【单元训练】高中数学人教A版(2019)必修第一册--《第三章 函数的概念与性质》综合训练（含解析）

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人教A版（2019）必修第一册《第三章 函数的概念与性质》综合训练

一 、单选题（本大题共8小题，共40分）
1.（5分）下列函数中，既是偶函数，又在区间(0,+∞)上是增函数的是(    )
A. y=-x3 B. y=2|x| C. y=-≶|x| D. y=ex-e-x
2.（5分）函数f(x)=xsinx+cosx在区间[-π,π]上的图象可能是( )
A. B.
C. D.
3.（5分）下列函数中，在(0,+∞)上单调递增，并且是奇函数的是()
A. y=x2 B. y=x3 C. y=-lg|x| D. y=x-1
4.（5分）已知奇函数f(x)在R上是增函数，g(x)=x⋅f(x)，若a=g(-log25.1)，b=g(2-0.3)，c=g(30.2)，则a，b，c的大小关系为(    )
A. a 5.（5分）已知函数f(x)=|x+a|-|x-a|(a≠0)，h(x)=-x2+x(x>0)x2+x(x⩽0)，则f(x)，h(x)的奇偶性依次为(    )
A. 偶函数，奇函数 B. 奇函数，偶函数
C. 偶函数，偶函数 D. 奇函数，奇函数
6.（5分）已知函数f(x)=x|x|-2x，则下列结论正确的是(    )
A. f(x)是奇函数，单调递减区间是(-1,1)
B. f(x)是奇函数，单调递增区间是(-∞,0)
C. f(x)是偶函数，单调递增区间是(0,+∞)
D. f(x)是偶函数，单调递减区间是(-∞,1)
7.（5分）已知f(x)是定义域为R的奇函数，且当x<0时，f(x)=x2+2x，则f(0)+f(1)=( )

A. -2 B. 0 C. 1 D. 2
8.（5分）设函数fx=min{x-2,x2,x+2}，其中min\left{ x,y,z}表示x，y，z中的最小者．下列说法错误的是

A. 函数f(x)为偶函数
B. 若x∈[1,+∞)时，有fx-2⩽fx
C. 若x∈R时，ffx⩽fx
D. 若x∈-4,4时，fx-2⩾fx
二 、多选题（本大题共5小题，共25分）
9.（5分）函数y=5-3sinx+1-cosx的取值可以为()
A. 2 B. 3 C. 6 D. 10
10.（5分）下列函数中，其定义域与函数y=x12的定义域相同的是(    )
A. y=x2 B. y=(x)2 C. y=2x-1 D. y=lnex
11.（5分）下列函数既是奇函数，又在[-1,1]上单调递减的是( )
A. f (x)=|sin x|                               B. f (x)=lne-xe+x
C. f (x)=12(ex-e-x)                 D. f (x)=ln(x2+1-x)
12.（5分）下列函数中，在区间(0,1)上满足对任意的实数x1≠x2，都有(x1-x2)(f(x1)-f(x2))>0的是(    )
A. y=|x| B. y=x+3 C. y=1x D. y=x2+2x
13.（5分）我国著名的数学家华罗庚先生曾说：数缺形时少直观，形缺数时难入微；数形结合百般好，隔裂分家万事休．在数学学习和研究中，常利用函数的图象来研究函数的性质．下列函数中，在(0,+∞)上单调递增且图象关于y轴对称的是( )
A. f(x)=x3 B. f(x)=x2 C. f(x)=x D. f(x)=|x|
三 、填空题（本大题共5小题，共25分）
14.（5分）若f(x)为R上的奇函数，且在(0,+∞)内是增函数，又f(-3)=0，则xf(x)⩽0的解集为______．
15.（5分）函数f(x)的定义域为D，若对于任意x1，x2∈D，当x1 (1)f(0)=0，(2)f(x3)=12f(x)(3)f(1-x)=1-f(x)，则f(13)+f(18)= ______ ．
16.（5分）函数f(x)=log2|x2-x-12|的单调递减区间是______.
17.（5分）某客运公司确定客票价格的方法是：如果行程不超过100km，票价是0.5元/km，超过100km部分按0.4元/km定价(不满1km的部分按1km计算)，则客运票价y(元)与行程x(km)(x∈Z)之间的函数关系式是 ______ ．
18.（5分）已知定义在[m-5,1-2m]上的奇函数f(x)满足x>0时，f(x)=2x-1，则f(m)的值为 ______.
四 、解答题（本大题共5小题，共60分）
19.（12分）已知函数f(x)=x1+x，求f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2014)+f(12)+f(13)+…+f(12014)的值．
20.（12分）设f(x)=|x-a|-4x+a，x∈[1,6]，a∈(1,6). 
(Ⅰ)若a∈(1,2],求f(x)的单调区间； 
(Ⅱ)求f(x)的最小值．
21.（12分）已知函数f(x)=x2-2|x|-3. 
(Ⅰ)求证：函数f(x)是偶函数； 
(Ⅱ)画出函数f(x)的图象，并由图象直接写出函数f(x)的值域．

