专题12 高考数学一轮复习重点——插空法模型（解析版）

专题12 插空法模型

例1．本次模拟考试结束后，班级要排一张语文、数学、英语、物理、化学、生物六科试卷讲评顺序表，若化学排在生物前面，数学与物理不相邻且都不排在最后，则不同的排表方法共有（   ）

A．72种 B．144种 C．288种 D．360种

【解析】

第一步排语文，英语，化学，生物4种，且化学排在生物前面，有种排法；第二步将数学和物理插入前4科除最后位置外的4个空挡中的2个，有种排法，所以不同的排表方法共有种.

选.

例2．只用四个数字组成一个五位数，规定这四个数字必须同时使用，且同一数字不能相邻出现，这样的五位数有（　　）

A． B． C． D．

【解析】

当重复使用的数字为数字时，符合题意的五位数共有：个

当重复使用的数字为时，与重复使用的数字为情况相同

满足题意的五位数共有：个

本题正确选项：

例3．楼道里有9盏灯，为了节约用电，需关掉3盏互不相邻的灯，为了行走安全，第一盏和最后一盏不关，则关灯方案的种数为(    )

A．10 B．15 C．20 D．24

【解析】

问题等价于将盏关着的灯插入盏亮着的灯所形成的除最左端和最右端的空挡以外的个空档之内

关灯方案共有：种

故选：

例4．某班某天上午有五节课，需安排的科目有语文，数学，英语，物理，化学，其中语文和英语必须连续安排，数学和物理不得连续安排，则不同的排课方法数为（    ）

A．60 B．48 C．36 D．24

【解析】

先将语文和英语捆绑在一起，作为一个新元素处理，

再将此新元素与化学全排，再在3个空中选2个空将数学和物理插入即可，

即不同的排课方法数为，

故选：D．

例5．三名男生和三名女生站成一排照相，男生甲与男生乙相邻，且三名女生中恰好有两名女生相邻，则不同的站法共有(    )

A．72种 B．108种 C．36种 D．144种

【解析】

先将男生甲与男生乙“捆绑”，有种方法，

再与另一个男生排列，则有种方法，

三名女生任选两名“捆绑”，有种方法，

再将两组女生插空，插入男生3个空位中，则有种方法，

利用分步乘法原理，共有种.

故选：D．

例6．为迎接中国共产党的十九大的到来，某校举办了“祖国，你好”的诗歌朗诵比赛.该校高三年级准备从包括甲、乙、丙在内的名学生中选派名学生参加，要求甲、乙、丙这名同学中至少有人参加，且当这名同学都参加时，甲和乙的朗诵顺序不能相邻，那么选派的名学生不同的朗诵顺序的种数为（   ）

A． B． C． D．

【解析】

由题知结果有三种情况．甲、乙、丙三名同学全参加，有种情况，其中甲、乙相邻的有种情况，所以甲、乙、丙三名同学全参加时，甲和乙的朗诵顺序不能相邻顺序有种情况；甲、乙、丙三名同学恰有一人参加，不同的朗诵顺序有种情况；甲、乙、丙三名同学恰有二人参加时，不同的朗诵顺序有种情况．则选派的4名学生不同的朗诵顺序有种情况，故本题答案选

例7．已知身穿红、黄两种颜色衣服的各有两人，身穿蓝颜色衣服的有一人，现将这五人排成一行，要求穿相同颜色衣服的人不能相邻，则不同的排法共有（ ）

A．48种 B．72种 C．78种 D．84种

【解析】

由题意知先使五个人的全排列，共有种结果．

(1) 身穿红、黄两种颜色衣服的两人都相邻时，把相邻的两人看成一个整体，共有种情况；

(2)只穿红颜色衣服两人相邻，穿黄颜色衣服的两人不相邻，把相邻的两人看成一个整体，不相邻的采用插空法，共有种情况；

(3) 只穿黄颜色衣服两人相邻，穿红颜色衣服的两人不相邻，把相邻的两人看成一个整体，不相邻的采用插空法，共有种情况；

∴穿相同颜色衣服的人不能相邻的排法有种情况，

故选：A．

例8．琵琶、二胡、编钟、箫笛、瑟、琴、埙、笙和鼓这十种民族乐器被称为“中国古代十大乐器”．为弘扬中国传统文化，某校以这十种乐器为题材，在周末学生兴趣活动中开展了“中国古代乐器”知识讲座，共连续安排八节课，一节课只讲一种乐器，一种乐器最多安排一节课，则琵琶、二胡、编钟一定安排，且这三种乐器互不相邻的概率为（    ）

