高考数学一轮复习检测：第5章第2节 等差数列及其前n项和 含解析

限时规范训练(限时练·夯基练·提能练)

A级　基础夯实练

1．(2018·北京东城区二模)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a3＝3，a5＝5，则S7的值是(　　)

A．30　　　　　　　　　 B．29

C．28  D．27

解析：选C.由题意，设等差数列的公差为d，则d＝＝1，故a4＝a3＋d＝4，所以S7＝＝＝7×4＝28.故选C.

2．(2018·唐山统考)等差数列{an}的前n项和为Sn，若S11＝22，则a3＋a7＋a8等于(　　)

A．18  B．12

C．9  D．6

解析：选D.由题意得S11＝＝＝22，即a1＋5d＝2，所以a3＋a7＋a8＝a1＋2d＋a1＋6d＋a1＋7d＝3(a1＋5d)＝6，故选D.

3．在等差数列{an}中，a1＝－2 017，其前n项和为Sn，若－＝2，则S2 020＝(　　)

A．2 020  B．－2 020

C．4 040  D．－4 040

解析：选C.设等差数列{an}的前n项和为Sn＝An2＋Bn，则＝An＋B，∴是等差数列．∵－＝2，∴的公差为1，又＝＝－2 017，∴是以－2 017为首项，1为公差的等差数列，∴＝－2 017＋2 019×1＝2，∴S2 020＝4 040.故选C.

4．(2018·山西太原模拟)已知数列{an}的前n项和为Sn，点(n，Sn)(n∈N*)在函数y＝x2－10x的图象上，等差数列{bn}满足bn＋bn＋1＝an(n∈N*)，其前n项和为Tn，则下列结论正确的是(　　)

A．Sn＜2Tn  B．b4＝0

C．T7＞b7  D．T5＝T6

解析：选D.因为点(n，Sn)(n∈N*)在函数y＝x2－10x的图象上，所以Sn＝n2－10n，所以an＝2n－11，又bn＋bn＋1＝an(n∈N*)，数列{bn}为等差数列，设公差为d，所以2b1＋d＝－9,2b1＋3d＝－7，解得b1＝－5，d＝1，所以bn＝n－6，所以b6＝0，所以T5＝T6，故选D.

5．(2018·江西南昌模拟)《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为(　　)

A．1升  B．升

C.升  D．升

解析：选B.设该等差数列为{an}，公差为d，

由题意得即

解得

∴a5＝＋4×＝.故选B.

6．(2018·山东五校联考)下面是关于公差d＞0的等差数列{an}的四个命题：

p1：数列{an}是递增数列；p2：数列{nan}是递增数列；

p3：数列{}是递增数列；p4：数列{an＋3nd}是递增数列．

其中的真命题为(　　)

A．p1，p2  B．p3，p4

C．p2，p3  D．p1，p4

解析：选D.{an}是等差数列，则an＝a1＋(n－1)d＝dn＋a1－d，因为d＞0，所以{an}是递增数列，故p1正确；对p2，举反例，令a1＝－3，a2＝－2，d＝1，则a1＞2a2，故{nan}不是递增数列，p2不正确；＝d＋，当a1－d＞0时，{}递减，p3不正确；an＋3nd＝4nd＋a1－d,4d＞0，{an＋3nd}是递增数列，p4正确．故p1，p4是正确的，选D.

7．(2018·揭阳质检)数列{an}的首项为3，{bn}为等差数列且bn＝an＋1－an(n∈N*)，若b3＝－2，b10＝12，则a8等于(　　)

A．0  B．3

C．8  D．11

解析：选B.∵{bn}为等差数列，设其公差为d，

由b3＝－2，b10＝12，

∴7d＝b10－b3＝12－(－2)＝14，∴d＝2，

∵b3＝－2，∴b1＝b3－2d＝－2－4＝－6，

∴b1＋b2＋…＋b7＝7b1＋d

＝7×(－6)＋21×2＝0，

又b1＋b2＋…＋b7＝(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(a8－a7)＝a8－a1＝a8－3，

∴a8－3＝0，∴a8＝3.故选B.

8．(2018·日照二模)若数列{an}满足a1＝15，且3an＋1＝3an－2，则使ak·ak＋1＜0的k值为________．

解析：因为3an＋1＝3an－2，所以an＋1－an＝－，所以数列{an}是首项为15，公差为－的等差数列，所以an＝15－·(n－1)＝－n＋，令an＝－n＋＞0，得n＜23.5，所以使ak·ak＋1＜0的k值为23.

答案：23

9．(2018·长春模拟)《张丘建算经》卷上第22题为：“今有女善织，日益功疾．初日织五尺，今一月日织九匹三丈．则月末日织几何？”其意思为今有女子善织布，且从第2天起，每天比前一天多织相同量的布．若第一天织5尺布，现在一个月(按30天计)共织390尺布，则该女最后一天织________尺布．

解析：由题意得，该女每天所织的布的尺数依次排列形成一个等差数列，设为{an}，其中a1＝5，前30项和为390，于是有＝390，解得a30＝21，即该女最后一天织21尺布．

答案：21

10．(2017·全国卷Ⅰ)记Sn为等比数列{an}的前n项和．已知S2＝2，S3＝－6.

(1)求{an}的通项公式；

(2)求Sn，并判断Sn＋1，Sn，Sn＋2是否成等差数列．

解：(1)设{an}的公比为q，由题设可得

解得q＝－2，a1＝－2.

