2023年云南省昭通市昭阳区一模数学试题（含解析）

这是一份2023年云南省昭通市昭阳区一模数学试题（含解析），共20页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2023年云南省昭通市昭阳区一模数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题
1．（    ）
A．2023 B． C． D．
2．在党中央的领导下，经过两年的战斗，新型冠状病毒引发的肺炎疫情得到了有效控制．研究发现，某种新型冠状变异病毒的直径约为224纳米，1纳米米，若用科学记数法表示224纳米，则正确的结果是（    ）
A．米 B．米
C．米 D．米
3．从，0，5，，中随机任取一数，取到无理数的概率是（    ）
A． B． C． D．
4．如图，不能判定的条件是（    ）

A． B． C． D．
5．若点，都在直线上，则与的大小关系是（    ）
A． B． C． D．
6．如图，已知，，的面积为9，则的面积为（    ）
  
A．1 B．2 C．3 D．9
7．下列说法正确的是（    ）
A．“打开电视机，正在播放《新闻联播》”是必然事件
B．“石家庄明天降雪的概率为0.6”，表示石家庄明天一定降雪
C．一组数据2，4，5，5，3，6的众数和中位数分别是5和4.5
D．“掷一枚硬币正面朝上的概率是”表示每抛掷硬币2次就有1次正面朝上
8．下列几何体中的主（正）视图，是轴对称图形但不是中心对称图形的是（    ）
A． B． C． D．
9．若a、b是菱形的两条对角线的长，且a、b是一元二次方程的两个根，则菱形的周长为（    ）
A．16 B．20 C． D．
10．按一定规律排列的等式：……，按此规律（　　）
A． B． C． D．
11．如图，是的直径，弦与垂直，垂足为点，连接并延长交于点，，，则图中阴影部分的面积为（    ）

A． B． C． D．
12．《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，共分三卷，在卷下中记载了这样一个问题：“今有甲、乙二人，持钱各不知数．甲得乙中半，可满四十八．乙得甲太半，亦满四十八．问甲、乙二人持钱各几何？”译文大致为：“甲、乙两人带着钱，不知道是多少．若甲得到乙钱数的，则甲的钱数为48．若乙得到甲钱数的，则乙的钱数也为48．问甲、乙各有多少钱？”设甲持钱x，乙持钱y，则根据题意可以列出方程组为（    ）
A． B． C． D．

二、填空题
13．函数的自变量的取值范围是 ．
14．点与点关于原点对称，则 ．
15．已知等腰三角形的两边长a，b，满足，那么这个等腰三角形的周长为 ．
16．已知，，点C是x轴正半轴上一点，D是同一平面内一点，若以A、B、C、D为顶点的四边形是菱形，则点D的坐标为 ．

三、解答题
17．计算：．
18．如图，在△中，是上一点，是的中点，点在线段的延长线上，且．

（1）求证：△≌△；
（2）若，且，求的值．
19．在全国中小学生安全教育日，某校为加强学生的安全意识，组织了全校学生参加安全知识竞赛，从中抽取了部分学生成绩（得分取正整数，满分为100分）进行统计，绘制了图中两幅不完整的统计图．

（1） ， ；
（2）求出组的频数    ；                
（3）该校共有2000名学生若成绩在70分以下（含70分）的学生安全意识不强，有待进一步加强安全教育，则该校安全意识不强的学生约有多少人？
20．第24届冬季奥林匹克运动会于2022年2月4至20日在我国北京-张家口成功举办，其中张家口赛区设有四个冬奥会竞赛场馆，分别为：A．云顶滑雪公园、B．国家跳台滑雪中心、C．国家越野滑雪中心、D．国家冬季两项中心．小明和小颖都是志愿者，他们被随机分配到这四个竞赛场馆中的任意一个场馆的可能性相同．
(1)小明被分配到D．国家冬季两项中心场馆做志愿者的概率是多少？
(2)利用画树状图或列表的方法，求小明和小颖被分配到同一场馆做志愿者的概率．
21．如图，菱形的对角线，相交于点O，E是的中点，点F，G在上，，．

