2022-2023学年陕西省榆林市定边县八年级（下）期末数学试卷（含解析）

这是一份2022-2023学年陕西省榆林市定边县八年级（下）期末数学试卷（含解析），共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2022-2023学年陕西省榆林市定边县八年级（下）期末数学试卷
一、选择题（本大题共8小题，共24.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 下列分式中，最简分式是(    )
A. 4xx2 B. x+1x−1 C. 69x D. x−1x2−1
2. 下列图标中，是中心对称图形的是(    )
A. B. C. D.
3. 如图，OD平分∠AOB，DE⊥AO于点E，DE=5，F是射线OB上的任意一点，则DF的长度不可能是(    )
A. 4
B. 5
C. 5.5
D. 6
4. 若多项式x2−mx+12可分解为(x−3)(x+n)，则m−n的值为(    )
A. −11 B. 11 C. −3 D. 3
5. 如图，将△ABC绕点A逆时针旋转60°得到△ADE，若∠E=70°，且AD⊥BC于点F，则∠BAC的度数为(    )
A. 70°
B. 75°
C. 80°
D. 85°
6. 如图，爷爷家有一块等边三角形的空地ABC，已知点E，F分别是边AB，AC的中点，量得EF=6米，爷爷想把四边形BCFE用篱笆围成一圈种植蔬菜，则需要篱笆的长是(    )
A. 16米
B. 22米
C. 27米
D. 30米
7. 若关于x的不等式组a−x<13x+1<2恰有两个整数解，则a的取值范围是(    )
A. −1 8. ▱OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，∠AOC=45°，OA=OC=4，则点B的坐标为(    )

A. (2 2,4) B. (4+2 2,2 2) C. (2 2+4,4) D. (2 2,2 2+4)
二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）
9. 已知a”或“<”)
10. 如果一个多边形的内角和是外角和的2倍，则这个多边形是______ 边形．
11. 如图，将△ABC沿直线AB向右平移得到△BDE，连接CE，若△ABC的周长为9，四边形ADEC的周长为15，则平移的距离为______ ．


12. 若关于x的分式方程xx−1=mx+1的解为x=2，则m= ______ ．
13. 在△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC=6，以△ABC的边AC为一边作等腰△ACD，它的一个顶点D在△ABC的边AB上，那么这个等腰三角形的腰长为______ ．
三、计算题（本大题共1小题，共5.0分）
14. 解方程：x−2x−3=2−13−x
四、解答题（本大题共12小题，共76.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
15. (本小题5.0分)
因式分解：2x2y−8y．
16. (本小题5.0分)
解不等式1−x3−x<3−x+24.并把解集表示在数轴上．
17. (本小题5.0分)
先化简，再求值：(1−1x−2)÷x2−6x+93x−6，其中x= 3+3．
18. (本小题5.0分)
△ABC在网格图中的位置如图所示，三个顶点都在格点上.(1)画出将△ABC向右平移6个单位长度得到的△A1B1C1．
(2)画出△ABC关于原点O的中心对称图形△A2B2C2．
(3)画出△ABC绕原点O逆时针旋转90°后得到的△A3B3C3．

19. (本小题5.0分)
如图，在四边形ABCD中，∠B=90°，连接AC，且AC=AD，点E在边BC上，连接DE，过点A作AF⊥DE，垂足为F，AB=AF.求证：∠DAC=∠FAB．

20. (本小题5.0分)
中国是最早发现和利用茶树的国家，被称为茶的祖国.某茶店用9600元购进A种茶叶若干盒，用6720元购进B种茶叶若干盒，所购A种茶叶比B种茶叶多10盒.已知B种茶叶每盒进价是A种茶叶每盒进价的1.2倍.分别求出A，B两种茶叶的每盒进价.(列分式方程解)
21. (本小题6.0分)
19世纪的法国数学家苏菲⋅热门给出了一种分解因式x4+4的方法：他抓住了该式只有两项，而且属于平方和(x2)2+22的形式，要使用公式就必须添一项4x2，随即将此项4x2减去.即可得x4+4=x4+4x2+4−4x2=(x2+2)2−4x2=(x2+2)2−(2x)2=(x2+2x+2)(x2−2x+2).人们为了纪念苏菲⋅热门给出这一解法，就把它叫做“热门定理”．
根据以上方法，把下列各式因式分解：
(1)4x4+y4；
(2)a2−4am−n2+4mn．
22. (本小题7.0分)
某村在政府的扶持下建起了鲜花大棚基地，准备种植百合、玫瑰这两种鲜花.经测算，种植这两种鲜花每亩的投入与获利情况如表：

