第03讲 集合之间的关系-2023-2024学年高一数学期末总复习（人教A版必修第一册）

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第3讲：集合之间的关系（一）
【知识点梳理】
一、子集、真子集、集合相等
1．子集、真子集、集合相等的相关概念

定义
符号表示
图形表示
子集
如果集合A中的任意一个元素都是集合B中的元素，就称集合A是集合B的子集
A⊆B
(或B⊇A)

真子集
如果集合A⊆B，但存在元素x∈B，且x∉A，就称集合A是集合B的真子集

(或)

集合相等
如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素，那么集合A与集合B相等
A＝B


二、子集的性质
(1)任何一个集合是它本身的子集，即A⊆A.
(2)对于集合A，B，C，如果A⊆B，且B⊆C，那么A⊆C.
三、空集
1．定义：不含任何元素的集合叫做空集，记为∅.
2．规定：空集是任何集合的子集．
【典型例题】
题型一：简单集合间关系的判断
【例1】（新高考高三专题练习（多选））已知集合，则有（ ）
A． B． C． D．

【例2】设集合，，则（ ）
A． B． C． D．


【例3】设集合M={x|x=k3+16,k∈Z}，N={x|x|x=k6+13,k∈Z}，则M，N的关系为（ ）
A．M⊆N B．M=N C．M⊇N D．M∈N


【例4】（2021·全国·）集合与之间的关系为（ ）
A． B． C． D．不确定

【题型专练】
1.集合M=xx=2n,n∈N，N=xx=2n,n∈N，则集合M与N的关系是（ ）
A．M⊆N B．N⊆M C．M∩N=∅ D．M⊄N且N⊄M


2.（2022·全国·高一专题）已知集合则的关系为（       ）
A． B． C． D．

3.（2022·陕西·长安一中高一期末）已知集合，集合，则（       ）
A． B． C． D．

4.（2022·全国·高一专题练习）集合，，之间的关系是（       ）
A．真包含于真包含于 B．真包含于
C．真包含于 D．真包含于

5.（2022·全国·高一专题练习）设是两个集合，有下列四个结论：
①若，则对任意，有；
②若，则集合中的元素个数多于集合中的元素个数；
③若，则；
④若，则一定存在，有．
其中正确结论的个数为（       ）
A．4 B．3 C．2 D．1

6.设集合P=yy=x2+1,M=xy=x2+1，则集合M与集合P的关系是（ ）
A．M=P B．P∈M C． D．


题型二：集合之间的关系
【例1】下列六个关系式：①{a, b}={b, a}；②{a, b}⊆{b, a}；③∅={∅}；④{0}=∅；⑤∅⊆{0}；⑥0∈{0}．其中正确的个数是（ ）
A．1 B．3 C．4 D．6

【例2】（2022·全国·高一专题练习）以下六个写法中：①；② ；③；④ ；⑤；正确的个数有（       ）
A．个 B．个 C．个 D．个


【题型专练】
1.以下六个关系式：0∈0，0⊇∅，0.3∉Q， 0∈N， a,b⊆b,a ，x|x2−2=0,x∈Z是空集，错误的个数是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1

2.下列写法：（1）{0}∈{2, 3, 4}；（2）∅⊆{0}；（3）{−1, 0, 1}={0, −1, 1}；（4）0∈∅，其中错误写法的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4

3.（2022·江苏·高一专题练习）下列各式中：①；②；③；④；⑤；⑥.正确的个数是（       ）
A．1 B．2 C．3 D．4


4.已知集合A={x|x2=4}，①2⊆A；②{−2}∈A；③∅⊆A；④{−2, 2}=A；⑤−2∈A.则上列式子表示正确的有几个（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4


题型三：集合的子集、真子集
【例1】（2021·河北衡水市）定义集合，设，则集合的非空真子集的个数为（ ）
A．12 B．14 C．15 D．16

【例2】设A={x|(x2−16)(x2+5x+4)=0}，写出集合A的子集，并指出其中哪些是它的真子集．


【例3】集合A={a, b, c, d}非空子集的个数是（ ）
A．13 B．14 C．15 D．16

【例4】已知集合A={x|x2−3x+2=0，x∈R}，B={x|0 A．3 B．4 C．8 D．16


【例5】若{1，2}⊆M⊆{0，1，2，3，，则满足条件的集合M的个数为（ ）
A．7 B．8 C．31 D．32

【题型专练】
1．（2022·全国·高一专题练习）集合P＝{3，4，5}，Q＝{6，7}，定义＝{（a，b）|a∈P，b∈Q}，则的真子集个数为（　　）
A．31 B．63 C．32 D．64

2．（2022·黑龙江·哈尔滨三中高二期末）已知集合，，则集合的子集个数为（       ）
A．2 B．4 C．8 D．16

3．（2022·全国·高一专题练习）已知则集合的子集的个数是（       ）
A． B． C． D．

4.若集合A={x∈Z∣−1 A．1 B．2 C．3 D．4

5.已知集合M满足1⊆M⊂≠1,2,3，则满足条件的集合M的个数是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5

考点四：两个集合相等
【例1】（2022·全国·高一）下列各组两个集合和表示同一集合的是（       ）
A． B．
C． D．

【例2】已知a∈R，，若集合，则a2019+b2019的值为（ ）
A． B．−1 C．1 D．2

【例3】（2022·重庆·高二期末）下列说法正确的是（       ）
A．任何集合都是它自身的真子集
B．集合共有4个子集
C．集合
D．集合
【例4】（2021·浙江·乐清市知临中学）若，则的值为（ ）
A． B．3 C． D．7



【例5】（2021·全国·）（多选）下列选项中的两个集合相等的是（ ）
A．，
B．，
C．，
D．，


【题型专练】
1.已知集合A={0,a+b,ab}，，（a，），若A=B，则a+2b=（ ）
A．−2 B．2 C．−1 D．1


2.下列集合与集合A=2,3相等的是（ ）
A．2,3 B．x,yx=2,y=3
C．xx2−5x+6=0 D．x=2,y=3


3.已知a∈R，，若集合{a,ba,1}={a2,a−b,0}，则a2020+(b+1)2020的值为（ ）
A．2 B．1 C．−2 D．−1


4.（2023·全国·高三专题练习多选）下面说法中，正确的为（       ）
A． B．
C． D．