2022-2023学年湖北省鄂州市梁子湖区八年级（下）期末数学试卷（含解析）

这是一份2022-2023学年湖北省鄂州市梁子湖区八年级（下）期末数学试卷（含解析），共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2022-2023学年湖北省鄂州市梁子湖区八年级（下）期末数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 2的相反数是(    )
A. − 2 B. 2 C. −2 D. 22
2. 下列二次根式是最简二次根式的是(    )
A. 0.2 B. 5 C. 24 D. 32
3. 小华所在的九年级一班共有50名学生，一次体检测量了全班学生的身高，由此求得该班学生的平均身高是1.65米，而小华的身高是1.66米，下列说法错误的是(    )
A. 1.65米是该班学生身高的平均水平 B. 班上比小华高的学生人数不会超过25人
C. 这组身高数据的中位数不一定是1.65米 D. 这组身高数据的众数不一定是1.65米
4. 甲、乙两班的学生人数相等，参加了同一次数学测试，两班的平均分分别为x.甲=82分，x.乙=82分，方差分别为s甲2=2.45，S乙2=1.90，那么成绩较为整齐的是(    )
A. 甲班 B. 乙班 C. 两班一样整齐 D. 无法确定
5. 如图，在▱ABCD中，已知AD=8cm，AB=6cm，DE平分∠ADC交BC边于点E，则BE等于(    )


A. 2cm B. 4cm C. 6cm D. 8cm
6. 如图，已知直线y=mx过点A(−2,−4)，过点A的直线y=nx+b交x轴于点B(−4,0)，则关于x的不等式nx+b≤mx的解集为(    )
A. x≤−2
B. −4 C. x≥−2
D. −2≤x<0


7. 如图，把含30°的直角三角板ABC绕点B顺时针旋转至如图△EBD，使BC在BE上延长AC交DE于F，若AF=8，则AB的长为(    )
A. 4
B. 4 2
C. 4 3
D. 6
8. 如图，矩形ABCD的对角线AC，BD交于点O，AB=6，BC=8，E是AD上一点，过点E作EF⊥BD，垂足为F，EH⊥AC，垂足为H，则EF+EH的值为(    )


A. 485 B. 325 C. 245 D. 123
9. 两张宽度相同(AB=AF)的矩形纸片ABCD，AECF按如图方式交叉叠放在一起，AE=BC，若AB=1，BC=3，则图中重叠(阴影)部分的面积为(    )
A. 2
B. 3
C. 33
D. 53
10. 如图，在平面直角坐标系中，点A(1,5)，B(5,1)，C(m,−m)，当△ABC的周长最小时，则m的值为(    )
A. 0
B. 1
C. −1
D. 2
二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）
11. 化简： (−3)2=______．
12. 代数式 x+1在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是______ ．
13. 已知菱形的两条对角线长分别是4和8，则菱形的面积为______．
14. 已知：正方形ABCD的边长为8，点E、F分别在AD、CD上，AE=DF=2，BE与AF相交于点G，点H为BF的中点，连接GH，则GH的长为______．


15. 快车从甲地驶往乙地，慢车从乙地驶往甲地，两车同时出发并且在同一条公路上匀速行驶.图中折线表示快、慢两车之间的距离y(km)与它们的行驶时间x(h)之间的函数关系.以下结论：①快车途中停留了0.5h；②快车速度比慢车速度多20km/h；③图中a=340；④快车先到达目的地.其中正确的是______ .(将正确答案的序号填在横线)

16. 如图，△ABC中，∠B=30°，∠ACB=90°，AB=4动点D在边BC上运动，将线段AD绕点A逆时针旋转60°得AP，取AP的中点M，当点D从点B开始向右运动到点C时结束，则对应的点M所经过的路线的长度为______ ．

三、解答题（本大题共8小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. (本小题8.0分)
计算：
(1)(2 48−3 27)÷ 6；
(2)( 3+1)2−( 3−1)2．
18. (本小题8.0分)
在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，过点O作直线EF分别交边AD、BC于点E、F.求证：DE=BF．

