高考数学一轮复习 精选习题：第三篇　三角函数、解三角形 第5节　函数y=Asin （ωx+φ）的图象及应用 Word版含解析

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第5节　函数y=Asin (ωx+)的图象及应用

【选题明细表】
知识点、方法
题号
三角函数图象及变换
1,4,5,7
三角函数的解析式及模型应用
2,3,8,13
综合应用
6,9,10,11,12,14
基础巩固(时间:30分钟)
1.(2018·莱芜期中)要得到函数f(x)=cos(2x-)的图象,只需将函数g(x)=sin 2x的图象(　A　)
(A)向左平移个单位长度
(B)向右平移个单位长度
(C)向左平移个单位长度
(D)向右平移个单位长度
解析:f(x)=cos(2x-)=sin(2x-+)=sin(2x+)=sin[2(x+)].故将函数g(x)=sin 2x的图象向左平移个单位长度即可得到f(x)的图象.故选A.
2.(2018·石嘴山三中)函数f(x)=Asin(ωx+)(其中A>0,ω>0,||
<)的一部分图象如图所示,将函数上的每一个点的纵坐标不变,横坐标伸长为原来的2倍,得到的图象表示的函数可以为(　A　)

(A)f(x)=sin(x+) (B)f(x)=sin(4x+)
(C)f(x)=sin(x+) (D)f(x)=sin(4x+)
解析:由题中图象知,A=1,=2×(-),
Asin(ω+)=0.
又||<,
故ω=2,=.
所以f(x)=sin（2x+）.
将图象上横坐标伸长为原来的2倍,得f(x)=sin（x+）.故选A.
3.(2018·武邑中学)已知函数f(x)=Acos(ωx+)+1(A>0,ω>0,0<<π)的最大值为3,y=f(x)的图象的相邻两条对称轴间的距离为2,与y轴的交点的纵坐标为1,则f()等于(　D　)
(A)1 (B)-1 (C) (D)0
解析:由题设条件得A=2,=2,
所以T=4=,所以ω=,
所以f(x)=2cos（x+）+1.
将(0,1)代入f(x)得1=2cos +1,
所以=kπ+,k∈Z.
因为0<<π,所以=.
所以f(x)=2cos(x+)+1,
则f()=2cos +1=0.故选D.
4.(2018·广东一模)已知曲线C:y=sin(2x-),则下列结论正确的是(　B　)
(A)把C向左平移个单位长度,得到的曲线关于原点对称
(B)把C向右平移个单位长度,得到的曲线关于y轴对称
(C)把C向左平移个单位长度,得到的曲线关于原点对称
(D)把C向右平移个单位长度,得到的曲线关于y轴对称
解析:对于A,将C向左平移个单位长度,得y=sin[2(x+)-]=cos 2x.其图象关于y轴对称,A错;
对于B,将C向右平移个单位长度,得y=sin[2(x-)-]=sin(2x-)
=-cos 2x.其图象关于y轴对称,B正确;
对于C,将C向左平移个单位长度,得y=sin[2(x+)-]=sin(2x+).其图象不关于原点对称,C错;
对于D,将C向右平移个单位长度,得y=sin[2(x-)-]=sin(2x-).其图象不关于y轴对称,D错.故选B.
5.若将函数y=2sin 2x的图象向左平移个单位长度,则平移后图象的对称轴为(　B　)
(A)x=-(k∈Z) (B)x=+(k∈Z)
(C)x=-(k∈Z) (D)x=+(k∈Z)
解析:将y=2sin 2x的图象向左平移个单位长度得y=2sin (2x+)的图象.令2x+=+kπ,k∈Z,得x=+,k∈Z.故选B.
6.(2018·武昌调研)函数f(x)=Acos (ωx+)的部分图象如图所示,给出以下结论:

①f(x)的最小正周期为2;
②f(x)的一条对称轴为
x=-;
③f(x)在(2k-,2k+),k∈Z上是减函数;
④f(x)的最大值为A.
则正确结论的个数为(　B　)
(A)1 (B)2 (C)3 (D)4
解析:由题图可知,函数f(x)的最小正周期T=2×(-)=2,故①正确;因为函数f(x)的图象过点(,0)和(,0),所以函数f(x)图象的对称轴为直线x=×(+)+=+k(k∈Z),故直线x=-不是函数f(x)图象的对称轴,故②不正确;由题图可知,当-+kT≤x≤++kT(k∈Z),即2k-≤x≤2k+(k∈Z)时,f(x)是减函数,故③正确;若A>0,则最大值是A,若A<0,则最大值是-A,故④不正确.故选B.
7.设函数f(x)=sin(2x+)(||<)的图象向左平移个单位长度后得到的图象对应的函数是一个奇函数,则=　　　　. 
解析:函数f(x)=sin(2x+)(||<)的图象向左平移个单位长度后得到函数y=sin[2(x+)+]=sin(2x++)的图象,由于平移后的函数为奇函数,
即+=kπ,k∈Z,
又因为||<,所以=.
答案:
8.已知函数f(x)=2sin(ωx+){x∈[-,],∈(0,)}的图象如图所示,若f(x1)=f(x2),且x1≠x2,则f(x1+x2)的值为　　　　. 

