高考数学一轮复习检测：第5章第1节 数列的概念与简单表示法 含解析

限时规范训练(限时练·夯基练·提能练)

A级　基础夯实练

1．已知数列，，2，，…，则2是这个数列的(　　)

A．第6项　　　　　　　 B．第7项

C．第19项  D．第11项

解析：选B.数列，，，，…，据此可得数列的通项公式为：an＝，由＝2，解得，n＝7，即2是这个数列的第7项．

2．(2018·河南许昌二模)已知数列{an}满足a1＝1，an＋2－an＝6，则a11的值为(　　)

A．31  B．32

C．61  D．62

解析：选A.∵数列{an}满足a1＝1，an＋2－an＝6，

∴a3＝6＋1＝7，a5＝6＋7＝13，a7＝6＋13＝19，a9＝6＋19＝25，a11＝6＋25＝31.

3．(2018·株洲模拟)数列{an}的前n项和Sn＝2n2－3n(n∈N*)，若p－q＝5，则ap－aq＝(　　)

A．10  B．15

C．－5  D．20

解析：选D.当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n2－3n－[2(n－1)2－3(n－1)]＝4n－5，当n＝1时，a1＝S1＝－1，符合上式，所以an＝4n－5，所以ap－aq＝4(p－q)＝20.

4．(2018·银川模拟)已知数列{an}的通项公式是an＝n2＋kn＋2，若对所有的n∈N*，都有an＋1＞an成立，则实数k的取值范围是(　　)

A．(0，＋∞)  B．(－1，＋∞)

C．(－2，＋∞)  D．(－3，＋∞)

解析：选D.an＋1＞an，即(n＋1)2＋k(n＋1)＋2＞n2＋kn＋2，则k＞－(2n＋1)对所有的n∈N*都成立，

而当n＝1时，－(2n＋1)取得最大值－3，所以k＞－3.

5．(2018·长春模拟)设数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝1，数列{Sn＋nan}为常数列，则an＝(　　)

A.  B．

C.  D．

解析：选B.由题意知当n＝1时，Sn＋nan＝2，当n≥2时，Sn－1＋(n－1)an－1＝2，所以(n＋1)an＝(n－1)an－1，即＝，从而···…·＝··…·，则an＝，当n＝1时上式成立，所以an＝.

6．对于数列{an}，“an＋1＞|an|(n＝1,2，…)”是“{an}为递增数列”的(　　)

A．必要不充分条件  B．充分不必要条件

C．充要条件  D．既不充分也不必要条件

解析：选B.当an＋1＞|an|(n＝1,2，…)时，

∵|an|≥an，∴an＋1＞an，

∴{an}为递增数列．

当{an}为递增数列时，若该数列为－2,0,1，则a2＞|a1|不成立，即an＋1＞|an|(n＝1,2，…)不一定成立．

综上知，“an＋1＞|an|(n＝1,2，…)”是“{an}为递增数列”的充分不必要条件．

7．(2018·咸阳模拟)已知正项数列{an}中，＋＋…＋＝(n∈N*)，则数列{an}的通项公式为(　　)

A．an＝n  B．an＝n2

C．an＝  D．an＝

解析：选B.∵＋＋…＋＝，

∴＋＋…＋＝(n≥2)，

两式相减得＝－＝n(n≥2)，

∴an＝n2(n≥2)．

又当n＝1时，＝＝1，a1＝1，适合上式，

∴an＝n2，n∈N*.故选B.

8．数列{an}满足an＋1＝，a8＝2，则a1＝________.

解析：由an＋1＝，得an＝1－，

因为a8＝2，所以a7＝1－＝，

a6＝1－＝－1，a5＝1－＝2，…

所以数列{an}是以3为周期的数列，所以a1＝a7＝.

答案：

9．(2018·厦门调研)若数列{an}满足a1·a2·a3·…·an＝n2＋3n＋2，则数列{an}的通项公式为________．

解析：a1·a2·a3·…·an＝(n＋1)(n＋2)，

当n＝1时，a1＝6；

当n≥2时，

故当n≥2时，an＝，

所以an＝

答案：an＝

10．(2018·武汉调研)已知数列{an}的前n项和Sn＝n2＋1，数列{bn}中，bn＝，且其前n项和为Tn，设cn＝T2n＋1－Tn.

