高中数学高考课后限时集训51 直线与圆、圆与圆的位置关系 作业

直线与圆、圆与圆的位置关系

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一、选择题

1．(2019·银川模拟)直线kx－2y＋1＝0与圆x2＋(y－1)2＝1的位置关系是(　　)

A．相交　　B．相切　　C．相离　　D．不确定

A　[直线kx－2y＋1＝0恒过定点，且0＋＜1，

所以点在圆内，故直线和圆恒相交，故选A.]

2．若直线x＝5与圆x2＋y2－6x＋a＝0相切，则a＝(　　)

A．13   B．5  C．－5   D．－13

B　[圆的标准方程为(x－3)2＋y2＝9－a.其圆心坐标为(3,0)，半径r＝(a＜9)．由直线x＝5和圆x2＋y2－6x＋a＝0相切，则圆的半径r＝5－3＝2，即＝2.解得a＝5，故选B.]

3．与圆C1：x2＋y2－6x＋4y＋12＝0，C2：x2＋y2－14x－2y＋14＝0都相切的直线有(　　)

A．1条     B．2条  C．3条   D．4条

A　[两圆分别化为标准形式为C1：(x－3)2＋(y＋2)2＝1，C2：(x－7)2＋(y－1)2＝36，则两圆圆心距|C1C2|＝＝5，等于两圆半径差，故两圆内切．所以它们只有一条公切线．故选A.]

4．直线y＝kx＋3被圆(x－2)2＋(y－3)2＝4截得的弦长为2，则直线的倾斜角为(　　)

A.或   B．－或

C．－或   D.

A　[由题知，圆心(2,3)，半径为2，所以圆心到直线的距离为d＝＝1.即d＝＝1，所以k＝±，由k＝tan α，得α＝或.故选A.]

5．已知直线l：kx－y－3＝0与圆O：x2＋y2＝4交于A，B两点，且·＝2，则k＝(　　)

A．2     B．±  C．±2   D.

B　[圆O：x2＋y2＝4的圆心为(0,0)，半径为2，

设与的夹角为θ，则

2×2×cos θ＝2，

解得cos θ＝，θ＝，

∴圆心到直线l的距离为2cos＝，

可得＝，解得k＝±.]

二、填空题

6．(2018·全国卷Ⅰ)直线y＝x＋1与圆x2＋y2＋2y－3＝0交于A，B两点，则|AB|＝        .

2　[由题意知圆的标准方程为x2＋(y＋1)2＝4，所以圆心坐标为(0，－1)，半径为2，则圆心到直线y＝x＋1的距离d＝＝，所以|AB|＝2＝2.]

7．过点P(－3,1)，Q(a,0)的光线经x轴反射后与圆x2＋y2＝1相切，则a的值为        ．

－　[因为P(－3,1)关于x轴的对称点的坐标为P′(－3，－1)，

所以直线P′Q的方程为y＝(x－a)，即x－(3＋a)y－a＝0，圆心(0,0)到直线的距离d＝＝1，

所以a＝－.]

8．(2016·全国卷Ⅰ)设直线y＝x＋2a与圆C：x2＋y2－2ay－2＝0相交于A，B两点，若|AB|＝2，则圆C的面积为        ．

4π　[圆C：x2＋y2－2ay－2＝0化为标准方程是C：x2＋(y－a)2＝a2＋2，

所以圆心C(0，a)，半径r＝.|AB|＝2，点C到直线y＝x＋2a即x－y＋2a＝0的距离d＝，由勾股定理得2＋＝a2＋2，解得a2＝2，

所以r＝2，所以圆C的面积为π×22＝4π.]

三、解答题

9．(2019·广州模拟)设O为坐标原点，曲线x2＋y2＋2x－6y＋1＝0上有两点P，Q，满足关于直线x＋my＋4＝0对称，且·＝0.

(1)求m的值；

(2)求直线PQ的方程．

[解]　(1)x2＋y2＋2x－6y＋1＝0的标准方程为(x＋1)2＋(y－3)2＝9，所以曲线是以(－1,3)为圆心，3为半径的圆．

由已知得直线过圆心，所以－1＋3m＋4＝0，

解得m＝－1.

(2)设直线PQ：y＝－x＋b，

联立

得2x2＋2(4－b)x＋b2－6b＋1＝0.

设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，

则有x1＋x2＝b－4，x1x2＝.

又·＝0，所以x1x2＋y1y2＝0，

即2x1x2－b(x1＋x2)＋b2＝0，

将x1＋x2＝b－4，x1x2＝代入上式得b2－2b＋1＝0，

所以b＝1，

所以直线PQ的方程为y＝－x＋1.

10．已知圆C的方程为x2＋(y－4)2＝1，直线l的方程为2x－y＝0，点P在直线l上，过点P作圆C的切线PA，PB，切点为A，B.

(1)若∠APB＝60°，求点P的坐标；

(2)求证：经过A，P，C(其中点C为圆C的圆心)三点的圆必经过定点，并求出所有定点的坐标．

[解]　(1)由条件可得圆C的圆心坐标为(0,4)，|PC|＝2，

设P(a,2a)，则＝2，解得a＝2或a＝，

∴点P的坐标为(2,4)或.

