2023年湖南省长沙市中考数学模拟试卷（一）（含解析）

2023年湖南省长沙市中考数学模拟试卷（一）

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  的倒数是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  下列立体图形中，三视图都一样的是(    )

A.  B.  C.  D.

3.  为起草党的二十大报告，党中央开展了深入的调查研究，有关部门组织了党的二十大相关工作网络征求意见活动，收到留言约条数据用科学记数法表示为(    )

A.  B.  C.  D.

4.  下列运算正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

5.  在平面直角坐标系中，点在(    )

A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限

6.  某班六名同学体能测试成绩分如下：，，，，，，对这组数据表述错误的是(    )

A. 众数是 B. 方差是 C. 平均数是 D. 中位数是

7.  我国明代数学读本算法统宗中有一道题，其题意为：客人一起分银子，若每人两，还剩两；若每人两，还差两问客人有几人？设客人有人，则可列方程为(    )

A.  B.  C.  D.

8.  如图，把一个直角三角尺的直角顶点放在直尺的一边上若，则的度数为(    )

A.  B.  C.  D.

9.  如图，是的直径，是的切线，连接交于点，连接，，，则的长为(    )

A.
B.
C.
D.

10.  如图，在中，，以点为圆心、长为半径作弧交于点，再分别以点，为圆心、大于的长为半径作弧，两弧交于点，作射线交于点若，，连接，则的面积为(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）

11.  若代数式有意义，则的取值范围是______ ．

12.  当 ______ 时，分式的值等于．

13.  兴隆蔬菜基地建圆弧形蔬菜大棚的剖面如右图所示，已知，半径，高度为______

14.  如果关于的方程有两个相等的实数根，那么实数的值为______ ．

15.  生物工作者为了估计一片山林中雀鸟的数量，设计了如下方案：先捕捉只雀鸟，给它们做上标记后放回山林；一段时间后，再从山林中随机捕捉只，其中有标记的雀鸟有只请你帮助工作人员估计这片山林中雀鸟的数量为______ 只

16.  有四张卡片，每张卡片上分别写了一个代数式：；；；甲、乙、丙、丁四位同学每人拿到一张卡片并作如下描述：
甲：我拿到的是个四次三项式；
乙：不管字母取何值，我拿到的这个式子的值总是负数；
丙：我拿到的式子的值为整数时，字母有个不同的值；
丁：我拿到的式子可以写成一个整式的平方．
请问甲、乙、丙、丁对应的卡片序号分别是______ ．

三、解答题（本大题共9小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
计算：．

18.  本小题分
先化简，再求值：，其中，．

19.  本小题分
如图，，为两栋建筑物，两建筑物底部之间的水平距离的长度为，从建筑物的顶部点测得建筑物的顶部点的俯角为，测得建筑物的底部点的俯角为．
求建筑物的高度；
求建筑物的高度结果保留根号．

20.  本小题分
我市某校准备成立四个活动小组：声乐，体育舞蹈，书画为了解学生对四个活动小组的喜爱情况，随机选取该校部分学生进行调查，要求每名学生从中必须选择而且只能选择一个小组，根据调查结果绘制如图所示两幅不完整的统计图．

请结合图中所给信息，解答下列问题：
本次抽样调查共抽查了______ 名学生，扇形统计图中的值是______ ．
请补全条形统计图．
喜爱“书画”的学生中有名男生和名女生表现特别优秀，现从这人中随机选取人参加比赛，请用列表或叫树状图的方法求出所选的人恰好是名男生和名女生的概率．

21.  本小题分
如图，在四边形中，，相交于点，是的中点，．
求证：四边形是平行四边形；
若，，求四边形的面积．

22.  本小题分
如图，在中，是延长线上一点，满足，过点作，且，连接并延长，分别交，于点，．
求证：≌；
若，，求的长度．

23.  本小题分
近年来，湖南省积极推进农村危房改造工作，帮助农村地区脱贫攻坚某地区年共完成危房改造万户，地方财政拨款万元用于补贴危房改造，加上国家专项拨款后，危房改造户每户可获得补贴元，已知地方财政和国家专项拨款按一定标准补贴到每户．
判断：正确的打“”，错误的打“”．
国家专项拨款标准为每户元．______ ；
年该地区用于危房改造的国家专项拨款共万元．______ ；
预计年该地区用于危房改造的地方财政拨款可增加，国家专项拨款增加，如果每户补贴金额不变，年该地区最多能完成危房改造多少万户？

