专题08 单调性应用：恒成立求参与解不等式-2023-2024学年度高一数学热点题型归纳与分阶培优练（人教A版必修第一册）

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专题8 单调性应用：恒成立求参与解不等式

目录
【题型一】利用单调性定义求参 2
【题型二】单调性与对称轴求参 3
【题型三】单调性与中心对称求参 3
【题型四】抽象函数单调性求参 4
【题型五】 分段函数单调性求参 5
【题型六】分式函数单调性求参 6
【题型七】绝对值函数单调性求参 6
【题型八】构造函数求参 7
【题型九】参变分离求参 8
【题型十】类周期函数求参 9
【题型十一】”两个函数“相等”恒成立（存在）求参 9
【题型十二】应用单调性比大小 10
培优第一阶——基础过关练 11
培优第二阶——能力提升练 12
培优第三阶——培优拔尖练 13



综述：
单调性
单调性的定义的等价形式：设x1，x2∈[a，b]，那么有：
①>0⇔f(x)是[a,b]上的 增函数 ； ②<0⇔f(x)是[a,b]上的__减函数__；
单调性经验型结论：（注意定义域是否有变化和限制）


【题型一】利用单调性定义求参
【典例分析】
已知函数在上有定义，且.若对任意给定的实数，均有恒成立，则不等式的解集是______.

【提分秘籍】
定义法判断单调性
基本规律
（1）取值：设是该区间内的任意两个值，且；
（2）作差变形：即作差，即作差，并通过因式分解、配方、有理化等方法，向有利于判断符号的方向变形；
（3）定号：确定差的符号；
（4）下结论：判断，根据定义作出结论.
即取值---作差----变形----定号----下结论.

【变式训练】
1.已知函数在上单调递减，则不等式的解集为（    ）
A． B． C． D．

2.设，已知函数是定义在上的减函数，且，则a的取值范围是（    ）
A． B． C． D．

3.设奇函数定义在上，在上为增函数，且，则不等式的解集为（    ）．
A． B． C． D．


【题型二】单调性与对称轴求参
【典例分析】
．已知定义在上的函数满足，且，，都有，．若对，恒成立，则的取值范围是（    ）
A． B．
C． D．

【提分秘籍】
基本规律
对称性的常用结论如下：
（1） 若函数满足,则的一条对称轴为
（2） 若函数满足,则的一条对称轴为
（3） 若函数满足,则的一条对称轴为，
(4)f(a－x)＝f(b＋x)⇔f(x)的图象关于直线x＝对称；


【变式训练】
1.已知函数满足（x∈R），且对任意的时，恒有成立，则当时，实数a的取值范围为（　　）
A． B．

2.已知函数为定义在上的函数，对任意的，均有成立，且在上单调递减，若，则不等式的解集为__________．

3.定义在上的函数满足，且在上单调递增，若当时恒成立，则实数的取值范围为________.

【题型三】单调性与中心对称求参
【典例分析】
已知函数是定义域为R的函数，，对任意，，均有，已知a，b为关于x的方程的两个解，则关于t的不等式的解集为（    ）
A． B． C． D．


【提分秘籍】
基本规律
中心对称结论如下：
（1）若函数满足，则的一个对称中心为
（2）若函数满足，则的一个对称中心为
（3）若函数满足，则的一个对称中心为.

【变式训练】
1..已知函数在上单调递增，若，且，则的解集为______.

2.已知函数的定义域为R，且，当时，，若，则实数m的取值范围为___________．

3.定义在上的减函数满足，且对任意实数都有，则不等式的解集为____________.
【题型四】抽象函数单调性求参
【典例分析】
已知函数的定义域，且对任意，恒有，当时，，若，则的取值范围是______________．

【提分秘籍】
基本规律
证明单调性，实质就是构造定义法，在时，构造证明出正负。常见的构造规律如下：
1.构造“和”
2.构造“积”
3. 利用构造,
4.利用奇偶性（主要是奇函数）构造
5.其他类型构造
【变式训练】
1.已知函数的定义域是，且满足，，如果对于，都有，不等式的解集为   （    ）
A． B． C． D．

2.．若定义在上的函数满足：，且时，有,当 时，的最大值、最小值分别为，则的值为（    ）
A．2018 B．2019 C．4036 D．4038

3.已知定义在（0，）上的函数满足：对任意正数a､b，都有，且当时，，则下列结论正确的是（    ）
A．是增函数，且 B．是增函数，且
C．是减函数，且 D．是减函数，且


【题型五】 分段函数单调性求参
【典例分析】
已知函数满足对任意，都有成立，则实数的取值范围是__________．


【提分秘籍】
基本规律
分段函数单调新要注意以下三点：
1.每一段都是单调函数。
2.两端的连接处也要具有“单调性”。
3.两端连接处要注意“开闭”。
【变式训练】
1.设函数若存在最小值，则的取值范围为（    ）
A． B．
C． D．

2.已知函数为上的严格增函数，则实数的取值范围是____________.

