2023年高考数学真题模拟试题专项汇编：（3）导数及其应用（含答案）

这是一份2023年高考数学真题模拟试题专项汇编：（3）导数及其应用（含答案），共16页。
（3）导数及其应用——2023年高考数学真题模拟试题专项汇编1. 【2023年全国乙卷文科】函数存在3个零点，则a的取值范围是( )A. B. C. D.2. 【2023年全国乙卷文科】已知函数.(1)当时，求曲线在点处的切线方程.(2)若函数在单调递增，求a的取值范围.3. 【2023年全国甲卷理科】已知函数，.(1)当时，讨论的单调性；(2)若，求a的取值范围.4. 【2023年全国甲卷文科】已知函数，.(1)当时，讨论的单调性；(2)若，求a的取值范围.5. 【2023年天津卷】已知函数.(1)求曲线在处切线的斜率；(2)当时，证明：；(3)证明：，.6. 【2023年上海卷】已知函数.取，过点作曲线的切线，交y轴于点；，过点作曲线的切线，交y轴于点，以此类推，若，，则停止操作，得到数列.(1)若正整数，证明：；(2)若正整数，试比较与的大小；(3)若正整数，是否存在k使得，，…，依次成等差数列?若存在，求出k的所有取值，若不存在，试说明理由.7. 【2023年新课标Ⅱ卷】已知函数在区间单调递增，则a的最小值为( )A. B.e C. D.8. 【2023年新课标Ⅱ卷】(1)证明：当时，；(2)已知函数，若是的极大值点，求a的取值范围.9. 【2023年新课标Ⅰ卷】已知函数.(1)讨论的单调性；(2)证明：当时，.10. 【2023年重庆模拟】已知函数，（1）讨论函数的单调性；（2）若，对任意，当时，不等式恒成立，求实数m的取值范围.答案以及解析1.答案：B解析：由题意知，要使函数存在3个零点，则要有2个不同的根，则.令，解得.令，则或，令，则.所以在和上单调递增，在上单调递减，所以要使存在3个零点，则，即，解得，即.故选B.2.答案：(1)(2)解析：(1)当时，，，所以，又，所以点处的切线方程为，即.(2)解法一：由题意得，即，因为，所以只需满足.设，则.若，则在上恒成立，在上单调递减，于是在上，不满足题意.若，设，则，.①若，则，令，得，因为在上单调递增，故当时，，当时，，所以即在上单调递减，在上单调递增，于是当时，，即在，上单调递减，，不符合题意；②若，因为在上单调递增，，所以即在上单调递增，所以在上，于是在上单调递增，所以在上，满足题意.综上所述，a的取值范围为.解法二：由题意得，即，即，即恒成立.设，则，再设，则，当时，，单调递增，故在上，又时，，，所以当时，，即在上单调递减.由洛必达法则可得，所以当时，，所以，故a的取值范围为.3.答案：(1)在区间上单调递增，在区间上单调递减(2)解析：(1)当时，，.令，则，令，当时，；当时，.故当时，，单调递增；当时，，单调递减.在区间上单调递增，在区间上单调递减.(2)令，则，令，则，令，则.当时，，在上单调递减，，当时，，的值域为.①当时，，在上单调递减，又，当时，，即.②当时，使得，在上单调递增，在上单调递减，，不成立.综上所述，a的取值范围为.4.答案：(1)当时，在上单调递减(2)a的取值范围为解析：(1)，.当时，.因为，所以，，故，故当时，在上单调递减.(2)解法一：令，则..令，得.当时，，当时，，所以存在一个，满足，且当时，，单调递增，则当时，，不符合题意.当时，因为，，所以要证在上恒成立，只需证在上恒成立.因为在上恒大于0，在上恒大于0，所以在上恒成立，命题得证.综上，a的取值范围为.解法二：依题意，，.①当时，易知；②当时，因为时满足，所以，因为函数的值域为，，所以对于任意大于0的参数a，一定存在，使得，即存在，使得，故不能确保，与题意矛盾，故不成立.