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2022-2023学年山东省淄博市张店二中、齐德中学、齐盛中学八年级（下）期中数学试卷（五四学制）（含解析）
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这是一份2022-2023学年山东省淄博市张店二中、齐德中学、齐盛中学八年级（下）期中数学试卷（五四学制）（含解析），共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年山东省淄博市张店二中、齐德中学、齐盛中学八年级（下）期中数学试卷（五四学制）
一、选择题（本大题共10小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 矩形具有而菱形不一定具有的性质是( )
A. 对角相等 B. 对角线相等 C. 对边相等 D. 对角线互相平分
2. 菱形的两条对角线长分别为6cm和8cm，则菱形的边长是( )
A. 10cm B. 7cm C. 5cm D. 4cm
3. 如图，矩形OABC的顶点B的坐标为(2,3)，则AC长为( )
A. 13
B. 7
C. 5
D. 4
4. 如图，在正方形ABCD的外侧作等边三角形CDE，则∠DAE的度数为( )
A. 20°
B. 15°
C. 12.5°
D. 10°
5. 下列计算正确的是( )
A. 3+4 2=7 2 B. 3− 2=1
C. 3÷1 6=2 3 D. (−3)2=3
6. 下列方程是一元二次方程的是( )
A. −6x+2=0 B. 2x2−y+1=0 C. x2+2x=0 D. 1x2+x=2
7. 把方程x(x+1)=3(x−2)化成一般式ax2+bx+c=0(a>0)的形式，则a、b、c的值分别是( )
A. a=1，b=−2，c=−3 B. a=1，b=−2，c=−6
C. a=1，b=−2，c=3 D. a=1，b=−2，c=6
8. 关于x的一元二次方程mx2−2x−1=0无实数根，则一次函数y=mx−m的图象不经过( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
9. 把(x−1) −1x−1根号外的因式移入根号内，化简的结果是( )
A. 1−x B. x−1 C. − x−1 D. − 1−x
10. 如图，正方形ABCD和正方形CGEF的边长分别是2和3，且点B，C，G在同一直线上，M是线段AE的中点，连接MF，则MF的长为( )
A. 2
B. 22
C. 2 2
D. 24
二、填空题（本大题共5小题，共20.0分）
11. 若 1−3x在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是______ ．
12. 若 12与最简二次根式 m+1可以合并，则m= ______ ．
13. 如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，已知OB=4，菱形ABCD的面积为24，则AC的长为______
14. 若x=1是关于x的一元二次方程x2+ax+2b=0的解，则2021−2a−4b的值为______ ．
15. 已知实数a，b，c在数轴上的对应点如图所示，化简： a2−|a−b|+|c−a|+ (b−a)2=______．
三、解答题（本大题共8小题，共90.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16. (本小题10.0分)
计算：
(1) 27−12 13+ 12；
(2) 24− 6 3−( 3− 2)( 3+ 2).
17. (本小题10.0分)
解下列方程：
(1)x2−2x−3=0；
(2)x(x−5)=(2x−3)2−6．
18. (本小题10.0分)
如图，在平行四边形ABCD中，E、F分别是边AB、DC上的点，且AE=CF，∠DEB=90°．
求证：(1)∠ADE=∠CBF；
(2)四边形DEBF是矩形．
19. (本小题10.0分)
已知长方形长a=12 48，宽b=13 27．
①求长方形的周长；
②求与长方形等面积的正方形的周长，并比较长方形周长与正方形周长大小关系．
20. (本小题12.0分)
观察下列等式：
①1 2+1= 2−1( 2+1)( 2−1)= 2−1；
②1 3+ 2= 3− 2( 3+ 2)( 3− 2)= 3− 2；
③1 4+ 3= 4− 3( 4+ 3)( 4− 3)= 4− 3；
…
回答下列问题：
(1)仿照上列等式，写出第n个等式：______ ；
(2)利用你观察到的规律，化简：12 3+ 11；
(3)计算：11+ 2+1 2+ 3+1 3+2+…+1 2015+ 2016．
21. (本小题12.0分)
阅读材料：
材料1：若关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根为x1，x2，则x1+x2=−ba，x1x2=ca．
材料2：已知一元二次方程x2−x−1=0的两个实数根分别为m，n，求m2n+mn2的值．
解：一元二次方程x2−x−1=0的两个实数根分别为m，n，
∴m+n=1，mn=−1，则m2n+mn2=mn(m+n)=−1×1=−1．