24.  本小题分
定义：有一个内角等于另外两个内角之和的四边形称为“和谐四边形”．

已知，，，请直接写出一个的值______ ，使四边形为“和谐四边形”．
如图，在中，，分别是边，上的点，求证：四边形为“和谐四边形”．
在的条件下，如图，过，，三点作，与边交于点，与边交于点，连接，是的直径．
求证：；
若，，，求“和谐四边形”的面积．

25.  本小题分
如图，抛物线与轴交于，两点点在点的左侧，与轴交于点直线与抛物线交于，两点，与轴交于点，点的坐标为．
请直接写出，两点的坐标及直线的函数解析式；
若点是抛物线上的点，点的横坐标为，过点作直线轴，垂足为，与直线交于点，当，，其中一点是另外两点所连线段的中点时，求点的坐标；
若点是对称轴上的点，且为直角三角形，求点的坐标．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】

【分析】
此题考查的是倒数的定义，乘积是的两数互为倒数．
根据倒数的定义解答即可．
【解答】
解：的倒数是．
故选：．  

2.【答案】 

【解析】解：、圆柱的主视图和左视图是矩形，俯视图是圆，故本选项不合题意；
B、圆锥的主视图和左视图是三角形，俯视图是带有圆心的圆，故本选项不合题意；
C、球的三视图都是圆，故本选项符合题意；
D、三棱柱的主视图和俯视图是矩形，左视图是三角形，故本选项不合题意．
故选：．
根据主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形解答即可．
本题考查的是几何体的三视图，理解主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看所得到的图形是解题的关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：用科学记数法表示为．
故选：．
科学记数法：把一个大于的数记成的形式，其中是整数数位只有一位的数，是正整数，这种记数法叫做科学记数法，由此即可得到答案．
本题考查科学记数法表示较大的数，关键是掌握用科学记数法表示数的方法．
 

4.【答案】 

【解析】解：，
选项A不符合题意；

，
选项B不符合题意；

，
选项C符合题意；

，
选项D不符合题意．
故选：．
根据同底数幂的乘法的运算方法，幂的乘方与积的乘方的运算方法，以及整式的除法的运算方法，逐项判断即可．
此题主要考查了同底数幂的乘法的运算方法，幂的乘方与积的乘方的运算方法，以及整式的除法的运算方法：单项式除以单项式，把系数，同底数幂分别相除后，作为商的因式；对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数一起作为商的一个因式．多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加．
 

5.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是解题的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限；第二象限；第三象限；第四象限．
根据各象限内点的坐标特征解答即可．
【解答】
解：因为点的横坐标为正，纵坐标为负，
所以点在第四象限，
故选：．  

6.【答案】 

【解析】解：、出现的次数最多，所以众数是，正确，不符合题意；
B、方差是：，正确，不符合题意；
C、平均数是，正确，不符合题意；
D、把数据按大小排列，中间两个数都为，，所以中位数是，错误，符合题意．
故选：．
根据众数，方差、平均数，中位数的概念逐项分析即可．
本题为统计题，考查方差、众数、平均数与中位数的意义．中位数是将一组数据从小到大或从大到小重新排列后，最中间的那个数或最中间两个数的平均数，叫做这组数据的中位数．如果中位数的概念掌握得不好，不把数据按要求重新排列，就会出错．
 

7.【答案】 

【解析】解：根据题意，得．
故选：．
若每人两，还剩两，则银子共有两；若每人两，还差两，则银子共有两．根据银子数量不变，即可得出关于的一元一次方程，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：如图，
，
，
，
故选：．
利用平行线的性质可得的度数，再利用平角定义可得答案．
此题主要考查了平行线的性质，关键是掌握两直线平行，同位角相等．
 

9.【答案】 

【解析】解：连接，如图，
交于点，
，
，
，
，
，
为直径，
，
在中，
，
，
．
故选：．
连接，如图，先根据切线的性质得到，再利用互余计算出，接着根据圆周角定理得到，，然后根据含度角的直角三角形三边的关系计算的长度．
本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了圆周角定理．
 