综上，a的取值范围为.5.答案：(1)(2)证明见解析(3)证明见解析解析：(1)，所以，故曲线在处切线的斜率为.(2)构造，则，所以函数在上单调递增，所以，所以.令，则，所以当时，，即.(3)先证.令，，则，由(2)可知，令，则，故单调递减，则，得证.再证.解法一：构造，，则，当时，，当时，，故在上单调递增，在上单调递减，故，即.又当时，，所以，故，得证.综上，，.解法二：先证不等式成立.令，则，故在上单调递减，故当时，，所以当时，.以下同解法一.6.答案：(1)证明见解析(2)(3)存在，使得，，成等差数列解析：(1)由题得，，当正整数时，曲线在点处的切线方程为，即.又此切线交y轴于点，，.(2)当正整数时，.令，则，当时，，单调递增，当时，，单调递减，，则，即，.(3)假设存在正整数，使得，，…，依次成等差数列，设其公差为d，则，令，则，当时，，单调递增，当时，，单调递减，，即.此时，当时，，当时，，因此直线与的图象最多有两个交点，即最多三项成等差数列，故存在，使得，，成等差数列.下面证明时，，，成等差数列，即.由(1)知，，，则，.记函数，则，易知在恒成立，在单调递增.易得，，在上有唯一零点.故假设成立，存在，使得，，成等差数列.7.答案：C解析：因为函数，所以.因为函数在单调递增，所以在恒成立，即在恒成立，易知，则在恒成立.设，则.当时，，单调递增，所以在上，，所以，即，故选C.8.答案：(1)证明见解析(2)a的取值范围是解析：(1)令，则，令，则，所以即单调递减，又，所以当时，，单调递减，所以当时，，即.令，则，所以单调递减，又，所以当时，，即.综上，当时，.(2)通解：因为，所以，所以为偶函数.，令，则.令，则.当时，当时，，单调递增，当时，，单调递减，所以是的极小值点，不符合题意.当时，取与1中的较小者，为m，则当时，易知，所以即在上单调递增，所以.①当，即时，.所以在上单调递增，所以，即.那么在上单调递增，由偶函数性质知在上单调递减.故是的极小值点，不符合题意.②当，即时，当，即时，因为，，所以在上存在唯一零点，且当时，，单调递减，因为，所以当时，，即，所以在上单调递减，因为为偶函数，所以在上单调递增，故可得是的极大值点，符合题意.当，即时，因为，，所以在上存在唯一零点，且当时，，单调递减.因为，所以当时，，即，所以在上单调递减.因为为偶函数，所以在上单调递增，故可得是的极大值点，符合题意.当时，由偶函数图象的对称性可得.综上所述，a的取值范围是.优解：由，得，令，则.由是的极大值点，易得，，所以，解得或.所以a的取值范围是.9.答案：(1)当时，函数在上单调递减；当时，函数在上单调递减，在上单调递增(2)证明见解析解析：(1)，当时，，所以函数在上单调递减；当时，令，得，令，得，所以函数在上单调递减，在上单调递增.综上可得：当时，函数在上单调递减；当时，函数在上单调递减，在上单调递增.(2)由(1)得当时，函数的最小值为，令，，所以，令，得；令，得.所以函数在上单调递减，在上单调递增，所以函数的最小值为，所以当时，成立.10.答案：（1）答案见解析 （2）解析：（1），令，则两根分别为，.（i）当时，在恒成立，故的单调递增区间为，无单调递减区间；(ii)当时，令得或，令得，所以单调递增区间为，单调递减区间为；(iii)当时，令得或时，令得，所以单调递增区间为，单调递减区间为.综上当时，的单调递增区间为，无单调递减区间；当时，单调递增区间为，单调递减区间为；当时，单调递增区间为，单调递减区间为.（2）由（1）知，若，则，,的在区间单调递增.又，所以对，恒成立对，恒成立，对，恒成立，令，则在上单调递减，则在上恒成立，又，且，在上恒成立，即令，则令得，令得，在上单调递增，在上单调递减，所以