2023高考数学二轮专题导数38讲 专题15 导数中同构与放缩的应用

专题15　导数中同构与放缩的应用

同构法是将不同的代数式(或不等式、方程)通过变形，转化为形式结构相同或者相近的式子，通过整体思想或换元等将问题转化的方法，这体现了转化思想．此方法常用于求解具有对数、指数等混合式子结构的等式或不等式问题．

当然，用同构法解题，除了要有同构法的思想意识外，对观察能力，对代数式的变形能力的要求也是比较高的，

考点一　部分同构携手放缩法（同构放缩需有方，切放同构一起上）

【方法总结】

在学习指对数的运算时，曾经提到过两个这样的恒等式：

(1)当a＞0且a≠1时，有，(2)当a＞0且a≠1时，有

再结合指数与对数运算法则，可以得到下述结论(其中x＞0) (“ex”三兄弟与“lnx”三姐妹)

(3)，

(4)，

(6)，

再结合常用的切线不等式：，，，等，可以得到更多的结论

(7)，．

，．

(8)，

，

(9)，

，

【例题选讲】

[例1]　(1)已知，则函数的最大值为________．

答案　－2　解析　．(当且仅当x＋lnx＋1＝0取等号)．

(2)函数的最小值是________．

答案　1　解析　(当且仅当x＋lnx＝0取等号)．

(3)函数的最小值是________．

答案　1　解析　(当且仅当x＋2lnx＝0取等号)．

[例2]　(1)不等式恒成立，则实数a的最大值是________．

答案　1　解析　

，当且仅当x＋lnx＝0等号成立．

(2)不等式恒成立，则正数a的取值范围是________．

答案　　解析　，当x＋lnx＋1≤0时，原不等式恒成立，当x＋lnx＋1＞0时，，由于，当且仅当x＋lnx＝1等号成立，所以，故．

(3)不等式恒成立，则正数a的取值范围是________．

答案　　解析　

．

(4)已知函数，其中b＞0，若恒成立，则实数a与b的大小关系是________．

答案　　解析　，由于，当且仅当x＋blnx＝0等号成立，所以．

(5)已知函数，若恒成立，则实数a的取值范围是________．

答案　　解析　，由于lnx＋1≤x，ex≥ex，两者都是当且仅当x＝1

等号成立，则，所以．

(6)已知不等式，对任意的正数x恒成立，则实数k的取值范围是________．

答案　　解析　，由于ex≥ex，lnex≤x，两者都是当且仅当x＝1等号成立，所以，则，所以．

(7)已知不等式，对任意的正数x恒成立，则实数a的取值范围是________．

答案　　解析　，当且仅当－ax＋lnx＝0，即时等号成立，由有解，易得．

(8)已知函数有两个零点，则实数a的取值范围是________．

答案　　解析　，令，显然该函数单调递增，即有两个根，即有两个根，令，在(－∞，1)单调递减，在(1，＋∞) 单调递增．，．

[例3]　(2020届太原二模)已知函数.