22.（12分）已知函数f(x)=ax-12的图象经过点(1,22)，其中a>0且a≠1. 
(1)求a的值； 
(2)求函数y=f(x)(0⩽x⩽1)的值域．
23.（12分）若A={ x∈R|0⩽log3x⩽1}，函数f(x)=4x-3m⋅2x+1+5(其中x∈A，m∈R)． 
(1)求函数f(x)的定义域； 
(2)求函数f(x)的最小值．

答案和解析
1.【答案】B;
【解析】解：偶函数的为B，C，排除A，D，  
当x>0时，y=2|x|=2x递增；  
y=-≶|x|=-lgx递减，  
故选：B． 
由题意，判断出既是偶函数，又在区间(0,+∞)上是增函数即可 
考查函数的性质和图象的变换，基础题．

2.【答案】A;
【解析】解：∵f(-x)=-xsin(-x)+cos(-x)=xsinx+cosx=f(x)， 
∴函数f(x)为偶函数，排除选项B和D， 
∵f(x)=xsinx+cosx，∴f'(x)=sinx+xcosx-sinx=xcosx， 
当x∈(0,π2)时，cosx>0，f'(x)>0，∴f(x)在(0,π2)上单调递增， 
当x∈(π2,π)时，cosx<0，f'(x)<0，∴f(x)在(π2,π)上单调递减， 
而选项C对应的函数图象是先减后增，不符合题意， 
故选：A. 
先判断函数的奇偶性，再通过导数求得函数在(0,π)上的单调性，即可得解． 
此题主要考查函数的图象与性质，一般可从函数的单调性、奇偶性或特殊点处的函数值等方面着手思考，考查学生的逻辑推理能力和运算求解能力，属于基础题．

3.【答案】B;
【解析】解：根据题意，依次分析选项： 
对于A，y=x2，是二次函数，不是奇函数，不符合题意， 
对于B，y=x3，是幂函数，是奇函数且在(0,+∞)上单调递增，符合题意； 
对于C，y=-lg|x|，是偶函数，不符合题意， 
对于D，y=x-1=1x，是反比例函数，在(0,+∞)上单调递减，不符合题意； 
故选：B. 
根据题意，依次分析选项中函数的奇偶性和单调性，即可得答案． 
此题主要考查函数的单调性和奇偶性的判断，注意常见函数的奇偶性和单调性，属于基础题．