10.【答案】 

【解析】解：由题意可得，
垂直平分交于点，
，
，，，
，
，
，
解得，
，，
，
，
，
的面积为，
故选：．
根据题意可知垂直平分，然后根据勾股定理可以得到的长，再根据等面积法可以求得的长，再根据勾股定理即可得到的长，从而可以得到的长，进而得到的长，然后即可求得的面积．
本题考查勾股定理、等面积法，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
 

11.【答案】 

【解析】解：代数式有意义，
，
．
故答案为：．
根据二次根式中的被开方数是非负数，可得：，据此求出的取值范围即可．
此题主要考查了二次根式有意义的条件，解答此题的关键是要明确：二次根式中的被开方数是非负数．
 

12.【答案】 

【解析】解：根据题意得，
方程两边都乘，得，
解得：，
检验：当时，，
所以是所列方程的解．
故答案为：．
根据题意得出分式方程，再方程两边都乘得出，求出方程的解，再进行检验即可．
本题考查了分式方程，能把分式方程转化成整式方程是解此题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：，
，，
在中，，
，
．
故答案是．
根据图可知，由垂径定理可知，，在中，利用勾股定理可求，进而可求．
本题考查了垂径定理、勾股定理，解题的关键是先求出．
 

14.【答案】 

【解析】解：关于的方程有两个相等的实数根，
，
即，
解得．
故答案为：．
由方程根的个数，根据根的判别式可得到关于的方程，则可求得的值．
本题主要考查根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的个数与根的判别式的关系是解题的关键．
 

15.【答案】 

【解析】解：根据题意得：
只，
答：估计这片山林中雀鸟的数量为只．
故答案为：．
由题意可知：随机捕捉只，其中带标记的有只，可以知道，在样本中，有标记的占到而在总体中，有标记的共有只，根据比例即可解答．
本题考查了用样本估计总体的知识，体现了统计思想，统计的思想就是用样本的信息来估计总体的信息．
 

16.【答案】 

【解析】解：，是一个整式的平方；


，
，
，
不管字母取何值，的值总是负数；
为整数时，或或，
或或或或或，有个不同的取值；
是四次三项式，
故答案为：．
根据完全平方公式，配方法，分式的值，多项式的含义即可确定答案．
本题考查了完全平方式，配方法，分式的值，多项式等，熟练掌握这些知识是解题的关键．
 

17.【答案】解：


． 

【解析】首先计算乘方、负整数指数幂和特殊角的三角函数值，然后计算乘法，最后从左向右依次计算，求出算式的值即可．
此题主要考查了实数的运算，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．
 

18.【答案】解：

，
当，时，原式

． 

【解析】先去括号，再合并同类项，然后把，的值代入化简后的式子进行计算即可解答．
本题考查了整式的混合运算化简求值，准确熟练地进行计算是解题的关键．
 

19.【答案】解：过点作于点，
由题意可知：，
．
答：建筑物的高度是．
四边形是矩形，
，，
由题可知：，
在中，，
，
，
．
答：建筑物的高度， 

【解析】过点作于点，由题意可知：，从而可知．
由题可知：，在中，所以，从而可求出的长度，再根据的长度．
本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是熟练运用锐角三角函数的定义，本题属于中等题型．
 

20.【答案】   

【解析】解：共抽查的学生人数为：，
，
所以．
故答案为：，；
喜爱活动小组的学生人数为：．
补全条形统计图为：

记名女生为，，名男生为，，根据题意列表如下：

由表格可知，共有种结果，且每种结果出现的可能性相同，其中所选的人恰好是名男生和名女生的结果共有种，
所以名男生和名女生．
用小组的人数除以对应的百分数，可求出调查的总人数，用组的人数除以总人数，再乘就是小组对应的百分数，由此解答；
用调查的总人数减去其余三个小组的人数，得出小组的人数，从而补全条形统计图；
用列表法列出所有可能的情况，再用所选的人恰好是名男生和名女生的情况数除以总情况数即可求出概率．
本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果数，再从中选出符合事件或的结果数目，然后利用概率公式计算事件或事件的概率．也考查了统计图．
 