(1)若函数有两个零点，求实数a的取值范围；

(2)若恒成立，求实数a的取值范围．

解析　(1)定义域是，，

①当时，，在定义域上单调递增，不可能有两个零点；

②当时，由，得，

当时，，在定义域上单调递增，

当时，，在定义域上单调递减，所以当时，取得极大值．

当时，，当时，，因为有两个零点，所以，

解得．

(2)要使恒成立，只要恒成立，只要恒成立，

令，则，当且仅当时取等号．

所以恒成立，实数a的取值范围为．

【对点精练】

1．函数的最小值为________．

1．答案　　解析　，当且仅当x＋lnx＝0等号

成立．

2．函数的最小值为________．

2．答案　1　解析　，当且仅当x＋lnx＝0等号成立．

3．函数的最大值是________．

3．答案　0　解析　

(当且仅当x＋lnx＝0取等号)．

4．已知不等式，对任意正数x恒成立，则实数a的取值范围是________．

4．答案　　解析　，由于

，所以．

5．已知函数，若恒成立，则实数a的取值范围是________．

5．答案　　解析　，当x＋lnx＋1≤0

时，原不等式恒成立，当x＋lnx＋1＞0时，，由于，当且仅当x＋lnx＝1等号成立，所以，故．

6．已知函数，若恒成立，则实数a的取值范围是________．

6．答案　　解析　，由于lnx＋1≤x，e2x≥2ex，两者都是当且仅

当x＝1等号成立，则，所以．

7．已知a，b分别满足，则ab＝________．

7．答案　e3　解析　同构化处理，并利用函数的单调性．，

，令，显然该函数单调递增，即，即，则ab＝e3．

8．已知x0是函数的零点，则________．

8．答案　2　解析　，

所以，即，或，则．

考点二　整体同构携手脱衣法

【方法总结】

在成立或恒成立命题中，很有一部分题是命题者利用函数单调性构造出来的，如果我们能找到这个函数模型（即不等式两边对应的同一个函数），无疑大大加快解决问题的速度，找到这个函数模型的方法，我们就称为整体同构法．如，若F(x)≥0能等价变形为f[g(x)]≥f[h(x)]，然后利用f(x)的单调性，如递增，再转化为g(x)≥h(x)，这种方法我们就可以称为同构不等式（等号成立时，称为同构方程），简称同构法．

1．地位同等同构（主要针对双变量，合二为一泰山移）

(1) >k(x1<x2)f(x1)－f(x2)<kx1－kx2f(x1)－kx1<f(x2)－kx2y＝f(x)－kx为增函数；

(2) <(x1<x2)f(x1)－f(x2)>＝－f(x1)＋>f(x2)＋y＝f(x)＋为减函数；

含有地位同等的两个变x1，x2或p，q等的不等式，进行“尘化尘，土化土”式的整理，是一种常见变形，如果整理（即同构）后不等式两边具有结构的一致性，往往暗示单调性（需要预先设定两个变量的大小）

2．指对跨阶同构（主要针对单变量，左同右同取对数）

(1)积型：

如，，后面的转化同(1)

说明；在对“积型”进行同构时，取对数是最快捷的，同构出的函数，其单调性一看便知．

(2)商型：

(3)和差：

如；．

3．无中生有同构（主要针对非上型，凑好形式是关键）

(1)；

(2)

；

(3)．

【例题选讲】

[例4]　(1)若，则

A．　B．　C．　D．

解析　设，则，故在上有一个极值点，即在上不是单调函数，无法判断与的大小，故A、B错；构造函数，，故在上单调递减，所以，选C．

(2)若，都有成立，则a的最大值为(　　)

A．　　　　　　　　B．1　　　　　　　　C．e　　　　　　　　D．2e

解析　，即，令，则在上为增函数，在上恒成立，，令，解得x＝1，在上为增函数，在上为减函数，，的最大值为1，选B．

(3)已知，在区间内任取两实数p，q，且p≠q，不等式

恒成立，则实数a的取值范围为________．

解析　①当p>q时，即，令，则，在递减，即，在递减，在上恒成立，在上恒成立，在上恒成立，．②当p<q时，同理可得出，综上所述

[例5]　对下列不等式或方程进行同构变形，并写出相应的一个同构函数

(1)

解析　，．

(2)

解析　，．

(3)

解析　

(4)

解析　，．

(5)

解析　，．

[例6]　(1)已知不等式，对任意正数x恒成立，则实数a的取值范围是________．

答案　　解析　

(三种模式，只要写一种)，由(3)得，，即，由导数法可得，从而所以．

(2)已知函数，若不等式在上恒成立，则实数m的取值范围是(　　)

A．　　　　　　　B．　　　　　　　C．　　　　　　　D．

解析　(同构)，令，由，且，知在为减函数，所以．故选C．

(3)对任意，不等式恒成立，则实数a的最小值为________．

解析　(积型同构取对数)，令，则为增函数，由，得，即恒成立，令，则，易得，所以实数a的最小值为．

(4)已知函数，若关于x的不等式恒成立，则实数a的取值范围是(　　)

A．　　　　　　B．　　　　　　C．　　　　　　D．

解析　

(和差型同构)，令，显然为增函数，则原命题等价于

，由于，所以，即得．

(5)对任意，不等式恒成立，则实数a的最小值为________．

解析　(积型同构)，令，则，，易知在上递减，在上递增，所以，所以在上单调递增，则

，由导数法易证，所以．

(6)已知不等式对任意的恒成立，则实数a的最小值为(　　)

A．　　　　　　　　B．　　　　　　　　C．　　　　　　　　D．

解析　，令，则，易知在上递减，在上递增，所以，，．根据选项只讨论a＜0的情况，当a＜0时，，，．令，则，所以在上递增，在上递减，则，即，故选C．

[例7]　已知函数.