根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题．
(1)材料理解：一元二次方程2x2−3x−1=0的两个根为x1，x2，则x1+x2= ______ ，x1x2= ______ ．
(2)类比应用：已知一元二次方程2x2−3x−1=0的两根分别为m、n，求nm+mn的值．
(3)思维拓展：实数s、t满足2s2−3s−1=0，2t2−3t−1=0，且s≠t，求1s−1t的值．
22. (本小题13.0分)
如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，过点C的直线MN//AB，D为AB边上一点，过点D作DE⊥BC，交直线MN于点E，垂足为点F，连接CD，BE．
(1)若AD=4cm，求CE的长；
(2)当点D为AB的中点时，四边形BECD是什么特殊四边形？说明你的理由；
(3)若点D为AB的中点，当∠A的大小满足什么条件时，四边形BECD是正方形？请直接写出答案．
23. (本小题13.0分)
如图，正方形ABCD中，E是对角线BD上一点，连接AE，过点E作EF⊥AE，交边BC于点F．
(1)求证：EA=EF；
(2)写出线段FC，DE的数量关系并加以证明；
(3)若AB=4，FE=FC，求DE的长．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：矩形具有而菱形不一定具有的性质是对角线相等，
故选：B．
利用矩形与菱形的性质即可解答本题．
本题考查了矩形与菱形的性质，中心对称图形，解题的关键是熟练掌握矩形与菱形的性质．
2.【答案】C
【解析】
【分析】
本题主要利用了菱形的对角线互相垂直平分的性质，以及勾股定理的内容．根据菱形的性质，可得到直角三角形，再利用勾股定理可求出边长．
【解答】
解：∵菱形的对角线互相垂直平分，
∴两条对角线的一半与菱形的边长构成直角三角形，
∴菱形的边长= 32+42=5cm，
故选C．
3.【答案】A
【解析】解：如图，连接OB，
∵点B的坐标为(2,3)，
∴OB= (2−0)2+(3−0)2= 13，
∵∵四边形ABCO是矩形，
∴AC=OB= 13，
故选：A．
由两点距离公式可求OB的长，由矩形的性质可得AC=OB，即可求即解．
本题考查了矩形的性质，两点距离公式，掌握矩形的性质是解题的关键．
4.【答案】B
【解析】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ADC=90°，AD=DC，
∵△CDE是等边三角形，
∴DE=DC，∠EDC=60°，
∴∠ADE=90°+60°=150°，AD=ED，
∴∠DAE=∠DEA=12(180°−∠ADE)=15°，
故选：B．
根据正方形性质得出∠ADC=90°，AD=DC，根据等边三角形性质得出DE=DC，∠EDC=60°，推出∠ADE=150°，AD=ED，根据等腰三角形性质得出∠DAE=∠DEA，根据三角形的内角和定理求出即可．
本题考查了三角形的内角和定理，正方形的性质，等腰三角形的性质，等边三角形的性质的应用，主要考查学生运用性质进行推理和计算的能力，本题综合性比较强，是一道比较好的题目．
5.【答案】D
【解析】解：A、3和4 2不是同类二次根式，不能合并，计算错误，不符合题意；
B、 3和 2不是同类二次根式，不能合并，计算错误，不符合题意；
C、 3÷1 6= 3× 6=3 2，计算错误，不符合题意；
D、 (−3)2=3，计算正确，符合题意．
故选：D．
根据二次根式的加减法，二次根式的除法和化简二次根式的方法求解判断即可．
本题主要考查了二次根式的混合运算，化简二次根式，正确计算是解题的关键．
6.【答案】C
【解析】
【分析】
根据一元二次方程的定义求解即可．
本题考查了一元二次方程的定义，能熟记一元二次方程的定义是解此题的关键．
注意：只含有一个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程．
【解答】
解：A、未知数的最高次数是1，不是一元二次方程，故A不符合题意；
B、方程含有2个未知数，不是一元二次方程，故B不符合题意；
C、符合一元二次方程的定义，是一元二次方程，故C符合题意；
D、是分式方程，故D不符合题意；
故选：C．
7.【答案】D
【解析】解：去括号得，x2+x=3x−6，
移项得，x2−2x+6=0，
所以a、b、c的值可以分别是1，−2，6．
故选：D．
先去括号，再移项、合并同类项，化为ax2+bx+c=0(a>0)的形式，再根据对应相等得到a、b、c的值．
一元二次方程的一般形式为ax2+bx+c=0(a≠0,a,b,c为常数)，其中a叫二次项系数，b叫一次项系数，c叫常数项．
8.【答案】C
【解析】解：∵一元二次方程mx2−2x−1=0无实数根
∴Δ=b2−4ac=(−2)2−4×m×(−1)<0，
解得m<−1，
由一次函数y=mx−m可得k=m<0，
b=−m>0，
∴一次函数y=mx−m过一、二、四象限，不过第三象限，
故选：C．
根据一元二次方程根与判别式的关系，求得m的取值范围，再根据一次函数的图象与系数的关系求解即可．
此题考查了一元二次方程根与判别式的关系，以及一次函数图象与系数的关系，解题的关键是熟练掌握相关基础知识．
9.【答案】D
【解析】解：由已知可得，x−1<0，即1−x>0，
