高考数学二轮导数专题复习——第二十九节 直接找点与放缩找点-解析版

这是一份高考数学二轮导数专题复习——第二十九节 直接找点与放缩找点-解析版，共11页。试卷主要包含了已知函数，其导函数为.，已知函数，已知函数，，已知函数，其中.等内容，欢迎下载使用。
第二十九节 直接找点与放缩找点
知识与方法
1．在讨论函数零点个数时，一般采用研究函数的单调性，结合零点存在性定理进行严密地论证函数在某区间上的零点个数.例如，当我们论证出在区间上单调递减，在上单调递增，且时，如下图所示，为了严密论证在上有两个零点，需在左侧取出，右侧取出，才能得出共有两个零点的结论，这类问题一般称之为找点问题.

2．找点的方法一般有直接找.点、放缩找点、限位取点三种：
（1）直接找点：直接取出某自变量，代入函数的解析式能够满足要求即可，一般的原则是指数型解析式取对数点，对数型解析式取指数点，直接找点需要一定的经验积累以及较强的运算求解能力.
（2）放缩找点：当直接找点比较困难时，可以对函数的解析式进行适度放缩，再找点.放缩时可先分析函数解析式的各个部分中，哪些是主要部分，哪些是次要部分，放缩时，可以丢掉次要部分，也可以考虑放缩主要部分，放缩的目的是简化表达式，使其易于判断正负
（3）限位取点：例如，当我们发现取的点可以趋于正无穷时，不妨在时进行考虑，根据这一前提将表达式的次要部分进行放缩，以达到简化解析式的效果，限位取点本质上也是放缩取点.
3.下面给出一些找点问题中常见的放缩不等式












4.如何应对灵活的找点题
找点题较为灵活，能力要求高，已经成为近几年高考题、模拟题的热门题型.上面列出的那些常用的放缩不等式，其实也无需死记硬背，只需有将指数、对数放缩成低次、高次多项式的意识即可，在具体的问题中，可根据需要选择适当的放缩．想要成为找点高手，光看别人取出来的点多么漂亮，别人的放缩多么精妙是没有用的，同学们唯一能做的，就是亲自去尝试，只有自己尝试取点，才能真正看到这里面的风景，逐步提升自己取点的能力.