(2)设P(b,2b)，过点A，P，C的圆即是以PC为直径的圆，其方程为x(x－b)＋(y－4)(y－2b)＝0，整理得x2＋y2－bx－4y－2by＋8b＝0，即(x2＋y2－4y)－b(x＋2y－8)＝0.

由得或

∴该圆必经过定点(0,4)和.

1．已知点M(a，b)在圆O：x2＋y2＝1外，则直线ax＋by＝1与圆O的位置关系是(　　)

A．相切　　　B．相交　　　C．相离　　　D．不确定

B　[由题意知a2＋b2＞1，圆心O(0,0)到直线ax＋by－1＝0的距离d＝＜1，因此直线和圆相交，故选B.]

2．(2018·全国卷Ⅲ)直线x＋y＋2＝0分别与x轴，y轴交于A，B两点，点P在圆(x－2)2＋y2＝2上，则△ABP面积的取值范围是(　　)

A．[2,6]   B．[4,8]

C．[，3]   D．[2，3]

A　[由题意知圆心的坐标为(2,0)，半径r＝，圆心到直线x＋y＋2＝0的距离d＝＝2，所以圆上的点到直线的最大距离是d＋r＝3，最小距离是d－r＝.易知A(－2,0)，B(0，－2)，所以|AB|＝2，所以2≤S△ABP≤6.故选A.]

3．(2019·合肥模拟)已知直线l：x－y－a＝0与圆C：(x－3)2＋(y＋)2＝4交于M，N，点P在圆C上，且∠MPN＝，则实数a＝        .

4或8　[由∠MPN＝可得∠MCN＝2∠MPN＝，

在△MCN中，CM＝CN＝2，∠CMN＝∠CNM＝.

则圆心C(3，－)到直线l的距离d＝2sin＝1，

即＝1，解得a＝4或a＝8.]

4．(2017·全国卷Ⅲ)在直角坐标系xOy中，曲线y＝x2＋mx－2与x轴交于A，B两点，点C的坐标为(0,1)．当m变化时，解答下列问题：

(1)能否出现AC⊥BC的情况？说明理由；

(2)证明过A，B，C三点的圆在y轴上截得的弦长为定值．

[解]　(1)不能出现AC⊥BC的情况．理由如下：

设A(x1,0)，B(x2,0)，则x1，x2满足x2＋mx－2＝0，

所以x1x2＝－2.

又点C的坐标为(0,1)，

故AC的斜率与BC的斜率之积为·＝－，

所以不能出现AC⊥BC的情况．

(2)证明：BC的中点坐标为，可得BC的中垂线方程为y－＝x2.

由(1)可得x1＋x2＝－m，

所以AB的中垂线方程为x＝－.

联立

又x＋mx2－2＝0，可得

所以过A，B，C三点的圆的圆心坐标为，半径r＝.

故圆在y轴上截得的弦长为2＝3，

即过A，B，C三点的圆在y轴上截得的弦长为定值．

1．过点P(1，－2)作圆C：(x－1)2＋y2＝1的两条切线，切点分别为A，B，则AB所在直线的方程为(　　)

A．y＝－   B．y＝－

C．y＝－   D．y＝－

B　[圆(x－1)2＋y2＝1的圆心为C(1,0)，半径为1，以|PC|＝＝2为直径的圆的方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝1，将两圆的方程相减得AB所在直线的方程为2y＋1＝0，即y＝－.故选B.]

2．如图所示，圆C：x2－(1＋a)x＋y2－ay＋a＝0.

(1)若圆C与x轴相切，求圆C的方程；

(2)已知a＞1，圆C与x轴相交于两点M，N(点M在点N的左侧)．过点M任作一条直线与圆O：x2＋y2＝4相交于两点A，B.问：是否存在实数a，使得∠ANM＝∠BNM？若存在，求出实数a的值；若不存在，请说明理由．

[解]　(1)联立

得x2－(1＋a)x＋a＝0，

由题意得Δ＝(1＋a)2－4a＝(a－1)2＝0，解得a＝1，

故所求圆C的方程为x2－2x＋y2－y＋1＝0.

(2)令y＝0，得x2－(1＋a)x＋a＝0，

即(x－1)(x－a)＝0，

所以M(1,0)，N(a,0)．

假设存在实数a，当直线AB与x轴不垂直时，设直线AB的方程为y＝k(x－1)，

代入x2＋y2＝4，得

(1＋k2)x2－2k2x＋k2－4＝0.

设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝，x1x2＝.

因为∠ANM＝∠BNM，所以＋＝0.

因为＋

＝，

而(x1－1)(x2－a)＋(x2－1)(x1－a)＝2x1x2－(a＋1)(x2＋x1)＋2a＝2·－(a＋1)·＋2a＝，

所以＝0，解得a＝4.

当直线AB与x轴垂直时，也成立．

故存在实数a＝4，使得∠ANM＝∠BNM.