19. (本小题8.0分)
如图，在每个小正方形边长为1的方格纸中，△ABC的顶点都在方格纸格点上.请用无刻度的直尺完成下列作图：
(1)请在图中画出以AC为对角线的平行四边形ABCD；
(2)再在图中画出平行四边形ABCD中BC边上的高AE；直接写出AE的长为______ ．

20. (本小题8.0分)
某公司为了了解员工每人所创年利润情况，公司从各部抽取部分员工对每年所创年利润情况进行统计，并绘制如图1、图2的统计图．
(1)求抽取员工总人数，并将图补充完整；
(2)每人所创年利润的众数是______ ，每人所创年利润的中位数是______ ；
(3)若每人创造年利润10万元及以上为优秀员工，在公司1200名员工中有多少人可以评为优秀员工？


21. (本小题8.0分)
学习一次函数时，我们通过列表、描点、连线画出一次函数图象，并结合函数图象研究函数性质.小米结合学习一次函数的经验，对函数y=|x−1|的图象和性质进行了研究，下面是小米的探讨过程，请补充完整：
(1)列表：
x
…
−2
−1
0
1
3
…
y
…
m
2
1
0
n
…
表格中m= ______ ，n= ______ ；
(2)描点、连线；
①在图中画出该函数图象；
②结合图象，写出该函数的一条性质：______ ；
(3)过点(−1,0)作直线l：y=kx+b，结合所画的函数图象，若直线l与函数y=|x−1|的图象有两个交点，则k的取值范围是______ (直接写出结果)．

22. (本小题10.0分)
某超市计划销售两种商品A和B，经调查，用16000元采购A型商品的件数是用7500元采购B型商品的件数的2倍，一件A型商品的进价比一件B型商品的进价多10元．
(1)求一件A，B型商品的进价分别为多少元？
(2)该超市购进A，B型商品共250件进行试销，其中A型商品的件数不大于B型的件数，且不小于80件，已知A型商品的售价为240元/件，B型商品的售价为220元/件，且全部售出.设购进A型商品x件，求该超市销售这批商品的利润y与x之间的函数解析式，并写出x的取值范围；
(3)在(2)的条件下，超市决定在试销活动中每售出一件A型商品，就从一件A型商品的利润中捐献慈善资金m元，该超市售完所有商品并捐献慈善资金后获得的最大收益为17340元，直接写出m的值．
23. (本小题10.0分)
【操作发现】由(a−b)2≥0得，a2+b2≥2ab；如果两个正数a，b，即a>0，b>0，则有下面的不等式：a+b≥2√ab，当且仅当a=b时取到等号．
例如：已知x>0，求式子x+4x的最小值．
解：令a=x,b=4x则由a+b≥2 ab得x+4x≥2 x⋅4x=4，当且仅当x=4x时，
即x=2时式子有最小值，最小值为4．
【问题解决】请根据上面材料回答下列问题：
(1)已知x>0，当x= ______ 时，代数式x+9x的最小值为______ ．
【灵活运用】(2)当x>2时，求x+1x−2的最小值；
【学以致用】(3)如图，民民同学想做一个菱形风筝，现在有一根长120cm的竹竿，他准备把它截成两段做成风筝的龙骨即菱形的对角线AC，BD，请你帮他设计一下，当AC= ______ cm时菱形的面积最大，最大值为______ cm2(直接写出结果)．

24. (本小题12.0分)
直线y=− 33x+3与x轴交于点B，与y轴交于点A，D是△ABO内一点，将△ABD绕点B顺时针旋转60°得到△EBF，连接AE，DF，分别取DF，AF，AE的中点M，N，P，连接PM，PN．
(1)直接写出点A，B，E，P的坐标：A(______ )，B(______ )，E(______ )，P(______ )；
(2)当点D在△ABO内移动时，求AD+OD+BD的最小值；
(3)若F(5 32,3)求PM的长．