所以，(x−1) −1x−1=− −(1−x)2x−1=− 1−x．
故选：D．
由于被开方数为非负数，可确定x−1的取值范围，然后再按二次根式的乘除法法则计算即可．
本题主要考查二次根式的性质与化简，由已知得出x−1的取值范围是解答此题的关键．
10.【答案】B
【解析】解：延长AD至H，延长FM与AH交于H点，
则在△AMH和△EMF中，
∠MAH=∠FEMEM=AM∠AHM=∠EFM，
∴△AMH≌△EMF，即FM=MH，AH=EF，
∴DH=AH−AD=EF−AD=1，
∵DF=CF−CD=3−2=1，
在直角△DFH中，FH为斜边，
解直角△DFH得：FH= 2，
又∵FM=MH，
∴FM= 22，
故选：B．
延长AD至H，易证△AMH≌△EMF，得FM=HM，AH=EF，又∵DH=AH−AD，且DF=CF−CD，解直角△DFH可以求得FH的长，根据FM=HM即可解题．
本题考查了勾股定理在直角三角形中的运用，考查了正方形各边长相等的性质，考查了正方形各内角均为直角的性质，本题中求证FM=MH是解题的关键．
11.【答案】x≤13
【解析】解：要使 1−3x在实数范围内有意义，必须1−3x≥0，
解得：x≤13．
故答案为：x≤13．
根据二次根式有意义的条件得出1−3x≥0，再求出答案即可．
本题考查了二次根式有意义的条件，能熟记 a中a≥0是解此题的关键．
12.【答案】2
【解析】解： 12=2 3，
∵ 12与最简二次根式 m+1可以合并，
∴m+1=3，
解得：m=2．
故答案为：2．
根据二次根式的性质得出 12=2 3，根据同类二次根式的定义得出m+1=3，再求出m即可．
本题考查了最简二次根式和同类二次根式，能得出方程m+1=3是解此题的关键，几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫同类二次根式．
13.【答案】6
【解析】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴OB=OD，
∵OB=4，
∴BD=8，
∵菱形ABCD的面积为24，
∴12AC⋅BD=24，即4AC=24，
∴AC=6，
故答案为6．
根据菱形的性质，求得DB，再根据菱形的面积求得AC．
本题主要考查了菱形的性质，菱形的面积公式，关键是熟记菱形的性质与面积公式．
14.【答案】2023
【解析】解：将x=1代入原方程得：1+a+2b=0，
∴a+2b=−1，
∴2021−2a−4b=2021−2(a+2b)=2021−2×(−1)=2023．
故答案为：2023．
将x=1代入原方程，可得出a+2b=−1，再将其代入2021−2a−4b=2021−2(a+2b)中，即可求出结论．
本题考查了一元二次方程的解，将方程的解代入原方程，求出a+2b是解题的关键．
15.【答案】c−2a
【解析】解：由数轴可得：a<0，b<0，c>0，|a|>|b|，
故a−b<0，c−a>0，b−a>0，
原式=−a+a−b+c−a+b−a
=c−2a．
直接利用二次根式的性质以及绝对值的性质分别化简得出答案．
此题主要考查了二次根式的性质以及绝对值的性质，正确化简各数是解题关键．
16.【答案】解：(1) 27−12 13+ 12
=3 3−4 3+2 3
= 3；
(2) 24− 6 3−( 3− 2)( 3+ 2)
= 8− 2−(3−2)
=2 2− 2−1
= 2−1．
【解析】(1)先化简，然后合并同类二次根式即可；
(2)先化简，然后去括号，再合并同类二次根式即可．
本题考查二次根式的混合运算、平方差公式，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
17.【答案】解：(1)x2−2x−3=0，
(x−3)(x+1)=0，
x−3=0或x+1=0，
∴x1=3，x2=−1；
(2)x(x−5)=(2x−3)2−6，
x2−5x=4x2−12x+9−6，
3x2−7x+3=0，
∵a=3，b=−7，c=3，
∴x=−b± b2−4ac2a=7± 49−366=7± 136，
∴x1=7+ 136，x2=7− 136．
【解析】(1)利用因式分解法求解即可；
(2)先化简整理为一般形式，再利用公式法求解即可．
本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
18.【答案】证明：(1)∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=CB，∠A=∠C，
在△ADE和△CBF中，
AD=CB∠A=∠CAE=CF，
∴△ADE≌△CBF(SAS)；
(2)∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AB//CD，
∵AE=CF，
∴AB−AE=CD−CF，
即BE=DF，
∴四边形DEBF是平行四边形，
又∠DEB=90°，
∴四边形DEBF是矩形．
【解析】(1)由平行四边形的性质得AD=CB，∠A=∠C，再由SAS证△ADE≌△CBF即可；
(2)由平行四边形的性质得AB=CD，AB//CD，再证BE=DF，则四边形DEBF是平行四边形，然后由矩形的判定即可得出结论．
本题考查了矩形的判定、平行四边形的判定与性质以及全等三角形的判定等知识，熟练掌握矩形的判定和平行四边形的判定与性质是解题的关键．
