专题18 高考数学一轮复习重点——环排问题（解析版）

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专题18 环排问题
例1．7颗颜色不同的珠子，可穿成　　种不同的珠子圈．
【解析】
因为由于环状排列没有首尾之分，将个元素围成的环状排列剪开看成个元素排成一排，即共有 种排法．由于个元素共有种不同的剪法，则环状排列共有种排法，而珠子圈没有反正，
故7颗颜色不同的珠子，可穿成种不同的珠子圈．
故答案为：360．
例2．6颗颜色不同的钻石，可穿成几种钻石圈？
【解析】
因为由于环状排列没有首尾之分，将个元素围成的环状排列剪开看成个元素排成一排，即共有种种排法．由于个元素共有种不同的剪法，则环状排列共有有种种排法，而钻石圈没有反正，
故6颗颜色不同的钻石，可穿成种不同的钻石圈．
例3．有5个匣子，每个匣子有一把钥匙，并且钥匙不能通用，如果在每一个匣子内各放入一把钥匙，然后把匣子全部锁上，要求砸开一个匣子后，能继续用钥匙打开其余4个匣子，那么钥匙的放法有　　种．
【解析】
在砸开的匣子中必放有另一个匣子的钥匙，在匣子中又放有匣子的钥匙，在匣子中放有匣子的钥匙，在匣子中放有匣子的钥匙，在匣子中放有被砸开的匣子的钥匙．记这个砸开的匣
子为．这就相当于1，2，3，4，5形成一个环状排列，
反过来，对由1，2，3，4，5排成的每一种环状排列，也就可以对应成一种相继打开各个匣子的一种放
钥匙的方法．先让5个匣子沿着圆环对号入座，再在每个匣子中放入其下方的匣子的钥匙（如图），这就得到种相继打开各个匣子的放钥匙的方法．所以，可使所有匣子相继打开的放钥匙的方法数恰与1，2，3，4，5的环状排列数相等，
由于每个环状排列（如图）可以剪开拉直为5个排列：，，，，；，，，，；，，，，；，，，，；，，，，；
反之，5个这样的排列对应着一个环状排列，因而5个元素的环状排列数为：（种
一般地，个元素的环状排列数为种
故答案为：24
例4. 8人围桌而坐,共有多少种坐法?
【解析】
围桌而坐与坐成一排的不同点在于，坐成圆形没有首尾之分，所以固定一人并从此位置把圆形展成直线其余7人共有（8-1）！种排法即！

例5．A，B，C，D，E，F六人围坐在一张圆桌周围开会，A是会议的中心发言人，必须坐最北面的椅子，B，C二人必须坐相邻的两把椅子，其余三人坐剩余的三把椅子，则不同的座次有（ ）
A．60种 B．48种 C．30种 D．24种
【解析】
首先，A是会议的中心发言人，必须坐最北面的椅子，
考虑B、C两人的情况，只能选择相邻的两个座位，位置可以互换，
根据排列数的计算公式，得到，，接下来，考虑其余三人的情况，
其余位置可以互换，可得种，最后根据分步计数原理，得到种，
故选B.
例6．现有一圆桌，周边有标号为1，2，3，4的四个座位，甲、乙、丙、丁四位同学坐在一起探讨一个数学课题，每人只能坐一个座位，甲先选座位，且甲、乙不能相邻，则所有选座方法有____种．（用数字作答）
【解析】
先按排甲，其选座方法有种，由于甲、乙不能相邻，
所以乙只能坐甲对面，而丙、丁两位同学坐另两个位置的坐法有种，
所以共有坐法种数为种．
故答案为8．
例7．8人围圆桌开会，其中正、副组长各1人，记录员1人.
(1)若正、副组长相邻而坐，有多少种坐法？
(2)若记录员坐于正、副组长之间，有多少种坐法？
【解析】
(1)正、副组长相邻而坐，可将此2人当作1人看，即7人围一圆桌，有(7－1)！＝6！种坐法，又因为正、副组长2人可换位，有2！种坐法．故所求坐法为(7－1)！×2！＝1440种．
(2)记录员坐在正、副组长中间，可将此3人视作1人，即6人围一圆桌，有(6－1)！＝5！种坐法，又因为正、副组长2人可以换位，有2！种坐法，故所求坐法为5！×2！＝240种．