典型例题
【例1】（2018·新课标Ⅱ卷）已知函数
（1）若，证明：当时，；
（2）若在上只有一个零点，求a.
【解析】（1）若，则，故要证，只需证，即证，也即证，
令，则，当且仅当取等号，所以在上单调递减，又，所以，即，故成立.
（2）解法1：，令，
则在上只有一个零点等价于在上只有一个零点，
易求得，所以，，
从而在上单调递减，在上单调递增，故，
当时，，所以在上无零点，不合题意；
当时，，所以在上有1个零点，符合题意；
当时，，又，且，所以在上有1个零点，
另一方面，设，则，由（1）可得当时，，所以，故在上单调递增，结合知，从而，
所以，从而，
故在上有1个零点，所以共2个零点，不合题意；
综上所述，当且仅当时，在上只有1个零点.
解法2：当时，显然对任意的，都有，
令，则，，
所以，，
从而在上单调递减，在上单调递增，
又，，，
所以在上有两个零点，设为和，不妨设，则，，且或，，
所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增,
结合，知恒成立，因为，所以，故无零点，不合题意；
当时，，由前面的求解过程知有1个零点，符合题意；
当时，注意到，，所以在上有零点，
而，设，则，
所以在上单调递增，又，所以恒成立，
显然，从而当时，，故，
结合知在上有零点，所以至少有2个零点，不合题意；
综上所述，当且仅当时，在上只有1个零点.
【反思】本题解法1的思维过程是怎样的？你能想明白吗？
【例2】（2017·年新课标Ⅰ卷）已知函数.
（1）讨论的单调性；
（2）若有两个零点，求a的取值范围.
【解析】（1）由题意，
当时，，，所以恒成立，故在R上单调递减
当时，，，
所以在上单调递减，在上单调递增.
（2）解法1：当时，由（1）知在R上单调递减，所以至多有一个零点，不合题意；
当时，由（1）知在上单调递减，在上单调递增，
若有两个零点，则必有
令，则，所以在上单调递增，
结合知当且仅当时，，此时，
因为，所以在上有一个零点，
又且（易证，所以），所以在上有一个零点，从而共有两个零点，满足题意；
综上所述，实数a的取值范围为.
解法2：当时，由（1）知在R上单调递减，所以至多有一个零点，不合题意；
当时，由（1）知在上单调递减，在上单调递增，
若有两个零点，则必有，
令，则，所以在上单调递增，
结合知当且仅当时，，此时，
因为，所以在上有一个零点，
易证，
所以,
故，从而，且显然，
所以在上有一个零点，从而共有两个零点，满足题意；
综上所述，实数a的取值范围为.
【例3】已知函数，其中.
（1）当时，求在处的切线方程；
（2）当时，证明：有唯一的极小值点，
（3）对于（2）中的，若，证明：.
【解析】（1）当时，，，所以，，
故所求切线的方程为，整理得：.
（2）由题意，的定义域为，且，，
显然当时，，所以在上单调递增，
又当时，，
当时，，所以有唯一的零点，
且，，从而在上单调递减，在上单调递增，故有唯一的极小值点.
（3）由（2）可得，因为，所以，
故，
设，
则，
显然当时，，所以，，
从而在上单调递增，在上单调递减，易证在上恒成立，
所以当时，
又，，
所以有唯一的零点，且该零点在上，
因为，且，所以，故
又，设，则，从而在上单调递增，又，，所以，故.
【反思】本题在论证有零点时，采用了max和min取点，这是一种限位取点的方法.
强化训练
l.证明：函数有两个零点.
证明：由题意，，，所以，，
从而在上单调递增，在上单调递减，
因为，f，所以在上有1个零点，又，所以共有2个零点.
2.已知函数.
（1）当时，求函数在处的切线方程；
（2）若有且仅有1个零点，求m的取值范围.
【解析】（1）当时，，，所以，，
从而在处的切线方程为，整理得：.
（2）解法l：由题意，，，
①当时，，所以在上单调递增，
又，，所以有唯一的零点，满足题意；②当时，，，
所以在上单调递增，在上单调递减，
故，
若，则，所以有唯一的零点，满足题意；
若，则，所以恒成立，故无零点，不合题意；
若，则，又，所以在上有一个零点，
另一方面，，设，
则，
所以在上单调递增，因为，所以恒成立，从而，且易证，所以在上有一个零点，故共有2个零点，不合题意；
综上所述，实数m的取值范围是.
解法2：令，则，
所以，设，则函数有且仅有1个零点等价于函数有且仅有1个零点，易求得，，
①当时，，所以在上单调递增，
又，，所以在上有唯一的零点，满足题意；
②当时，，，
所以在上单调递增，在上单调递减，从而，
若，则，所以在上有唯一的零点，满足题意；
若，则，所以恒成立，故在上无零点，不合题意；
若，则，又，且，所以在上有一个零点，另一方面，设，则，
所以，，从而在上单调递增，在上单调递减，故，所以，
从而，故，且，所以在上有一个零点，故共有2个零点，不合题意；
综上所述，实数m的取值范围是.
3.（2021·新课标Ⅱ卷）设函数，其中.
（1）讨论的单调性；
（2）若的图象与x轴没有公共点，求a的取值范围.
【解析】（1）函数的定义域为，
且，
因为，所以，从而，，
故在上单调递减，在上单调递增.
（2）的图象与x轴没有公共点等价于没有零点，
由（1）知，
①当时，，所以恒成立，故没有零点，符合题意；
②当时，，此时有唯一的零点，不合题意；
③当时，，，
设，则，且，
令，则，所以在上单调递增，结合可得恒成立，所以，
显然，所以在上有一个零点，不合题意；
综上所述，a的取值范围为.
4．已知函数，其导函数为.
（1）当时，求的最大值；
（2）若有两个极值点，求a的取值范围.
【解析】当时，，，
所以，故，，
从而在上单调递增，在上单调递减，故.
（2）由题意，，，
①当时，，所以在上单调递减，
从而最多1个零点，故最多1个极值点，不合题意；
②当时，，，
所以在上单调递增，在上单调递减，
若有2个极值点，则有2个零点，从而必有，所以，此时，，所以在上有1个零点，
另一方面，，设，则，所以在上单调递减，从而，故，
所以在上有1个零点，故共有2个零点，且这2个零点都是的极值点，综上所述，a的取值范围为.
5．已知函数
（1）若函数在区间上单调递增，求实数a的取值范围；
（2）若有且仅有1个零点，求实数a的取值范围.
【解析】（1），因为在上单调递增，所以在上恒成立，即，所以，当时，的取值范围是，
因为恒成立，所以，故实数a的取值范围是.
（2）由题意，，
，
①当时，，所以在R上单调递减，
又，，所以有且仅有1个零点，满足题意；
②当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
故，
设，则，所以，，
从而在上单调递增，在上单调递减，故，所以，
从而，故，所以，
又且，所以在上有1个零点，
另一方面，设，则，所以，，从而在上单调递增，在上单调递减，
故，所以，故，
所以当时，，
故在上必有1个零点，从而共有2个零点，不合题意；
综上所述，实数的取值范围是.
6．已知函数，
（1）讨论的单调性；
（2）已知，若函数与的图象有两个交点，求a的取值范围.
【解析】（1）由题意，的定义域为，，
当时，，所以，，
从而在上单调递增，在上单调递减，
当时，或，，
所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，
当时，，当且仅当时取等号，所以在上单调递增，
当时，或，
所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增.
（2）函数与的图象有两个交点等价于方程有两个实根，
而，
设，则有2个零点，