19.【答案】解：①长方形的周长为2×(12 48+13 27)=2×(2 3+ 3)=6 3；
②长方形的面积为12 48×13 27=2 3× 3=6，
则正方形的边长为 6，
∴此正方形的周长为4 6，
∵6 3= 108，4 6= 96，且 108> 96，
∴6 3>4 6，
则长方形的周长大于正方形的周长．
【解析】本题主要考查二次根式的应用，解题的关键是熟练掌握二次根式的混合运算顺序，运算法则及其性质．
①根据周长公式列出算式，再利用二次根式的加减运算法则和乘除法则计算可得；
②先求出正方形的边长，再由周长公式求解可得．
20.【答案】1 n+1+ n= n+1− n
【解析】解：(1)第n个等式为1 n+1+ n= n+1− n；
(2)原式=2 3− 11(2 3+ 11)(2 3− 11)=2 3− 11；
(3)原式= 2−1+ 3− 2+…+ 2016− 2015= 2016−1=12 14−1．
故答案为：(1)1 n+1+ n= n+1− n
(1)仿照以上等式，写出第n个等式即可；
(2)利用得出的规律化简原式即可；
(3)原式利用得出的规律化简，计算即可得到结果．
此题考查了分母有理化，找出题中的规律是解本题的关键．
21.【答案】32 −12
【解析】解：(1)∵一元二次方程2x2−3x−1=0的两个根为x1，x2，
∴x1+x2=−−32=32，x1x2=−12=−12，
故答案为：32，−12；
(2)∵一元二次方程2x2−3x−1=0的两根分别为m，n，
∴m+n=32，mn=−12，
∴nm+mn=m2+n2mn=(m+n)2−2mnmn=(32)2−2×(−12)−12=−132；
(3)∵实数s，t满足2s2−3s−1=0，2t2−3t−1=0，且s≠t，
∴s，t是一元二次方程2x2−3x−1=0的两个实数根，
∴s+t=32，st=−12．
∵(t−s)2=(t+s)2−4st=(32)2−4×(−12)=174，
∴t−s=± 172，
∴1s−1t=t−sst=± 172−12=± 17，
∴1s−1t的值为− 17或 17．
(1)利用根与系数的关系，即可得出x1+x2及x1x2的值；
(2)利用根与系数的关系，可得出m+n=32，mn=−12，将其代入nm+mn=(m+n)2−2mnmn中，即可求出结论；
(3)由实数s、t满足2s2−3s−1=0，2t2−3t−1=0，且s≠t，可得出s，t是一元二次方程2x2−3x−1=0的两个实数根，利用根与系数的关系，可得出s+t=32，st=−12，结合(t−s)2=(t+s)2−4st，可求出s−t的值，再将其代入1s−1t=t−sst中，即可求出结论．
本题考查根与系数的关系，牢记“两根之和等于−ba，两根之积等于ca”是解题的关键．
22.【答案】解：(1)∵DE⊥BC，
∴∠DFB=90°，
∵∠ACB=90°，
∴∠ACB=∠DFB，
∴AC//DE，
∵MN//AB，
∴四边形ADEC是平行四边形，
∴CE=AD，
∵AD=4cm，
∴CE=4cm；
(2)四边形BECD是菱形．理由如下：
由(1)得，CE=AD，
∵∠ACB=90°，点D为AB的中点，
∴AD=BD=CD，
∴BD=CE，
∵BD//CE，
∴四边形BECD是平行四边形，
∵CD=BD，
∴四边形BECD是菱形；
(3)当∠A=45°时，四边形BECD是正方形．
证明如下：
∵∠ACB=90°，∠A=45°，
∴∠ABC=45°，
又∵点D为AB的中点，
∴CD=BD=AD，
∴∠DCB=∠DBC=45°，
∴∠CDB=90°，
又∵四边形BECD是菱形，
∴四边形BECD是正方形．
【解析】(1)根据DE⊥BC，得∠DFB=90°，结合∠DFB=90°得AC//DE，根据平行四边形的判定，得CE=AD；
(2)由题(1)得CE=AD，根据直角三角形斜边上的中线的性质，得AD=BD=CD，可判定四边形BECD是平行四边形，又根据CD=BD，判定平行四边形BECD是菱形；
(3)根据三角形内角和，当∠A=45°时，得∠ABC=45°，根据直角三角形斜边上的中线的性质，得CD=BD=AD，根据等角对等边，得∠DCB=∠DBC=45°，又根据正方形的判定，即可判定四边形BECD是正方形．
本题考查平行四边形的判定与性质，菱形的判定与性质，三角形内角和定理和直角三角形斜边上的中线的性质等知识点，解题的关键是熟练掌握平行四边形的判定与性质，菱形的判定与性质．
23.【答案】(1)证明：过点E作MN⊥AD于M，交BC于点N，如图：
∵四边形ABCD为正方形，
∴AD//BC，AD=DC，∠ADB=45°，
∵MN⊥AD，
∴MN⊥BC，
∴四边形NCDM为矩形，
∴MN=CD，
∵∠ADB=45°，MN⊥AD，
∴MD=ME，
∴AM=EN，
∵AE⊥EF，
∴∠AEM+∠NEF=90°．
∵∠AEM+∠MAE=90°，
∴∠NEF=∠MAE，
∴在△AEM和△EFN中∠MAE=∠NEF∠AME=∠ENFAM=EN
∴△AEM≌△EFN(AAS)，
∴EA=EF．
(2)解：CF= 2DE，理由如下：
由(1)知△AEM≌△EFN，∠ADB=45°，
∴ME=FN=MD，
∵四边形NCDM为矩形，
∴CN=MD，
∴CF=2MD，
∵DE= 2MD，
∴CF= 2DE；
(3)解：设DE=x，ME=MD= 22x，AM=4− 22x.