A． B． C． D．

【解析】

从这十种乐器中挑八种全排列，有情况种数为．从除琵琶、二胡、编钟三种乐器外的七种乐器中挑五种全排列，有种情况，再从排好的五种乐器形成的6个空中挑3个插入琵琶、二胡、编钟三种乐器，有种情况，故琵琶、二胡、编钟一定安排，且这三种乐器互不相邻的情况种数为．

所以所求的概率，

故选：B．

例9．某中学话剧社的6个演员站成一排照相，高一､高二和高三年级均有2个演员，则高一与高二两个年级中仅有一个年级的同学相邻的站法种数为（        ）

A．48 B．144 C．288 D．576

【解析】

分两类，第一类高一年级同学相邻高二年级同学不相邻，

把高一两个同学“捆绑”看作一个元素与高三两个同学排列有种不同排法，把高二年级两个同学排入4个空位中的2个（插空法）有种不同方法，

故第一类有种站法，

第二类高二年级同学相邻高一年级同学不相邻，与第一类方法相同，也有144种站法，

由分类加法计数原理知，共有种站法，

故选：C

例10．已知七人排成一排拍照，其中甲、乙、丙三人两两不相邻，甲、丁两人必须相邻，则满足要求的排队方法数为（    ）.

A．432 B．576 C．696 D．960

【解析】

首先将除甲、乙、丙、丁外的其余3人排好，共有种不同排列方式，甲、丁排在一起共有种不同方式；

若甲、丁一起与乙、丙都不相邻，插入余下三人产生的空档中，共有种不同方式；

若甲、丁一起与乙、丙二者之一相邻，插入余下三人产生的空档中，共有种不同方式；

根据分类加法、分步乘法原理，得满足要求的排队方法数为种.

故选：B.

例11．中国古代儒家提出的“六艺”指:礼､乐､射､御､书､数.某校国学社团预在周六开展“六艺”课程讲座活动,周六这天准备排课六节,每艺一节,排课有如下要求:“乐”与“书”不能相邻,“射”和“御”要相邻,则针对“六艺”课程讲座活动的不同排课顺序共有(    )

A．18种 B．36种 C．72种 D．144种

【解析】

由题意“乐”与“书”不能相邻,“射”和“御”要相邻，

可将“射”和“御”进行捆绑看成一个整体，共有种，

然后与“礼”、“数”进行排序，共有种，

最后将“乐”与“书”插入4个空即可，共有种，

由于是分步进行，所以共有种，

故选：D.

例12．电影院一排10个位置，甲、乙、丙三人去看电影，要求他们坐在同一排，那么他们每人左右两边都有空位且甲坐在中间的坐法的种数为（    ）

A．40 B．36 C．32 D．20

【解析】

除甲、乙、丙三人的座位外，还有7个座位，它们之间共可形成六个空，

三人从6个空中选三位置坐上去有种坐法，

又甲坐在中间，所以乙、丙有种方法，

所以他们每人左右两边都有空位且甲坐在中间的坐法有种.

故选：A.

例13．某公共汽车站有6个候车位排成一排，甲、乙、丙三个乘客在该汽车站等候228路公交车的到来，由于市内堵车，228路公交车一直没到站，三人决定在座位上候车，且每人只能坐一个位置，则恰好有2个连续空座位的候车方式的种数是(    )

A．48 B．54 C．72 D．84

【解析】

根据题意，分2步进行分析：

①先将3名乘客全排列，有种情况，

②3名乘客排好后，有4个空位，在4个空位中任选1个，安排2个连续空座位，有4种情况，

在剩下的3个空位中任选1个，安排1个空座位，有3种情况，

则恰好有2个连续空座位的候车方式有种；

故选：．

例14．某公园新购进盆锦紫苏、盆虞美人、盆郁金香，盆盆栽，现将这盆盆栽摆成一排，要求郁金香不在两边，任两盆锦紫苏不相邻的摆法共（    ）种

A． B． C． D．

【解析】

使用插空法，先排盆虞美人、盆郁金香有种，

然后将盆锦紫苏放入到4个位置中有种，

根据分步乘法计数原理有，扣除郁金香在两边，

排盆虞美人、盆郁金香有种，

再将盆锦紫苏放入到3个位置中有，

根据分步计数原理有，

所以共有种.