每亩需投入(万元)
每亩可获利(万元)
玫瑰
4
1.2
百合
2
0.8
设种植百合x亩，总获利y万元．
(1)若投入200万元全部用来种植这两种鲜花，求y关于x的函数表达式；
(2)在(1)的条件下，若要求种植百合的面积不能多于种植玫瑰的面积的2倍，请你设计出总获利最大的种植方案，并求出最大总获利．
23. (本小题7.0分)
如图，在△ABC中，AD⊥BC，EF垂直平分AC，交AC于点F，交BC于点E，点D是BE的中点．
(1)若∠C=40°，求∠BAE的度数；
(2)若CD=5cm，CF=4cm，求△ABC的周长．

24. (本小题8.0分)
如图，在等腰△ABC中，BA=BC，∠B=36°，点D在边BC上，且DB=DA=AC.点M为线段BC上的点，过点M作直线MH⊥AD于点H，且直线MH分别交直线AB，AC于点N，E．
(1)试判断△ANE的形状，并说明理由；
(2)试写出线段BN，CE，CD之间的数量关系，并说明理由．

25. (本小题8.0分)
如图，在四边形ABCD中，点E，F在BD上，且AE//FC，AB//CD，BE=DF．
(1)求证：四边形ABCD是平行四边形；
(2)若BH⊥CD，∠DBC=90°，AB=5，BC=3，求CH的长．

26. (本小题10.0分)
如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，BC=4.将Rt△ABC绕点A逆时针旋转30°，得到Rt△AB′C′，延长BC交AC′的延长线于点D，交B′C′于点E，连接BB′，B′D．
(1)试说明△ABD是等边三角形；
(2)求DE的长．


答案和解析

1.【答案】B 
【解析】解：A、4xx2=4x，不是最简分式，不符合题意；
B、x+1x−1，是最简分式，符合题意；
C、69x=23x，不是最简分式，不符合题意；
D、x−1x2−1=x−1(x+1)(x−1)=1x+1，不是最简分式，不符合题意；
故选：B．
根据分式的约分法则、最简分式的概念解答即可．
本题考查的是最简分式的概念，一个分式的分子与分母没有公因式时，叫最简分式．

2.【答案】C 
【解析】解：选项A、B、D的图形不都能找到一个点，使图形绕某一点旋转180度后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形．
选项C的图形能找到一个点，使图形绕某一点旋转180度后与原来的图形重合，所以是中心对称图形．
故选：C．
根据中心对称图形的概念判断．把一个图形绕某一点旋转180度，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．
本题考查的是中心对称图形，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合．

3.【答案】A 
【解析】解：当DF⊥OB时，DF的值最小，
∵OD平分∠AOB，DF⊥OB，DE⊥OA，
∴DF=DE=5，
∴DF的最小值为5，
∴DF的长度不可能是4，
故选：A．
先根据垂线段最短可得当DF⊥OB时，DF的值最小，然后再根据角平分线的性质可得DF=DE=5，从而可得DF的最小值为5，即可解答．
本题考查了角平分线的性质，垂线段最短，熟练掌握角平分线的性质，以及垂线段最短是解题的关键．

4.【答案】B 
【解析】解：∵多项式x2−mx+12可分解为(x−3)(x+n)，
∴−3n=12，−m=−3+n，
解得：n=−4，m=7，
则m−n=7−(−4)=7+4=11，
故选：B．
根据十字相乘法因式分解的步骤可得m，n的值，然后代入m−n中计算即可．
本题考查因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．

