高考数学一轮复习课时作业：51 直线与圆、圆与圆的位置关系 Word版含解析

课时作业51　直线与圆、圆与圆的位置关系

一、选择题

1．已知点(a，b)在圆C：x2＋y2＝r2(r≠0)的外部，则ax＋by＝r2与C的位置关系是(　D　)

A．相切   B．相离

C．内含    D．相交

解析：由已知a2＋b2>r2，且圆心到直线ax＋by＝r2的距离为d＝，则d<r，故直线ax＋by＝r2与C的位置关系是相交．

2．与圆C1：x2＋y2－6x＋4y＋12＝0，C2：x2＋y2－14x－2y＋14＝0都相切的直线有(　A　)

A．1条    B．2条

C．3条    D．4条

解析：两圆分别化为标准形式为C1：(x－3)2＋(y＋2)2＝1，C2：(x－7)2＋(y－1)2＝36，则两圆圆心距|C1C2|＝

＝5，等于两圆半径差，故两圆内切．所以它们只有一条公切线．故选A.

3．过点(3,1)作圆(x－1)2＋y2＝r2的切线有且只有一条，则该切线的方程为(　B　)

A．2x＋y－5＝0    B．2x＋y－7＝0

C．x－2y－5＝0    D．x－2y－7＝0

解析：由题意知点(3,1)在圆上，代入圆的方程可得r2＝5，圆的方程为(x－1)2＋y2＝5，

则过点(3,1)的切线方程为(x－1)·(3－1)＋y(1－0)＝5，即2x＋y－7＝0.故选B.

4．已知圆心(a，b)(a<0，b<0)在直线y＝2x＋1上的圆，其圆心到x轴的距离恰好等于圆的半径，在y轴上截得的弦长为2，则圆的方程为(　B　)

A．(x＋3)2＋(y＋5)2＝25

B．(x＋2)2＋(y＋3)2＝9

C.2＋2＝

D.2＋2＝

解析：设圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)，

则解得

所以圆的方程为(x＋2)2＋(y＋3)2＝9.故选B.

5．已知圆C1：x2＋y2＋4x－4y－3＝0，动点P在圆C2：x2＋y2－4x－12＝0上，则△PC1C2面积的最大值为(　B　)

A．2    B．4

C．8    D．20

解析：因为C1(－2,2)，r1＝，C2(2,0)，r2＝4，所以|C1C2|＝＝2.易知当PC2⊥C1C2时，△PC1C2的面积最大，其最大值Smax＝×2×4＝4.

6．已知点M在直线x＋y＋a＝0上，过点M引圆O：x2＋y2＝2的切线，若切线长的最小值为2，则实数a的值为(　D　)

A．±2    B．±3

C．±4    D．±2

解析：设圆心O到直线x＋y＋a＝0的距离为d，则d＝，又过点M引圆x2＋y2＝2的切线，切线长的最小值为2，则2＋(2)2＝，解得a＝±2，故选D.

7．(2019·洛阳二模)已知圆C的方程为x2＋y2＝1，直线l的方程为x＋y＝2，过圆C上任意一点P作与l夹角为45°的直线交l于点A，则|PA|的最小值为(　D　)

A.    B．1

C.－1    D．2－

解析：方法1：由题意可知，直线PA与坐标轴平行或重合，不妨设直线PA与y轴平行或重合，设P(cosα，sinα)，则A(cosα，2－cosα)，

∴|PA|＝|2－cosα－sinα|

＝|2－sin(α＋)|，

∴|PA|的最小值为2－，故选D.

方法2：由题意可知圆心(0,0)到直线x＋y＝2的距离d＝＝，∴圆C上一点到直线x＋y＝2的距离的最小值为－1.由题意可得|PA|min＝(－1)＝2－，故选D.

二、填空题

8．圆x2＋y2＝50与圆x2＋y2－12x－6y＋40＝0的公共弦的长度为2.

解析：两圆的公共弦长即两圆交点间的距离，将两圆方程联立，可求得弦所在直线为2x＋y－15＝0，原点到该直线的距离为d＝＝3，

则公共弦的长度为2＝2＝2.

9．已知圆C：(x＋1)2＋(y－1)2＝1与x轴切于A点，与y轴切于B点，设劣弧的中点为M，则过点M的圆C的切线方程是x－y＋2－＝0.

解析：因为圆C与两轴相切，且M是劣弧的中点，所以直线CM是第二、四象限的角平分线，所以斜率为－1，所以过M的切线的斜率为1.因为圆心到原点的距离为，所以|OM|＝－1，所以M，所以切线方程为y－1＋＝x－＋1，

整理得x－y＋2－＝0.

10．过点M(1,2)的直线l与圆C：(x－3)2＋(y－4)2＝25交于A，B两点，C为圆心，当∠ACB最小时，直线l的方程是x＋y－3＝0.

解析：由题意知，当∠ACB最小时，圆心C(3,4)到直线l的距离达到最大，此时直线l与直线CM垂直，又直线CM的斜率为＝1，所以直线l的斜率为＝－1，因此所求的直线l的方程是y－2＝－(x－1)，即x＋y－3＝0.

11．已知圆M：(x－1)2＋(y－1)2＝4，直线l：x＋y－6＝0，A为直线l上一点，若圆M上存在两点B，C，使得∠BAC＝60°，则点A的横坐标的取值范围为[1,5]．

解析：由题意知，过点A的两直线与圆M相切时，夹角最大，当∠BAC＝60°时，MA＝＝＝4.设A(x,6－x)，所以(x－1)2＋(6－x－1)2＝16，解得x＝1或x＝5，因此点A的横坐标的取值范围为[1,5]．

三、解答题

12．已知圆C经过点A(2，－1)，和直线x＋y＝1相切，且圆心在直线y＝－2x上．

(1)求圆C的方程；

(2)已知直线l经过原点，并且被圆C截得的弦长为2，求直线l的方程．

解：(1)设圆心的坐标为C(a，－2a)，

则＝.

