专题15 高考数学一轮复习重点——隔板法模型（解析版）

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专题15 隔板法模型
例1．2020年高考强基计划中，北京大学给了我校10个推荐名额，现准备将这10个推荐名额分配给高三理科的6个班级，这6个班级每班至少要给一个名额，则关于分配方案的种数为（ ）
A．462 B．126
C．210 D．132
【解析】
将10个名额分为6份，即从9个分段中选择5个段分开，且不分顺序，
共有种方案.
故选：B.
例2．不定方程的非负整数解的个数为（ ）
A． B． C． D．
【解析】
不定方程的非负整数解的个数将个相同小球放入三个盒子，允许有空盒的放法种数.
现在在每个盒子里各加一个相同的小球，问题等价于将个相同小球放入三个盒子，没有空盒的放法种数，则只需在个小球中形成的空位（不包含两端）中插入两块板即可，
因此，不定方程的非负整数解的个数为.
故选：C.
例3．有30个完全相同的苹果，分给4个不同的小朋友，每个小朋友至少分得4个苹果，问有多少种不同的分配方案？( )
A．680 B．816 C．1360 D．1456
【解析】
先给每个小朋友分三个苹果，剩余个苹果利用“隔板法”，
个苹果有个空，插入三个 “板”，共有680种方法.
故选：A.
例4．从、、、4个班级中选10人组成卫生检查小组，每班至少选一人，每班人数的不同情况有多少种（ ）
A．42 B．56 C．84 D．168
【解析】
将10个人排成一排，然后从中间形成的9个空中选3个，分别放入一个隔板，即可将10个人分为4个部分，且每部分至少1个人，由此可得每班人数的不同情况有种．
故选C．
例5．把9个完全相同的口罩分给6名同学，每人至少一个，不同的分法有（ ）种
A．41 B．56 C．156 D．252
【解析】
问题可转化为将9个完全相同的口罩排成一列，再分成6堆，每堆至少一个，求其方法数．
事实上，只需在上述9个完全相同的口罩所产生的8个“空档”中选出5个“空档”插入档板，
即产生符合要求的方法数．故有种．
故选：B
例6．方程的正整数解共有（ ）组
A．165 B．120 C．38 D．35
【解析】
如图，将12个完全相同的球排成一列，

在它们之间形成的11个空隙中任选三个插入三块隔板，把球分成四组，每一种分法所得球的数目依次是、、、，显然满足，故是方程的一组解，
反之，方程的每一组解都对应着一种在12个球中插入隔板的方式，
故方程的正整数解的数目为：，
故选：A.
例7．把16个相同的小球放到三个编号为1，2，3的盒子中，且每个盒子内的小球数要多于盒子的编号数，则共有多少种放法（ ）
A．18 B．28 C．36 D．42
【解析】
根据题意，个相同的小球放到三个编号为的盒子中，且每个盒子内的小球数要多于盒子的编号数，
先在号盒子里放个球，在号盒子里放个球，在号盒子里放个球，
则原问题可以转化为将剩下的个小球，放入个盒子，每个盒子至少放个的问题，
将剩下的个球排成一排，有个空位，在个空位中任选个，插入挡板，有种不同的放法，
即有个不同的符合题意的放法；
故选：C．
例8．把座位号为、、、、、的六张电影票全部分给甲、乙、丙、丁四个人，每人至少一张，且分给同一人的多张票必须连号，那么不同的分法种数为（ ）
A． B． C． D．
【解析】
因为每人至少一张，且分给同一人的多张票必须连号，
又分给甲、乙、丙、丁四个人，
则在座位号、、、、、的五个空位插3个板子，有种，
然后再分给甲、乙、丙、丁四个人，有种，
所以不同的分法种数为,
故选：B

例9．（1）把6个不同的小球放入4个不同的箱子中，每个箱子都不空，共有多少种放法？
（2）把6个不同的小球放入4个相同的箱子中，每个箱子都不空，共有多少种放法？
（3）把6个相同的小球放入4个不同的箱子中，每个箱子都不空，共有多少种放法？
（4）把6个相同的小球放入4个相同的箱子中，每个箱子都不空，共有多少种放法？
【解析】
（1）6个不同的小球放入4个不同的箱子，每个箱子至少一个小球，先把6个小球分组，有两种分法：2、2、1、1；3、1、1、1；再放入4个不同的箱子，故不同的方法共有（种）
（2）6个不同的小球放入4个不同的箱子，每个箱子至少一个小球，先把6个小球分组，有两种分法：2、2、1、1；3、1、1、1；再放入4个相同的箱子，故不同的方法共有（种）
（3）6个相同的小球放入4个不同的箱子，每个箱子至少一个小球，则采用插板法，在个空中插入块板，则不同的方法共有（种）
（4）把6个相同的小球放入4个相同的箱子中，每个箱子至少一个小球，故可以首先每个箱子放入个小球，还剩下个小球，则这个小球，只有两种结果，即两个在一个箱子中，或两个小球分别在一个箱子中，故只有种放法.