5.【答案】C 
【解析】解：∵绕点A逆时针旋转60°，
∴∠BAD=60°，∠C=∠E=70°，
∵AD⊥BC于点F，
∴∠FAC=90°−70°=20°，
∴∠BAC=60°+20°=80°，
故选：C．
利用旋转的性质解题即可．
本题主要考查旋转的性质，涉及到互余的关系，能熟练运用旋转的性质是解题关键．

6.【答案】D 
【解析】解：∵点E，F分别是边AB，AC的中点，EF=6米，
∴EF是△ABC的中位线，
∴BC=2EF=12米，
∵△ABC为等边三角形，
∴AB=AC=BC=12米，
∵点E，F分别是边AB，AC的中点，
∴BE=12AB=6米，FC=12AC=6米，
∴四边形BCFE的周长为：6+6+6+12=30(米)，
故选：D．
根据三角形中位线定理求出BC，再根据等边三角形的性质计算即可．
本题考查的是三角形中位线定理、等边三角形的性质，熟记三角形中位线等于第三边的一半是解题的关键．

7.【答案】D 
【解析】解：a−x<1①3x+1<2②，
解不等式①，得x>a−1，
解不等式②，得x<13，
所以不等式组的解集是a−1 ∵关于x的不等式组a−x<13x+1<2恰有两个整数解(是−1和0)，
∴−2≤a−1<−1，
解得：−1≤a<0，
故选：D．
先根据不等式的性质求出不等式的解集，再根据求不等式组解集的规律求出不等式组的解集，最后根据不等式组的解集和已知条件得出−2≤a−1<−1，再求出
答案即可．
本题考查了一元一次不等式组的整数解，能根据不等式组的解集得出−2≤a−1<−1是解此题的关键．

8.【答案】B 
【解析】解：过B作BF⊥OA，交x轴于点F，

∵四边形OABC是平行四边形，OA=OC=4，
∴AB//OC，AB=OC=4，
∴∠BAF=∠COA=45°，
∵BF⊥OA，
∴∠BFA=90°，
∴△ABF是等腰直角三角形，
∴AF=BF= 22AB=2 2，
∴OF=OA+AF=2 2+4，
∴点B的坐标是(2 2+4,2 2)，
故选：B．
过B作BF⊥OA，先利用平行四边形的性质求出AB的长度，再求出AF、BF的长度，然后求得OF的长，即可得出结论．
本题考查了平行四边形的性质、坐标与图形性质、等腰直角三角形的判定与性质等知识，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．

9.【答案】> 
【解析】解：∵a ∴−a>−b，
∴−a−2>−b−2，
故答案为：>．
根据不等式的性质进行计算，即可解答．
本题考查了不等式的性质，熟练掌握不等式的性质是解题的关键．

10.【答案】六 
【解析】解：设这个多边形为n边形，由题意得，
(n−2)×180°=360°×2，
解得n=6，
即这个多边形为六边形，
故答案为：六．
根据多边形的内角和与外角和的计算方法列方程求解即可．
本题考查多边形的内角与外角，掌握多边形内角和、外角和的计算方法是正确解答的前提．

11.【答案】3 
【解析】解：由平移变换的性质可知AB=BD=EC，BC=DE，
∵AC+AD+DE+EC=15，AB+BC+AC=9，
∴2BD=15−9，
∴BD=3．
∴平移的距离为3．
故答案为：3．
利用平移变换的性质求出BD，可得结论．
本题考查平移的性质，解题的关键是掌握平移变换的性质，属于中考常考题型．

12.【答案】6 
【解析】解：关于x的分式方程xx−1=mx+1的解为x=2，
把x=2代入原方程为2=m3，
∴m=6，
故答案为：6．
根据方程解的定义代入原方程求解即可．
本题考查分式方程的解，理解方程解的意义及分式方程的解法是解决本题的关键．