答案和解析

1.【答案】A 
【解析】解：根据相反数的含义，可得
2的相反数是− 2．
故选：A．
根据相反数的含义，可得求一个数的相反数的方法就是在这个数的前边添加“−”，据此解答即可．
此题主要考查了相反数的含义以及求法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：相反数是成对出现的，不能单独存在；求一个数的相反数的方法就是在这个数的前边添加“−”．

2.【答案】B 
【解析】解：A、 0.2= 15= 55，故A不符合题意；
B、 5是最简二次根式，故B符合题意；
C、 24=2 6，故C不符合题意；
D、 32=4 2，故D不符合题意；
故选：B．
根据最简二次根式的定义，逐一判断即可解答．
本题考查了最简二次根式，熟练掌握最简二次根式的定义是解题的关键．

3.【答案】B 
【解析】
【分析】
本题考查了平均数，中位数，众数的概念，理解其概念是本题的解题关键．
根据平均数，中位数，众数的概念逐项分析即可．
【解答】
解：A.1.65米是该班学生身高的平均水平，故A正确；
B.因为小华的身高是1.66米，不是中位数，不能判断班上比小华高的学生人数是否超过25人，故B错误；
C.这组身高数据的中位数不一定是1.65米，故C正确；
D.这组身高数据的众数不一定是1.65米，故D正确．
故选B．  
4.【答案】B 
【解析】解：∵s甲2=2.45，S乙2=1.90，
∴s甲2>S乙2，
∴成绩较为整齐的是乙班；
故选：B．
根据方差的意义可作出判断．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
本题考查方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．

5.【答案】A 
【解析】解：根据平行四边形的性质得AD//BC，
∴∠EDA=∠DEC，
又∵DE平分∠ADC，
∴∠EDC=∠ADE，
∴∠EDC=∠DEC，
∴CD=CE=AB=6，
即BE=BC−EC=8−6=2．
故选：A．
由平行四边形对边平行根据两直线平行，内错角相等可得∠EDA=∠DEC，而DE平分∠ADC，进一步推出∠EDC=∠DEC，在同一三角形中，根据等角对等边得CE=CD，则BE可求解．
本题直接通过平行四边形性质的应用，及等腰三角形的判定，属于基础题．

6.【答案】C 
【解析】解：由图象可知，当−2≤x时，直线y=nx+b在直线y=mx下方，
∴当−2≤x时，nx+b≤mx<0，
故选：C．
由图象可求解．
本题考查了一次函数与一元一次不等式，一次函数的性质，理解图象是本题的关键．

7.【答案】C 
【解析】解：∵把含30°的直角三角板ABC绕点B顺时针旋转得到△EBD，
∴AB=BE，
∴∠A=∠E=30°，
∵∠ACB=90°，
∴∠EDB=90°，
设BC=x，则AB=BE=2x，
∴CE=BE−BC=x，AC= AB2−BC2= 3x，
∵∠ECF=90°，∠E=30°，
∴CF=12EF，
∵CE=x，
∴CF= 33x，
∵AF=8，
∴ 3x+ 33x=8，
∴x=2 3，
∴AB=2x=4 3，
故选：C．
根据旋转的性质得到AB=BE，∠A=∠E=30°，设BC=x，根据直角三角形的性质得到AB=DE=2x，根据勾股定理得到AC= AB2−BC2= 3x，可得CF= 33x，由AF=8列方程即可得到答案．
本题考查了旋转的性质，含30°角的直角三角形的性质，勾股定理，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．

8.【答案】C 
【解析】解：连接OE，如图：

∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC=90°，AC=BD，OA=12AC，OD=12BD，
∴OA=OD，
在Rt△ABC中，
AC= AB2+BC2= 62+82=10，
∴OA=OD=5，
∵S△OAE+S△ODE=S△AOD=14S矩形ABCD′，
∵12OA⋅EH+12OD⋅EF=14AB⋅BC，
且12×5×EH+12×5×EF=14×6×812×5×(EH+EF)=14×6×8，
解得：EH+EF=245，
故选：C．
连接OE，根据矩形的性质可推得OA=OD，根据勾股定理即可求得OA=OD=5，再S△OAE+S△ODE=S△AOD=14S矩形ABCD′即可求解．
本题考查了矩形的性质，勾股定理，解题的关键借助S△OAE+S△ODE=S△AOD=14S矩形ABCD′进行求解．

