专题15 隔板法模型-2024年新高考数学题型全归纳之排列组合

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专题15 隔板法模型
【方法技巧与总结】
将个相同的元素分成份（，为正整数），每份至少一个元素，可以用块隔板，插入个元素排成一排的个空隙中，共有种分法．
【典型例题】
例1．（2023·云南红河·统考三模）某校将个三好学生名额分配到高三年级的个班，每班至少个名额，则共有多少种不同的分配方案（    ）
A．15 B．20 C．10 D．30
【答案】C
【解析】采用“隔板法”，6个名额之间有5个空，隔2块板就可以分成3份，每份至少一个名额，故共有种方案.
故选：.
例2．（2023·全国·校联考模拟预测）学校决定把个参观航天博物馆的名额给三（1）､三（2）､三（3）､三（4）四个班级.要求每个班分别的名额不比班级序号少，即三（1）班至少个名额，三（2）班至少个名额，……，则分配方案有（    ）
A．种 B．种 C．种 D．种
【答案】B
【解析】根据题意，先在编号为､､的个班级中分别分配､､个名额，
编号为的班级里不分配；再将剩下的个名额分配个班级里，每个班级里至少一个，
由隔板法可得共种放法，即可得符合题目要求的方法共种.
故选：B.
例3．（2023·高二课时练习）现有9个相同的球要放到3个不同的盒子里，每个盒子至少一个球，各盒子中球的个数互不相同，则不同放法的种数是（    ）
A．28 B．24 C．18 D．16
【答案】C
【解析】把9个球分成3组，每组个数不相同，分法（按球的个数）为：126，135，234共三种，然后每组球放到3个盒子中有种方法，方法数为．
故选：C．
例4．（2023春·江苏苏州·高二吴县中学校考期中）学校有6个优秀学生名额，要求分配到高一、高二、高三，每个年级至少1个名额，则有（    ）种分配方案．
A．135 B．10 C．75 D．120
【答案】B
【解析】“学生名额”是相同元素，故相同元素分配分组问题，用“隔板法”，
故有，
故选：B.
例5．（2023春·全国·高二期末）方程的正整数解共有（    ）组
A．165 B．120 C．38 D．35
【答案】A
【解析】如图，将12个完全相同的球排成一列，

在它们之间形成的11个空隙中任选三个插入三块隔板，把球分成四组，每一种分法所得球的数目依次是、、、，显然满足，故是方程的一组解，
反之，方程的每一组解都对应着一种在12个球中插入隔板的方式，
故方程的正整数解的数目为：，
故选：A.
例6．（2023秋·山西晋城·高三校考阶段练习）有10个运动员名额分给7个班，每班至少一个名额，共有______种分配方案.
【答案】84
【解析】10个名额没有差别，把它们看成是10个圆圈排成一排，相邻圆圈之间形成9个空隙.
在9个空隙中选6个空隙放入6个隔板，即可把圆圈（名额）分成7份，
对应分给7个班级，即可达到题意要求.
每一种插板的放置方法对应一种分法，共有种分法.
故答案为：84
例7．（2023·全国·高三专题练习）现有15个省三好学生名额分给1、2、3、4共四个班级，其中1班至少2个名额，2班、4班每班至少3个名额，3班最多2个名额，则共有_________种不同分配方案.
【答案】85
【解析】由3班最多2个名额，3班有2、或1个，或0个名额三种情况.
（1）、当3班有2个名额时，先给1班1个名额，2班、4班各2个名额，然后将剩下的8个名额分给1班、2班和4班，每个班至少一个名额.
相当于将8个元素排成一排，在中间加入2个隔板将他们分成3组，1班、2班和4班分别得到一组，有种分法.
（2）、当3班有1个名额时，先给1班1个名额，2班、4班各2个名额，然后将剩下的9个名额分给1班、2班和4班，每个班至少一个名额.
相当于将9个元素排成一排，在中间加入2个隔板将他们分成3组，1班、2班和4班分别得到一组，有种分法.
（3）、当3班没有分得名额时，先给1班1个名额，2班、4班各2个名额，然后将剩下的10个名额分给1班、2班和4班，每个班至少一个名额.
相当于将10个元素排成一排，在中间加入2个隔板将他们分成3组，1班、2班和4班分别得到一组，有种分法.
所以一共有种不同的分配方案.
故答案为：85.
例8．（2023春·广东汕头·高二校考期中）6个志愿者的名额分给3个班，每班至少一个名额，则有_________ 种不同的分配方法.（用数字回答）.
【答案】10
【解析】6个志愿者的名额分配给3个班，每班至少一个名额，采用隔板法可知，即从5个空中插入2个隔板，共有种不同分法．
故答案为：10．
例9．（2023春·安徽宿州·高二安徽省泗县第一中学校考阶段练习）泗县一中举行“建党周年朗诵比赛”，学校给了高二个文科班个参赛名额，要求每班至少一个同学参加比赛，则共有___________种不同的分配方案.