13.【答案】5或8 
【解析】解：如图，
′
在Rt△ACB中，∠ACB=90°，AC=8，BC=6，
∴AB= AC2+BC2=10，
当DA=DC时，作DT⊥AC于T，
∵DT//BC，AT=TC，
∴AD=DB=5，
∴等腰三角形ACD的腰长为5，
当AC=AD′=4时，等腰三角形ACD的腰长为8，
故答案为：5或8．
分两种情形：AC为等腰三角形的腰或底边分别求解即可．
本题考查等腰三角形的性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．

14.【答案】解：方程两边同乘(x−3)，得x−2=2(x−3)+1
x−2=2x−6+1
解得，x=3，
当x=3时，x−3=0，
所以x=3不是原方程的解，
所以原方程无解． 
【解析】确定最简公分母，①去分母；②求出整式方程的解；③检验；④得出结论．
本题考查的是分式方程的解法，解分式方程的步骤：①去分母；②求出整式方程的解；③检验；④得出结论．

15.【答案】解：原式=2y(x2−4)=2y(x−2)(x+2)． 
【解析】先提取公因式2y，在应用平方差公式进行因式分解即可得出答案．
本题主要考查了提公因式法与公式法的综合应用，熟练掌握提公因式法与公式法的综合应用进行因式分解是解决本题的关键．

16.【答案】解：去分母，得：4(1−x)−12x<36−3(x+2)，
去括号，得：4−4x−12x<36−3x−6，
移项，得：−4x−12x+3x<36−6−4，
合并同类项，得：−13x<26，
系数化为，得：x>−2．
将不等式的解集表示在数轴上如下：
． 
【解析】根据解一元一次不等式基本步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1可得；先求出不等式的解集，再根据不等式的解集在数轴_上表示方法画出图示即可．
本题考查解一元一次不等式和在数轴上表示不等式的解集．不等式的解集在数轴上表示的方法：“>”空心圆点向右画折线，“≥”实心圆点向右画折线，“<”空心圆点向左画折线，“≤”实心圆点向左画折线．正确解出不等式并在数轴上正确表示出不等式的解集是解题的关键．

17.【答案】解：原式= x−2−1x−2⋅3(x−2)(x−3)2
=x−3x−2⋅3(x−2)(x−3)2
=3x−3，
把x= 3+3代入得：
原式=3 3+3−3
=3 3
= 3． 
【解析】先通分，把除化为乘，分子、分母分解因式，再约分，化简后将x= 3+3代入即可．
本题考查分式化简求值，解题的关键是掌握分式的通分、约分，把分式化简．

18.【答案】解：(1)如图，△A1B1C1即为所求；
(2)如图，△A2B2C2即为所求；
(3)如图，△A3B3C3即为所求．
 
【解析】(1)利用平移变换的性质分别作出A，B，C的对应点A1，B1，C1即可；
(2)利用中心对称变换的性质分别作出A，B，C的对应点A2，B2，C2即可；
(3)利用旋转变换的性质分别作出A，B，C的对应点A3，B3，C3即可．
本题考查作图−旋转变换，平移变换等知识，解题的关键是掌握旋转变换，平移变换的性质，属于中考常考题型．

19.【答案】证明：∵AF⊥DE，
∴∠DFA=90°=∠B，
在Rt△ADF和Rt△CAB中，
AD=ACAF=AB，
∴Rt△ADF≌Rt△CAB(HL)，
∴∠DAF=∠CAB，
∴∠DAC=∠FAB． 
【解析】由“HL”可证Rt△ADF≌Rt△CAB，可得∠DAF=∠CAB，即可求解．
本题考查了全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．

20.【答案】解：设A种茶叶每盒的进价是x元，则B种茶叶每盒的进价是1.2x元，
根据题意得：9600x−67201.2x=10，
解得：x=400，
经检验，x=400是所列方程的解，且符合题意，
∴1.2x=1.2×400=480．
答：A种茶叶每盒的进价是400元，B种茶叶每盒的进价是480元． 
【解析】设A种茶叶每盒的进价是x元，则B种茶叶每盒的进价是1.2x元，利用购进数量=进货总价÷进货单价，结合用9600元购进A种茶叶比用6720元购进B种茶叶多10盒，可列出关于x的分式方程，解之经检验后可得出A种茶叶每盒的进价，再将其代入1.2x中，可求出B种茶叶每盒的进价．
本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．

