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2022-2023学年福建省福州市福清市华南初级中学九年级（下）段考数学试卷（4月份）（含解析）
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这是一份2022-2023学年福建省福州市福清市华南初级中学九年级（下）段考数学试卷（4月份）（含解析），共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年福建省福州市福清市华南初级中学九年级（下）段考数学试卷（4月份）
一、选择题（本大题共10小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 计算：(−3)×5的结果是( )
A. −15 B. 15 C. −2 D. 2
2. 如图所示的直角三角形ABC绕直角边AC旋转一周，所得的几何体从正面看到的形状图是( )
A.
B.
C.
D.
3. 福建的地理特点是“依山傍海”，海岸线长度居全国第二位，海岸曲折，陆地海岸线长达37515000米．数据37515000用科学记数法表示为( )
A. 3.7515×103 B. 3.7515×107 C. 0.37515×108 D. 37515×103
4. 下列运算结果为2x3的是( )
A. x3⋅x3 B. x3 +x3 C. 2x▪2x▪2x D. 2x6÷x2
5. 某科普小组有5名成员，身高分别为(单位：cm)：160，165，170，163，167.增加1名身高为165cm的成员后，现科普小组成员的身高与原来相比，下列说法正确的是( )
A. 平均数不变，方差不变 B. 平均数不变，方差变大
C. 平均数不变，方差变小 D. 平均数变小，方差不变
6. 下列地方银行的标志中，既不是轴对称图形，也不是中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
7. 不等式组x−1>0−3x+6≥0的解集在数轴上表示为( )
A. B.
C. D.
8. 如图，AB、AC为⊙O的两条切线，∠BAC=50°，点D是BC上一点、则∠BDC的大小是( )
A. 100°
B. 110°
C. 115°
D. 125°
9. 如图，在平面直角坐标系中，点A，B分别在x轴负半轴和y轴正半轴上，点C在OB上，OC：BC=1：2，连接AC，过点O作OP//AB交AC的延长线于P.若P(1,1)，则tan∠OAP的值是( )
A. 33 B. 22 C. 13 D. 3
10. 已知A(−3,−2)，B(1,−2)，抛物线y=ax2+bx+c(a>0)顶点在线段AB上运动，形状保持不变，与x轴交于C，D两点(C在D的右侧)，下列结论：
①c≥−2；
②当x>0时，一定有y随x的增大而增大；
③若点D横坐标的最小值为−5，则点C横坐标的最大值为3；
④当四边形ABCD为平行四边形时，a=12．
其中正确的是( )
A. ①③ B. ②③ C. ①④ D. ①③④
二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）
11. 分解因式：m2n−n= ______ ．
12. 若关于x的一元二次方程(k−1)x2+3x−1=0有实数根，则k的取值范围是______．
13. 若扇形的半径为3，圆心角120°，为则此扇形的弧长是 ．
14. 已知3x=5，3y=4，则32x−y=______．
15. 如图，将△ABC绕顶点A顺时针旋转60°后，得到△AB′C′，若C′恰为BC的中点，则C′D与DB′的长度之比为______ ．
16. 如图，点A在双曲线y=4x上，点B在双曲线y=kx(k≠0)上，AB//x轴，过点A作AD⊥x轴 于D.连接OB，与AD相交于点C，若AC=2CD，则k的值为______．
三、解答题（本大题共9小题，共86.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. (本小题8.0分)
解方程组：2x+3y=7x=−2y+3．
18. (本小题8.0分)
如图，在△ABC中，∠C=90°，点D是AB边上的一点，DM⊥AB，且DM=AC，过点M作ME//BC交AB于点E．
求证：△ABC≌△MED．
19. (本小题8.0分)
先化简，再求值：(1−1x−1)÷x2−4x+4x2−1，其中x=−3．
20. (本小题8.0分)
在正方形ABCD中，E是CD边上的点，过点E作EF⊥BD于F．
(1)尺规作图：在图中求作点E，使得EF=EC；(保留作图痕迹，不写作法)
(2)在(1)的条件下，连接FC，求∠BCF的度数．
21. (本小题8.0分)
某校组织读书征文比赛活动，评选出一、二、三等奖若干名，并绘成如图所示的条形统计图和扇形统计图(不完整)，请你根据图中信息解答下列问题
(1)求本次比赛获奖的总人数，并补全条形统计图；
(2)求扇形统计图中“二等奖”所对应扇形的圆心角度数；
(3)学校从甲、乙、丙、丁4位一等奖获得者中随机抽取2人参加“世界读书日”宣传活动，请用列表法或画树状图的方法，求出恰好抽到甲和乙的概率．
22. (本小题10.0分)
如图，BD为⊙O的直径，AB=AC，AD交BC于E，AE=1，ED=2．
(1)求AB的长．
(2)延长DB到F，使得BF=BO，求证：直线FA与⊙O相切．
23. (本小题10.0分)
某超市销售一种商品，每件成本为50元，销售人员经调查发现，销售单价为100元时，每月的销售量为50件，而销售单价每降低2元，则每月可多售出10件，且要求销售单价不得低于成本．
(1)求该商品每月的销售量y(件)与销售单价x(元)之间的函数关系式；(不需要求自变量取值范围)
(2)若使该商品每月的销售利润为4000元，并使顾客获得更多的实惠，销售单价应定为多少元？
(3)超市的销售人员发现：当该商品每月销售量超过某一数量时，会出现所获利润反而减小的情况，为了每月所获利润最大，该商品销售单价应定为多少元？
24. (本小题12.0分)
在Rt△ABC中，∠ACB=90°，△DEC是△ABC绕点C逆时针旋转90°所得，其中点A，点B的对应点分别是点D，点E，延长AB交DE于F，连接FC．
(1)若∠A=30°，AC=2 3，求FB的长；
(2)求证：FC平分∠EFA；
(3)求证：EF+FB= 2FC．
25. (本小题14.0分)
已知抛物线y=x2+bx+c经过A(m,n)，B(2−m,n)，C(2,−1)三点，顶点为P．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如果△PAB是等边三角形，求△PAB的面积；