4.【答案】D;
【解析】解：由题意可得，f(-x)=-f(x)， 
∴g(-x)=-xf(-x)=xf(x)=g(x)，即g(x)为偶函数， 
当x>0时，由f(x)是增函数可知g(x)单调递增， 
根据偶函数的对称性可知，g(x)在(-∞,0)上单调递减，距对称轴越远，函数值越大， 
∵log25.1∈(2,3)，2-0.3∈(12,1)，30.2，∈(1,2)， 
则a>c>b． 
故选：D． 
根据函数g(x)的奇偶性和单调性之间的关系，即可得到结论． 
此题主要考查函数值的大小比较，根据函数奇偶性和单调性之间的关系是解决本题的关键．

5.【答案】D;
【解析】解：∵f(x)=|x+a|-|x-a|(a≠0)，  
∴f(-x)=|-x+a|-|-x-a|=|x-a|-|x+a|=-f(x)  
∴f(x)为奇函数；  
∵h(x)=-x2+x(x>0)x2+x(x⩽0)，  
当x>0时，-x<0，  
h(-x)=(-x)2+(-x)=x2-x=-h(x)，  
当x<0时，-x>0，  
h(-x)=-(-x)2+(-x)=-x2-x=-h(x)  
当x=0时，h(0)=0，也满足h(-x)=-h(x)  
故h(x)为奇函数；  
故选D  
根据函数奇偶性的定义，根据绝对值的性质，判断f(-x)与f(x)的关系，可以判断f(x)的奇偶性，分类讨论h(-x)与h(x)的关系，可以判断h(x)的奇偶性  
该题考查的知识点是函数奇偶性的判断，其中熟练掌握函数奇偶性的定义是解答的关键．

6.【答案】A;
【解析】解：根据题意，f(x)=x|x|-2x，其定义域为R， 
f(-x)=(-x)|-x|-2(-x)=-(x|x|-2x)=-f(x)，则函数f(x)为奇函数， 
且f(x)=x2-2x,x⩾0-x2-2x,x<0，其图象如图： 
其递增区间为(-∞,-1)和(1,+∞)，递减区间为(-1,1)； 
故选：A． 
根据题意，由函数的解析式分析可得f(-x)=(-x)|-x|-2(-x)=-(x|x|-2x)=-f(x)，可得函数为奇函数，进而将函数的解析式写成分段函数的形式，结合其图象分析可得答案． 
此题主要考查分段函数的奇偶性与单调性的判定，注意结合二次函数的性质进行分析．


7.【答案】C;
【解析】此题主要考查函数的奇偶性，正确理解函数的奇偶性性质是解答该题的关键，是容易题.解：因为函数f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(0)=0，f(1)=-f(-1)=-(1+2-1)=1，所以f(1)+f(0)=1.故选C.

8.【答案】D;
【解析】 
此题主要考查函数的图像的作法及函数的的性质和最值，属困难题. 
 
解：如图，对A，作出函数的图像可知，A正确； 
对B，当x∈[1,+∞)时函数图像向右平移，满足fx-2⩽fx ，故B正确； 
对C，令f(x)=t，则ffx⩽fx，等价于ft⩽t，由图可知恒成立；故C成立； 
对D，fx-2，x∈-4,4的图像不恒在fx的上方，或由排除法可知D错误. 
故答案为D. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 



9.【答案】CD;
【解析】解：因为5-3sinx=12(10-6sinx)=12[9-6sinx+sin2x+cos2x)=12[(sinx-3)2+cos2x], 
1-cosx=12(2-2cosx)=12(cos2x-2cosx+1+sin2x)=12[(cosx-1)2+sin2x]， 
所以y=5-3sinx+1-cosx=12[(sinx-3)2+cos2x]+12[(cosx-1)2+sin2x]=22((sinx-3)2+(cosx-0)2+(cosx-1)2+(sinx-0)2)， 
因为sin2x+cos2x=1， 
所以点P(sinx,cosx)在半径为1，圆心为(0,0)， 
设定点A(0,3)，B(1,0)，则y=22(|PA|+|PB|)， 
当A，P，B三点共线时，|PA|+|PB|的值最小，即ymin=22⋅32+12=5， 
当P在y轴的最下端时|PA|+|PB|=5+2，这时y=22(5+2)， 
P在最左边时，y=22(10+2)=5+2>10， 
故选：CD. 
将函数转化为单位圆上的点到定点的距离之和的形式，由线段和的取值范围可得函数的范围． 
此题主要考查三角函数的转化及动点到两个定点的距离之和的取值范围的求法，属于中档题．