故选:B.

例15．甲、乙、丙、丁、戊、己六人按一定的顺序依次抽奖，要求甲排在乙前面，丙与丁不相邻且均不排在最后，则抽奖的顺序有（    ）

A．72种 B．144种 C．360种 D．720种

【解析】

第一步先排甲、乙、戊、己，甲排在乙前面，则有种，第二步再将丙与丁插空到第一步排好的序列中，但注意到丙与丁均不排在最后，故有4个空可选，所以有中插空方法，所以根据分步乘法计数原理有种.

故选：B.

例16．现有排成一排的7个不同的盒子，将红、黄、蓝、白颜色的4个小球全部放入这7个盒子中，若每个盒子最多放一个小球，则恰有两个空盒相邻且红球与黄球不相邻的不同放法共有_______种.（结果用数字表示）

【解析】

先不考虑红球与黄球不相邻，则4个小球有种排法，再安排空盒，有种方法，

再考虑红球与黄球相邻，则4个小球有种排法，再安排空盒，有种方法，

因此所求放法种数为

例17．若把椅子摆成一排，人随机就座，则有且仅有两人相邻的坐法有______种（用数字填空）．

【解析】

从人选择人进行捆绑，形成个“大元素”，然后与另外人形成个元素，再由把椅子所形成的个空位中选择个空位插入即可，

由分步乘法计数原理可知，符合条件的坐法种数为.

故答案为：.

例18．用1，2，3，4，5，6组成数字不重复的六位数，满足1不在左右两端，2，4，6三个偶数中有且只有两个偶数相邻，则这样的六位数的个数为________.

【解析】

从2，4，6三个偶数中任意取出2个看作一个整体，方法有种，

先排三个奇数，有种，形成了4个空，将“整体”和另一个偶数插在3个奇数形成的四个空中，方法有种

根据分步计数原理求得此时满足条件的六位数共有：种

若1排在两端，3个奇数的排法有种，形成了3个空，将“整体”和另一个偶数中插在3个奇数形成的3个空中，方法有种，根据分步计数原理求得此时满足条件的6位数共有种

故满足1不在左右两端，2，4，6三个偶数中有且只有两个偶数相邻的六位数有种

故答案为：288

例19．在疫情防控常态化条件下，各地电影院有序开放，某影院一排共有10个座位，选出3个用于观影，防疫要求选出座位的左右两边都是空位，则不同的选法有_______种（用数字回答）.

【解析】

由某影院一排共有10个座位，选出3个用于观影，要求选出座位的左右两边都是空位，

可先将其中的7个空位排成一排，其中有6个空隙，

再把三个座位放在其中的3个空隙中，共有种不同方法.

故答案为：

例20．六人并排站成一排，必须站在一起，且不能相邻，那么不同的排法共有_____种（结果用数字表示）.

【解析】

解：根据题意，分2步进行分析：

①将两人看成一个元素，与人进行全排列，

有种排法，排好后有4个空位，

②在4个空位中任选2个，安排、，有种情况，

则有种不同的排法.

故答案为：144.

例21．将5个相同的小球放入3个不同的盒子，盒子不空，有________种投放方法.

【解析】

5个相同的小球产生4个空，插入两块隔板，共有种投放方法.

故答案为：.

例22．高三2011级某班的12名班委合影留念，他们先站成了前排4人，后排8人的队形.现在摄影师准备保留前排顺序不变，从后排中调两个不相邻的同学，相邻地站在前排，则不同的调整方法种数是（用数值作答）________.

【解析】

第一步：从后排人中，抽取个不相邻的同学共有：种选法；

第二步：将所抽取的两名同学捆绑，共有种方法；

第三步：将所抽取的两名同学插入前排人形成的个空档中，共有种方法，

由分步乘法计数原理可知，共有种调整方法.

故答案为：.