，AF=AE，
∴△AEF是等腰直角三角形，
∴FE= 2AE，
∴BH= 2AE；

(3)∠GEH=∠BEH，理由如下：
如图2，过D作DM⊥DH交BA的延长线于M，则∠MDH=90°，

∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=CD，∠BAD=∠ADC=∠C=90°，
∴∠DAM=∠ADC=∠MDH=90°，
∴∠ADM=∠CDG，
在△ADM和△CDG中，
∠DAM=∠CAD=CD∠ADM=∠CDG，
∴△ADM≌△CDG(ASA)，
∴DM=DG，
由(1)可知，△DEF是等腰直角三角形，
∴∠EDG=45°，
∴∠EDM=90°−∠EDG=45°，
∴∠EDG=∠EDM，
在△EDG和△EDM中，
DG=DM∠EDG=∠EDMDE=DE，
∴△EDG≌△EDM(SAS)，
∴∠DEG=∠DEM，
∵∠GEH+∠DEG=90°，∠BEH+∠DEM=90°，
∴∠GEH=∠BEH．
(1)由正方形的性质得AB=AD=4，∠A=90°，再由勾股定理得DE=2 5；
(2)在线段AD上截取AF=AE，连接EF，证△DFE≌△EBH(SAS)，得FE=BH，再由等腰直角三角形的性质得FE= 2AE，即可得出结论；
(3)过D作DM⊥DH交BA的延长线于M，证△ADM≌△CDG(ASA)，得DM=DG，再证△EDG≌△EDM(SAS)，得∠DEG=∠DEM，进而得出结论．
本题是四边形综合题目，考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理等知识，本题综合性强，熟练掌握正方形的性质，证明三角形全等是解题的关键，属于中考常考题型．