(1)求证：四边形是矩形；
(2)若，，求的长．
22．新华书店销售一个系列的儿童书刊，每套进价100元，销售定价为140元，一天可以销售20套．为了扩大销售，增加盈利，减少库存，书店决定采取降价措施．若一套书每降价1元，平均每天可多售出2套．设每套书降价元时，书店一天可获利润元．
(1)求出与的函数关系式；
(2)若要书店每天盈利1200元，则每套书销售定价应为多少元？
(3)当每套书销售定价为多少元时，书店一天可获得最大利润？这个最大利润为多少元？
23．如图所示，是的直径，点在上，点在上，，的延长线交于点．

(1)在的延长线上取一点，使，求证：是的切线；
(2)若，，求图中阴影部分的面积．
24．已知二次函数．
(1)若，，且该二次函数的图象过点，求c的值；
(2)如图所示，在平面直角坐标系中，该二次函数的图象与轴相交于不同的两点，、，，其中、，且该二次函数的图象的顶点在矩形的边上，其对称轴与轴、分别交于点、，与轴相交于点，且满足．
①求关于x的一元二次方程的根的判别式的值；
②若，令，求T的最小值．
阅读材料：十六世纪的法国数学家弗朗索瓦韦达发现了一元二次方程的根与系数之间的关系，可表述为“当判别式时，关于的一元二次方程的两个根、有如下关系：，”．此关系通常被称为“韦达定理”．


参考答案：
1．A
【分析】根据负数的绝对值等于它的相反数，即可求解．
【详解】解：，
故选A．
【点睛】本题考查求一个数的绝对值，解题的关键是掌握负数的绝对值等于它的相反数．
2．D
【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正整数；当原数的绝对值时，n是负整数．
【详解】解：∵1纳米米，
∴224纳米米=米，
故选：D．
【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
3．B
【分析】在，0，5，，中，其中无理数是，，无理数的个数有2个，即可得．
【详解】解：在，0，5，，中，其中无理数是，，无理数的个数有2个，
∴取到无理数的概率是：，
故选：B．
【点睛】本题考查了概率，解题的关键是掌握无理数的概念和概率公式．
4．D
【分析】分别利用同旁内角互补，两直线平行，内错角相等，两直线平行得出答案即可．
【详解】解：A、，，本选项不合题意；
B、，，本选项不合题意；
C、，，本选项不符合题意；
D、，，不能得到，本选项符合题意．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了平行线的判定，平行线的判定方法有：同位角相等两直线平行；内错角相等两直线平行；同旁内角互补两直线平行，熟练掌握平行线的判定是解本题的关键．
5．B
【分析】根据一次函数的增减性进行求解即可．
【详解】解：∵一次函数解析式为，，
∴y随x增大而减小，
∵，
∴，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了一次函数的增减性，熟知对于一次函数（k为常数，），当时，y随x增大而增大；当 时，y随x增大而减小是解题的关键．
6．A
【分析】利用相似三角形的性质求解即可．
【详解】∵，
∴，
∴，
∵，的面积为9，
∴，解得，
故选：A．
【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质，熟记两个相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．
7．C
【分析】结合随机事件，概率，中位数和众数的概念意义判断，即可得出答案．
【详解】A. “打开电视机，正在播放《新闻联播》”是随机事件，故本选项不符合题意；
B.“石家庄明天降雪的概率为0.6”，表示石家庄明天降雪的可能性为0.6，故本选项不符合题意；
C.一组数据2，4，5，5，3，6的众数和中位数分别是5和4.5，故本选项符合题意；
D.“掷一枚硬币正面朝上的概率是”表示大量重复实验下，投掷硬币正面向上次数占一半，故本选项不符合题意．
故选C．
【点睛】本题考查随机事件，众数和中位数，以及概率的意义，熟记这些概念是解题的关键．
8．C
【分析】根据各个几何体的特点得出各自的主视图，然后根据轴对称和中心对称图形的性质分别判断即可．
【详解】A.球的主视图是圆，圆既是轴对称图形，又是中心对称图形，故选项A错误，不符合题意；
B.长方体的主视图是矩形，矩形是轴对称图形，也是中心对称图形，故选项B错误，不符合题意；
C.圆锥的主视图是等腰三角形，等腰三角形是轴对称图形，但不是中心对称图形，故选项C正确，符合题意；
D.圆柱的主视图是矩形，矩形是轴对称图形，也是中心对称图形，故选项D错误，不符合题意;
故选：A．
【点睛】本题主要考查了轴对称和中心对称图形的判断与简单几何体的三视图的识别，熟练掌握相关概念是解题关键．
9．B
【分析】利用根与系数的关系可得出，进而可得出的值，利用勾股定理及菱形的性质，可求出菱形的边长，再利用菱形的周长计算公式，即可求出菱形的周长．
【详解】解：∵a、b为一元二次方程的两根，
∴，
∴，
∴菱形的边长为，
∴菱形的周长为．
故选：B．
【点睛】本题考查了根与系数的关系、菱形的性质以及勾股定理，利用根与系数的关系及勾股定理，求出菱形的边长是解题的关键．
10．C
【分析】通过观察可以看出：规律为一个等式，等号左边为连续奇数的和，且奇数的个数、最后一个奇数都与等式的序数有关，即：第个等式左边有个奇数，最后一个奇数为；等号的右边为序数的平方，即：．
【详解】解：规律为：
则中，