3..已知函数在R上递增，则m的取值范围是___________.


【题型六】分式函数单调性求参
【典例分析】
已知在上为增函数，则的取值范围______.


【提分秘籍】
基本规律
1.形如式，可以通过分离常数，化简为来画图
2.也可以用二级结论：关于点中心对称，图像可以再借助代特殊值判断增减性（也就是所谓的图像位于“一三象限”或者“二四象限”）
【变式训练】
1.已知函数在上单调递减，则的取值范围是_____________．

2.在区间为单调减函数的一个充分不必要条件是___________．

3.已知函数在区间上为增函数，则实数a的取值范围是________．


【题型七】绝对值函数单调性求参
【典例分析】

．已知函数在上单调递减，则实数a 的取值范围为____________.

【提分秘籍】
基本规律
绝对值函数求参，多以“零点比大小”来分类讨论。
特殊的绝对值函数可以通过图像翻折来求参
【变式训练】
1.已知函数，若对任意，不等式恒成立，则实数的取值范围是（    ）
A． B． C． D．

2.已知函数，若对任意实数，，总存在实数使不等式成立，则实数的取值范围是________．

3.已知函数，，为常数，若对于任意，，且，都有则实数的取值范围为________.

【题型八】构造函数求参
【典例分析】
已知是定义在上的函数，若对于任意，都有，则实数a的取值范围是（       ）
A． B． C． D．

【提分秘籍】
基本规律
常见的构造函数技巧，在于转化过程中，“分参”→“同构”，得新函数，提取单调性

【变式训练】
1.．定义在上的函数满足，且，，则不等式的解集为（    ）
A． B．
C． D．
2.．已知，均为非负实数，且，则的取值范围为（    ）
A． B． C． D．

3.定义在上的函数满足，且，则不等式的解集为_________．

【题型九】参变分离求参
【典例分析】
当时，关于的不等式恒成立，则实数a的取值范围是（    ）
A． B．
C． D．


【提分秘籍】
基本规律
参变分离解决恒成立（存在）求参：
①若在上恒成立，则；
②若在上恒成立，则；
③若在上有解，则；
④若在上有解，则；

【变式训练】
1.已知，，若对，，使得，则实数的取值范围是（    ）
A． B． C． D．

2.设，若函数在区间上的图象恒位于轴的上方，则实数的取值范围是（    ）
A． B． C． D．

3..设，若对恒成立，则的最大值为（    ）
A． B． C． D．
【题型十】类周期函数求参
【典例分析】
设函数的定义域为，满足，且当时，若对任意，都有，则的取值范围是__________．


【提分秘籍】
基本规律
形如f（tx）=mf（x）等“似周期函数”或者“类周期函数”，要注意以下几点辨析：
1.是从左往右放大，还是从右往左放大。
2.放大（缩小）时，要注意是否函数值有0。
3.放大（缩小）时，是否发生了上下平移。
4.“放大镜”函数，在寻找“切线”型临界值时，计算容易“卡壳”，授课时要着重讲清此处计算。

【变式训练】
1.已知函数的定义域为R，当时满足：①；②对任意有恒成立；③，则不等式的解集为_________.（用区间表示）

2.已知函数的定义域为R，满足，当时，，若对，有，则m的取值范围是______．



【题型十一】”两个函数“相等”恒成立（存在）求参
【典例分析】
已知函数，()，对，，使成立，则实数a的取值范围是（    ）
A． B．
C． D．

【提分秘籍】
基本规律
关键是将问题转化为对任意的，总存在，使得，
可得两个函数值域的包含关系，进而分别求两个函数的值域.