例10．（1）求方程的非负整数解的个数；
（2）某火车站共设有4个“安检”入口，每个入口每次只能进1个旅客求—个小组4人进站的不同方案种数，要求写出计算过程.
【解析】
（1）若定义，其中，
则是从方程的非负整数解集到方程的正整数解集的映射，利用隔板法得，方程正整数解得个数是
从而方程的非负整数解得个数也是56；
（2）这4名旅客通过安检口有4种情况：从1个安检口通过，从2个安检口通过，从3个安检口通过，从4个安检口通过。
从1个安检口通过共有：种方案；
从2个安检口通过，可能有1个安检口通过1人，另一个安检口通过3人有：种方案；
从2个安检口通过，可能每一个安检口都通过2人有：种方案；
从3个安检口通过，可能有2个安检口各通过1人，有1个安检口通过2人有：种方案；
从4个安检口通过共有：种方案，
所以这4个旅客进站的不同方案有：种.
例11．现有本书和位同学，将书全部分给这三位同学.
（1）若本书完全相同，每个同学至少有一本书，共有多少种分法？
（2）若本书都不相同，共有多少种分法？
（3）若本书都不相同，每个同学至少有一本书，共有多少种分法？
【解析】
（1）根据题意，若本书完全相同，将本书排成一排，中间有个空位可用，
在个空位中任选个，插入挡板，有种情况，
即有种不同的分法；
（2）根据题意，若本书都不相同，每本书可以分给人中任意1人，都有3种分法，
则5本不同的书有种；
（3）根据题意，分2步进行分析：
①将本书分成组，
若分成1、1、3的三组，有种分组方法，
若分成1、2、2的三组，有种分组方法，
则有种分组方法；
②将分好的三组全排列，对应名学生，有种情况，
则有种分法.
例12．（1）六个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有几种？
（2）把5件不同产品摆成一排，若产品A与产品B相邻，且产品A与产品C不相邻，则不同的摆法有几种？
（3）四个不同的小球放入编号为1，2，3，4的四个盒子中，恰有一个空盒，共有多少种放法？
（注：最后结果需用数字作答）
【解析】
（1）按照最左端排谁分两类：
①排甲：其余5个人作全排列，有种，
②排乙：最右端不排甲有种，其余四人作全排列有种，故共有种，
由分类计数原理共有种；
（2）分步完成：
①将A，B捆在一起当作一个元素与除C的3个元素一起作全排列，有种，
②将C插入到已经排好的排列中，让A，C不相邻，有种，
由分步计数原理可得共有种；
（3）四个不同的小球编号为1，2，3，4的四个盒子中，恰有一个空盒，说明恰有一个盒子中有2个小球，从4个小球中选两个作为一个元素，同另外两个元素在三个位置全排列，有种不同的放法.
例13．将6个相同的小球放入4个不同的盒子中，要求不出现空盒，共有_________种放法.（用数字作答）
【解析】
根据题意，将6个小球排成一排，排好后有5个可用的空位，
在5个空位中任选3个，插入挡板，共有种情况，
可以将6个小球分成4组，依次放入4个不同的盒子中即可，
所以共有10中不同的放法．
例14．方程的正整数解的个数__________.