(3)若直线l1：y=k1x−k1与抛物线交于D，E两点，直线l2：y=k2x−k2与抛物线交于F，G两点，DE的中点为M，FG的中点为N，且k1k2=−3.求点P到直线MN距离的最大值．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：(−3)×5=−15；
故选：A．
根据正数与负数相乘的法则得(−3)×5=−15；
本题考查有理数的乘法；熟练掌握正数与负数的乘法法则是解题的关键．
2.【答案】A
【解析】解：Rt△ABC绕直角边AC旋转一周，所得几何体是圆锥，圆锥的主视图是等腰三角形，
故选：A．
应先得到旋转后得到的几何体，找到从正面看所得到的图形即可．
本题考查了三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图．
3.【答案】B
【解析】解：把一个大数用科学记数法表示成a×10n的形式，其中1≤a<10，n等于原数的整数位数减1，
∴a=3.7515，n=8−1=7，
∴37515000=3.7515×107，
故选：B．
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值>1时，n是正数；当原数的绝对值<1时，n是负数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
4.【答案】B
【解析】解：A、x3⋅x2=x3+2=x5，故此选项不符合题意，
B、|x3|+x3=x3+x3=2x3，故此选项符合题意，
C、2x⋅2x⋅2x=8x3，故此选项不符合题意，
D、2x6÷x2=2x6−2=2x4，故此选项不符合题意，
故选：B．
A、根据同底数幂相乘法则：底数不变，指数相加，计算后判断即可，
B、根据合并同类项法则进行计算，判断即可，
C、根据单项式乘以单项式法则，计算后判断即可，
D、根据单项式除以单项式法则和合并同类项法则，进行计算判断．
本题主要考查了整式的混合运算，解题关键是熟练掌握同底数幂相乘法则，合并同类项法则，单项式乘以单项式法则，单项式除以单项式法则．
5.【答案】C
【解析】解：x原−=160+165+170+163+1675=165，S原2=585，
x新−=160+165+170+163+167+1656=165，S新2=586=293，
平均数不变，方差变小，
故选：C．
根据平均数的意义、方差的意义，可得答案．
本题考查了方差，利用方差的定义是解题关键．
6.【答案】D
【解析】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
C、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意；
D、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项符合题意．
故选：D．
根据轴对称图形和中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．
7.【答案】C
【解析】解：解不等式x−1>0，得：x>1；
解不等式−3x+6≥0，得：x≤2，
所以不等式组的解集为：1
故选：C．
先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集，最后在数轴上表示出来即可．
本题考查了解一元一次不等式组和在数轴上表示不等式组的解集，能根据不等式的解集求出不等式组的解集是解此题的关键．
8.【答案】C
【解析】解：如图连接OB、OC．
∵AB、AC是⊙O的切线，
∴OB⊥AB，OC⊥AC，
∴∠ABO=∠ACO=90°，
∵∠BAC=50°，
∴∠BOC=360°−90°−90°−50°=130°，
∴∠BD′C=12∠BOC=65°，
∴∠BDC=180°−65°=115°，
故选：C．
如图连接OB、OC.首先求出∠BOC，再根据∠BD′C=12∠BOC，∠BDC+∠BD′C=180°，即可解决问题．
本题考查切线的性质、圆周角定理，圆内接四边形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，则有一题多解．
9.【答案】C
【解析】解：如图，过点P作PQ⊥x轴于点Q，
∵OP//AB，
∴∠CAB=∠CPO，∠ABC=∠COP，
∴△OCP∽△BCA，
∴CP：AC=OC：BC=1：2，
∵∠AOC=∠AQP=90°，
∴CO//PQ，
∴OQ：AO=CP：AC=1：2，
∵P(1,1)，
∴PQ=OQ=1，
∴AO=2，
∴tan∠OAP=PQAQ=12+1=13．
故选：C．
根据OP//AB，证明出△OCP∽△BCA，得到CP：AC=OC：BC=1：2，过点P作PQ⊥x轴于点Q，根据∠AOC=∠AQP=90°，得到CO//PQ，根据平行线分线段成比例定理得到OQ：AO=CP：AC=1：2，根据P(1,1)，得到PQ=OQ=1，得到AO=2，根据正切的定义即可得到tan∠OAP的值．
本题考查了相似三角形的判定与性质，锐角三角函数的定义，根据平行线分线段成比例定理得到OQ：AO=CP：AC=1：2是解题的关键．
10.【答案】D
【解析】解：∵点A，B的坐标分别为(−3,−2)和(1,−2)，
∴线段AB与y轴的交点坐标为(0,−2)，
又∵抛物线的顶点在线段AB上运动，抛物线与y轴的交点坐标为(0,c)，
∴c≥−2，(顶点在y轴上时取“=”)，故①正确；
∵抛物线的顶点在线段AB上运动，开口向上，
∴当x>1时，一定有y随x的增大而增大，故②错误；
若点D的横坐标最小值为−5，则此时对称轴为直线x=−3，
根据二次函数的对称性，点C的横坐标最大值为1+2=3，故③正确；
令y=0，则ax2+bx+c=0，
CD2=(−ba)2−4×ca=b2−4aca2，
根据顶点坐标公式，4ac−b24a=−2，
∴4ac−b2a=−8，即b2−4aca=8，
∴CD2=1a×8=8a，
∵四边形ACDB为平行四边形，
∴CD=AB=1−(−3)=4，
∴8a=42=16，
解得a=12，故④正确；
综上所述，正确的结论有①③④．
故选：D．
根据顶点在线段AB上抛物线与y轴的交点坐标为(0,c)可以判断出c的取值范围，得到①正确；根据二次函数的增减性判断出②错误；先确定x=1时，点D的横坐标取得最大值，然后根据二次函数的对称性求出此时点C的横坐标，即可判断③正确；令y=0，利用根与系数的关系与顶点的纵坐标求出CD的长度的表达式，然后根据平行四边形的对边平行且相等可得AB=CD，然后列出方程求出a的值，判断出④正确．