【变式训练】
1.已知函数，函数，对于任意，总存在，使得成立，则实数的取值范围是（    ）
A． B．
C． D．

2.已知函数，．若对，，使得，则实数的取值范围是（    ）．
A． B． C． D．

3.已知函数,,其中,若,,使得成立,则
A．1 B． C． D．
【题型十二】应用单调性比大小
【典例分析】
已知函数的定义域为R，满足，且当时，恒成立，设，，（其中），则a，b，c的大小关系为（    ）
A． B．
C． D．

【变式训练】
1.已知函数，若，则，，的大小关系是（    ）
A． B．
C． D．

2.定义在区间（－1，1）上的函数f（x）满足：，x∈（－1，0）时f（x）<0，若，，c=f（0），则三个实数a，b，c从小到大排列的顺序为___________.

3.设函数满足：（1），且在递增；（2）对整常数及任意的有，.令，，，则由小到大的顺序是__________.



分阶培优练

培优第一阶——基础过关练
1.函数在R上为减函数，且，则实数的取值范围是（    ）
A． B．
C． D．

2.若定义域为R的函数满足，且，，有，则的解集为（　　）
A． B．
C． D．

3.已知函数，函数，，对于任意，总存在，使得成立，则实数的取值范围是________．
4.已知定义域为的函数满足：，当时，，且，则不等式的解集为（    ）
A． B． C． D．

5.若函数满足对任意实数，都有成立，则实数的取值范围是（    ）
A．， B． C．， D．

6.已知函数在区间上是严格减函数，并且函数值不恒为负，则a的取值范围是______.

7.函数的递减区间是______．

8.定义在上的函数f(x)满足，且，则不等式的解集为（    ）
A． B． C． D．

9.已知函数f(x)＝x2＋ax＋4，若对任意的x∈(0,2]，f(x)≤6恒成立，则实数a的最大值为(　　)
A．－1 B．1 C．－2 D．2

10.函数满足是，且，当时，，则当时，的最小值为___________.

11.已知函数，，对，，使成立，则实数a的取值范围是___________.

12.函数在是增函数，若，则有  （    ）
A． B．


培优第二阶——能力提升练
1.已知函数f(x)的定义域为R，且对任意两个不相等的实数a，b都有，则不等式的解集为（       ）
A．(3，+∞) B． C．(-∞，2) D．(2，+∞)

2.已知函数在上单调递增，满足对任意，都有，若在区间上单调递减，则实数a的取值范围为（    ）
A． B． C． D．

3已知函数，若对于任意的、、，以、、为长度的线段都可以围成三角形，则实数的取值范围为______.

4.若定义在上的函数满足：对于任意有且时，有的最大值、最小值分别为则（  ）
A． B． C． D．

5.已知函数，若对任意，都有，则实数的取值范围是（    ）
A． B． C． D．

6.若函数在区间是严格增函数，则实数a的取值范围是____.

7.已知定义在上的函数，若对任意的，恒有，则实数的最大值为___________.


8.已知函数的定义域为，对任意，有，且，若对任意恒成立，则的取值范围为（    ）
A． B．
C． D．

9.已知存在，不等式成立，则实数a的取值范围是__________.

10.已知函数满足：(1)对任意，恒有成立；(2)当时，.若，则满足条件的最小的正实数是 　 　

11.已知函数，，若对任意的，总存在，使成立，则实数的取值范围是 ________.

12.已知函数f(x)的图象关于直线x＝1对称，当x2＞x1＞1时，恒成立，设(其中e＝2.71828…)，则a，b，c的大小关系为（       ）
A．a＞c＞b B．b＞c＞a C．b＞a＞c D．c＞b＞a
培优第三阶——培优拔尖练
1.设奇函数在上为单调递减函数，，则不等式的解集为（    ）
A． B．
C． D．

2.已知函数定义域为R，满足，且对任意，均有，则不等式解集为______．

3.已知，函数，，若对任意，总存在，使得，则a的取值范围为______.

4.已知函数定义域为且满足，且时，，若不等式f()≤f()＋f(a)恒成立，则a∈____________.

5.已知函数设，若关于x的不等式在R上恒成立，则a的取值范围是
A． B． C． D．

6.设函数，区间，集合，则使得的实数对有____________对

7.已知函数，若对任意的，不等式 恒成立，则实数t的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．


8.已知定义在上的函数，满足，且，则不等式的解集为（    ）
A． B． C． D．

9.已知函数.若存在，使得不等式成立，则实数的取值范围是（    ）
A． B． C． D．

10.设函数的定义域为R，满足，且当时，．若对任意，都有，则m的取值范围是______．

11.已知函数，函数的定义域为且满足．当时，．若对任意，都存在，使得，则实数的取值范围为（    ）
A． B．
C． D．

12.．已知，且在上是增函数，则，，的大小顺序是（    ）
A． B．
C． D．