专题06 高考数学一轮复习重点——染色问题（解析版）

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专题6 染色问题
例1．如图所示的几何体由三棱锥与三棱柱组合而成，现用种不同颜色对这个几何体的表面涂色(底面不涂色)，要求相邻的面均不同色，则不同的涂色方案共有（ ）

A．种 B．种
C．种 D．种
【解析】
先涂三棱锥的三个侧面，有种情况，然后涂三棱柱的三个侧面，有种情况，共有种不同的涂法．
故选：C．
例2．如图，用四种不同的颜色给图中的A，B，C，D，E，F，G七个点涂色，要求每个点涂一种颜色，且图中每条线段的两个端点涂不同颜色，则不同的涂色方法有（ ）

A．192种 B．336种 C．600种 D．624种
【解析】
由题意，点E，F，G分别有4，3，2种涂法，
（1）当A与F相同时，A有1种涂色方法，此时B有2种涂色方法，
①若C与F相同，则C有1种涂色方法，此时D有3种涂色方法；
②若C与F不同，则D有2种涂色方法.
故此时共有种涂色方法.
（2）当A与G相同时，A有1种涂色方法，
①若C与F相同，则C有1种涂色方法，此时B有2种涂色方法，D有2种涂色方法；
②若C与F不同，则C有2种涂色方法，此时B有2种涂色方法，D有1种涂色方法.
故此时共有种涂色方法.
（3）当A既不同于F又不同于G时，A有1种涂色方法.
①若B与F相同，则C与A相同时，D有2种涂色方法，C与A不同时，C和D均只有1种涂色方法；
②若B与F不同，则B有1种涂色方法，
（i）若C与F相同，则C有1种涂色方法，此时D有2种涂色方法；
（ii）若C与F不同，则必与A相同，C有1种涂色方法，此时D有2种涂色方法.
故此时共有种涂色方法.
综上，共有种涂色方法.
故选：C.
例3．现有6种不同的颜色，给图中的6个区域涂色，要求相邻区域不同色，则不同的涂色方法共有（ ）

A．720种 B．1440种 C．2880种 D．4320种
【解析】
根据题意分步完成任务：
第一步：完成3号区域：从6种颜色中选1种涂色，有6种不同方法；
第二步：完成1号区域：从除去3号区域的1种颜色后剩下的5种颜色中选1种涂色，有5种不同方法；
第三步：完成4号区域：从除去3、1号区域的2种颜色后剩下的4种颜色中选1种涂色，有4种不同方法；
第四步：完成2号区域：从除去3、1、4号区域的3种颜色后剩下的3种颜色中选1种涂色，有3种不同方法；
第五步：完成5号区域：从除去1、2号区域的2种颜色后剩下的4种颜色中选1种涂色，有4种不同方法；
第六步：完成6号区域：从除去1、2、5号区域的3种颜色后剩下的3种颜色中选1种涂色，有3种不同方法；
所以不同的涂色方法：种.
故选：D.
例4．将5种不同的花卉种植在如图所示的四个区域中，每个区域种植一种花卉，且相邻区域花卉不同，则不同的种植方法种数是（ ）．

A．420 B．180 C．64 D．25
【解析】
由题意，由于规定一个区域只涂一种颜色，相邻的区域颜色不同，可分步进行
区域有5种涂法，有4种涂法，
，不同色，有3种，有2种涂法，有种，
，同色，有1种涂法，有3种涂法，有种，
共有180种不同的涂色方案．
故选：B．
例5．用红、黄、蓝、绿、橙五种不同颜色给如图所示的5块区域、、、、涂色，要求同一区域用同一种颜色，有共公边的区域使用不同颜色，则共有涂色方法（ ）

A．120种 B．720种 C．840种 D．960种
【解析】
法一：有5种颜色可选，有4种颜色可选，有3种颜色可选，
若同色，有4种颜色可选；
若同色，有4种颜色可选；
若与、都不同色，则有2种颜色可选，此时有4种颜色可选，故共有种．
法二：当使用5种颜色时，有种涂色方法；
当使用4种颜色时，必有两块区域同色，可以是，，，，，共有种涂色方法；当使用3种颜色时，只能是同色且同色，同色且同色，同色，同色，共有种涂色方法，
∴共有种涂色方法.
故选：D.
例6．如图，某伞厂生产的太阳伞的伞篷是由太阳光的七种颜色组成，七种颜色分别涂在伞篷的八个区域内，且恰有一种颜色涂在相对区域内，则不同颜色图案的此类太阳伞最多有（ ）.