本题考查了二次函数的综合题型，主要利用了二次函数的顶点坐标，二次函数的对称性，根与系数的关系，平行四边形的对边平行且相等的性质，①要注意顶点在y轴上的情况．
11.【答案】n(m+1)(m−1)
【解析】解：m2n−n，
=n(m2−1)，
=n(m+1)(m−1)．
观察原式，找到公因式n，提取公因式后发现m2−1符合平方差公式，再利用平方差公式继续分解即可．
本题考查了提公因式法与公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．
12.【答案】k≥−54且k≠1
【解析】
【分析】
本题考查了一元二次方程根的情况与判别式△的关系．
方程有实数根，则△≥0，建立关于k的不等式，求出k的取值范围．
【解答】
解：由题意知，k≠1，
∵方程有实数根，
∴△=32−4×(k−1)×(−1)=5+4k≥0，
∴k≥−54且k≠1．
故答案为k≥−54且k≠1．
13.【答案】2π
【解析】
【分析】
根据弧长的公式l=nπr180进行计算即可．
本题考查了弧长的计算．此题属于基础题，熟记弧长公式是解题的关键．
【解答】
解：∵扇形的半径为3，圆心角为120°，
∴此扇形的弧长=120π×3180=2π．
故答案为：2π
14.【答案】254
【解析】解：∵3x=5，3y=4，
∴32x−y
=(3x)2÷3y
=52÷4
=254．
故答案为：254．
先将32x−y变形为(3x)2÷3y，再结合同底数幂的除法的运算法则进行求解即可．
本题考查了同底数幂的除法，解答本题的关键在于熟练掌握该知识点的概念和运算法则．
15.【答案】1：3
【解析】解：根据旋转的性质可知：AC=AC′，∠AC′B′=∠C=60°，
∵旋转角是60°，即∠C′AC=60°，
∴△ACC′为等边三角形，
∴BC′=CC′=AC，
∴∠B=∠C′AB=30°，
∴∠BDC′=∠C′AB+∠AC′B′=90°，
即B′C′⊥AB，
∴BC′=2C′D，
∴BC=B′C′=4C′D，
∴C′D：DB′=1：3，
故答案为：1：3．
旋转60°后，AC=AC′，旋转角∠C′AC=60°，可证△ACC′为等边三角形；再根据BC′=CC′=AC，证明△BC′D为30°的直角三角形，可求线段C′D与DB′之间的数量关系．
本题考查旋转的性质，即对应点到旋转中心的距离相等以及每一对对应点与旋转中心连线所构成的旋转角相等．
16.【答案】12
【解析】解：设点A的坐标为(a,4a)，则点B的坐标为(ak4,4a)，
∵AB//x轴，AC=2CD，
∴∠BDA=∠ODC，
∵∠ACB=∠DCO，
∴△ACB∽△BCA，
∴ABOD=ACDC，
∴ABOD=21，
∵OD=a，则AB=2a，
∴点B的横坐标是3a，
∴3a=ak4，
解得，k=12，
故答案为：12．
根据题意可以设出点A的坐标，从而可以表示出点B的坐标，然后根据三角形的相似即可解答本题．
本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用反比例函数的性质和三角形相似的知识解答．
17.【答案】解：2x+3y=7①x=−2y+3②，
把②代入①得：2(−2y+3)+3y=7，
解得：y=−1，
将 y=−1 代入②，得x=2+3=5，
所以原方程组的解为x=5y=−1．
【解析】把②代入①得：2(−2y+3)+3y=7，求出y，将 y=−1 代入②求出x即可．
本题考查了解二元一次方程组，能把二元一次方程组转化成一元一次方程是解此题的关键．
18.【答案】证明：∵MD⊥AB，
∴∠MDE=∠C=90°，
∵ME//BC，
∴∠B=∠MED，
在△ABC与△MED中，∠B=∠MED∠C=∠EDMDM=AC，
∴△ABC≌△MED(AAS)．
【解析】根据平行线的性质可得出∠B=∠MED，结合全等三角形的判定定理可判断△ABC≌△MED．
此题考查了全等三角形的判定，要求掌握三角形全等的判定定理，难度一般．
19.【答案】解：原式=x−2x−1⋅(x+1)(x−1)(x−2)2
=x+1x−2，
当x=−3时，原式=−3+1−3−2=25．
【解析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再x的值代入原式进行计算即可．
本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键．
20.【答案】解：(1)如图，点E即为所求．
(2)∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BCD=90°，BC=CD．
∴∠DBC=∠CDB=45°，
∵EF⊥BD，
∴∠BFE=90°．
由(1)得EF=EC，BE=BE，
∴Rt△BFE≌Rt△BCE(HL)
∴BC=BF．
∴∠BCF=∠BFC，
∴∠BCF=180°−∠FBC2=67.5°．
【解析】(1)作∠CBD的角平分线即可．
(2)证明BF=BC，利用等腰三角形的性质即可解决问题．
本题考查作图−复杂作图，正方形的性质，角平分线的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
21.【答案】解：(1)本次比赛获奖的总人数为4÷10%=40(人)，
所以二等奖人数为40−(4+24)=12(人)，
补全条形统计图如下：
(2)扇形统计图中“二等奖”所对应扇形的圆心角度数为360°×1240=108°；
(3)树状图如图所示，
∵从四人中随机抽取两人有12种等可能的结果，恰好是甲和乙的有2种可能，
∴抽取两人恰好是甲和乙的概率是212=16．
【解析】(1)先由一等奖人数及其对应的百分比可得总人数，总人数减去一等奖、三等奖的人数即可求出二等奖的人数，从而补全图形；
(2)用360°乘以“二等奖”所占比例即可得；
(3)画出树状图，由概率公式即可解决问题．
本题考查列表法与树状图法、条形统计图，解答本题的关键是明确题意，画出相应的树状图，求出相应的概率．
22.【答案】(1)解：∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB=∠ADB，∠BAE=∠DAB，
∴△ABE∽△ADB，
∴ABAD=AEAB，
∵AE=1，DE=2，
∴AD=AE+DE=3，
∴AB3=1AB，解得AB= 3；
(2)证明：如图，连接OA，
∵BD为直径，
∴△ABD为直角三角形，
在Rt△ABD中，AB= 3，AD=3，
∴BD= AB2+AD2=2 3，
∴AB=BO=AO，
∴∠BAO=60°，
∵BF=BO，
∴BF=AB，
∴∠BAF=∠F=12∠OBA=30°，
∴∠OAF=∠OAB+∠BAF=90°，