9.【答案】D 
【解析】解：∵四边形ABCD和四边形AECF是全等的矩形，
∴AB=CE，∠B=∠E=90°，AD//BC，AE//CF，
∴四边形AGCH是平行四边形，
在△ABG和△CEG中，
∠B=∠E∠AGE=∠CGEAB=CE，
∴△ABG≌△CEG(AAS)，
∴AG=CG，
又∵四边形AGCH是平行四边形，
∴四边形AGCH是菱形，
设AG=CG=x，
则BG=BC−CG=3−x，
在Rt△ABG中，由勾股定理得12+(3−x)2=x2，
解得x=53，
∴图中重叠(阴影)部分的面积=CG⋅AB=53×1=53，
故选：D．
由四边形ABCD和四边形AECF是全等的矩形，得出AB=CE，∠B=∠E=90°，AD//BC，AE//CF，所以四边形AGCH是平行四边形，在△ABG和△CEG中，利用AAS证明两个三角形全等，得出AG=CG，又因为四边形AGCH是平行四边形，推出四边形AGCH是菱形，设AG=CG=x，则BG=BC−CG=3−x，在Rt△ABG中，由勾股定理得12+(3−x)2=x2，解得x=53，所以图中重叠(阴影)部分的面积=CG⋅AB=53×1=53．
本题考查矩形的性质，菱形的判定与性质，解题的关键是掌握相关知识．

10.【答案】A 
【解析】解：把点A(1,5)，B(5,1)代入y=ax+b得：
5=a+b1=5a+b，
解得：a=−1b=6，
所以线段AB的垂直平分线为y=x，
∵C(m,−m)，△ABC的周长最小时，
∴点C在直线y=−x与直线y=x上，
∴点C(m,−m)是原点，即m=0．
故选：A．
根据题意可求得直线AB为y=−x+6，线段AB的垂直平分线为y=x，点C(m,−m)的轨迹为直线y=−x，两直线交点为原点(0,0)，所以m=0．
本题考查了直角坐标系中点的坐标与一次函数的图象，解题的关键是熟练掌握直角坐标系中点的坐标与一次函数图象的性质．

11.【答案】3 
【解析】解： (−3)2= 9=3，
故答案为：3．
先算出(−3)2的值，再根据算术平方根的定义直接进行计算即可．
本题考查的是算术平方根的定义，把 (−3)2化为 9的形式是解答此题的关键．

12.【答案】x≥−1 
【解析】解：根据题意得，x+1≥0，
∴x≥−1．
故答案为：x≥−1．
根据二次根式的被开方数是非负数即可得出答案．
本题考查了二次根式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．

13.【答案】16 
【解析】解：∵菱形的两条对角线长分别是4和8，
∴菱形的面积为：12×4×8=16．
故答案为：16．
直接利用菱形的面积等于对角线乘积的一半，进而得出答案．
此题主要考查了菱形的性质，正确把握菱形面积求法是解题关键．

14.【答案】5 
【解析】解：∵四边形ABCD为正方形，
∴∠BAE=∠D=90°，AB=AD，
∵AB=AD，∠BAE=∠D，AE=DF
∴△ABE≌△DAF(SAS)，
∴∠ABE=∠DAF，
∵∠ABE+∠BEA=90°，
∴∠DAF+∠BEA=90°，
∴∠AGE=∠BGF=90°，
∵点H为BF的中点，
∴GH=12BF，
∵BC=8，CF=CD−DF=8−2=6
∴BF= BC2+CF2=10
∴GH=5
故答案为：5
根据正方形的四条边都相等可得AB=AD，每一个角都是直角可得∠BAE=∠D=90°，然后利用“边角边”证明△ABE≌△DAF得∠ABE=∠DAF，进一步得∠AGE=∠BGF=90°，从而知GH=12BF，利用勾股定理求出BF的长即可得出答案．
本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形两锐角互余等知识，掌握三角形全等的判定方法与正方形的性质是解题的关键．

