云南省昭通市昭阳区2023届九年级下学期学业水平模拟考试数学试卷(含解析)

2023年云南省昭通市昭阳区中考数学一模试卷

一、选择题（本大题共12小题，共36.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  (    )

A.  B.  C.  D.

2.  在党中央的领导下，经过两年的战斗，新型冠状病毒引发的肺炎疫情得到了有效控制．研究发现，某种新型冠状变异病毒的直径约为纳米，纳米米，若用科学记数法表示纳米，则正确的结果是(    )

A. 米 B. 米 C. 米 D. 米

3.  从、、、、中随机抽取一数，抽到无理数的概率是(    )

A.  B.  C.  D.

4.  如图，不能判定的条件是(    )

A.
B.
C.
D.

5.  若点，都在直线上，则与的大小关系是(    )

A.  B.  C.  D.

6.  如图，已知，：：，的面积为，则的面积为(    )

A.
B.
C.
D.

7.  下列说法正确的是(    )

A. “打开电视机，正在播放新闻联播”是必然事件
B. “昭通市明天降雨的概率为”，表示昭通市明天一定降雨
C. 一组数据、、、、、的众数和中位数分别是和
D. “掷一枚硬币正面朝上的概率是”表示每抛掷硬币次就有次正面朝上

8.  在下面四个几何体中，其主视图是轴对称图形不是中心对称图形的是(    )

A.  B.  C.  D.

9.  若，是菱形两条对角线的长，且、是一元二次方程的两个根，则菱形的周长为(    )

A.  B.  C.  D.

10.  按一定规律排列的等式：，，，，，按此规律(    )

A.  B.  C.  D.

11.  如图，是的直径，弦与垂直，垂足为点，连接并延长交于点，，，则图中阴影部分的面积为(    )

A.
B.
C.
D.

12.  孙子算经是中国古代重要的数学著作，共分三卷，在卷下中记载了这样一个问题：“今有甲、乙二人，持钱各不知数甲得乙中半，可满四十八乙得甲太半，亦满四十八问甲、乙二人持钱各几何？”译文大致为：“甲、乙两人带着钱，不知道是多少若甲得到乙钱数的，则甲的钱数为若乙得到甲钱数的，则乙的钱数也为问甲、乙各有多少钱？”设甲持钱，乙持钱，则根据题意可以列出方程组为(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共4小题，共8.0分）

13.  函数的自变量的取值范围是______ ．

14.  点与点关于原点对称，则 ______ ．

15.  已知等腰三角形的两边长，，满足，那么这个等腰三角形的周长为______ ．

16.  已知，，点是轴正半轴上一点，是同一平面内一点，若以、、、为顶点的四边形是菱形，则点的坐标为______．

三、解答题（本大题共8小题，共56.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
计算：．

18.  本小题分
如图，在中，是上一点，是的中点，点在线段的延长线上，且．
求证：≌；
若，且，求的值．

19.  本小题分
年月日是全民国家安全教育日，某校为加强学生的安全意识，组织了全校学生参加安全知识竞赛，从中抽取了部分学生成绩得分取正整数，满分为分进行统计，绘制了图中两幅不完整的统计图．

______ ， ______ ；
求出组的频数；
该校共有名学生，若成绩在分以下含分的学生安全意识不强，有待进一步加强安全教育，则该校安全意识不强的学生约有多少人？

20.  本小题分
第届冬季奥林匹克运动会于年月至日在我国北京张家口成功举办，其中张家口赛区设有四个冬奥会竞赛场馆，分别为：云顶滑雪公园、国家跳台滑雪中心、国家越野滑雪中心、国家冬季两项中心．小明和小颖都是志愿者，他们被随机分配到这四个竞赛场馆中的任意一个场馆的可能性相同．
小明被分配到国家冬季两项中心场馆做志愿者的概率是多少？
利用画树状图或列表的方法，求小明和小颖被分配到同一场馆做志愿者的概率．

21.  本小题分
如图，菱形的对角线，相交于点，是的中点，点，在上，，．
求证：四边形是矩形；
若，，求的长．
 

22.  本小题分
新华书店销售一个系列的儿童书刊，每套进价元，销售定价为元，一天可以销售套为了扩大销售，增加盈利，减少库存，书店决定采取降价措施若一套书每降价元，平均每天可多售出套设每套书降价元时，书店一天可获利润元．
求出与的函数关系式；
若要书店每天盈利元，则每套书销售定价应为多少元？
当每套书销售定价为多少元时，书店一天可获得最大利润？这个最大利润为多少元？

23.  本小题分
如图所示，是的直径，点在上，点在上，，的延长线交于点．
在的延长线上取一点，使，求证：是的切线；
若，，求图中阴影部分的面积．

24.  本小题分
已知二次函数．
若，，且该二次函数的图象过点，求的值；
如图所示，在平面直角坐标系中，该二次函数的图象与轴相交于不同的两点、，其中、，且该二次函数的图象的顶点在矩形的边上，其对称轴与轴、分别交于点、，与轴相交于点，且满足．
求关于的一元二次方程的根的判别式的值；
若，令，求的最小值．
阅读材料：十六世纪的法国数学家弗朗索瓦韦达发现了一元二次方程的根与系数之间的关系，可表述为“当判别式时，关于的一元二次方程的两个根、有如下关系：，”此关系通常被称为“韦达定理”．

答案和解析

1. 