化简，得a2－2a＋1＝0，解得a＝1.

∴C(1，－2)，半径r＝|AC|

＝＝.

∴圆C的方程为(x－1)2＋(y＋2)2＝2.

(2)①当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝0，此时直线l被圆C截得的弦长为2，满足条件．

②当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y＝kx，由题意得＝1，解得k＝－，

∴直线l的方程为y＝－x，

即3x＋4y＝0.

综上所述，直线l的方程为x＝0或3x＋4y＝0.

13．(2019·河南安阳一模)已知AB为圆C：x2＋y2－2y＝0的直径，点P为直线y＝x－1上任意一点，则|PA|2＋|PB|2的最小值为6.

解析：圆心C(0,1)，设∠PCA＝α，|PC|＝m，则|PA|2＝m2＋1－2mcosα，|PB|2＝m2＋1－2mcos(π－α)＝m2＋1＋2mcosα，∴|PA|2＋|PB|2＝2m2＋2.又C到直线y＝x－1的距离为d＝＝，即m的最小值为，∴|PA|2＋|PB|2的最小值为2×()2＋2＝6.

14．(2019·江苏南通模拟)如图，在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：x2＋y2－4x＝0及点A(－1,0)，B(1,2)．

(1)若直线l平行于AB，与圆C相交于M，N两点，|MN|＝|AB|，求直线l的方程；

(2)在圆C上是否存在点P，使得|PA|2＋|PB|2＝12？若存在，求点P的个数；若不存在，说明理由．

解：(1)圆C的标准方程为(x－2)2＋y2＝4，所以圆心C(2,0)，半径为2.

因为l∥AB，A(－1,0)，B(1,2)，所以直线l的斜率为＝1.设直线l的方程为x－y＋m＝0，则圆心C到直线l的距离为d＝＝.

因为|MN|＝|AB|＝＝2，

而|CM|2＝d2＋2，

所以4＝＋2，解得m＝0或m＝－4，

故直线l的方程为x－y＝0或x－y－4＝0.

(2)假设圆C上存在点P，

设P(x，y)，则(x－2)2＋y2＝4，

|PA|2＋|PB|2＝(x＋1)2＋(y－0)2＋(x－1)2＋(y－2)2＝12，化简得x2＋y2－2y－3＝0，即x2＋(y－1)2＝4.因为|2－2|<<2＋2，所以圆(x－2)2＋y2＝4与圆x2＋(y－1)2＝4相交，所以存在点P，点P的个数为2.

15．(2019·河南中原名校联考)已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，过点F且斜率为1的直线与抛物线C交于点A，B，以线段AB为直径的圆E上存在点P，Q，使得以PQ为直径的圆过点D(－2，t)，则实数t的取值范围为(　D　)

A．(－∞，－1]∪[1，＋∞)

B．[－1,3]

C．(－∞，2－]∪[2＋，＋∞)

D．[2－，2＋]

解析：由题意可得直线AB的方程为x＝y＋1，与y2＝4x联立消去x，可得y2－4y－4＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2＝4，y1y2＝－4，设E(xE，yE)，则yE＝＝2，xE＝yE＋1＝3，又|AB|＝x1＋x2＋2＝y1＋1＋y2＋1＋2＝8，所以圆E是以(3,2)为圆心，4为半径的圆，所以点D恒在圆E外．圆E上存在点P，Q，使得以PQ为直径的圆过点D(－2，t)即圆E上存在点P，Q，使得DP⊥DQ，设过D点的两直线分别切圆E于P′，Q′点，要满足题意，则∠P′DQ′≥，所以＝≥，整理得t2－4t－3≤0，解得2－≤t≤2＋，故实数t的取值范围为[2－，2＋]，故选D.

16．已知⊙H被直线x－y－1＝0，x＋y－3＝0分成面积相等的四部分，且截x轴所得线段的长为2.

(1)求⊙H的方程；

(2)若存在过点P(a,0)的直线与⊙H相交于M，N两点，且|PM|＝|MN|，求实数a的取值范围．

解：(1)设⊙H的方程为(x－m)2＋(y－n)2＝r2(r>0)，

因为⊙H被直线x－y－1＝0，x＋y－3＝0分成面积相等的四部分，所以圆心H(m，n)一定是两互相垂直的直线x－y－1＝0，x＋y－3＝0的交点，易得交点坐标为(2,1)，所以m＝2，n＝1.

又⊙H截x轴所得线段的长为2，所以r2＝12＋n2＝2.

所以⊙H的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝2.

(2)设N(x0，y0)，由题意易知点M是PN的中点，所以M.

因为M，N两点均在⊙H上，

所以(x0－2)2＋(y0－1)2＝2，①

2＋2＝2，

即(x0＋a－4)2＋(y0－2)2＝8，②

设⊙I：(x＋a－4)2＋(y－2)2＝8，

由①②知⊙H与⊙I：(x＋a－4)2＋(y－2)2＝8有公共点，

从而2－≤|HI|≤2＋，

即≤≤3，

整理可得2≤a2－4a＋5≤18，

解得2－≤a≤1或3≤a≤2＋，

所以实数a的取值范围是[2－，1]∪[3,2＋]．