A．40320种 B．5040种 C．20160种 D．2520种
【解析】
先从7种颜色中任意选择一种，涂在相对的区域内，有种方法，
再将剩余的6种颜色全部涂在剩余的6个区域内，共有种方法，
由于图形是轴对称图形，所以上述方法正好重复一次，
所以不同的涂色方法，共有种不同的涂法.
故选：D.
例7．如图所示，将四棱锥S-ABCD的每一个顶点染上一种颜色，并使同一条棱上的两端异色，如果只有5种色可供使用，则不同的染色方法种数为（ ）

A．240 B．360 C．420 D．960
【解析】
由题设，四棱锥S-ABCD的顶点S、A、B所染的颜色互不相同，它们共有种染色方法.
设5种颜色为1，2，3，4，5，当S、A、B染好时，不妨设其颜色分别为1、2、3，
若C染2，则D可染3或4或5，有3种染法；
若C染4，则D可染3或5，有2种染法，若C染5，则D可染3或4，有2种染法.
可见，当S、A、B已染好时，C、D还有7种染法，故不同的染色方法有（种）.
故选：C
例8．如图所示，将方格纸中每个小方格染三种颜色之一，使得每种颜色的小方格的个数相等.若相邻两个小方格的颜色不同，称他们的公共边为“分割边”，则分割边条数的最小值为( )

A．33 B．56 C．64 D．78
【解析】
记分隔边的条数为，首先将方格按照按图分三个区域，分别染成三种颜色，粗线上均为分隔边，

此时共有56条分隔边，即，
其次证明：，
将将方格的行从上至下依次记为，列从左至右依次记为，行中方格出现的颜色数记为，列中方格出现的颜色个数记为，三种颜色分别记为，对于一种颜色，设为含有色方格的行数与列数之和，定义当行含有色方格时，，否则，类似的定义，
所以，
由于染色的格有个，设含有色方格的行有个，列有个，则色的方格一定再这个行和列的交叉方格中，
从而，
所以①，
由于在行中有种颜色的方格，于是至少有条分隔边，
类似的，在列中有种颜色的方格，于是至少有条分隔边，
则②
③
下面分两种情形讨论，
(1)有一行或一列所有方格同色，
不妨设有一行均为色，则方格的33列均含有的方格，又色的方格有363个,故至少有11行有色方格，于是④
由①③④得
，
(2)没有一行也没有一列的所有方格同色,
则对任意均有，
从而，由式②知：
，
综上，分隔边条数的最小值为56.
故选：B.
例9．如图给三棱柱的顶点染色，定义由同一条棱连接的两个顶点叫相邻顶点，规定相邻顶点不得使用同一种颜色，现有种颜色可供选择，则不同的染色方法有_________________.

【解析】
首先先给顶点染色，有种方法，再给顶点染色，①若它和点染同一种颜色，点和点染相同颜色，点就有2种方法，若点和点染不同颜色，则点有2种方法，点也有1种方法，则的染色方法一共有种方法，②若点和点染不同颜色，且与点颜色不同，则点有1种方法，点与点颜色不同，则点有1种方法，则点有1种方法，此时有1种方法；若最后与相同，则有2种方法，则共有2种方法；点与点颜色相同，则点有1种方法，则点有2种方法，则点有2种方法，共有种方法，所以点和点染不同，颜色共有种方法，
所以点的染色方法一共有种，所以共有种方法.
故答案为：
例10．现用五种不同的颜色，要对如图中的四个部分进行着色，要求公共边的两块不能用同一种颜色，共有__________种不同着色方法

【解析】
先排，有种方法；
然后排，最后排：
①当相同时，方法有种，故方法数有种.
②当不同时，方法有种，故方法数有种.
综上所述，不同的着色方法数有种.
故答案为：
例11．如图所示的五个区域中，中心区域是一幅图画，现要求在其余四个区域中涂色，有四种颜色可供选择．要求每个区域只涂一种颜色且相邻区域所涂颜色不同，则不同的涂色方法种数为______．

【解析】
分三种情况：
（1）用四种颜色涂色，有种涂法；
（2）用三种颜色涂色，有种涂法；
（3）用两种颜色涂色，有种涂法；
所以共有涂色方法.
故答案为：84
例12．从红、黄、蓝、黑四种颜色中选出3种颜色，给如图所示的六个相连的圆涂色，若每种颜色只能涂两个圆，且相邻两个圆所涂颜色不能相同，则不同的涂色方案的种数是________.

【解析】
从红、黄、蓝、黑四种颜色中选出3种颜色有4种选法.
因为每种颜色只能涂两个圆，且相邻两个圆所涂颜色不能相同，分两类：
一类是，前三个圆用3种颜色，有种方法，后3个圆也有3种颜色，有种方法，此时不同方法有6×4=24方法；
二类是，前3个圆2种颜色，后3个圆2种颜色，共有方法.
综上可知，所有的涂法共有种方法.
故答案为： 120
例13．如图一个正方形花圃被分成5份．若给这5个部分种植花，要求相邻两部分种植不同颜色的花，已知现有红、黄、蓝、绿4种颜色不同的花，则不同的种植方法有_________种

【解析】
先对部分种植，有4种不同的种植方法；
再对部分种植，又3种不同的种植方法；
对部分种植进行分类：
①若与相同，有2种不同的种植方法，有2种不同的种植方法，共有（种），
②若与不同，有2种不同的种植方法，有1种不同的种植方法，有1种不同的种植方法，
共有（种），
综上所述，共有72种种植方法．
故答案为：72.
例14．现有五种不同的颜色，要对图形中的四个部分进行着色，要求有公共边的两块不能用同一种颜色，不同的涂色方法有_______种．