又∵∠ADB=∠AOB，
∴直线FA与⊙O相切．
【解析】(1)先证明△ABE∽△ADB，利用相似三角形的性质可求得AB的长；
(2)连接OA，在Rt△ABD中可求得BD，可证明△AOB为等腰三角形，结合BF=BO可证明∠OAF=90°，证得结论．
本题主要考查切线的判定及相似三角形的判定和性质的应用，掌握切线的判定方法是解题的关键，即有切点时连接圆心和切点，然后证明垂直，没有切点时，过圆心作垂直，证明圆心到直线的距离等于半径．
23.【答案】解：(1)∵依题意，得：y=50+(100−x)×12×10=−5x+550，
∴y与x的函数关系式为y=−5x+550；
(2)∵依题意得：y(x−50)=4000，
即(−5x+550)(x−50)=4000，
解得：x1=70，x2=90，
∵70<90，
∴当该商品每月销售利润为4000，为使顾客获得更多实惠，销售单价应定为70元；
(3)设每月总利润为w，依题意得w=y(x−50)=(−5x+550)(x−50)=−5x2+800x−27500=−5(x−80)2+4500，
∵−5<0，此图象开口向下，
∴当x=80时，w有最大值为4500元，
∴为了每月所获利润最大，该商品销售单价应定为80元．
【解析】(1)明确题意，找到等量关系求出函数关系式即可；
(2)根据题意，按照等量关系“销售量×(售价−成本)=4000”列出方程，求解即可得到该商品此时的销售单价；
(3)设每月所获利润为w，按照等量关系列出二次函数，并根据二次函数的性质求得最值即可．
本题考查了二次函数在实际生活中的应用，根据题意找到等量关系并掌握二次函数求最值的方法是解题的关键．
24.【答案】解：(1)在Rt△ACB中，∠ACB=90°，∠A=30°，AC=2 3，
∴∠ABC=60°，BC=AC⋅tan30°=2 3× 33=2，
∵△DCE是由△ACB旋转得到，
∴∠D=∠A=30°，CD=AC=2 3，
∴BD=CD−CB=2 3−2，
∵∠DBF=∠ABC=60°，
∴∠DFB=180°−∠D−∠DBF=90°，
∴BF=12DB= 3−1．
(2)证明：如图，过点C作CM⊥DE于M，CN⊥AF于N．
∵△ACB≌△DCE，CN⊥AB，CM⊥DE，
∴CN=CM(全等三角形对应边上的高相等)，
∴CF平分∠EFA．
(3)证明：∵∠CMF=∠CNF=∠MFN=90°，
∴四边形FMCN是矩形，
∵CM=CN，
∴四边形FMCN是正方形，
∴CF= 2FM，FM=FN，
∵∠MCN=∠BCE=90°，
∴∠BCN=∠ECM，
∵∠CNB=∠CME=90°，CB=CE，
在△CNB和△CME中，
∠CNB=∠CME∠BCN=∠ECM,CB=CE,
∴△CNB≌△CME(AAS)，
∴EM=BN，
∴EF+FB=FM+EM+FN−BN=2FM= 2CF．
【解析】(1)证明∠DFB=90°，∠D=30°，推出BF=12BD，求出BD即可．
(2)如图，过点C作CM⊥DE于M，CN⊥AF于N.利用全等三角形的对应边上的高相等，证明CM=CN，可得结论．
(3)证明四边形FMCN是正方形，△CNB≌△CME(AAS)，推出EM=BN，可得结论．
本题属于几何变换综合题，考查了旋转变换，全等三角形的性质，正方形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，角平分线的判定定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，在特殊四边形解决问题．
25.【答案】解：(1)∵抛物线y=x2+bx+c经过A(m,n)，B(2−m,n)，
∴抛物线的对称轴为直线x=1，
∴−b2=1，
∴b=−2，
∵抛物线y=x2−2x+c经过C(2,−1)，
∴4−4+c=−1，
∴c=−1，
∴抛物线的解析式为：y=x2−2x−1；
(2)由(1)得抛物线的解析式为：y=x2−2x−1，对称轴为直线x=1，
令x=1，则y=1−2−1=−2，
∴P(1,−2)，
∵A(m,n)，B(2−m,n)，
∴AB//x轴，
不妨设点A在点B左侧，即m<1，如图，过点P作PQ⊥AB于点Q，
则AB=2−2m，PQ=n+2，且n=m2−2m−1，
∵△PAB是等边三角形，
∴∠ABP=60°，BQ=12AB=1−m，
在Rt△BPQ中，∠ABP=60°，
∴PQ= 3BQ，即m2−2m−1+2= 3(1−m)，
解得m=1(舍)或m=1− 3．
∴AB=2−2m=2 3，BQ= 3，
∴PQ= 3BQ=3，
∴S△PAB=12⋅AB⋅PQ=12×2 3×3=3 3．
(3)联立直线l1：y=k1x−k1和抛物线y=x2−2x−1，
∴y=k1x−k1y=x2−2x−1，
整理得，x2−(2+k1)x−1+k1=0，
∴xD+xE=2+k1，
同理可得，xF+xG=2+k2，
∵点M是DE的中点，点N是FG的中点，
∴xM=xD+xE2=1+k12，xN=xF+xG2=1+k22，
∴yM=k1⋅(1+k12)−k1=k122，yN=k2⋅(1+k22)−k2=k222，
∴M(1+k12,k122)，N(1+k22,k222)，
∴直线MN的解析式为：y=(k1+k2)(x−1−k12)+k122，
∵k1k2=−3，
∴直线MN的解析式为：y=(k1−3k1)(x−1−k12)+k122=(k1−3k1)(x−1)+32，
∴当x=1时，y=32，即直线MN过定点K(1,32)，
∴点P到直线MN距离的最大值为PK的长，即为72．
【解析】(1)根据点A和点B的坐标，可得出抛物线的对称轴为直线x=1，由此可得出b的值，把点C坐标代入即可求出c；
(2)由A，B的坐标可知AB//x轴，过点P作PQ⊥AB于点Q，根据等边三角形的性质可得出m和n等量关系，由此求出n的值，进而可求出△PAB的面积；
(3)分别联立直线l1，直线l2和抛物线的解析式，根据根与系数的关系分别表示出点M和点N的坐标，求出直线MN的解析式，得出直线MN过定点(1,32)，根据三角形三边关系可得点P到直线MN距离的最大值．
本题属于二次函数综合题，涉及待定系数法求函数解析式，抛物线的对称性，等边三角形的性质与判定，中点坐标公式等知识，(3)关键得出直线MN过定点K．
2022-2023学年福建省福州市福清市华南初级中学九年级（下）段考数学试卷（4月份）
一、选择题（本大题共10小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 计算：(−3)×5的结果是( )
A. −15 B. 15 C. −2 D. 2
2. 如图所示的直角三角形ABC绕直角边AC旋转一周，所得的几何体从正面看到的形状图是( )
A.