【解析】
问题中的看作是三个盒子，问题则转化为把个球放在三个不同的盒子里，有多少种方法．
将个球排一排后，中间插入两块隔板将它们分成三堆球，使每一堆至少一个球．
隔板不能相邻，也不能放在两端，只能放在中间的个空内．
共有种．
故答案为：
例15．现有15个省三好学生名额分给1、2、3、4共四个班级，其中1班至少2个名额，2班、4班每班至少3个名额，3班最多2个名额，则共有_________种不同分配方案.
【解析】
由3班最多2个名额，3班有2、或1个，或0个名额三种情况.
（1）、当3班有2个名额时，先给1班1个名额，2班、4班各2个名额，然后将剩下的8个名额分给1班、2班和4班，每个班至少一个名额.
相当于将8个元素排成一排，在中间加入2个隔板将他们分成3组，1班、2班和4班分别得到一组，有种分法.
（2）、当3班有1个名额时，先给1班1个名额，2班、4班各2个名额，然后将剩下的9个名额分给1班、2班和4班，每个班至少一个名额.
相当于将9个元素排成一排，在中间加入2个隔板将他们分成3组，1班、2班和4班分别得到一组，有种分法.
（3）、当3班没有分得名额时，先给1班1个名额，2班、4班各2个名额，然后将剩下的10个名额分给1班、2班和4班，每个班至少一个名额.
相当于将10个元素排成一排，在中间加入2个隔板将他们分成3组，1班、2班和4班分别得到一组，有种分法.
所以一共有种不同的分配方案.
故答案为：85.
例16．小红同学去超市买糖果，现有四种不同口味的糖果可供选择（可以有糖果不被选择），单价均为一元一颗，小红只有7元钱且要求全部花完，则不同的选购方法共有______种.
【解析】
把7元看作7个相同的小球，四种糖果看作是四个盒子，问题变为把7个小球放到4个盒子中，允许有空盒，因此补充4个小球，共11个小球，分到四个盒子中，用插隔板方法，
共有方法数为．
故答案为：120．
例17．10个相同的小球放在三个编号为1，2，3的盒中，每盒至少1个，有_________种方分法.
【解析】
依据题意，10个相同的小球放在3个盒中，每盒至少1个，可转化为将10个相同小球分成三组，每组至少1个；
可将10个小球排成一列，进而在排除两端的9个空位中，选取2个，插入隔板即可，
由组合公式可得共有种分法.
故答案为：.
例18．将3个1，11个0排成一列，使得每两个1之间至少隔着两个0，则共有__________种不同的排法.
【解析】
解：符合条件的排列中，3个1将11个0分成四段，
设每一段分别有个0，
则，，，且，
令，，
则．
因此原问题等价于求方程的自然数解的组数，
将7个1与3块隔板进行排列，其排列数即对应方程自然数解的组数，
所以方程共有组自然数解，故共有120种不同的排法．
故答案为：120
例19．24个志愿者名额分给3个学校，则每个学校至少有1个名额且学校名额互不相同的分法有________种．
【解析】
设分配给3个学校的名额数分别为x1，x2，x3，
则每校至少有一个名额的分法数为不定方程x1＋x2＋x3＝24的正整数解的组数，
用隔板原理知有＝253种．
又在“每校至少有一个名额的分法”中要排除“至少有两个学校的名额数相同”的分配方法：
只有两校人数相同，设为(i，i，24－2i)，
由题意有i＝1，2，3，4，5，6，7，9，10，11共3×10种情况；
三校人数都相同的只有(8，8，8)这1种．
综上可知，满足条件的分配方法共有253－31＝222种．
故答案为：222
例20．在5月6日返校体检中，学号为（）的五位同学的体重增加量是集合中的元素，并满足，则这五位同学的体重增加量所有可能的情况有________种
【解析】
当五位同学的体重增加量是1个数字时，有种情况；
当五位同学的体重增加量是2个不同数字时，有种情况（类似隔板法，把五个同学按照的顺序排好，他们之间有4个空，从4个空里选1个空放隔板把他们分隔成两个部分，有种方法，再从6个体重增加量的集合里选两个数给他们，有种方法，即此时有种方法，下面操作方法都相同.）；
当五位同学的体重增加量是3个不同数字时，有种情况；
当五位同学的体重增加量是4个不同数字时，有种情况；
当五位同学的体重增加量是5个不同数字时，有种情况.
所以共有种不同的方法.
故答案为：252