【答案】
【解析】问题等价于将个相同的小球放入个盒子，每个盒子至少一球，
由隔板法可知，只需在中间个空中插入块板即可，
因此，不同的方案种数为种.
故答案为：.
例10．（2023秋·河北沧州·高三南皮县第一中学校联考期中）某地举办高中数学竞赛，已知某校有20个参赛名额，现将这20个参赛名额分配给A，B，C，D四个班，其中1个班分配4个参赛名额，剩下的3个班都有参赛名额，则不同的分配方案有______种．
【答案】
【解析】第一步，确定分配有4个名额的班，共有4种，
第二步，利用隔板法，剩余16个参赛名额的分配方式有种
则不同的分配方案有
故答案为：．
例11．（2023春·安徽宣城·高二阶段练习）将10个学生干部的培训指标分配给7个不同的班级，每班至少分到一个名额，不同的分配方案共有_______种．
【答案】84
【解析】因为个班级干部没有差别，把他们排成一排．相邻名额之间形成个空隙．在个空档中选个位置插个隔板，把班级干部分成份，对应地分给七个班级，每一种隔板方法对应一种分法，则有有种分法．
考点：1．排列、组合；2．隔板法．
例12．（2023·浙江·校联考模拟预测）将6个相同的球全部放入甲、乙、丙三个盒子里，每个盒子最多放入3个球，共有_________种不同的放法.
【答案】10
【解析】将6个相同的球全部放入甲、乙、丙三个盒子里，每个盒子最多放入3个球，可分为以下三种情况：
①其中有两个盒子各放入3个小球，共有种不同放法；
②三个盒子中均放入2个小球，共有1种不同放法；
③一个盒子放入3个小球，一个盒子放入2个小球，最后一个盒子放入1个小球，共有种放法；
所以不同的放法共有种.
故答案为：10.
例13．（2023秋·上海浦东新·高二上海市实验学校校考期末）10个相同的小球放到6个不同的盒子里，每个盒子里至少放一个小球，则不同的放法有______种.
【答案】126
【解析】由隔板法，将10个小球排成一排，除去两端中间插入5个不相邻的隔板，此时9个空中选5个空放隔板，将10个球分成六份，再将六份装入六个盒子中即可，不同的放法有种.
故答案为：126.
例14．（2023·高二课时练习）把7个相同的小球放到10个不同的盒子中，每个盒子中放球不超过1个，则有______种不同放法．
【答案】120
【解析】该问题等价于“从10个不同的盒子中，取出7个盒子盛放7个相同的小球”，
根据题意可知共有种
故答案为：120
例15．（2023·全国·高三专题练习）若方程，其中，则方程的正整数解得个数为______.
【答案】10
【解析】因为方程，其中，则.
将其转化为有6个1排成一列，利用2个挡板法将其分成3组，第一组1的数目为，
第二组1的数目为，第三组1的数目为，则.
2个挡板的放置方法共有种，故方程的正整数解的个数为10.
故答案为：10
例16．（2023春·重庆沙坪坝·高二重庆市天星桥中学校考期中）个相同的小球全部放入个不同的盒子中，每个盒子至少放个小球，有____ 种放法．
【答案】
【解析】在个相同的小球中间所形成的个空中插入块板，可将个相同的小球全部放入个不同的盒子中，每个盒子至少放个小球，
所以，不同的放法种数为种.
故答案为：.
例17．（2023·高二单元测试）不定方程的非负整数解的个数为_______.
【答案】
【解析】根据已知条件
，且、、，
，，，当，确定后值也确定，其中
列出所有的可能：
当时，，则可以取0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12共13种情况；
当时，，可以取0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11共12种情况；
当时，，可以取0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，共11种情况；
当时，，可以取0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，共10种情况；
当时，，可以取0，1，2，3，4，5，6，7，8，共9种情况；
当时，，可以取0，1，2，3，4，5，6，7，共8种情况；
当时，，可以取0，1，2，3，4，5，6，共7种情况；
当时，，可以取0，1，2，3，4，5，共6种情况；
当时，，可以取0，1，2，3，4共5种情况；
当时，，可以取0，1，2，3，共4种情况；
当时，，可以取0，1，2，共3种情况；
当时，，可以取0，1，共2种情况；
当时，，可以取0，共1种情况；
所以共有组．
故答案为：91
例18．（2023春·福建三明·高二统考期末）将个数学竞赛名额分配给个不同的班级，其中甲、乙两个班至少各有个名额，则不同的分配方案种数为__________.
【答案】
【解析】原问题等价于：将个数学竞赛名额分配给个不同的班级，每个班至少一个名额，
也可等价于：将个完全相同的小球分为组，每组至少一个，
相当于在个小球在中间形成的个空中插入块板，所以，共有种不同的分配方案.