解得：
则等号右边为：
故选C
【点睛】本题主要考查了观察、归纳概括总结的能力，归纳出规律是解题的关键．
11．B
【分析】连接，首先证明是等边三角形，证明，求出即可解决问题．
【详解】解：如图，连接．

∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：B．
【点睛】本题考查等边三角形的判定和性质，扇形的面积等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造特殊三角形解决问题．
12．B
【分析】设甲持钱x，乙持钱y，根据甲得到乙钱数的，则甲的钱数为48．若乙得到甲钱数的，则乙的钱数也为48列二元一次方程组即可．
【详解】由题意得：，
故选：B．
【点睛】本题考查了列二元一次方程组解决实际问题，准确理解题目，找出等量关系是解题的关键．
13．/
【分析】由x同时满足分式及二次根式有意义列出不等式组，解不等式组即可得到答案．
【详解】解：依题意有，
解得．
故答案为：
【点睛】本题考查分式有意义的条件、二次根式有意义的条件、解不等式组，能根据函数有意义的条件列出不等式组是解题的关键．
14．
【分析】直接利用关于原点对称点的性质得出a，b的值，即可求出答案．
【详解】解：∵点与点关于原点对称，
∴，，
则．
故答案为：．
【点睛】此题主要考查了关于原点对称点的性质，正确掌握横纵坐标的符号关系是解题关键．
15．20
【分析】根据绝对值和平方的非负性，可得，再根据等腰三角形的性质，分两种情况讨论，即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
解得：，
当以4为腰时，这个三角形三边长分别为4，4，8，
此时，不能够成三角形，不符合题意；
当以8为腰时，这个三角形三边长分别为4，8，8，
此时，不能够成三角形，
∴这个等腰三角形的周长为．
故答案为：20
【点睛】本题主要考查了因式分解的应用，等腰三角形的性质，绝对值的性质，根据题意得到是解题的关键．
16．或
【分析】分两种情况讨论，由菱形的性质和勾股定理可求解．
【详解】解：当为菱形的对角线时，如图，

设菱形的边长为m，
∵，，
∴，，
∵四边形为菱形，
∴，，
∴， ，
在中，，解得，
∴；
当为菱形的边时，如图，

∴，
∵四边形为菱形，
∴，，
∴，
综上所述，D点坐标为或，
故答案为：或．
【点睛】本题考查了菱形的判定，勾股定理，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键．
17．
【分析】根据负整数指数幂、30°角的余弦值、零次幂以及开立方的知识计算每一项，再进行实数的混合运算即可．
【详解】原式