15.【答案】②③ 
【解析】解：根据题意可知，两车的速度和为：360÷2=180(km/h)，
慢车的速度为：88÷(3.6−2.5)=80(km/h)，则快车的速度为100km/h，
所以快车速度比慢车速度多20km/h；故②结论正确；
(3.6−2.5)×80=88(km)，
故相遇后慢车停留了0.5h，快车停留了1.6h，此时两车距离为88km，故①结论错误；
88+180×(5−3.6)=340(km)，
所以图中a=340，故③结论正确；
快车到达终点的时间为360÷100+1.6=5.2小时，
慢车到达终点的时间为360÷80+0.5=5小时，
因为5.2>5，
所以慢车先到达目的地，故④结论错误．
所以正确的是②③．
故答案为：②③．
根据题意可知两车出发2小时后相遇，据此可知他们的速度和为180(km/h)，相遇后慢车停留了0.5h，快车停留了1.6h，此时两车距离为88km，据此可得慢车的速度为80km/h，进而得出快车的速度为100km/h，根据“路程和=速度和×时间”即可求出a的值，从而判断出谁先到达目的地．
本题考查了一次函数的应用，行程问题中数量关系的运用，函数图象的意义的运用，解答时读懂函数图象，从图象中获取有用信息是解题的关键．

16.【答案】 3 
【解析】解：如图所示，把AC绕点A逆时针旋转60°得AP2，取AP2的中点M2，连接CM2．

∵线段AD绕点A逆时针旋转60°得AP，
∴AD=AP，∠BAP=60°，∠CAP2=60°．
∴当点D与点B重合时，点M与点C重合时，△ABP1是等边三角形；当点D与点C重合时，点M在M2处，△ACP2是等边三角形．
∴连接C、M2两点，CM2为点M的运动路线．
∵M2是AP2的中点，
∴CM2⊥AP2，∠ACM2=∠P2CM2=30°．
∴AC=2AM2．
∵在△ABC中，∠B=30°，∠ACB=90°，AB=4，
∴AC=12AB=2．
∴AM2=1．
∴在Rt△ACM2中，AC2=AM2+CM22．
∴CM2= 3．
故答案为： 3．
依据题意，把AC绕点A逆时针旋转60°得AP2，取AP2的中点M2，连接CM2.由AD=AP，从而△ACP2是等边三角形，根据等边三角形的性质，得CM2⊥AP2，∠ACM2=∠P2CM2=30°，根据直角三角形中，30°所对直角边是斜边的一半，再根据勾股定理，即可得解．
本题主要考查了动点问题与几何的综合，解题的关键是掌握等边三角形的判定和性质，熟练掌握勾股定理运用、旋转的性质、动点的运动轨迹等．

17.【答案】解：(1)(2 48−3 27)÷ 6
=(8 3−9 3)÷ 6
=− 3÷ 6
=− 22；
(2)( 3+1)2−( 3−1)2．
=4+2 3−(4−2 3)
=4+2 3−4+2 3
=4 3． 
【解析】(1)利用二次根式的除法法则，进行计算即可解答；
(2)利用完全平方公式，进行计算即可解答．
本题考查了二次根式的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键．

18.【答案】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，OB=OD，
∴∠ODE=∠OBF，
在△DOE和△BOF中，
∠ODE=∠OBFOB=OD∠DOE=∠BOF，
∴△△DOE≌△BOF(ASA)，
∴DE=BF． 
【解析】由四边形ABCD是平行四边形，可得AD//BC，OB=OD，继而可利用ASA，判定△DOE≌△BOF，继而证得DE=BF．
本题主要考查平行四边形的性质及全等三角形的判定，应熟练掌握．