解析:法一　由f(x)=2sin(ωx+),x∈[-,]的图象,
得最小正周期T==(+)=π,所以ω=2,
所以f(x)=2sin(2x+),
将点(,-2)代入,得sin(+)=-1,
又∈(0,),解得=,
所以f(x)=2sin(2x+){x∈[-,]},
由f(x1)=f(x2)得sin(2x1+)=sin(2x2+){x1,x2∈[-,],x1≠x2},
因为x∈[-,],
所以0≤2x+≤,
所以2x1++2x2+=π,
所以x1+x2=,
所以f(x1+x2)=2sin =1.
法二　由f(x)=2sin(ωx+),x∈[-,]的图象,得最小正周期T==(+)=π,所以ω=2,
所以f(x)=2sin(2x+),将点(,-2)代入,
得sin(+)=-1,
又∈(0,),解得=,
所以f(x)=2sin(2x+){x∈[-,]},
因为f(x1)=f(x2)且x1≠x2,
所以x1+x2=,
所以f(x1+x2)=2sin =1.
答案:1
能力提升(时间:15分钟)
9.已知函数f(x)=2sin(ωx+)(ω>0,0<<),f(x1)=2,f(x2)=0,若|x1-x2|的最小值为,且f()=1,则f(x)的单调递增区间为(　B　)
(A)[-+2k,+2k],k∈Z
(B)[-+2k,+2k],k∈Z
(C)[-+2kπ,+2kπ],k∈Z
(D)[+2k,+2k],k∈Z
解析:由f(x1)=2,f(x2)=0,且|x1-x2|的最小值为可知,=,
所以T=2⇒ω=π,
又f()=1,则=±+2kπ,k∈Z,
因为0<<,所以=,
所以f(x)=2sin(πx+),
由2kπ-≤πx+≤2kπ+(k∈Z),
得f(x)的单调递增区间为[-+2k,+2k],k∈Z,故选B.
10.(2018·佳木斯模拟)函数y=sin πx的部分图象如图所示,O为坐标原点,P是图象的最高点,A,B分别是图象与x轴的两交点,则tan ∠APB等于(　D　)

(A)10 (B)8 (C) (D)
解析:由y=sin πx可知T=2,
所以AB=1,P(,1),A(1,0),B(2,0),过点P作PC⊥AB,则有C(,0),AC=,CB=,tan∠BPC=,tan∠APC=,

所以tan∠APB=tan (∠BPC-∠APC)==,故选D.
11.将函数y=sin(2x-)图象上的点P(,t)向左平移s(s>0)个单位长度得到点P′.若P′位于函数y=sin 2x的图象上,则(　A　)
(A)t=,s的最小值为
(B)t=,s的最小值为
(C)t=,s的最小值为
(D)t=,s的最小值为
解析:因为点P(,t)在函数y=sin(2x-)的图象上,
所以t=sin(2×-)=sin =.
所以P(,).
将点P向左平移s(s>0)个单位长度得P′(-s,).
因为P′在函数y=sin 2x的图象上,
所以sin[2(-s)]=,
即cos 2s=,
所以2s=2kπ+,k∈Z或2s=2kπ+π,k∈Z,
即s=kπ+,k∈Z或s=kπ+,k∈Z,
所以s的最小值为.
故选A.
12.(2018·六安一中)已知函数f(x)=sin(2x+),其中为实数,若f(x)≤|f()|对x∈R恒成立,且f()>f(π),则f(x)的单调递增区间是(　C　)
(A)[kπ-,kπ+](k∈Z)
(B)[kπ,kπ+](k∈Z)
(C)[kπ+,kπ+](k∈Z)
(D)[kπ-,kπ](k∈Z)
解析:若f(x)≤|f()|对x∈R恒成立,则f()为函数的最大值或最
小值.
则2×+=+kπ,k∈Z.
解得=+kπ,k∈Z.
又因为f()>f(π),
所以sin(π+)=-sin >sin(2π+)=sin ,
所以sin <0.
令k=-1,此时=-,满足条件sin <0.
令2x-∈[2kπ-,2kπ+],k∈Z.
解得x∈[kπ+,kπ+],k∈Z.
所以f(x)的单调递增区间为[kπ+,kπ+](k∈Z).故选C.
13.水车在古代是进行灌溉引水的工具,是人类的一项古老的发明,也是人类利用自然和改造自然的象征.如图是个半径为R的水车,一个水斗从点A(3,-3)出发,沿圆周按逆时针方向匀速旋转,且旋转一周用时60秒,经过t秒后,水斗旋转到P点,设P的坐标为(x,y),其纵坐标满足y=f(t)=Rsin(ωt+){t≥0,ω>0,||<},则下列叙述正确的序号是　　　　. 

①R=6,ω=,=-;
②当t∈[35,55]时,点P到x轴的距离的最大值为6;
③当t∈[10,25]时,函数y=f(t)单调递减;
④当t=20时,|PA|=6.
解析:由点A(3,-3)可得R=6,
由旋转一周用时60秒,可得ω=,
由∠xOA=,可得=-,所以①正确.
由①得y=f(t)=6sin(t-).
由t∈[35,55]可得t-∈[π,],
则当t-=,即t=50时,|y|取到最大值为6,所以②正确.
由t∈[10,25]可得t-∈[,],函数y=f(t)先增后减,所以③错误.
t=20时,点P(0,6),可得|PA|=6,所以④正确.
答案:①②④
14.设函数f(x)=sin(ωx-)+sin(ωx-),其中0<ω<3.已知f()=0.
(1)求ω;
(2)将函数y=f(x)的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变),再将得到的图象向左平移个单位长度,得到函数y=g(x)的图象,求g(x)在[-,]上的最小值.
解:(1)因为f(x)=sin(ωx-)+sin(ωx-),
所以f(x)=sin ωx-cos ωx-cos ωx
=sin ωx-cos ωx
=(sin ωx-cos ωx)
=sin(ωx-).
由题设知f()=0,
所以-=kπ,k∈Z,
所以ω=6k+2,k∈Z.
又0<ω<3,
所以ω=2.
(2)由(1)得f(x)=sin(2x-),
所以g(x)=sin(x+-)=sin(x-).
因为x∈[-,],
所以x-∈[-,].
当x-=-,
即x=-时,g(x)取得最小值-.