．
【点睛】本题主要考查了含特殊角的三角函数值的实数的混合运算，牢记30°角的余弦值是解答本题的基础．
18．（1）见解析；（2）．
【分析】（1）由中点的含义可得： 再结合已知条件利用证明△≌△即可得到答案；
（2）由（1）可得，再由，结合勾股定理用的代数式表示 再利用正弦的含义可得答案．
【详解】证明：（1）证明：∵是的中点，
∴
∵
∴△≌△
（2）解：由（1）可知
∵    
∴
在Rt△AEF中，
∴
∴ ．
【点睛】本题考查的是三角形全等的判定与性质，勾股定理的应用，正弦的含义，掌握以上知识是解题的关键．
19．（1）75，54；（2）60；（3）600人
【分析】（1）由A组人数及百分比求得总人数，再用总人数乘以C组百分比求解a，先求得E组的百分比，再乘以360°即可得到n的值；
（2）总人数乘以B组的百分比，补全直方图即可；
（3）总人数乘以样本中A，B百分比之和．
【详解】（1）本次调查的总人数为（人），
，组所占百分比为，
所以组的百分比为，则，
故答案为：75、54；
（2）组人数为（人）
故答案为：组共有60人；
（3），
故答案为：该校安全意识不强的学生约有600人．
【点睛】本题主要考查了频率分布直方图的知识点，准确计算是解题的关键．
20．(1)
(2)

【分析】（1）直接由概率公式求解即可；
（2）画树状图，共有16种等可能的结果，其中小明和小颖被分配到同一场馆做志愿者的结果有4种，再由概率公式求解即可．
【详解】（1）解：小明被分配到D．国家冬季两项中心场馆做志愿者的概率是；
（2）解：画树状图如下：

共有16种等可能的结果，其中小明和小颖被分配到同一场馆做志愿者的结果有4种，
∴小明和小颖被分配到同一场馆做志愿者的概率为．
【点睛】此题考查了用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
21．(1)见解析
(2)2

【分析】（1）根据菱形的性质得，，再由三角形中位线定理得，得四边形是平行四边形，然后证，即可得出结论；
（2）由三角形的中位线定理得，再由矩形的性质得，，，然后由勾股定理求出的长，即可得出的长．
【详解】（1）解：证明：四边形是菱形，
，，
是的中点，
是的中位线，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
，
四边形是矩形；
（2）四边形是菱形，
，
由（1）得：，四边形是矩形，
，，，
是的中点，
，
在中，由勾股定理得：，
．
【点睛】本题考查了矩形的判定与性质，菱形的性质，平行四边形的判定与性质，三角形中位线定理，勾股定理等知识；熟练掌握菱形的性质和三角形中位线定理，证明四边形为矩形是解题的关键．
22．(1)
(2)书店每天盈利1200元，每套书销售定价应定为130元或120元
(3)每套书销售定价为125元时，书店每天可获最大利润。最大利润为1250元

【分析】（1）由总利润=每套利润销售量可列出函数关系式；
（2）由（1）可知与的函数关系式，令，即可求出，进而得到定价；
（3）根据二次函数性质可得答案．
【详解】（1）由题意可知：

∴与的函数关系式为．
（2）令
解得，
∴，
答：要书店每天盈利1200元，每套书销售定价应定为130元或120元．
（3），
∵
∴当时，有最大值1250，此时，
答：当每套书销售定价为125元时，书店每天可获最大利润。最大利润为1250元．
【点睛】本题考查了二次函数的应用，一元二次方程的应用，解题的关键是理解题意，列出函数关系式．
23．(1)证明过程见详解
(2)

【分析】（1）是的直径，，，可求出，，由此即可求证；
（2）如图所示（见详解），连接，可得，可证，，根据扇形面积的计算方法即可求解．
【详解】（1）证明：∵是的直径，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，且是的半径，
∴是的切线．
（2）解：如图所示，连接，

∵，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴图中阴影部分的面积为：．
【点睛】本题主要考查圆的基础知识，掌握圆的切线的证明方法，扇形面积的计算方法是解题的关键．
24．(1)
(2)①9；②

【分析】（1）把，代入，从而求得结果；
（2）①根据题意，表示出和，根据，得出，从而求得结果；
②根据，从而得出，从而求得的值，进而得出，的关系式，将其代入，进一步求得结果．
【详解】（1）解：当，时，，
把，代入得，
，
；
（2）①由得，
，，
，
抛物线的顶点坐标为：，，
，，
，
，
，
；
②，
，
，
，
，
，
，
，
，
当时，，
即时，．
【点睛】本题考查二次函数及其图象性质，二次函数和一元二次方程之间的关系，平行线分线段成比例定理，锐角三角函数定义等知识，解决问题的关键根据点的坐标表示出线段．