2022-2023学年广东省东莞高级中学、东莞第六高级中学高一上学期期中联考数学试题（解析版）

2022-2023学年广东省东莞高级中学、东莞第六高级中学高一上学期期中联考数学试题

一、单选题

1．已知全集，集合，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】先根据并集的运算，求得，再结合补集的运算，即可求解.

【详解】由题意，全集，，，

可得，所以.

故选：C.

【点睛】本题主要考查了集合的混合运算，其中解答中熟记集合的交集、并集和补集的概念及运算是解答的关键，着重考查运算与求解能力.

2．命题“，”的否定是（       ）

A． B．，

C． D．，

【答案】C

【分析】“任意一个都符合”的否定为“存在一个不符合”

【详解】“任意一个都符合”的否定为“存在一个不符合”，

故命题“，”的否定是“”.

故选：C

3．“”是“方程有实根”的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】根据给定条件，利用充分条件、必要条件的定义直接判断作答.

【详解】方程有实根，则，解得，

而当时，方程有实根，

所以“”是“方程有实根”的充分不必要条件.

故选：A

4．下列各式正确的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】根据根式的性质，结合分数幂指数与根式的互化公式、指数幂的公式进行逐一判断即可.

【详解】A：因为，所以，因此本选项正确；

B：因为，所以本选项不正确；

C：因为，所以本选项不正确；

D：因为，所以本选项不正确，

故选：A

5．下列命题正确的是（    ）

A．若，，则

B．若，则

C．若，则

D．若，则

【答案】D

【分析】利用反例说明A、B、C，利用不等式的基本性质可证明D．

【详解】解：对于A：取，，，，满足，，但是，故A不正确；

对于B．取，，但是，故B不正确；

对于C．取，虽然，但是，故C不正确；

对于D．，必有，，因此D正确．

故选：D．

6．已知，则不等式的解集为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】先判断函数的奇偶性和单调性，利用奇偶性和单调性求出不等式的解集.

【详解】解：由题意，

在中，

∴为奇函数，

设对于任意的，且，

∵

∴，

∴，函数单调递增

∵

∴，

∴

解得：

∴不等式的解集为

故选：A.

7．某食品的保鲜时间（单位：小时）与储藏温度（单位：）满足函数关系（为自然对数的底数，，为常数）．若该食品在的保鲜时间是100小时，在的保鲜时间是60小时，则该食品在的保鲜时间是（    ）

A．20小时 B．24小时 C．32小时 D．36小时

【答案】D

【分析】根据题意，求得，再结合指数运算，即可求得结果.

【详解】由题可得：，故可得，

故当时，，

即该食品在的保鲜时间是小时.

故选：D.

8．已知函数为定义在上的奇函数，对于任意的，且，都有，，则的解集为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】根据给出的条件求出函数在上的单调性，根据奇偶性求出上的单调性以及零点，进而求出的解集.

【详解】解：由题意

在函数中，，

为奇函数，

∴，

∵对于任意的，且，都有，

∴函数在上单调递增，在上单调递增，

当时，若，则；若，则，

此时.

故选：D.

二、多选题

9．设全集U是实数集，则图中阴影部分的集合表示正确的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】AC

【分析】由Venn图结合集合的交集、并集、补集的运算，逐一判断即可.

【详解】设图中的封闭区域分别是，，，，如图所示：

全集由表示，集合由表示，集合由表示，图中阴影部分由表示；

对于A选项：由表示，集合由表示，所以表示图中阴影部分，故A选项正确；

对于B选项：由表示，集合由表示，所以表示图中封闭区域，故B选项错误；

对于C选项：由表示，集合由表示，所以表示图中阴影部分，故C选项正确；

对于D选项：由表示，集合由表示，所以表示图中封闭区域，故D选项错误；

故选：AC

10．已知，且，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】ACD

【分析】由已知结合基本不等式对各选项分别进行判断。

【详解】对于A，因为，且，由，得，当且仅当时，等号成立，所以A正确；

对于B，因为，且，所以，当且仅当时，等号成立，所以B错误；

对于C，因为，且，所以，当且仅当，即时，等号成立，所以C正确；

对于D，因为，且，所以，即，当且仅当时，等号成立，所以D正确．

故选：ACD．

11．已知幂函数的图象经过点，则（    ）

A．函数为奇函数 B．函数在定义域上为减函数

C．函数的值域为 D．当时，

【答案】AD

【分析】先求出，再根据幂函数图象性质解决即可.

【详解】设幂函数为

将代入解析式得，故，所以，

定义域为，

因为，故函数为奇函数，故A正确；

函数在上都单调递减，但在定义域上不是减函数，故B错误；

显然的值域为，故C错误；

当时，，

即满足，故D正确

故选：AD

12．函数的图象可能是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】ACD

【分析】根据取不同类型的值,结合函数的图象以及性质分类讨论即可.

【详解】时,,图象为A,故A正确;

时,,

当时,由对勾函数的性质可知,

函数在单调递减, 单调递增,

当时,函数为减函数,且,图象为D,故D正确;

时,,

当时,函数为增函数, 且,

当时,由对勾函数的性质可知,

在单调递增,单调递减, 且图象在第三象限,

所以函数在单调递减,单调递增,且图象在第二象限,

,图象为C,故C正确;

故选:ACD.

三、填空题

13．函数的定义域为___________.