10.【答案】BC;
【解析】解：由题意得，x⩾0，即y=x12的定义域[0,+∞)， 
A：y=x2=|x|的定义域为R，不符合题意， 
B：由题意得x⩾0，故y=(x)2的定义域[0,+∞)，符合题意， 
C：由题意得，2x-1⩾0，解得x⩾0，即函数定义域[0,+∞)，符合题意， 
D：y=lnex的定义域为R，不符合题意． 
故选：BC． 
分别求解个选项中函数的定义域，即可判断． 
这道题主要考查了函数定义域的求解，属于基础题．

11.【答案】BD;
【解析】 
此题主要考查函数的奇偶性，在区间[-1,1]上单调性，考查学生的计算能力，属于中档题． 
判断函数的奇偶性，以及函数的单调性推出结果即可. 
 
解：对于A，x∈R，f (-x)=|sin(-x)|=|sin x|=f (x)，函数f (x)为偶函数，排除A； 
对于B，x∈(-e,e)，f (-x)=lne+xe-x=-lne-xe+x=-f (x)，f (x)为奇函数， 
且f (x)=lne-xe+x=ln-1+2ee+x， 
令t=-1+2ee+x，其在定义域[-1,1]上为减函数，而y=ln t为增函数， 
故f (x)=lne-xe+x在[-1,1]上为减函数，B正确； 
对于C，x∈R，f (-x)=12(e-x-ex)=-12(ex-e-x)=-f (x)，f (x)为奇函数． 
又函数y=ex与y=-e-x在[-1,1]上均为增函数， 
∴函数f (x)=12(ex-e-x)在[-1,1]上为增函数，排除C； 
对于D，x∈R，f (-x)+f (x)=ln(x2+1+x)+ln(x2+1-x)=ln 1=0，即f (-x)=-f (x)，函数f (x)为奇函数． 
令t=x2+1-x=1x2+1+x，其在区间[-1,1]上为减函数，而y=ln t为增函数， 
故f (x)=ln(x2+1-x)在[-1,1]上为减函数，D正确． 
故选BD. 


12.【答案】ABD;
【解析】解：由题意得：函数在(0,1)递增，  
对于A：函数在(0,1)递增，符合题意，故A正确；  
对于B：函数在R递增，故B正确；  
对于C：函数在(0,1)递减，故C错误；  
对于D：函数的对称轴是x=-1，故函数在(0,1)递增，符合题意，故D正确  
故选：ABD． 
根据常见函数的性质判断函数的单调性即可． 
该题考查了常见函数的单调性问题，考查转化思想，是一道基础题．

13.【答案】BD;
【解析】解：对于A，f(x)=x3为奇函数，图象关于原点对称，不符合题意； 
对于B，f(x)=x2为偶函数，图象关于y轴对称，且在(0,+∞)上单调递增，符合题意； 
对于C，y=x=x12为非奇非偶函数，在(0,+∞)上单调递增，不符合题意； 
对于D，f(x)=|x|为偶函数，图象关于y轴对称，且在(0,+∞)上单调递增，符合题意． 
故选：BD. 
根据题意，分析各个选项函数的奇偶性以及单调性，即可得答案． 
此题主要考查函数的奇偶性与单调性的判断，属于基础题．