19.【答案】 102 
【解析】解：(1)如图，平行四边形ABCD即为所求；

(2)∵S平行四边形ABCD=BC⋅AE，
∴3×4−2−2×12×1×2−2×12×1×3= 10×AE，
∴AE= 102．
故答案为： 102．
(1)根据平行四边形的定义画出图形；
(2)利用分割法求出平行四边形ABCD的面积，可得结论．
本题考查作图−应用于设计作图，勾股定理，平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．

20.【答案】8万元  8万元 
【解析】解：(1)3万元的员工的百分比为：1−36%−20%−12%−24%=8%，
抽取员工总数为：4÷8%=50(人)，
5万元的员工人数为：50×24%=12(人)，
8万元的员工人数为：50×36%=18(人)．
；
(2)每人所创年利润的众数是8万元，每人所创年利润的中位数是8万元，
故答案为：8万元，8万元．
(3)1200×10+650=384(人)．
答：在公司1200员工中有384人可以评为优秀员工．
(1)根据扇形中各部分所占的百分比的和是1，即可求得3万元的员工所占的百分比，然后根据百分比的意义求得直方图中缺少部分的人数；
(2)根据众数、中位数的定义求解；
(3)利用总数1200乘以对应的比例即可求解．
本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．

21.【答案】3  2  当x=1时，函数y=|x−1|有最小值0(答案不唯一)  a<3 
【解析】解：(1)当x=−2时，m=|−2−1|=3，
当x=3时，n=|3−1|=2．
故答案为：3，2；
(2)①以(1)中表格中x，y的对应值作为点的横纵坐标在坐标系中分别描出各点，
画出如图所示的折线即为所画的函数y=|x−1|的图象；


②∵图象有最高点(1,3)，
∴该函数具有的一条性质：当x=1时，函数y=|x−1|有最小值0．
故答案为：当x=1时，函数y=|x−1|有最小值0(答案不唯一)；
(3)∵直线l与函数y=|x−1|图象有两个交点，
∴画出直线l的大致图象如图：

由图象可以看出直线l在(1,3)下方时，直线l与函数y=|x−1|图象有两个交点．
∴a的取值范围为k<1．
(1)将x的值代入对应的解析式即可求得m，n的值；
(2)①依据表格中对应的x，y的值作为横纵坐标，在坐标系中描出各点，然后画出函数图象即可；
②结合图象，利用图象有最高点，可得：当x=1时，函数y=3−|x−1|有最大值3；
(3)依据题意画出图形，结合所画的函数图象，观察得到当直线l在点(1,3)的下方时满足条件，由此可得a的取值范围．
本题主要考查了一次函数的图象上点的坐标的特征，一次函数的图象的画法，一次函数的性质．画出函数的图象，利用数形结合法是解题的关键．

22.【答案】解：(1)设一件A型商品的进价为n元，则一件B型商品的进价为(n−10)元，
根据题意得：16000n=7500n−10×2，
解得n=160，
经检验，n=160是原方程的解，
∴n−10=160−10=150，
∴一件A型商品的进价为160元，则一件B型商品的进价为150元；
(2)∵A型商品的件数不大于B型的件数，且不小于80件，
∴x≤250−xx≥80，
解得80≤x≤125，
根据题意得y=(240−160)x+(220−150)(250−x)=10x+17500，
∴y与x之间的函数解析式为y=10x+17500(80≤x≤125)；
(3)设该客商售完所有商品并捐献慈善资金后获得的收益是w元，
根据题意得：w=y−mx=(10−m)x+17500，
当m<10时，w随x的增大而增大，
∴x=125时，w最大，
∴125(10−m)+17500=17340，
解得m=11.28(大于10，舍去)；
当m=10时，w=17500元，不符合题意；
当m>10时，w随x的增大而减小，
∴x=80时，w最大，
∴80(10−m)+17500=17340，
解得m=12；
综上所述，m的值为12． 
【解析】(1)设一件A型商品的进价为n元，则一件B型商品的进价为(n−10)元，根据用16000元采购A型商品的件数是用7500元采购B型商品的件数的2倍，列出方程即可解决问题；
(2)根据总利润=两种商品的利润之和列式即可解决问题；
(3)设该客商售完所有商品并捐献慈善资金后获得的收益是w元，w=(10−m)x+17500，分三种情况讨论即可．
本题考查分式方程和一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出方程和函数关系式．