21.【答案】解：(1)4x4+y4=4x4+y4+4x2y2−4x2y2=(2x2+y2)2−4x2y2=(2x2+y2−2xy)(2x2+y2+2xy)，
(2)a2−4am−n2+4mn=(a2−n2)−(4am−4mn)=(a+n)(a−n)−4m(a−n)=(a−n)(a+n−4m)． 
【解析】对于(1)，为配成完全平方公式，添加一项4x2y2，再减去4x2y2，再利用平方差公式分解因式；
对于(2)，先把4项分为两组，(a2−n2)−(4am−4mn)，组内分别因式分解，然后再提出公因式(a−n)即可．
本题考查灵活应用因式分解的知识，对于(1)解题的关键是知道加什么可以凑成完全平方公式，对于(2)解题的关键是合理的分组．

22.【答案】解：(1)根据题意，种植百合x亩需投入2x万元，
∴种植玫瑰200−2x4亩，
∴y=200−2x4×1.2+0.8x=0.2x+60；
∴y关于x的函数表达式为y=0.2x+60；
(2)∵种植百合的面积不能多于种植玫瑰的面积的2倍，
∴x≤2×200−2x4，
解得x≤50，
在y=0.2x+60中，0.2>0，
∴y随x的增大而增大，
∴当x=50时，y取最大值0.2×50+60=70(万元)，
此时200−2x4=25，
∴种植百合50亩，种植玫瑰25亩，总获利最大，最大总获利是70万元． 
【解析】(1)表示出种植玫瑰200−2x4亩，即可列出y与x的函数关系式；
(2)根据种植百合的面积不能多于种植玫瑰的面积的2倍，得x≤2×200−2x4，解得x≤50，再由一次函数性质可得答案．
本题考查一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，表示出种植玫瑰200−2x4亩和列出函数关系式．

23.【答案】解：(1)∵EF垂直平分AC，
∴EA=EC，
∴∠EAC=∠C=40°，
∴∠AEB=∠EAC+∠C=80°，
∵点D是BE的中点，AD⊥BC，
∴AD垂直平分BE，
∴AE=AB，
∴∠ABE=∠AEB=80°，
∴∠BAE=180°−∠ABE−∠AEB=20°；
(2)∵EF垂直平分AC，AD垂直平分BE，
∴AC=2CF=2×3=6cm，CE=AE=AB，DB=DE，
∴AC+CB+AB
=AC+CD+DB+AB
=AC+CD+(DE+CE)
=AC+2CD
=8+2×5
=18(cm)，
即△ABC的周长是18cm． 
【解析】(1)利用垂直平分线的性质可得EA=EC，进而可得∠EAC=∠C=40°，利用三角形外角的性质可得∠AEB=∠EAC+∠C=80°，再证AD垂直平分BE，推出∠ABE=∠AEB=80°，最后利用三角形内角和定理即可求解；
(2)利用垂直平分线的性质可得AC=2CF，CE=AE=AB，DB=DE，通过等量代换可得AC+CB+AB=AC+2CD．
本题考查线段垂直平分线的性质，三角形内角和定理，三角形外角的性质，等腰三角形的性质等，解题的关键是掌握线段垂直平分线的性质，即线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等．