故{an}的通项公式为an＝(－2)n.

(2)由(1)可得Sn＝＝－＋(－1)n·.

由于Sn＋2＋Sn＋1＝－＋(－1)n·

＝2＝2Sn，

故Sn＋1，Sn，Sn＋2成等差数列．

B级　能力提升练

11．(2018·潍坊模拟)设Sn为等差数列{an}的前n项和，(n＋1)Sn＜nSn＋1(n∈N*)．若＜－1，则(　　)

A．Sn的最大值是S8  B．Sn的最小值是S8

C．Sn的最大值是S7  D．Sn的最小值是S7

解析：选D.由已知条件得＜，即＜，所以an＜an＋1，所以等差数列{an}为递增数列．又＜－1，所以a8＞0，a7＜0，即数列{an}前7项均小于0，第8项大于零，所以Sn的最小值为S7，故选D.

12．如图，点列{An}，{Bn}分别在某锐角的两边上，且|AnAn＋1|＝|An＋1An＋2|，An≠An＋2，n∈N*，|BnBn＋1|＝|Bn＋1Bn＋2|，Bn≠Bn＋2，n∈N*(P≠Q表示点P与Q不重合)．若dn＝|AnBn|，Sn为△AnBnBn＋1的面积，则(　　)

A．{Sn}是等差数列  B．{S}是等差数列

C．{dn}是等差数列  D．{d}是等差数列

解析：选A.作A1C1，A2C2，A3C3，…，AnCn垂直于直线B1Bn，垂足分别为C1，C2，C3，…，Cn，则A1C1∥A2C2∥…∥AnCn.

∵|AnAn＋1|＝|An＋1An＋2|，

∴|CnCn＋1|＝|Cn＋1Cn＋2|.

设|A1C1|＝a，|A2C2|＝b，|B1B2|＝c，

则|A3C3|＝2b－a，…，|AnCn|＝(n－1)b－(n－2)a(n≥3)，

∴Sn＝c[(n－1)b－(n－2)a]

＝c[(b－a)n＋(2a－b)]，

∴Sn＋1－Sn＝c[(b－a)(n＋1)＋(2a－b)－(b－a)n－(2a－b)]＝c(b－a)，∴数列{Sn}是等差数列．

13．(2018·南充模拟)已知数列{an}为等差数列，若＜－1，且它们的前n项和Sn有最大值，则使Sn＞0的n的最大值为________．

解析：∵＜－1，且Sn有最大值，

∴a10＞0，a11＜0，且a10＋a11＜0，

∴S19＝＝19·a10＞0，

S20＝＝10(a10＋a11)＜0，

故使得Sn＞0的n的最大值为19.

答案：19

14．(2018·山东菏泽二模)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，n∈N*，满足a1＋a2＝10，S5＝40.

(1)求数列{an}的通项公式；

(2)设bn＝|13－an|，求数列{bn}的前n项和Tn.

解：(1)设等差数列{an}的公差为d，

由题意知，a1＋a2＝2a1＋d＝10，

S5＝5a3＝40，即a3＝8，所以a1＋2d＝8，

所以所以an＝4＋(n－1)·2＝2n＋2.

(2)令cn＝13－an＝11－2n，

bn＝|cn|＝|11－2n|＝

设数列{cn}的前n项和为Qn，则Qn＝－n2＋10n.

当n≤5时，Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝Qn＝－n2＋10n.

当n≥6时，Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝c1＋c2＋…＋c5－(c6＋c7＋…＋cn)＝－Qn＋2Q5＝n2－10n＋2(－52＋10×5)＝n2－10n＋50.

∴Tn＝

15．(2018·惠州市二调)在公差不为0的等差数列{an}中，a1，a4，a8成等比数列．

(1)若数列{an}的前10项和为45，求数列{an}的通项公式；

(2)若bn＝，且数列{bn}的前n项和为Tn，若Tn＝－，求数列{an}的公差．

解：(1)设数列{an}的公差为d(d≠0)，

由a1，a4，a8成等比数列可得a＝a1·a8，即(a1＋3d)2＝a1·(a1＋7d)，解得a1＝9d.

由数列{an}的前10项和为45得10a1＋45d＝45，即90d＋45d＝45，所以d＝，a1＝3.

故数列{an}的通项公式为an＝3＋(n－1)×＝.

(2)因为bn＝＝，

所以数列{bn}的前n项和Tn＝＋＋…＋＝，

即Tn＝＝＝＝－，

因此＝1，解得d＝－1或d＝1.

故数列{an}的公差为－1或1.

C级　素养加强练

16．(2018·湘东五校联考)设等差数列{an}的前n项和为Sn，且a5＋a13＝34，S3＝9.

(1)求数列{an}的通项公式及前n项和公式；

(2)设数列{bn}的通项公式为bn＝，问：是否存在正整数t，使得b1，b2，bm(m≥3，m∈N)成等差数列？若存在，求出t和m的值；若不存在，请说明理由．

解：(1)设{an}的公差为d，由题意得

解得a1＝1，d＝2，

故an＝2n－1，Sn＝n2.

(2)由(1)知bn＝，

要使b1，b2，bm成等差数列，必须有2b2＝b1＋bm，

即2×＝＋，

移项得＝－＝，

整理得m＝3＋.

因为m，t为正整数，

所以t只能取2,3,5.

当t＝2时，m＝7；当t＝3时，m＝5；

当t＝5时，m＝4.

所以存在正整数t，使得b1，b2，bm成等差数列．