【解析】
依题意，I、II、III区域有共同边颜色互不相同，
按I、II、III、IV顺序着色，则区域I有5种着色方法，
区域II有4种着色方法，区域III有3种着色方法，
IV只与II、III相邻，因此区域IV有3种着色方法，
根据分步乘法计数原理，不同的着色方法种数为
.
故答案为：180
例15．现将如图所示的个小正方形涂上红、黄两种颜色，其中个涂红色， 个涂黄色，若恰有两个相邻的小正方形涂红色，则不同的涂法共有__________种(用数字作答).

【解析】
当涂红色两个相邻的小正方形在两端时是有，
当涂红色两个相邻的小正方形在不在两端时是有，
则不同的涂法种数共有种．
故答案为：6．
例16．四色猜想是近代数学难题之一，四色猜想的内容是：“任何一张地图最多用四种颜色就能使具有共同边界的国家着上不同的颜色”，如图，一张地图被分成了五个区域，每个区域只使用一种颜色，现有4种颜色可供选择（四种颜色不一定用完），则满足四色猜想的不同涂色种数为__________

【解析】
设五个区域分别为，
依题意由公共边的两个区域颜色不同，
用四种颜色进行涂色则有两个区域颜色相同，
可以是与，与，与同色，
有涂色方法；
或用三种颜色涂色，则有2组颜色同色，
为与同色，与同色，有涂色方法，
根据分类加法原理，共有涂色方法.
故答案为：.

例17．如图，将标号为1，2，3，4，5的五块区域染上红、黄、绿三种颜色中的一种，使得相邻区域有公共边的颜色不同，则不同的染色方法有______种

【解析】
对于1，有三种颜色可以安排；
若2和3颜色相同，有两种安排方法，4有两种安排，5有一种安排，此时共有；
若2和3颜色不同，则2有两种，3有一种.当5和2相同时，4有两种；当5和2不同，则4有一种，此时共有，
综上可知，共有种染色方法.
故答案为：.
例18．某城市在中心广场建造一个花圃，花圃分为6个部分.现要栽种4种不同颜色的花，每部分栽种一种且相邻部分不能栽种同样颜色的花，则不同的栽种方法有______种.（用数字作答）

【解析】
由题意，6个部分.栽种4种不同颜色的花，必有2组颜色相同的花，
若2、5同色，则3、6同色或4、6同色，
所以共有种栽种方法；
若2、4同色，则3、6同色，
所以共有种栽种方法；
若3、5同色，则2、4同色或4、6同色，
所以共有种栽种方法；
所以共有种栽种方法.
故答案为：120
例19．给图中A，B，C，D，E，F六个区域进行染色，每个区域只染一种颜色，且相邻的区域不同色.若有4种颜色可供选择，则共有___种不同的染色方案.

【解析】
解：要完成给图中、、、、、六个区域进行染色，染色方法可分两类，第一类是仅用三种颜色染色，
即同色，同色，同色，则从四种颜色中取三种颜色有种取法，三种颜色染三个区域有种染法，共种染法；
第二类是用四种颜色染色，即，，中有一组不同色，则有3种方案不同色或不同色或不同色），先从四种颜色中取两种染同色区有种染法，剩余两种染在不同色区有2种染法，共有种染法．
由分类加法原理得总的染色种数为种．
故答案为：96．
20．如图，用4种不同的颜色对图中5个区域涂色（ 4种颜色全部使用 ），要求每个区域涂一种颜色，相邻的区域不能涂相同的颜色，则不同的涂色方法有 种.（用数字作答）

例21．给如图染色，满足条件每个小方格染一种颜色，有公共边的小方格颜色不能相同，则用4种颜色染色的方案有__种，用5种颜色染色的方案共有__种.

【解析】
（1）根据题意，若用4种颜色染色时，先对、区域染色有种，再对染色：
①当同时，有种；
②当同时，有种；
③当不同、时，有种；
综合①②③共有种；
（2）根据题意，若用5种颜色染色时，先对、区域染色有种，再对染色：


①当同时，有种；
②当同时，有种；
③当不同、时，有种；
综合①②③，共有种.
故答案为：252；1040.
例22．如图，用四种不同的颜色给三棱柱的六个顶点涂色，要求每个点涂一种颜色．若每个底面的顶点涂色所使用的颜色不相同，则不同的涂色方法共有________种；若每条棱的两个端点涂不同的颜色，则不同的涂色方法共有________种．

【解析】
（1）由题得每个底面的顶点涂色所使用的颜色不相同，则不同的涂色方法共有；
（2）若，，，用四种颜色，则有；
若，，，用三种颜色，则有；
若，，，用两种颜色，则有.
所以共有264种．
故答案为：①576；②264.