B.
C.
D.
3. 福建的地理特点是“依山傍海”，海岸线长度居全国第二位，海岸曲折，陆地海岸线长达37515000米．数据37515000用科学记数法表示为( )
A. 3.7515×103 B. 3.7515×107 C. 0.37515×108 D. 37515×103
4. 下列运算结果为2x3的是( )
A. x3⋅x3 B. x3 +x3 C. 2x▪2x▪2x D. 2x6÷x2
5. 某科普小组有5名成员，身高分别为(单位：cm)：160，165，170，163，167.增加1名身高为165cm的成员后，现科普小组成员的身高与原来相比，下列说法正确的是( )
A. 平均数不变，方差不变 B. 平均数不变，方差变大
C. 平均数不变，方差变小 D. 平均数变小，方差不变
6. 下列地方银行的标志中，既不是轴对称图形，也不是中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
7. 不等式组x−1>0−3x+6≥0的解集在数轴上表示为( )
A. B.
C. D.
8. 如图，AB、AC为⊙O的两条切线，∠BAC=50°，点D是BC上一点、则∠BDC的大小是( )
A. 100°
B. 110°
C. 115°
D. 125°
9. 如图，在平面直角坐标系中，点A，B分别在x轴负半轴和y轴正半轴上，点C在OB上，OC：BC=1：2，连接AC，过点O作OP//AB交AC的延长线于P.若P(1,1)，则tan∠OAP的值是( )
A. 33 B. 22 C. 13 D. 3
10. 已知A(−3,−2)，B(1,−2)，抛物线y=ax2+bx+c(a>0)顶点在线段AB上运动，形状保持不变，与x轴交于C，D两点(C在D的右侧)，下列结论：
①c≥−2；
②当x>0时，一定有y随x的增大而增大；
③若点D横坐标的最小值为−5，则点C横坐标的最大值为3；
④当四边形ABCD为平行四边形时，a=12．
其中正确的是( )
A. ①③ B. ②③ C. ①④ D. ①③④
二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）
11. 分解因式：m2n−n= ______ ．
12. 若关于x的一元二次方程(k−1)x2+3x−1=0有实数根，则k的取值范围是______．
13. 若扇形的半径为3，圆心角120°，为则此扇形的弧长是 ．
14. 已知3x=5，3y=4，则32x−y=______．
15. 如图，将△ABC绕顶点A顺时针旋转60°后，得到△AB′C′，若C′恰为BC的中点，则C′D与DB′的长度之比为______ ．
16. 如图，点A在双曲线y=4x上，点B在双曲线y=kx(k≠0)上，AB//x轴，过点A作AD⊥x轴 于D.连接OB，与AD相交于点C，若AC=2CD，则k的值为______．
三、解答题（本大题共9小题，共86.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. (本小题8.0分)
解方程组：2x+3y=7x=−2y+3．
18. (本小题8.0分)
如图，在△ABC中，∠C=90°，点D是AB边上的一点，DM⊥AB，且DM=AC，过点M作ME//BC交AB于点E．
求证：△ABC≌△MED．
19. (本小题8.0分)
先化简，再求值：(1−1x−1)÷x2−4x+4x2−1，其中x=−3．
20. (本小题8.0分)
在正方形ABCD中，E是CD边上的点，过点E作EF⊥BD于F．
(1)尺规作图：在图中求作点E，使得EF=EC；(保留作图痕迹，不写作法)
(2)在(1)的条件下，连接FC，求∠BCF的度数．
21. (本小题8.0分)
某校组织读书征文比赛活动，评选出一、二、三等奖若干名，并绘成如图所示的条形统计图和扇形统计图(不完整)，请你根据图中信息解答下列问题
(1)求本次比赛获奖的总人数，并补全条形统计图；
(2)求扇形统计图中“二等奖”所对应扇形的圆心角度数；
(3)学校从甲、乙、丙、丁4位一等奖获得者中随机抽取2人参加“世界读书日”宣传活动，请用列表法或画树状图的方法，求出恰好抽到甲和乙的概率．
22. (本小题10.0分)
如图，BD为⊙O的直径，AB=AC，AD交BC于E，AE=1，ED=2．
(1)求AB的长．
(2)延长DB到F，使得BF=BO，求证：直线FA与⊙O相切．
23. (本小题10.0分)
某超市销售一种商品，每件成本为50元，销售人员经调查发现，销售单价为100元时，每月的销售量为50件，而销售单价每降低2元，则每月可多售出10件，且要求销售单价不得低于成本．
(1)求该商品每月的销售量y(件)与销售单价x(元)之间的函数关系式；(不需要求自变量取值范围)
(2)若使该商品每月的销售利润为4000元，并使顾客获得更多的实惠，销售单价应定为多少元？
(3)超市的销售人员发现：当该商品每月销售量超过某一数量时，会出现所获利润反而减小的情况，为了每月所获利润最大，该商品销售单价应定为多少元？
24. (本小题12.0分)
在Rt△ABC中，∠ACB=90°，△DEC是△ABC绕点C逆时针旋转90°所得，其中点A，点B的对应点分别是点D，点E，延长AB交DE于F，连接FC．
(1)若∠A=30°，AC=2 3，求FB的长；
(2)求证：FC平分∠EFA；
(3)求证：EF+FB= 2FC．
25. (本小题14.0分)
已知抛物线y=x2+bx+c经过A(m,n)，B(2−m,n)，C(2,−1)三点，顶点为P．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如果△PAB是等边三角形，求△PAB的面积；
(3)若直线l1：y=k1x−k1与抛物线交于D，E两点，直线l2：y=k2x−k2与抛物线交于F，G两点，DE的中点为M，FG的中点为N，且k1k2=−3.求点P到直线MN距离的最大值．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：(−3)×5=−15；
故选：A．
根据正数与负数相乘的法则得(−3)×5=−15；
本题考查有理数的乘法；熟练掌握正数与负数的乘法法则是解题的关键．
2.【答案】A
【解析】解：Rt△ABC绕直角边AC旋转一周，所得几何体是圆锥，圆锥的主视图是等腰三角形，
故选：A．