21.【答案】证明：，
，
是的中点，
，
在和中，
，
≌，
，
又，
四边形是平行四边形；

解：由得：四边形是平行四边形，
又，
平行四边形是矩形．
．
在直角中，，，由勾股定理知：．
则．
即四边形的面积是． 

【解析】证≌，由全等三角形的性质得，即可解决问题；
证明四边形是矩形，即可解决问题．
本题考查平行四边形的判定和性质、全等三角形的判定与性质、矩形的判定与性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
 

22.【答案】证明：，
，
在与中，
，
≌；
解：≌，
，
． 

【解析】根据证明与全等即可；
根据全等三角形的性质解答即可．
此题考查全等三角形的判定和性质，关键是根据证明与全等解答．
 

23.【答案】   

【解析】解：

元．
故国家专项拨款标准为每户元．题干的说法是错误的．
故答案为：；


万元．
故年该地区用于危房改造的国家专项拨款共万元．题干的说法是正确的．
故答案为：；



万户．
故年该地区最多能完成危房改造万户．
危房改造户每户可获得补贴地方财政每户可获得补贴国家专项拨款每户标准，依此计算即可求解；
年该地区用于危房改造的国家专项拨款年该地区用于危房改造的地方财政和国家专项拨款地方财政拨款，依此计算即可求解；
先求出年该地区用于危房改造的地方财政和国家专项拨款，再除以危房改造户每户可获得补贴即可求解．
本题考查了有理数的混合运算，关键是理解题意，正确得到地方财政和国家专项拨款的标准．
 

24.【答案】或或或写一个即可 

【解析】解：，，，
，
若，则，解得：，
若，则，解得：，
若，则，无解，
若，则，无解，
若，则，
若，则，，
综上，的值是或或或写一个即可，
故答案为：或或或写一个即可；
证明：设，，则，
，
，
，
在四边形中，，
四边形为“和谐四边形”；
证明：是的直径，
，
，，
，
，
、、、四点都在上，
，
，
，
，
，
；
解：连接、、，过作于，连接，

，
，
，
是的直径，
，
，，
，
，，
，
是等腰直角三角形，
，
，，
，
，，
∽，
，，
，
，，
，
，
，
，，
，
“和谐四边形”的面积．
先根据四边形的内角和为表示的度数，根据“和谐四边形”的定义分种情况列方程可得结论；
根据条件证明，由“和谐四边形”的定义可得结论；
根据圆周角定理及直角三角形的性质推出，，，根据圆内接四边形的性质和等腰三角形的性质推出，，进而得出，根据等式的性质求解即可；
如图，作辅助线，构建相似三角形，证明∽，根据勾股定理和相似三角形的性质求解即可．
本题是圆的综合题，考查圆周角定理，圆内接四边形的性质，相似三角形的性质和判定，新定义：“和谐四边形”的理解和运用，勾股定理等知识，解题的关键是学会理解新定义，正确作辅助线解决问题，属于中考压轴题．
 

25.【答案】解：在中，令得：
，
解得或，
，；
设直线的函数解析式为，
将，代入得：
，
解得，
直线的函数解析式为；
点的横坐标为，
，，，
若为中点，则，
解得或三点重合，舍去，
；
若为的中点，则，
解得或舍去，
；
若为中点，则，
解得或舍去，
；
综上所述，的坐标为或或；
由得抛物线对称轴为直线，
设，
又，，
，，，
若为斜边，则，
解得，
；
若为斜边，则，
解得，
；
若为斜边，则，
解得或，
或；
综上所述，的坐标为或或或 

【解析】在中，令可得，；设直线的函数解析式为，用待定系数法得直线的函数解析式为；
由点的横坐标为，知，，，若为中点，则，若为的中点，则，若为中点，则，分别解方程可得答案；
由得抛物线对称轴为直线，设，有，，，若为斜边，则，若为斜边，则，若为斜边，则，分别解方程可得答案．
本题考查二次函数综合应用，涉及待定系数法，中点坐标公式，直角三角形性质等知识，解题的关键是用含字母的代数式表示相关点坐标和相关线段的长度．