【答案】且

【分析】根据根式和分式对自变量的限制，列出不等式组，求解即可

【详解】由题意，

且

故函数的定义域为且

故答案为：且

14．设集合，，若，则的范围是__________.

【答案】

【分析】首先根据题意得到，再根据包含关系求解即可.

【详解】因为，所以，

因为，，所以.

故答案为：

15．已知函数为定义在上的函数满足以下两个条件：

（1）对于任意的实数恒有；（2）在上单调递增.

请写出满足条件的一个的解析式，___________.

【答案】（答案不唯一）

【分析】根据题干要求，结合常见函数的单调性，直接写出结果即可.

【详解】根据题意，不唯一，不妨取，

因为，且是上的单调增函数，

故满足题意.

故答案为：.

16．因函数的图象形状象对勾，我们称形如“”的函数为“对勾函数”该函数具有性质：在上是减函数，在上是增函数，若对勾函数 对于任意的，都有，则实数的最大值为__________.

【答案】##0.75

【分析】由，移项后代入，构造新的关系式，对分类讨论，转化为恒成立问题即可解决.

【详解】因为，则，，即

当，因为，则，.

当即时，恒成立，所以.

综上,

所以实数的最大值为.

故答案为：

四、解答题

17．已知集合，，全集．

(1)若，求，；

(2)若，求实数的取值范围．

【答案】(1)，

(2)

【分析】（1）由得到集合，解不等式得到集合，从而得到集合，再由集合的交集运算即可求解；

（2）可知，再由空集的定义得到，即可解得的取值范围.

【详解】（1）将代入集合中的不等式得：，

∵，则，

∴，.

（2）∵，，

因为，所以不是空集，

又因为，所以，解得，

所以实数的取值范围为.

18．设函数．

(1)若关于的不等式的解集为，求实数的值；

(2)若对于一切实数，恒成立，求的取值范围.

【答案】(1)；

(2).

【分析】（1）根据一元二次不等式和一元二次方程之间的关系，求解即可；

（2）根据二次函数恒成立，结合对参数的分类讨论，即可求得结果.

【详解】（1）根据题意可得为方程的两根，

则，，解得.

（2）根据题意，对任意的恒成立，

当时，恒成立，满足题意；

当时，要满足题意，则，解得；

综上所述，.

19．已知是一次函数，且满足，

(1)求；

(2)已知为偶函数，当时，，求的解析式.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据题意利用待定系数法运算求解；

（2）根据偶函数的定义运算求解.

【详解】（1）设，

因为，则，

整理得，则，解得，

故.

（2）当时，，

令，则，，

∵为偶函数，则，

∴.

20．已知函数是定义域为的奇函数．

(1)求实数的值；

(2)判断并证明在上的单调性；

(3)已知当时，，求实数的取值范围．

【答案】(1)

(2)在上单调递增，证明见解析

(3)

【分析】（1）由定义域为的奇函数的性质:，即可解得；

（2）由（1）得函数，设，然后作差：，比较和的大小，结合函数单调性的定义得出结论；

（3）由分离参数得到，利用基本不等式即可得到的取值范围.

【详解】（1）因为函数是定义域为的奇函数，

则，解得，

经检验当时，函数为奇函数，满足题意，

故实数的值为.

（2）由（1）知，，.

任取，且，则，

所以，则，

即时，，

所以函数在上单调递增．

（3）由题可知，时，，

即

因为，所以，

当且仅当，即时等号成立，即；

所以实数的取值范围为.

21．某企业现有两项目A，B可以进行投资，经过市场调研预测项目收益率，投项目A的年收益与投资额的算术平方根成正比，其关系如图1；投项目B的年收益与投资额成正比，其关系如图2.

(1)分别写出两项目的年收益和的函数关系式；

(2)该企业有30万元资金，全部用于两个项目的投资，问：怎么分配资金能使投资获得最大年收益，其最大年收益是多少万元？

【答案】(1)（），（）

(2)项目A投资万元，项目B投资为万元时，收益最大为万元

【分析】（1）设（），（），由函数过点，函数过点，求出，，即可得到结果；

（2）设项目A投资万元，则项目B投资为万元，年收益为万元，表示出与的函数关系式，由二次函数的图像及性质即可求解.

【详解】（1）由题意设（），（），

∵由图1知，函数过点，即，∴（）；

又由图2知，函数过点，即，（）；

故（），（）.

（2）设项目A投资万元，则项目B投资为万元，年收益为万元，

由题意得：，

即（），

令，则，，

则，，

所以当，即万元时，最大年收益万元，

故项目A投资万元，项目B投资为万元时，收益最大为万元.

22．已知函数（）.

(1)当时，请画出的图像，并根据图像写出函数的单调区间；

(2)当时，的最小值为，求实数的取值范围.

【答案】(1)画图见解析，增区间为和，减区间为

(2)

【分析】(1)分别写出 和 时的解析式，分段作图即可；

(2)按照 和分类讨论.

【详解】（1）

当时，  ，

因为的对称轴为，当时，此时函数单调递增，

因为对称轴为，当时，此时函数单调递增，

所以增区间：和，减区间：；

（2），

①若，在和上为增函数，在上为减函数，且

当时， ；

②若，在和上为增函数，在上为减函数，且

则（i）当时，即，

所以当时， ，

因为，所以舍去；

（ii）当时，即当时，

因为

所以当时，，符合题意；

（iii）当时，即当时，

因为

所以当时，，不符合题意，

综上： .