应先得到旋转后得到的几何体，找到从正面看所得到的图形即可．
本题考查了三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图．
3.【答案】B
【解析】解：把一个大数用科学记数法表示成a×10n的形式，其中1≤a<10，n等于原数的整数位数减1，
∴a=3.7515，n=8−1=7，
∴37515000=3.7515×107，
故选：B．
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值>1时，n是正数；当原数的绝对值<1时，n是负数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
4.【答案】B
【解析】解：A、x3⋅x2=x3+2=x5，故此选项不符合题意，
B、|x3|+x3=x3+x3=2x3，故此选项符合题意，
C、2x⋅2x⋅2x=8x3，故此选项不符合题意，
D、2x6÷x2=2x6−2=2x4，故此选项不符合题意，
故选：B．
A、根据同底数幂相乘法则：底数不变，指数相加，计算后判断即可，
B、根据合并同类项法则进行计算，判断即可，
C、根据单项式乘以单项式法则，计算后判断即可，
D、根据单项式除以单项式法则和合并同类项法则，进行计算判断．
本题主要考查了整式的混合运算，解题关键是熟练掌握同底数幂相乘法则，合并同类项法则，单项式乘以单项式法则，单项式除以单项式法则．
5.【答案】C
【解析】解：x原−=160+165+170+163+1675=165，S原2=585，
x新−=160+165+170+163+167+1656=165，S新2=586=293，
平均数不变，方差变小，
故选：C．
根据平均数的意义、方差的意义，可得答案．
本题考查了方差，利用方差的定义是解题关键．
6.【答案】D
【解析】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
C、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意；
D、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项符合题意．
故选：D．
根据轴对称图形和中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．
7.【答案】C
【解析】解：解不等式x−1>0，得：x>1；
解不等式−3x+6≥0，得：x≤2，
所以不等式组的解集为：1
故选：C．
先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集，最后在数轴上表示出来即可．
本题考查了解一元一次不等式组和在数轴上表示不等式组的解集，能根据不等式的解集求出不等式组的解集是解此题的关键．
8.【答案】C
【解析】解：如图连接OB、OC．
∵AB、AC是⊙O的切线，
∴OB⊥AB，OC⊥AC，
∴∠ABO=∠ACO=90°，
∵∠BAC=50°，
∴∠BOC=360°−90°−90°−50°=130°，
∴∠BD′C=12∠BOC=65°，
∴∠BDC=180°−65°=115°，
故选：C．
如图连接OB、OC.首先求出∠BOC，再根据∠BD′C=12∠BOC，∠BDC+∠BD′C=180°，即可解决问题．
本题考查切线的性质、圆周角定理，圆内接四边形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，则有一题多解．
9.【答案】C
【解析】解：如图，过点P作PQ⊥x轴于点Q，
∵OP//AB，
∴∠CAB=∠CPO，∠ABC=∠COP，
∴△OCP∽△BCA，
∴CP：AC=OC：BC=1：2，
∵∠AOC=∠AQP=90°，
∴CO//PQ，
∴OQ：AO=CP：AC=1：2，
∵P(1,1)，
∴PQ=OQ=1，
∴AO=2，
∴tan∠OAP=PQAQ=12+1=13．
故选：C．
根据OP//AB，证明出△OCP∽△BCA，得到CP：AC=OC：BC=1：2，过点P作PQ⊥x轴于点Q，根据∠AOC=∠AQP=90°，得到CO//PQ，根据平行线分线段成比例定理得到OQ：AO=CP：AC=1：2，根据P(1,1)，得到PQ=OQ=1，得到AO=2，根据正切的定义即可得到tan∠OAP的值．
本题考查了相似三角形的判定与性质，锐角三角函数的定义，根据平行线分线段成比例定理得到OQ：AO=CP：AC=1：2是解题的关键．
10.【答案】D
【解析】解：∵点A，B的坐标分别为(−3,−2)和(1,−2)，
∴线段AB与y轴的交点坐标为(0,−2)，
又∵抛物线的顶点在线段AB上运动，抛物线与y轴的交点坐标为(0,c)，
∴c≥−2，(顶点在y轴上时取“=”)，故①正确；
∵抛物线的顶点在线段AB上运动，开口向上，
∴当x>1时，一定有y随x的增大而增大，故②错误；
若点D的横坐标最小值为−5，则此时对称轴为直线x=−3，
根据二次函数的对称性，点C的横坐标最大值为1+2=3，故③正确；
令y=0，则ax2+bx+c=0，
CD2=(−ba)2−4×ca=b2−4aca2，
根据顶点坐标公式，4ac−b24a=−2，
∴4ac−b2a=−8，即b2−4aca=8，
∴CD2=1a×8=8a，
∵四边形ACDB为平行四边形，
∴CD=AB=1−(−3)=4，
∴8a=42=16，
解得a=12，故④正确；
综上所述，正确的结论有①③④．
故选：D．
根据顶点在线段AB上抛物线与y轴的交点坐标为(0,c)可以判断出c的取值范围，得到①正确；根据二次函数的增减性判断出②错误；先确定x=1时，点D的横坐标取得最大值，然后根据二次函数的对称性求出此时点C的横坐标，即可判断③正确；令y=0，利用根与系数的关系与顶点的纵坐标求出CD的长度的表达式，然后根据平行四边形的对边平行且相等可得AB=CD，然后列出方程求出a的值，判断出④正确．
本题考查了二次函数的综合题型，主要利用了二次函数的顶点坐标，二次函数的对称性，根与系数的关系，平行四边形的对边平行且相等的性质，①要注意顶点在y轴上的情况．
11.【答案】n(m+1)(m−1)
【解析】解：m2n−n，
=n(m2−1)，
=n(m+1)(m−1)．