(1)求数列{bn}的通项公式；

(2)判断数列{cn}的增减性．

解：(1)a1＝2，an＝Sn－Sn－1＝2n－1(n≥2)．

∴bn＝

(2)∵cn＝bn＋1＋bn＋2＋…＋b2n＋1

＝＋＋…＋，

∴cn＋1－cn＝＋－

＝－＝＜0，

∴{cn}是递减数列．

B级　能力提升练

11．(2018·江西九江模拟)意大利著名数学家斐波那契在研究兔子的繁殖问题时，发现有这样的一列数：1,1,2,3,5,8，…，该数列的特点是：前两个数均为1，从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和．人们把这样的一列数组成的数列{an}称为斐波那契数列．则(a1a3＋a2a4＋a3a5＋a4a6＋a5a7＋a6a8)－(a＋a＋a＋a＋a＋a)＝(　　)

A．0  B．－1

C．1  D．2

解析：选A.a1a3－a＝1×2－1＝1，a2a4－a＝1×3－22＝－1，a3a5－a＝2×5－32＝1，a4a6－a＝3×8－52＝－1，…，则(a1a3＋a2a4＋a3a5＋a4a6＋a5a7＋a6a8)－(a＋a＋a＋a＋a＋a)＝0.

12．(2018·佛山测试)定义：在数列{an}中，若满足－＝d(n∈N*，d为常数)，称{an}为“等差比数列”．已知在“等差比数列”{an}中，a1＝a2＝1，a3＝3，则等于(　　)

A．4×2 0212－1  B．4×2 0202－1

C．4×2 0192－1  D．4×2 0192

解析：选C.由题意知是首项为1，公差为2的等差数列，则＝2n－1，所以an＝××…××a1＝(2n－3)×(2n－5)×…×1.

所以＝

＝4 039×4 037＝(4 038＋1)(4 038－1)

＝4 0382－1＝4×2 0192－1.

13．(2018·苏州调研)已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝an＋n＋1，则的最小值为________．

解析：由a1＝1，an＋1＝an＋n＋1得

a2－a1＝2，a3－a2＝3，……

an－an－1＝n.

以上等式相加得an＝a1＋2＋3＋…＋n＝，

∴＝＋＋≥2＋＝，

当且仅当n＝4时上式取到等号．

答案：

14．已知数列{an}的各项均为正数，记数列{an}的前n项和为Sn，数列{a}的前n项和为Tn，且3Tn＝S＋2Sn，n∈N*.

(1)求a1的值；

(2)求数列{an}的通项公式．

解：(1)由3T1＝S＋2S1，

得3a＝a＋2a1，即a－a1＝0.

因为a1＞0，所以a1＝1.

(2)因为3Tn＝S＋2Sn，①

所以3Tn＋1＝S＋2Sn＋1，②

②－①，得3a＝S－S＋2an＋1.

因为an＋1＞0，所以3an＋1＝Sn＋1＋Sn＋2，③

所以3an＋2＝Sn＋2＋Sn＋1＋2，④

④－③，得3an＋2－3an＋1＝an＋2＋an＋1，

即an＋2＝2an＋1，

所以当n≥2时，＝2.

又由3T2＝S＋2S2，

得3(1＋a)＝(1＋a2)2＋2(1＋a2)，即a－2a2＝0.

因为a2＞0，所以a2＝2，所以＝2，

所以对n∈N*，都有＝2成立，

所以数列{an}的通项公式为an＝2n－1，n∈N*.

C级　素养加强练

15．已知{an}是公差为d的等差数列，它的前n项和为Sn，S4＝2S2＋4，数列{bn}中，bn＝.

(1)求公差d的值；

(2)若a1＝－，求数列{bn}中的最大项和最小项的值；

(3)若对任意的n∈N*，都有bn≤b8成立，求a1的取值范围．

解：(1)∵S4＝2S2＋4，∴4a1＋d＝2(2a1＋d)＋4，解得d＝1.

(2)∵a1＝－，∴数列{an}的通项公式为an＝－＋(n－1)＝n－，

∴bn＝1＋＝1＋.

∵函数f(x)＝1＋在和上分别是单调减函数，

∴b3＜b2＜b1＜1，当n≥4时，1＜bn≤b4，

∴数列{bn}中的最大项是b4＝3，最小项是b3＝－1.

(3)由bn＝1＋，得bn＝1＋.

又函数f(x)＝1＋在(－∞，1－a1)和(1－a1，＋∞)上分别是单调减函数，且x＜1－a1时，y＜1；

当x＞1－a1时，y＞1.

∵对任意的n∈N*，都有bn≤b8，

∴7＜1－a1＜8，∴－7＜a1＜－6，

∴a1的取值范围是(－7，－6)．