由(1)得：FE2=AE2=AM2+ME2=(4− 22x)2+( 22x)2，
由(2)得CF= 2DE，
∴CF= 2x，
∵FE=FC，
∴FE2=FC2，
∴(4− 22x)2+( 22x)2=( 2x)2，
解方程得：x1=2 6−2 2，x2=−2 6−2 2(舍去)，
∴DE=2 6−2 2．
【解析】(1)过点E作MN⊥AD于M，交BC于点N，由四边形ABCD为正方形，AE⊥EF，可证明△AEM≌△EFN(AAS)，即可得AE=EF．
(2)由△AEM≌△EFN，∠ADB=45°，可得CF=2MD，而DE= 2MD，故CF= 2DE；
(3)设DE=x可得：FE2=AE2=AM2+ME2=(4− 22x)2+( 22x)2，而CF= 2DE，若FE=FC，有(4− 22x)2+( 22x)2=( 2x)2，可解得DE=2 6−2 2．
本题考查正方形的性质及应用，涉及全等三角形的判定与性质，勾股定理及应用等，解题的关键是作辅助线，构造三角形全等．
2022-2023学年山东省淄博市张店二中、齐德中学、齐盛中学八年级（下）期中数学试卷（五四学制）
一、选择题（本大题共10小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 矩形具有而菱形不一定具有的性质是( )
A. 对角相等 B. 对角线相等 C. 对边相等 D. 对角线互相平分
2. 菱形的两条对角线长分别为6cm和8cm，则菱形的边长是( )
A. 10cm B. 7cm C. 5cm D. 4cm
3. 如图，矩形OABC的顶点B的坐标为(2,3)，则AC长为( )
A. 13
B. 7
C. 5
D. 4
4. 如图，在正方形ABCD的外侧作等边三角形CDE，则∠DAE的度数为( )
A. 20°
B. 15°
C. 12.5°
D. 10°
5. 下列计算正确的是( )
A. 3+4 2=7 2 B. 3− 2=1
C. 3÷1 6=2 3 D. (−3)2=3
6. 下列方程是一元二次方程的是( )
A. −6x+2=0 B. 2x2−y+1=0 C. x2+2x=0 D. 1x2+x=2
7. 把方程x(x+1)=3(x−2)化成一般式ax2+bx+c=0(a>0)的形式，则a、b、c的值分别是( )
A. a=1，b=−2，c=−3 B. a=1，b=−2，c=−6
C. a=1，b=−2，c=3 D. a=1，b=−2，c=6
8. 关于x的一元二次方程mx2−2x−1=0无实数根，则一次函数y=mx−m的图象不经过( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
9. 把(x−1) −1x−1根号外的因式移入根号内，化简的结果是( )
A. 1−x B. x−1 C. − x−1 D. − 1−x
10. 如图，正方形ABCD和正方形CGEF的边长分别是2和3，且点B，C，G在同一直线上，M是线段AE的中点，连接MF，则MF的长为( )
A. 2
B. 22
C. 2 2
D. 24
二、填空题（本大题共5小题，共20.0分）
11. 若 1−3x在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是______ ．
12. 若 12与最简二次根式 m+1可以合并，则m= ______ ．
13. 如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，已知OB=4，菱形ABCD的面积为24，则AC的长为______
14. 若x=1是关于x的一元二次方程x2+ax+2b=0的解，则2021−2a−4b的值为______ ．
15. 已知实数a，b，c在数轴上的对应点如图所示，化简： a2−|a−b|+|c−a|+ (b−a)2=______．
三、解答题（本大题共8小题，共90.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16. (本小题10.0分)
计算：
(1) 27−12 13+ 12；
(2) 24− 6 3−( 3− 2)( 3+ 2).
17. (本小题10.0分)
解下列方程：
(1)x2−2x−3=0；
(2)x(x−5)=(2x−3)2−6．
18. (本小题10.0分)
如图，在平行四边形ABCD中，E、F分别是边AB、DC上的点，且AE=CF，∠DEB=90°．
求证：(1)∠ADE=∠CBF；
(2)四边形DEBF是矩形．
19. (本小题10.0分)
已知长方形长a=12 48，宽b=13 27．
①求长方形的周长；
②求与长方形等面积的正方形的周长，并比较长方形周长与正方形周长大小关系．
20. (本小题12.0分)
观察下列等式：
①1 2+1= 2−1( 2+1)( 2−1)= 2−1；
②1 3+ 2= 3− 2( 3+ 2)( 3− 2)= 3− 2；
③1 4+ 3= 4− 3( 4+ 3)( 4− 3)= 4− 3；
…
回答下列问题：
(1)仿照上列等式，写出第n个等式：______ ；
(2)利用你观察到的规律，化简：12 3+ 11；
(3)计算：11+ 2+1 2+ 3+1 3+2+…+1 2015+ 2016．
21. (本小题12.0分)
阅读材料：
材料1：若关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根为x1，x2，则x1+x2=−ba，x1x2=ca．
材料2：已知一元二次方程x2−x−1=0的两个实数根分别为m，n，求m2n+mn2的值．
解：一元二次方程x2−x−1=0的两个实数根分别为m，n，
∴m+n=1，mn=−1，则m2n+mn2=mn(m+n)=−1×1=−1．