观察原式，找到公因式n，提取公因式后发现m2−1符合平方差公式，再利用平方差公式继续分解即可．
本题考查了提公因式法与公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．
12.【答案】k≥−54且k≠1
【解析】
【分析】
本题考查了一元二次方程根的情况与判别式△的关系．
方程有实数根，则△≥0，建立关于k的不等式，求出k的取值范围．
【解答】
解：由题意知，k≠1，
∵方程有实数根，
∴△=32−4×(k−1)×(−1)=5+4k≥0，
∴k≥−54且k≠1．
故答案为k≥−54且k≠1．
13.【答案】2π
【解析】
【分析】
根据弧长的公式l=nπr180进行计算即可．
本题考查了弧长的计算．此题属于基础题，熟记弧长公式是解题的关键．
【解答】
解：∵扇形的半径为3，圆心角为120°，
∴此扇形的弧长=120π×3180=2π．
故答案为：2π
14.【答案】254
【解析】解：∵3x=5，3y=4，
∴32x−y
=(3x)2÷3y
=52÷4
=254．
故答案为：254．
先将32x−y变形为(3x)2÷3y，再结合同底数幂的除法的运算法则进行求解即可．
本题考查了同底数幂的除法，解答本题的关键在于熟练掌握该知识点的概念和运算法则．
15.【答案】1：3
【解析】解：根据旋转的性质可知：AC=AC′，∠AC′B′=∠C=60°，
∵旋转角是60°，即∠C′AC=60°，
∴△ACC′为等边三角形，
∴BC′=CC′=AC，
∴∠B=∠C′AB=30°，
∴∠BDC′=∠C′AB+∠AC′B′=90°，
即B′C′⊥AB，
∴BC′=2C′D，
∴BC=B′C′=4C′D，
∴C′D：DB′=1：3，
故答案为：1：3．
旋转60°后，AC=AC′，旋转角∠C′AC=60°，可证△ACC′为等边三角形；再根据BC′=CC′=AC，证明△BC′D为30°的直角三角形，可求线段C′D与DB′之间的数量关系．
本题考查旋转的性质，即对应点到旋转中心的距离相等以及每一对对应点与旋转中心连线所构成的旋转角相等．
16.【答案】12
【解析】解：设点A的坐标为(a,4a)，则点B的坐标为(ak4,4a)，
∵AB//x轴，AC=2CD，
∴∠BDA=∠ODC，
∵∠ACB=∠DCO，
∴△ACB∽△BCA，
∴ABOD=ACDC，
∴ABOD=21，
∵OD=a，则AB=2a，
∴点B的横坐标是3a，
∴3a=ak4，
解得，k=12，
故答案为：12．
根据题意可以设出点A的坐标，从而可以表示出点B的坐标，然后根据三角形的相似即可解答本题．
本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用反比例函数的性质和三角形相似的知识解答．
17.【答案】解：2x+3y=7①x=−2y+3②，
把②代入①得：2(−2y+3)+3y=7，
解得：y=−1，
将 y=−1 代入②，得x=2+3=5，
所以原方程组的解为x=5y=−1．
【解析】把②代入①得：2(−2y+3)+3y=7，求出y，将 y=−1 代入②求出x即可．
本题考查了解二元一次方程组，能把二元一次方程组转化成一元一次方程是解此题的关键．
18.【答案】证明：∵MD⊥AB，
∴∠MDE=∠C=90°，
∵ME//BC，
∴∠B=∠MED，
在△ABC与△MED中，∠B=∠MED∠C=∠EDMDM=AC，
∴△ABC≌△MED(AAS)．
【解析】根据平行线的性质可得出∠B=∠MED，结合全等三角形的判定定理可判断△ABC≌△MED．
此题考查了全等三角形的判定，要求掌握三角形全等的判定定理，难度一般．
19.【答案】解：原式=x−2x−1⋅(x+1)(x−1)(x−2)2
=x+1x−2，
当x=−3时，原式=−3+1−3−2=25．
【解析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再x的值代入原式进行计算即可．
本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键．
20.【答案】解：(1)如图，点E即为所求．
(2)∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BCD=90°，BC=CD．
∴∠DBC=∠CDB=45°，
∵EF⊥BD，
∴∠BFE=90°．
由(1)得EF=EC，BE=BE，
∴Rt△BFE≌Rt△BCE(HL)
∴BC=BF．
∴∠BCF=∠BFC，
∴∠BCF=180°−∠FBC2=67.5°．
【解析】(1)作∠CBD的角平分线即可．
(2)证明BF=BC，利用等腰三角形的性质即可解决问题．
本题考查作图−复杂作图，正方形的性质，角平分线的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
21.【答案】解：(1)本次比赛获奖的总人数为4÷10%=40(人)，
所以二等奖人数为40−(4+24)=12(人)，
补全条形统计图如下：
(2)扇形统计图中“二等奖”所对应扇形的圆心角度数为360°×1240=108°；
(3)树状图如图所示，
∵从四人中随机抽取两人有12种等可能的结果，恰好是甲和乙的有2种可能，
∴抽取两人恰好是甲和乙的概率是212=16．
【解析】(1)先由一等奖人数及其对应的百分比可得总人数，总人数减去一等奖、三等奖的人数即可求出二等奖的人数，从而补全图形；
(2)用360°乘以“二等奖”所占比例即可得；
(3)画出树状图，由概率公式即可解决问题．
本题考查列表法与树状图法、条形统计图，解答本题的关键是明确题意，画出相应的树状图，求出相应的概率．
22.【答案】(1)解：∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB=∠ADB，∠BAE=∠DAB，
∴△ABE∽△ADB，
∴ABAD=AEAB，
∵AE=1，DE=2，
∴AD=AE+DE=3，
∴AB3=1AB，解得AB= 3；
(2)证明：如图，连接OA，
∵BD为直径，
∴△ABD为直角三角形，
在Rt△ABD中，AB= 3，AD=3，
∴BD= AB2+AD2=2 3，
∴AB=BO=AO，
∴∠BAO=60°，
∵BF=BO，
∴BF=AB，
∴∠BAF=∠F=12∠OBA=30°，
∴∠OAF=∠OAB+∠BAF=90°，