①当时，，所以在上单调递减，故至多1个零点，不合题意；
②当时，，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
从而有2个零点的必要条件是，即，设，则，且，设，则，
所以在上单调递减，又，所以当且仅当时，，即，
从而，所以，此时，，所以在上有1个零点，设，则，所以，，从而在上单调递增，在上单调递减，所以，故，
所以，
取得：，
易得，所以在上有1个零点，从而共有2个零点，满足题意，综上所述，a的取值范围为.
7.已知函数，其中，，e为自然对数的底数.
（1）当时，证明：；
（2）若，证明：有且仅有2个零点.
【解析】（1）设，则，因为，，所以，从而在上单调递减，又，所以恒成立，故当时，.
（2）由题意，，，所以，，易求得，
设，则，所以在上单调递增，
又，，
所以有1个零点，
且当时，，所以，当时，，所以，
从而在上单调递减，在上单调递增，
注意到，且，所以在上有一个零点1，且必有，
另一方面，由（1）可得当时，恒成立，
所以，
故，从而在上有1个零点，所以有且仅有2个零点.
8．已知函数，其中.
（1）若，求在处的切线方程；
（2）若有3个零点，求a的取值范围.
【解析】（1）若，则，，所以，，故所求切线的方程为，整理得：.
（2）由题意，的定义域为，且，，
所以，，从而在上单调递增，在上单调递减，故，
①当时，，所以恒成立，从而在上单调递减，故最多有1个零点，不合题意；
②当时，，设，则，
所以在上单调递减，从而，
故，所以在上有1个零点，记作，
另一方面，，所以在上有1个零点，记作，故，且或，
所以在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，
注意到，所以，，
又，所以在上有1个零点，
因为，
所以在上有1个零点，
从而共有3个零点，故实数的取值范围是.