根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题．
(1)材料理解：一元二次方程2x2−3x−1=0的两个根为x1，x2，则x1+x2= ______ ，x1x2= ______ ．
(2)类比应用：已知一元二次方程2x2−3x−1=0的两根分别为m、n，求nm+mn的值．
(3)思维拓展：实数s、t满足2s2−3s−1=0，2t2−3t−1=0，且s≠t，求1s−1t的值．
22. (本小题13.0分)
如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，过点C的直线MN//AB，D为AB边上一点，过点D作DE⊥BC，交直线MN于点E，垂足为点F，连接CD，BE．
(1)若AD=4cm，求CE的长；
(2)当点D为AB的中点时，四边形BECD是什么特殊四边形？说明你的理由；
(3)若点D为AB的中点，当∠A的大小满足什么条件时，四边形BECD是正方形？请直接写出答案．
23. (本小题13.0分)
如图，正方形ABCD中，E是对角线BD上一点，连接AE，过点E作EF⊥AE，交边BC于点F．
(1)求证：EA=EF；
(2)写出线段FC，DE的数量关系并加以证明；
(3)若AB=4，FE=FC，求DE的长．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：矩形具有而菱形不一定具有的性质是对角线相等，
故选：B．
利用矩形与菱形的性质即可解答本题．
本题考查了矩形与菱形的性质，中心对称图形，解题的关键是熟练掌握矩形与菱形的性质．
2.【答案】C
【解析】
【分析】
本题主要利用了菱形的对角线互相垂直平分的性质，以及勾股定理的内容．根据菱形的性质，可得到直角三角形，再利用勾股定理可求出边长．
【解答】
解：∵菱形的对角线互相垂直平分，
∴两条对角线的一半与菱形的边长构成直角三角形，
∴菱形的边长= 32+42=5cm，
故选C．
3.【答案】A
【解析】解：如图，连接OB，
∵点B的坐标为(2,3)，
∴OB= (2−0)2+(3−0)2= 13，
∵∵四边形ABCO是矩形，
∴AC=OB= 13，
故选：A．
由两点距离公式可求OB的长，由矩形的性质可得AC=OB，即可求即解．
本题考查了矩形的性质，两点距离公式，掌握矩形的性质是解题的关键．
4.【答案】B
【解析】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ADC=90°，AD=DC，
∵△CDE是等边三角形，
∴DE=DC，∠EDC=60°，
∴∠ADE=90°+60°=150°，AD=ED，
∴∠DAE=∠DEA=12(180°−∠ADE)=15°，
故选：B．
根据正方形性质得出∠ADC=90°，AD=DC，根据等边三角形性质得出DE=DC，∠EDC=60°，推出∠ADE=150°，AD=ED，根据等腰三角形性质得出∠DAE=∠DEA，根据三角形的内角和定理求出即可．
本题考查了三角形的内角和定理，正方形的性质，等腰三角形的性质，等边三角形的性质的应用，主要考查学生运用性质进行推理和计算的能力，本题综合性比较强，是一道比较好的题目．
5.【答案】D
【解析】解：A、3和4 2不是同类二次根式，不能合并，计算错误，不符合题意；
B、 3和 2不是同类二次根式，不能合并，计算错误，不符合题意；
C、 3÷1 6= 3× 6=3 2，计算错误，不符合题意；
D、 (−3)2=3，计算正确，符合题意．
故选：D．
根据二次根式的加减法，二次根式的除法和化简二次根式的方法求解判断即可．
本题主要考查了二次根式的混合运算，化简二次根式，正确计算是解题的关键．
6.【答案】C
【解析】
【分析】
根据一元二次方程的定义求解即可．
本题考查了一元二次方程的定义，能熟记一元二次方程的定义是解此题的关键．
注意：只含有一个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程．
【解答】
解：A、未知数的最高次数是1，不是一元二次方程，故A不符合题意；
B、方程含有2个未知数，不是一元二次方程，故B不符合题意；
C、符合一元二次方程的定义，是一元二次方程，故C符合题意；
D、是分式方程，故D不符合题意；
故选：C．
7.【答案】D
【解析】解：去括号得，x2+x=3x−6，
移项得，x2−2x+6=0，
所以a、b、c的值可以分别是1，−2，6．
故选：D．
先去括号，再移项、合并同类项，化为ax2+bx+c=0(a>0)的形式，再根据对应相等得到a、b、c的值．
一元二次方程的一般形式为ax2+bx+c=0(a≠0,a,b,c为常数)，其中a叫二次项系数，b叫一次项系数，c叫常数项．
8.【答案】C
【解析】解：∵一元二次方程mx2−2x−1=0无实数根
∴Δ=b2−4ac=(−2)2−4×m×(−1)<0，
解得m<−1，
由一次函数y=mx−m可得k=m<0，
b=−m>0，
∴一次函数y=mx−m过一、二、四象限，不过第三象限，
故选：C．
根据一元二次方程根与判别式的关系，求得m的取值范围，再根据一次函数的图象与系数的关系求解即可．
此题考查了一元二次方程根与判别式的关系，以及一次函数图象与系数的关系，解题的关键是熟练掌握相关基础知识．
9.【答案】D
【解析】解：由已知可得，x−1<0，即1−x>0，
所以，(x−1) −1x−1=− −(1−x)2x−1=− 1−x．
故选：D．
由于被开方数为非负数，可确定x−1的取值范围，然后再按二次根式的乘除法法则计算即可．
本题主要考查二次根式的性质与化简，由已知得出x−1的取值范围是解答此题的关键．
10.【答案】B
【解析】解：延长AD至H，延长FM与AH交于H点，