14.【答案】{x|-3≤x≤3};
【解析】解：由题意可得，若f(x)为R上的奇函数，则f(0)=0， 
又由函数f(x)在(-∞,0)上是增函数， 
且f(-3)=-f(3)=0， 
函数的单调性示意图如图所示： 
xf(x)⩽0⇔x⩾0f(x)⩽0或x⩽0f(x)⩾0， 
分析可得：-3⩽x⩽3， 
即不等式的解集为{ x|-3⩽x⩽3}； 
故答案为：{ x|-3⩽x⩽3}． 
根据题意画出函数的单调性示意图，由不等式xf(x)<0可得x⩾0f(x)⩽0或x⩽0f(x)⩾0，分析可得答案． 
此题主要考查函数的单调性和奇偶性的应用，体现了转化以及数形结合的数学思想，属于中档题


15.【答案】34;
【解析】解：∵函数f(x)在[0,1]上为非减函数，①f(0)=0；③f(1-x)+f(x)=1，∴f(1)=1，  
令x=12，所以有f(12)=12，  
又∵②f(x3)=12f(x)，令x=1，有f(13)=12f(1)=12，  
令x=13，有f(19)=12f(13)=14，f(16)=12f(12)=14，  
非减函数性质：当x1 而f(19)=14=f(16)，所以有f(18)=14，则 f(13)+f(18)=34．  
故答案为：34  
已知条件求出f(1)、f(12)、f(13)、f(19)、f(16)的值，利用当x1 此题主要考查了抽象函数及其应用，以及新定义的理解，同时考查了计算能力和转化的思想，属于中档题．

16.【答案】（-∞，-3）∪（12，4）;
【解析】解：由|x2-x-12|>0，得x≠-3且x≠4. 
令t=|x2-x-12|，其图象如图， 
 
由图可知，内函数t=|x2-x-12|的减区间为：(-∞,-3)∪(12,4). 
∵外函数y=log2t为增函数， 
∴函数f(x)=log2|x2-x-12|的单调递减区间是：(-∞,-3)∪(12,4). 
故答案为：(-∞,-3)∪(12,4). 
令t=|x2-x-12|，画出其图象，由图可得其减区间，结合外函数y=log2t为增函数得答案． 
此题主要考查了复合函数的单调性以及单调区间的求法．对应复合函数的单调性，一要注意先确定函数的定义域，二要利用复合函数与内层函数和外层函数单调性之间的关系进行判断，判断的依据是“同增异减”，是中档题．


17.【答案】y=0.5x，0≤x≤1000，4x+10，x＞100;
【解析】解：设运输里程为xkm，运费为y元．  
则y=0.5x,0⩽x⩽1000.5x×100+0.4(x-100)．x>100  
即y=0.5x,0⩽x⩽1000,4x+10,x>100，  
故答案为：y=0.5x,0⩽x⩽1000,4x+10,x>100，  
设运输里程为xkm，运费为y元．当0⩽x⩽100时，y=0.5x；当x>100时，y=0.5×100+0.4(x-100)，由此得出函数关系式即可；  
该题考查理解题意的能力，熟练掌握分段函数的解析式的求法是解答该题的关键

18.【答案】-15;
【解析】解：定义在[m-5,1-2m]上的奇函数f(x)，可得m-5+1-2m=0， 
解得m=-4， 
由x>0时，f(x)=2x-1， 
可得f(m)=f(-4)=-f(4)=-(24-1)=-15， 
故答案为：-15. 
由奇函数的定义域关于原点对称，可得m，再由奇函数的定义，结合已知解析式，计算可得所求值． 
此题主要考查函数的奇偶性的定义和运用，考查方程思想和运算能力，属于基础题．

19.【答案】解：f(x)+f(1x)=x1+x+1x1+1x 
=x1+x+1x+1=1， 
f(1)=11+1=12， 
故f(1)+f(2)+…+f(2014) 
+f(12)+f(13)+…+f(12014) 
=f(1)+f(2)+f(12)+f(3)+f(13) 
+…+f(2014)+f(12014) 
=12+2013×1=40272.;
【解析】此题主要考查函数值的求法，是基础题． 
由f(x)+f(1x)=x1+x+1x+1=1，能求出f(1)+f(2)+…+f(2014)+f(12)+f(13)+…+f(12014)的值． 