24.【答案】解：(1)△ANE是等腰三角形，理由如下：
∵BA=BC，∠B=36°，
∴∠BCA=∠BAC=72°，
在△ADB中，DB=DA，∠B=36°，
∴∠BAD=∠B=36°，
在△ACD中，AD=AC，
∴∠ACD=∠ADC=72°，
∴∠CAD=36°，
∴∠BAD=∠CAD=36°，
∵MH⊥AD，
∴∠AHN=∠AHE=90°，
在△ANH和△AEH中，
∠BAD=∠CAD AH=AH ∠AHN=∠AHE ，
∴△ANH≌△AEH(ASA)，
∴∠ANE=∠AEN，
即△ANE是等腰三角形；
(2)结论：CD=BN+CE．
理由：由(1)知，∠ANE=∠AEN，
∴AN=AE，
又∵BA=BC，DB=AC，
∴BN=AB−AN=BC−AE，CE=AE−AC=AE−BD，
∴BN+CE=BC−BD=CD，
即CD=BN+CE． 
【解析】(1)由(1)可知∠BAD=∠CAD=36°，∠AHN=∠AHE=90°，利用ASA证明△ANH≌△AEH，根据全等三角形的性质可求得∠ANH=∠AEH，可得AN=AE；
(2)由(1)知AN=AE，借助已知利用线段的和差可得CD=BN+CE．
此题考查了全等三角形的判定与性质，利用ASA证明△ANH≌△AEH是解题的关键．

25.【答案】(1)证明：∵AE//FC，
∴∠AEF=∠CFE，
∴∠AEB=∠CFD，
∵AB//CD，
∴∠ABE=∠CDF，
在△ABE和△CDF中，
∠AEB=∠CFDBE=DF∠ABE=∠CDF，
∴△ABE≌△CDF(ASA)，
∴AB=CD，
又AB//CD，
∴四边形ABCD是平行四边形；
(2)解：∵四边形ABCD是平行四边形，AB=5，
∴CD=AB=5，
∵∠DBC=90°，BC=3，
∴BD= CD2−BC2=4，
∵BH⊥CD，
∴S△BCD=12BD⋅BC=12CD⋅BH，
∴BH=BD⋅BCCD=4×35=125，
在Rt△BHC中，由勾股定理得：CH= BC2−BH2=95． 
【解析】(1)根据平行线的性质得出∠AEF=∠CFE，进而利用ASA证明△ABE与△CDF全等，进而利用全等三角形的性质和平行四边形的判定解答即可；
(2)由题意易得CD=AB=5，根据勾股定理得出BD=4，进而利用三角形面积公式及勾股定理解答即可．
本题主要考查平行四边形的判定与性质及勾股定理，利用全等三角形的性质和平行四边形的判定是解题的关键．

26.【答案】解：(1)∵∠ACB=90°，∠BAC=30°，
∴∠ABC=90°−∠BAC=60°，
由旋转得：∠BAB′=∠CAC′=30°，
∴∠BAD=∠BAB′+∠CAC′=60°，
∴∠ADB=180°−∠BAD−∠ABC=60°，
∴∠BAD=∠ABD=∠ADB=60°，
∴△ABD是等边三角形；
(2)∵∠ACB=90°，∠BAC=30°，BC=4，
∴AB=2BC=8，AC= 3BC=4 3，
∵△ABD是等边三角形，
∴AD=AB=8，
由旋转得：∠ACB=∠AC′B′=90°，AC=AC′=4 3，
∴∠DC′B′=180°−∠AC′B′=90°，DC′=AD−AC′=8−4 3，
∵∠ADB=60°，
∴∠DEC′=90°−∠ADB=30°，
∴DE=2DC′=16−8 3，
∴DE的长为16−8 3． 
【解析】(1)先在Rt△ABC中，根据直角三角形的两个锐角互余可得∠ABC=60°，再根据旋转的性质可得：∠BAB′=∠CAC′=30°，从而可得∠BAD=60°，然后利用三角形内角和定理可得∠ADB=60°，从而利用等边三角形的判定，即可解答；
(2)先在Rt△ABC中，利用含30度角的直角三角形性质可得AB=8，AC=4 3，然后利用等边三角形的性质可得AD=AB=8，再根据旋转的性质可得：∠ACB=∠AC′B′=90°，AC=AC′=4 3，从而可得∠DC′B′=90°，DC′=8−4 3，进而可得∠DEC′=30°，最后在Rt△DEC′中，利用含30度角的直角三角形性质进行计算，即可解答．
本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定与性质，含30度角的直角三角形，熟练掌握旋转的性质，以及等边三角形的判定与性质是解题的关键．