又∵∠ADB=∠AOB，
∴直线FA与⊙O相切．
【解析】(1)先证明△ABE∽△ADB，利用相似三角形的性质可求得AB的长；
(2)连接OA，在Rt△ABD中可求得BD，可证明△AOB为等腰三角形，结合BF=BO可证明∠OAF=90°，证得结论．
本题主要考查切线的判定及相似三角形的判定和性质的应用，掌握切线的判定方法是解题的关键，即有切点时连接圆心和切点，然后证明垂直，没有切点时，过圆心作垂直，证明圆心到直线的距离等于半径．
23.【答案】解：(1)∵依题意，得：y=50+(100−x)×12×10=−5x+550，
∴y与x的函数关系式为y=−5x+550；
(2)∵依题意得：y(x−50)=4000，
即(−5x+550)(x−50)=4000，
解得：x1=70，x2=90，
∵70<90，
∴当该商品每月销售利润为4000，为使顾客获得更多实惠，销售单价应定为70元；
(3)设每月总利润为w，依题意得w=y(x−50)=(−5x+550)(x−50)=−5x2+800x−27500=−5(x−80)2+4500，
∵−5<0，此图象开口向下，
∴当x=80时，w有最大值为4500元，
∴为了每月所获利润最大，该商品销售单价应定为80元．
【解析】(1)明确题意，找到等量关系求出函数关系式即可；
(2)根据题意，按照等量关系“销售量×(售价−成本)=4000”列出方程，求解即可得到该商品此时的销售单价；
(3)设每月所获利润为w，按照等量关系列出二次函数，并根据二次函数的性质求得最值即可．
本题考查了二次函数在实际生活中的应用，根据题意找到等量关系并掌握二次函数求最值的方法是解题的关键．
24.【答案】解：(1)在Rt△ACB中，∠ACB=90°，∠A=30°，AC=2 3，
∴∠ABC=60°，BC=AC⋅tan30°=2 3× 33=2，
∵△DCE是由△ACB旋转得到，
∴∠D=∠A=30°，CD=AC=2 3，
∴BD=CD−CB=2 3−2，
∵∠DBF=∠ABC=60°，
∴∠DFB=180°−∠D−∠DBF=90°，
∴BF=12DB= 3−1．
(2)证明：如图，过点C作CM⊥DE于M，CN⊥AF于N．
∵△ACB≌△DCE，CN⊥AB，CM⊥DE，
∴CN=CM(全等三角形对应边上的高相等)，
∴CF平分∠EFA．
(3)证明：∵∠CMF=∠CNF=∠MFN=90°，
∴四边形FMCN是矩形，
∵CM=CN，
∴四边形FMCN是正方形，
∴CF= 2FM，FM=FN，
∵∠MCN=∠BCE=90°，
∴∠BCN=∠ECM，
∵∠CNB=∠CME=90°，CB=CE，
在△CNB和△CME中，
∠CNB=∠CME∠BCN=∠ECM,CB=CE,
∴△CNB≌△CME(AAS)，
∴EM=BN，
∴EF+FB=FM+EM+FN−BN=2FM= 2CF．
【解析】(1)证明∠DFB=90°，∠D=30°，推出BF=12BD，求出BD即可．
(2)如图，过点C作CM⊥DE于M，CN⊥AF于N.利用全等三角形的对应边上的高相等，证明CM=CN，可得结论．
(3)证明四边形FMCN是正方形，△CNB≌△CME(AAS)，推出EM=BN，可得结论．
本题属于几何变换综合题，考查了旋转变换，全等三角形的性质，正方形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，角平分线的判定定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，在特殊四边形解决问题．
25.【答案】解：(1)∵抛物线y=x2+bx+c经过A(m,n)，B(2−m,n)，
∴抛物线的对称轴为直线x=1，
∴−b2=1，
∴b=−2，
∵抛物线y=x2−2x+c经过C(2,−1)，
∴4−4+c=−1，
∴c=−1，
∴抛物线的解析式为：y=x2−2x−1；
(2)由(1)得抛物线的解析式为：y=x2−2x−1，对称轴为直线x=1，
令x=1，则y=1−2−1=−2，
∴P(1,−2)，
∵A(m,n)，B(2−m,n)，
∴AB//x轴，
不妨设点A在点B左侧，即m<1，如图，过点P作PQ⊥AB于点Q，
则AB=2−2m，PQ=n+2，且n=m2−2m−1，
∵△PAB是等边三角形，
∴∠ABP=60°，BQ=12AB=1−m，
在Rt△BPQ中，∠ABP=60°，
∴PQ= 3BQ，即m2−2m−1+2= 3(1−m)，
解得m=1(舍)或m=1− 3．
∴AB=2−2m=2 3，BQ= 3，
∴PQ= 3BQ=3，
∴S△PAB=12⋅AB⋅PQ=12×2 3×3=3 3．
(3)联立直线l1：y=k1x−k1和抛物线y=x2−2x−1，
∴y=k1x−k1y=x2−2x−1，
整理得，x2−(2+k1)x−1+k1=0，
∴xD+xE=2+k1，
同理可得，xF+xG=2+k2，
∵点M是DE的中点，点N是FG的中点，
∴xM=xD+xE2=1+k12，xN=xF+xG2=1+k22，
∴yM=k1⋅(1+k12)−k1=k122，yN=k2⋅(1+k22)−k2=k222，
∴M(1+k12,k122)，N(1+k22,k222)，
∴直线MN的解析式为：y=(k1+k2)(x−1−k12)+k122，
∵k1k2=−3，
∴直线MN的解析式为：y=(k1−3k1)(x−1−k12)+k122=(k1−3k1)(x−1)+32，
∴当x=1时，y=32，即直线MN过定点K(1,32)，
∴点P到直线MN距离的最大值为PK的长，即为72．
【解析】(1)根据点A和点B的坐标，可得出抛物线的对称轴为直线x=1，由此可得出b的值，把点C坐标代入即可求出c；
(2)由A，B的坐标可知AB//x轴，过点P作PQ⊥AB于点Q，根据等边三角形的性质可得出m和n等量关系，由此求出n的值，进而可求出△PAB的面积；
(3)分别联立直线l1，直线l2和抛物线的解析式，根据根与系数的关系分别表示出点M和点N的坐标，求出直线MN的解析式，得出直线MN过定点(1,32)，根据三角形三边关系可得点P到直线MN距离的最大值．
本题属于二次函数综合题，涉及待定系数法求函数解析式，抛物线的对称性，等边三角形的性质与判定，中点坐标公式等知识，(3)关键得出直线MN过定点K．
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