23.【答案】3  6  60  1800 
【解析】解：(1)令a=x，b=9x，
则由a+b≥2 ab，得x+9x≥2 x⋅9x=6，
当且仅当x=9x时，即x=3时，式子有最小值，最小值为6，
故答案为：3，6；
(2)当x>2时，x+1x−2=x−2+1x−2+2，
令x−2=a，1x−2=b，
则由a+b≥2 ab，得x−2+1x−2+2≥2 (x−2)⋅1x−2+2=4，
当且仅当x−2=1x−2时，即x=3时，式子有最小值，最小值为4；
(3)设AC=x cm，则BD=(120−x)cm，菱形ABCD的面积为Scm2，
则S=12AC⋅BD=12x(120−x)=−12(x−60)2+1800，
∵−12<0，
∴当x=60时，S由最大值，最大值为1800，
即当AC=6cm时，菱形的面积最大，最大值为1800cm2．
故答案为：6，1800．
(1)根据题意a>0，b>0，则有不等式a+b≥2 ab，当且仅当a=b时取到等号，即可得出答案；
(2)把x+1x−2转化为x−2+1x−2+2，再根据a>0，b>0，则有不等式a+b≥2 ab，当且仅当a=b时取到等号，即可得出答案；
(3)设AC=x cm，则BD=(120−x)cm，菱形ABCD的面积为Scm2，根据菱形的面积公式列出函数解析式，由函数的性质求最值．
本题考查了新定义和二次函数在最值问题中的应用，关键是对新定义的应用和二次函数性质的掌握．

24.【答案】0，3  3 3，0  3 3，6 3 32，92 
【解析】解：(1)当y=0时，x=3 3，
∴B(3 3,0)，
当x=0时，y=3，
∴A(0,3)，
∴OA=3，OB=3 3，
∴AB=6，
∴∠ABO=30°，
∵△ABD绕点B顺时针旋转60°得到△EBF，
∴∠OBE=90°，
∴E(3 3,6)，
∴P是AE的中点，
∴P(3 32,92)，
故答案为：0，3，3 3，0，3 3，6，3 32，92；
(2)将△OBD绕点O顺时针旋转60°，得到△OB′D′，
连接AB′，DD′，过点B′作B′K⊥BO交于K点，
∴∠ODD′=60°，
∴△ODD′是等边三角形，
∴DD′=OD，
∴AD+OD+BD=AD+DD′+BD′≥AB′，
∵∠BOB′=60°，OB=OB′=3 3，
∴OK=3 32，B′K=92，
∴B′(3 32,−92)，
∴OB′=3 3，
∴AD+OD+BD的最小值为3 3；
(3)由旋转可得，AD=EF，BF=BD，
设D(x,y)，
∴x2+(y−3)2=394，(3 3−x)2+y2=394，
解得x=54 3或x=7 34(舍)，
∴D(54 3,34)，
∵M是DF的中点，
∴M(15 38,158)，
∴PM=3 134．
(1)根据旋转的性质，可知∠OBE=90°，求E点坐标，再由中点坐标公式求点P的坐标即可；
(2)将△OBD绕点O顺时针旋转60°，得到△OB′D′，连接AB′，DD′，过点B′作B′K⊥BO交于K点，则△ODD′是等边三角形，可知AD+OD+BD=AD+DD′+BD′≥AB′，求出OB′=3 3，即可求AD+OD+BD的最小值为3 3；
(3)由旋转可得，AD=EF，BF=BD，设D(x,y)，根据方程x2+(y−3)2=394，(3 3−x)2+y2=394，求出D(54 3,34)，然后再求PM=3 134．
本题考查一次函数的图象及性质，熟练掌握一次函数的图象及性质，旋转的性质，两点间距离公式，此题计算量较大，准确计算是解题的关键．