(1)判断在上的单调性；

(2)若，证明：．

解析　(1)，令，，在上单调递减，，即，在上单调递减．

(2)要证，即证：即证：即证：，令，即证：，由(1)，在上单调递减，即证：．令，，在上单调递增，，，即．

[例8]　(2020·新高考Ⅰ)已知函数f(x)＝aex－1－lnx＋lna．

(1)当a＝e时，求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积；

(2)若f(x)≥1，求a的取值范围．

解析　(1)当a＝e时，f(x)＝ex－ln x＋1，∴f′(x)＝ex－，∴f′(1)＝e－1．

∵f(1)＝e＋1，∴切点坐标为(1，1＋e)，

∴曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为y－e－1＝(e－1)·(x－1)，即y＝(e－1)x＋2，

∴切线与两坐标轴的交点坐标分别为(0，2)，，

∴所求三角形面积为×2×＝．

(2)解法一：∵f(x)＝aex－1－ln x＋lna，∴f′(x)＝aex－1－，且a>0．

设g(x)＝f′(x)，则g′(x)＝aex－1＋>0，∴g(x)在(0，＋∞)上单调递增，即f′(x)在(0，＋∞)上单调递增，

当a＝1时，f′(1)＝0，则f(x)在(0，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，

∴f(x)min＝f(1)＝1，∴f(x)≥1成立；

当a>1时，<1，∴<1，∴f′f′(1)＝，

∴存在唯一x0>0，使得f′(x0)＝aex0－1－＝0，且当x∈(0，x0)时f′(x)<0，当x∈(x0，＋∞)时f′(x)>0，

∴ae x0－1＝，∴lna＋x0－1＝－lnx0，

因此f(x)min＝f(x0)＝ae x0－1－lnx0＋lna＝＋lna＋x0－1＋lna≥2lna－1＋2＝2lna＋1>1，

∴f(x)>1，∴f(x)≥1恒成立；

当0<a<1时，f(1)＝a＋lna<a<1，∴f(1)<1，f(x)≥1不恒成立．

综上所述，a的取值范围是[1，＋∞)．

解法二：f(x)＝aex－1－lnx＋lna＝eln a＋x－1－lnx＋lna≥1等价于eln a＋x－1＋lna＋x－1≥lnx＋x＝eln x＋lnx，

令g(x)＝ex＋x，上述不等式等价于g(lna＋x－1)≥g(lnx)，

显然g(x)为单调递增函数，∴又等价于lna＋x－1≥lnx，即lna≥lnx－x＋1，

令h(x)＝lnx－x＋1，则h′(x)＝－1＝，

在(0，1)上h′(x)>0，h(x)单调递增；在(1，＋∞)上h′(x)<0，h(x)单调递减，

∴h(x)max＝h(1)＝0，ln a≥0，即a≥1，∴a的取值范围是[1，＋∞)．

【对点精练】

1．已知函数，若对任意正数x1，x2，当x1＞x2时，都有

成立，则实数m的取值范围是________．

1．答案　m≥0　解析　由得，，令，

，在单调递增，又，，在上恒成立，即，令，则，在单调递减，(但取不到)． m≥0．

2．已知函数，，当x2＞x1时，不等式恒成立，则实数a

的取值范围是(　　)

A．　　　　　　B．　　　　　　C．　　　　　　D．

2．答案　D　解析　由，得，令，则在上单

调递增，又，在上恒成立，即，令，则，令，则在单调递减，在单调递增，，选D．

3．对不等式进行同构变形，并写出相应的一个同构函数．

3．答案　　解析　

4．对方程进行同构变形，并写出相应的一个同构函数．

4．答案　　解析　．

5．对不等式进行同构变形，并写出相应的一个同构函数．

5．答案　　解析　

6．设实数，若对任意的，不等式恒成立，则的最小值为________．

6．答案　　解析　，令，易知

在上递增，所以， ，．令，则，所以在上递增，在上递减，则，即．

7．已知函数，若关于x的不等式恒成立，则实数a的取值范围

是________．

7．答案　　解析　

，，令，显然为增函数，则原命题等价于，令，则，所以在上递减，在上递增，则，所以，即得．

8．已知对任意，不等式恒成立，则实数k的取值范围为________．

8．答案　　解析　，

即．令，则在上递增，所以，所以，则，由导数法易证，所以．

9．已知，不等式，对任意的实数恒成立，则实数a的最小值是(　　)

A．　　　　　　　　B．　　　　　　　　C．　　　　　　　　D．

9．答案　C　解析　，即，令，则

在单调递增，即，即，．令，由导数法知，．故选C．

10．已知函数，当时，恒成立，则实数m的取值范围为(　　)

A．　　　　　B．　　　　　C．　　　　　D．

10．答案　　解析　，即

，令，则在单调递增，即，当时，恒成立，当时，，令，则，在上单调递增，．故选B．