20.【答案】解：(Ⅰ)由题意，f(x)={2a-(x+4x),1⩽x⩽ax-4x,a 当1 由对勾函数单调性知f(x)在[1,a]上是增函数， 
分析得f(x)在(a,6]上也是增函数． 
又f(a)=a-4a，函数连续， 
所以当1 所以f(x)的单调递增区间为[1,6]，无单调递减区间；       
(Ⅱ)①当1  ②当2 由双勾函数单调性可知f(x)在[1,2]上是增函数，在[2,a]上是减函数， 
且易知f(x)在[a,6]上是增函数， 
又f(1)=2a-5，f(a)=a-4a， 
且f(1)-f(a)=a+4a-5， 
当2 所以f(x)min=f(1)=2a-5， 
当4⩽a<6时，f(1)-f(a)⩾0， 
所以f(x)min=f(a)=a-4a， 
综上可知，f(x)min={2a-5,1 【解析】此题主要考查分段函数的运用，主要考查函数的单调区间和最值的求法，注意运用分类讨论的思想方法和函数的单调性的性质是解答该题的关键，为较难题． 
(Ⅰ)运用绝对值的定义，将f(x)转化，讨论a∈(1,2],函数f(x)在[1,a]上，在(a,6]上的单调性即可得到； 
(Ⅱ)讨论①当1
21.【答案】（Ⅰ）证明：函数f（x）定义域为R，关于原点对称， 
f（-x）=（-x）2-2|-x|-3=x2-2|x|-3=f（x）， 
所以f（x）是偶函数． 
（Ⅱ） 
 
由图可得，函数值域[-4，+∞）．;
【解析】 
(Ⅰ)用奇偶性定义进行证明； 
(Ⅱ)作出f(x)的图象，由图可得函数值域． 
此题主要考查了奇偶性定义证明奇偶性，函数的图象，属于中档题．

22.【答案】解：（1）函数f(x)=ax-12的图象经过点(1，22)， 
∴a1-12=22，解得a=12； 
（2）由（1）知，f（x）=（12）^x-12， 
又0≤x≤1时，-12≤x-12≤12， 
∴22≤（12）^x-12≤2， 
∴f（x）在x≥0时的值域为[22，2]．;
【解析】 
(1)把点的坐标代入函数解析式求出a的值； 
(2)写出f(x)的解析式，根据指数函数的单调性求出f(x)(0⩽x⩽1)的值域． 
此题主要考查了指数函数的单调性与值域的应用问题，是基础题．

23.【答案】解：（1）A={x∈R|0≤log3x≤1}={x|1≤x≤3}， 
即f（x）的定义域为[1，3]； 
（2）函数f（x）=4x-3m•2x+1+5， 
令t=2x（2≤t≤8），则y=t2-6mt+5=（t-3m）2-9m2+5， 
若3m≤2即m≤23，函数y=t2-6mt+5在t∈[2，8]递增，可得ymin=4-12m+5=9-12m； 
若3m≥8即m≥83，函数y=t2-6mt+5在t∈[2，8]递减，可得ymin=64-48m+5=69-48m； 
若2＜3m＜8即23＜m＜83，函数y=t2-6mt+5在t[2，3m）递减，在t∈∈（3m，8]递增， 
可得ymin=-9m2+5， 
综上可得，f（x）min=9-12m(m≤23)5-9m2(23＜m＜83)69-48m(m≥83)．;
【解析】 
(1)由对数函数的单调性，可得所求定义域；  
(2)令t=2x(2⩽t⩽8)，则y=t2-6mt+5=(t-3m)2-9m2+5，由对称轴t=3m与区间[2,8]的关系，结合二次函数的单调性，可得最小值． 
该题考查函数的定义域和最值的求法，考查分类讨论思想和转化思想、运算能力，属于中档题．