故答案为：.
例19．（2023·全国·高三专题练习）某校准备参加高中数学联赛，把16个选手名额分配到高三年级的1～4班，每班至少一个名额.
(1)不同的分配方案共有多少种？
(2)若每班名额不少于该班的序号数，则不同的分配方案共有多少种？
【解析】（1）问题等价于将16个小球串成一串，插入3块隔板，截为4段，16个小球间有15个空隙，
从中选3个插入隔板，插法种数为.
故不同的分配方案共有455种.
（2）问题等价于先给2班1个小球，3班2个小球，4班3个小球，
再把余下的10个相同的小球放入4个盒子里，求每个盒子至少有1个小球的分配方法数.
将10个小球串成一串，截成4段，截法种数为，
因此不同的分配方案共有84种.
例20．（2023·全国·高三专题练习）方程的正整数解有多少组？
【解析】由题意，，即
故，
代入原方程得：①
则，即，
故 或 ，其中，
（注：这里第一个取是为了保证）．
代入方程①可得：或，其中．
（注：两类不同的解，转化后形式一致）
根据隔板法该不定方程的解共有组．
例21．（2023·高二课时练习）用分步乘法计数原理求展开式的项数．
【解析】因为对，其展开式的每一项都形如，且，均是非负整数，
不妨令，则，
故展开式的项数即方程正整数解的个数.
故利用隔板法，将其理解为在个中形成的个空中（舍去最前面和最后面的2个空）中插入2个隔板，
共有种，也即展开式的项数为.
故答案为：.
例22．（2023春·河北邯郸·高二大名县第一中学校考阶段练习）将20个完全相同的球放入编号为1，2，3，4，5的五个盒子中．
(1)若要求每个盒子至少放一个球，则一共有多少种放法？
(2)若每个盒子可放任意个球，则一共有多少种放法？
(3)若要求每个盒子放的球的个数不小于其编号数，则一共有多少种放法？
【解析】(1)把20个球摆好，在中间19个空隙中选择放4个板子，所以一共有种；
(2)由题意可知，可以出现空盒子，所以把20个球和5个虚拟的球摆好，在中间24个空隙中选择放4个板子，所以一共有种；
(3)先在编号为1，2，3，4，5的五个盒子中依次放入0，1，2，3，4个球，再只要保证余下的10个球每个盒子至少放一个，把10个球摆好，在中间9个空隙中选择放4个板子，所以一共有种.
例23．（2023·全国·高三专题练习）方程（，）的正整数解有多少个？有多少个非负整数解？
【解析】将正整数看成个1的和，将这个1排成一排.
在这个1中间插入个“|”，把这个1分成组,共有 种不同的方法
被分成的组中，每一组中所包含的1的个数就对应一组方程的解.
所以正整数解有个.
由
设
即求的正整数的组数.
将正整数看成个1的和，将这个1排成一排.
在这个1中间插入个“|”，把这个1分成组,共有 种不同的方法
被分成的组中，每一组中所包含的1的个数就对应一组方程的解.
所以的正整数的个数为.
即非正整数解有个.
例24．（2023·高二单元测试）已知不定方程，求：
(1)不定方程正整数解的组数；
(2)不定方程自然数解的组数.
【解析】(1)12相当于12个1，将12个1用3块板子隔开即可
可得不定方程正整数解的组数有种；
(2)由得，
令，均为正整数，
则，
则不定方程的自然数解的组数即为不定方程的正整数解的组数
16相当于16个1，将16个1用3块板子隔开即可
可得不定方程正整数解的组数有种；
即不定方程的自然数解的组数为.
例25．（2023·高二课时练习）不定方程的正整数解有多少组？
【解析】考虑并列出100个，在每相邻两个1之间都有1个空隙，共有个空隙．
在这个空隙种，放上个“+”号，每个空隙中至多放1个，共有种放法，
在每一种放法中，这100个数被“+”号隔为10段，每一段中“1”的个数从左至右顺次记为“，，…，”．显然，这就是不定方程的一组正整数解，而“+”号的放法与不定方程的正整数解之间是一一对应的，故不定方程的正整数解有组．
例26．（2023·全国·高三专题练习）（1）求方程的非负整数解的组数；
（2）某火车站共设有4个安检入口，每个入口每次只能进入1位乘客，求一个4人小组进站的不同方案种数．
【解析】（1）设(，2，3，4)，则方程的非负整数解的组数等于方程的正整数解的组数，
利用隔板法得方程的正整数解的组数是，
所以方程的非负整数解的组数是56；
（2）设4名乘客中分别有，，，个人在第1个、第2个、第3个、第4个安检口通过，则，
即问题转化为求方程的非负整数解的组数，共有种情况，
每一种进站情况的4个位置由4个人去站有种方法，
由分步乘法计数原理得不同的进站方案有种，
所以一个4人小组进站的不同方案种数是840种．