则在△AMH和△EMF中，
∠MAH=∠FEMEM=AM∠AHM=∠EFM，
∴△AMH≌△EMF，即FM=MH，AH=EF，
∴DH=AH−AD=EF−AD=1，
∵DF=CF−CD=3−2=1，
在直角△DFH中，FH为斜边，
解直角△DFH得：FH= 2，
又∵FM=MH，
∴FM= 22，
故选：B．
延长AD至H，易证△AMH≌△EMF，得FM=HM，AH=EF，又∵DH=AH−AD，且DF=CF−CD，解直角△DFH可以求得FH的长，根据FM=HM即可解题．
本题考查了勾股定理在直角三角形中的运用，考查了正方形各边长相等的性质，考查了正方形各内角均为直角的性质，本题中求证FM=MH是解题的关键．
11.【答案】x≤13
【解析】解：要使 1−3x在实数范围内有意义，必须1−3x≥0，
解得：x≤13．
故答案为：x≤13．
根据二次根式有意义的条件得出1−3x≥0，再求出答案即可．
本题考查了二次根式有意义的条件，能熟记 a中a≥0是解此题的关键．
12.【答案】2
【解析】解： 12=2 3，
∵ 12与最简二次根式 m+1可以合并，
∴m+1=3，
解得：m=2．
故答案为：2．
根据二次根式的性质得出 12=2 3，根据同类二次根式的定义得出m+1=3，再求出m即可．
本题考查了最简二次根式和同类二次根式，能得出方程m+1=3是解此题的关键，几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫同类二次根式．
13.【答案】6
【解析】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴OB=OD，
∵OB=4，
∴BD=8，
∵菱形ABCD的面积为24，
∴12AC⋅BD=24，即4AC=24，
∴AC=6，
故答案为6．
根据菱形的性质，求得DB，再根据菱形的面积求得AC．
本题主要考查了菱形的性质，菱形的面积公式，关键是熟记菱形的性质与面积公式．
14.【答案】2023
【解析】解：将x=1代入原方程得：1+a+2b=0，
∴a+2b=−1，
∴2021−2a−4b=2021−2(a+2b)=2021−2×(−1)=2023．
故答案为：2023．
将x=1代入原方程，可得出a+2b=−1，再将其代入2021−2a−4b=2021−2(a+2b)中，即可求出结论．
本题考查了一元二次方程的解，将方程的解代入原方程，求出a+2b是解题的关键．
15.【答案】c−2a
【解析】解：由数轴可得：a<0，b<0，c>0，|a|>|b|，
故a−b<0，c−a>0，b−a>0，
原式=−a+a−b+c−a+b−a
=c−2a．
直接利用二次根式的性质以及绝对值的性质分别化简得出答案．
此题主要考查了二次根式的性质以及绝对值的性质，正确化简各数是解题关键．
16.【答案】解：(1) 27−12 13+ 12
=3 3−4 3+2 3
= 3；
(2) 24− 6 3−( 3− 2)( 3+ 2)
= 8− 2−(3−2)
=2 2− 2−1
= 2−1．
【解析】(1)先化简，然后合并同类二次根式即可；
(2)先化简，然后去括号，再合并同类二次根式即可．
本题考查二次根式的混合运算、平方差公式，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
17.【答案】解：(1)x2−2x−3=0，
(x−3)(x+1)=0，
x−3=0或x+1=0，
∴x1=3，x2=−1；
(2)x(x−5)=(2x−3)2−6，
x2−5x=4x2−12x+9−6，
3x2−7x+3=0，
∵a=3，b=−7，c=3，
∴x=−b± b2−4ac2a=7± 49−366=7± 136，
∴x1=7+ 136，x2=7− 136．
【解析】(1)利用因式分解法求解即可；
(2)先化简整理为一般形式，再利用公式法求解即可．
本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
18.【答案】证明：(1)∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=CB，∠A=∠C，
在△ADE和△CBF中，
AD=CB∠A=∠CAE=CF，
∴△ADE≌△CBF(SAS)；
(2)∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AB//CD，
∵AE=CF，
∴AB−AE=CD−CF，
即BE=DF，
∴四边形DEBF是平行四边形，
又∠DEB=90°，
∴四边形DEBF是矩形．
【解析】(1)由平行四边形的性质得AD=CB，∠A=∠C，再由SAS证△ADE≌△CBF即可；
(2)由平行四边形的性质得AB=CD，AB//CD，再证BE=DF，则四边形DEBF是平行四边形，然后由矩形的判定即可得出结论．
本题考查了矩形的判定、平行四边形的判定与性质以及全等三角形的判定等知识，熟练掌握矩形的判定和平行四边形的判定与性质是解题的关键．
19.【答案】解：①长方形的周长为2×(12 48+13 27)=2×(2 3+ 3)=6 3；
②长方形的面积为12 48×13 27=2 3× 3=6，
则正方形的边长为 6，
∴此正方形的周长为4 6，
∵6 3= 108，4 6= 96，且 108> 96，
∴6 3>4 6，
则长方形的周长大于正方形的周长．
【解析】本题主要考查二次根式的应用，解题的关键是熟练掌握二次根式的混合运算顺序，运算法则及其性质．
①根据周长公式列出算式，再利用二次根式的加减运算法则和乘除法则计算可得；
②先求出正方形的边长，再由周长公式求解可得．
20.【答案】1 n+1+ n= n+1− n
【解析】解：(1)第n个等式为1 n+1+ n= n+1− n；
(2)原式=2 3− 11(2 3+ 11)(2 3− 11)=2 3− 11；
(3)原式= 2−1+ 3− 2+…+ 2016− 2015= 2016−1=12 14−1．
故答案为：(1)1 n+1+ n= n+1− n
(1)仿照以上等式，写出第n个等式即可；
(2)利用得出的规律化简原式即可；
(3)原式利用得出的规律化简，计算即可得到结果．
此题考查了分母有理化，找出题中的规律是解本题的关键．
21.【答案】32 −12
【解析】解：(1)∵一元二次方程2x2−3x−1=0的两个根为x1，x2，
∴x1+x2=−−32=32，x1x2=−12=−12，
故答案为：32，−12；
(2)∵一元二次方程2x2−3x−1=0的两根分别为m，n，
∴m+n=32，mn=−12，
∴nm+mn=m2+n2mn=(m+n)2−2mnmn=(32)2−2×(−12)−12=−132；
(3)∵实数s，t满足2s2−3s−1=0，2t2−3t−1=0，且s≠t，
∴s，t是一元二次方程2x2−3x−1=0的两个实数根，
∴s+t=32，st=−12．
∵(t−s)2=(t+s)2−4st=(32)2−4×(−12)=174，
∴t−s=± 172，
∴1s−1t=t−sst=± 172−12=± 17，
∴1s−1t的值为− 17或 17．
(1)利用根与系数的关系，即可得出x1+x2及x1x2的值；
(2)利用根与系数的关系，可得出m+n=32，mn=−12，将其代入nm+mn=(m+n)2−2mnmn中，即可求出结论；
(3)由实数s、t满足2s2−3s−1=0，2t2−3t−1=0，且s≠t，可得出s，t是一元二次方程2x2−3x−1=0的两个实数根，利用根与系数的关系，可得出s+t=32，st=−12，结合(t−s)2=(t+s)2−4st，可求出s−t的值，再将其代入1s−1t=t−sst中，即可求出结论．
本题考查根与系数的关系，牢记“两根之和等于−ba，两根之积等于ca”是解题的关键．
22.【答案】解：(1)∵DE⊥BC，
∴∠DFB=90°，
∵∠ACB=90°，
∴∠ACB=∠DFB，
∴AC//DE，
∵MN//AB，
∴四边形ADEC是平行四边形，
∴CE=AD，
∵AD=4cm，
∴CE=4cm；
(2)四边形BECD是菱形．理由如下：
由(1)得，CE=AD，
∵∠ACB=90°，点D为AB的中点，
∴AD=BD=CD，
∴BD=CE，
∵BD//CE，
∴四边形BECD是平行四边形，
∵CD=BD，
∴四边形BECD是菱形；
(3)当∠A=45°时，四边形BECD是正方形．
证明如下：
∵∠ACB=90°，∠A=45°，
∴∠ABC=45°，
又∵点D为AB的中点，
∴CD=BD=AD，
∴∠DCB=∠DBC=45°，
∴∠CDB=90°，
又∵四边形BECD是菱形，
∴四边形BECD是正方形．
【解析】(1)根据DE⊥BC，得∠DFB=90°，结合∠DFB=90°得AC//DE，根据平行四边形的判定，得CE=AD；
(2)由题(1)得CE=AD，根据直角三角形斜边上的中线的性质，得AD=BD=CD，可判定四边形BECD是平行四边形，又根据CD=BD，判定平行四边形BECD是菱形；
(3)根据三角形内角和，当∠A=45°时，得∠ABC=45°，根据直角三角形斜边上的中线的性质，得CD=BD=AD，根据等角对等边，得∠DCB=∠DBC=45°，又根据正方形的判定，即可判定四边形BECD是正方形．
本题考查平行四边形的判定与性质，菱形的判定与性质，三角形内角和定理和直角三角形斜边上的中线的性质等知识点，解题的关键是熟练掌握平行四边形的判定与性质，菱形的判定与性质．
23.【答案】(1)证明：过点E作MN⊥AD于M，交BC于点N，如图：
∵四边形ABCD为正方形，
∴AD//BC，AD=DC，∠ADB=45°，
∵MN⊥AD，
∴MN⊥BC，
∴四边形NCDM为矩形，
∴MN=CD，
∵∠ADB=45°，MN⊥AD，
∴MD=ME，
∴AM=EN，
∵AE⊥EF，
∴∠AEM+∠NEF=90°．
∵∠AEM+∠MAE=90°，
∴∠NEF=∠MAE，
∴在△AEM和△EFN中∠MAE=∠NEF∠AME=∠ENFAM=EN
∴△AEM≌△EFN(AAS)，
∴EA=EF．
(2)解：CF= 2DE，理由如下：
由(1)知△AEM≌△EFN，∠ADB=45°，
∴ME=FN=MD，
∵四边形NCDM为矩形，
∴CN=MD，
∴CF=2MD，
∵DE= 2MD，
∴CF= 2DE；
(3)解：设DE=x，ME=MD= 22x，AM=4− 22x.
由(1)得：FE2=AE2=AM2+ME2=(4− 22x)2+( 22x)2，
由(2)得CF= 2DE，
∴CF= 2x，
∵FE=FC，
∴FE2=FC2，
∴(4− 22x)2+( 22x)2=( 2x)2，
解方程得：x1=2 6−2 2，x2=−2 6−2 2(舍去)，
∴DE=2 6−2 2．
【解析】(1)过点E作MN⊥AD于M，交BC于点N，由四边形ABCD为正方形，AE⊥EF，可证明△AEM≌△EFN(AAS)，即可得AE=EF．
(2)由△AEM≌△EFN，∠ADB=45°，可得CF=2MD，而DE= 2MD，故CF= 2DE；
(3)设DE=x可得：FE2=AE2=AM2+ME2=(4− 22x)2+( 22x)2，而CF= 2DE，若FE=FC，有(4− 22x)2+( 22x)2=( 2x)2，可解得DE=2 6−2 2．
本题考查正方形的性质及应用，涉及全等三角形的判定与性质，勾股定理及应用等，解题的关键是作辅助线，构造三角形全等．
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