解析：．
故选：．
根据负数的绝对值等于它的相反数，即可求解．
本题考查了求一个数的绝对值，掌握负数的绝对值等于它的相反数是关键．
 

2. 

解析：纳米米，
纳米米米米．
故选：．
绝对值小于的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定．
此题主要考查了用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，为由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定．
3. 

解析：从、、、、这五个数中随机抽取一个数，抽到的无理数的有，这种可能，
抽到的无理数的概率是．
故选：．
直接利用概率公式计算得出答案．
此题主要考查了概率公式，正确得出无理数的个数是解题关键．
4. 

解析：、，
，本选项不合题意；
B、，
，本选项不合题意；
C、，
，本选项不符合题意；
D、，
，本选项符合题意．
故选：．
分别利用同旁内角互补两直线平行，内错角相等两直线平行得出答案即可．
此题考查了平行线的判定，平行线的判定方法有：同位角相等两直线平行；内错角相等两直线平行；同旁内角互补两直线平行，熟练掌握平行线的判定是解本题的关键．
5. 

解析：直线中，，
随着增大而减小，
点，都在直线上，且，
，
故选：．
根据，可知随着增大而减小，再根据，即可确定与的大小关系．
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，一次函数的性质，熟练掌握一次函数图象上点的坐标特征是解题的关键．
6. 

解析：，：：，
∽，
，
，
故选：．
证∽，得，即可得出结论．
本题考查了相似三角形的判定与性质，熟记相似三角形的面积比等于相似比的平方是解此题的关键．
7. 

解析：打开电视机，正在播放新闻联播”是随机事件，所以选项不符合题意；
B.“昭通市明天降雨的概率为”，表示昭通市明天降雨的机会为，所以选项不符合题意；
C.一组数据，，，，，的众数和中位数分别是和，所以选项符合题意；
D.“掷一枚硬币正面朝上的概率是”表示每抛掷硬币正面朝上的机会为，所以选项不符合题意．
故选：．
根据随机事件和必然事件的定义对选项进行判断；根据概率的意义对选项和选项进行判断；根据众数和中位数的定义对选项进行判断．
本题考查了概率的意义：事件发生的可能性越大，概率越接近于，事件发生的可能性越小，概率越接近于也考查了中位数、众数和概率公式．
8. 

解析：、正方体的主视图既是轴对称图形，也是中心对称图形．故本选项不符合题意；
B、圆锥的主视图是轴对称图形，不是中心对称图形．故本选项符合题意；
C、球的主视图既是轴对称图形，也是中心对称图形．故本选项不符合题意；
D、圆柱的主视图既是轴对称图形，也是中心对称图形．故本选项不符合题意．
故选：．
根据从正面看得到的图形是主视图以及轴对称图形、中心对称图形的概念，可得答案．
本题考查了几何体的三视图以及中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后与原图重合．
9. 

解析：，为一元二次方程的两根，
，，





，
菱形的边长为，
菱形的周长为．
故选：．
利用根与系数的关系可得出，，进而可得出的值，利用勾股定理及菱形的性质，可求出菱形的边长，再利用菱形的周长计算公式，即可求出菱形的周长．
本题考查了根与系数的关系、菱形的性质以及勾股定理，利用根与系数的关系及勾股定理，求出菱形的边长是解题的关键．
10. 

解析：，，，，，
按此规律，
故选：．
根据前几个式子找到变化规律，再求解．
本题考查了数字的变化规律，找到变化规律是解题的关键．
11. 

解析：如图，连接．

，
，，
，
，
，
是等边三角形，
，
，
，
，
，，
，，
，
故选：．
连接，首先证明是等边三角形，证明，求出即可解决问题．
本题考查等边三角形的判定和性质，解直角三角形，扇形的面积等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造特殊三角形解决问题．
12. 

解析：由题意得：，
故选：．
设甲持钱，乙持钱，根据甲得到乙钱数的，则甲的钱数为若乙得到甲钱数的，则乙的钱数也为列二元一次方程组即可．
本题考查了列二元一次方程组解决实际问题，准确理解题目，找出等量关系是解题的关键．
13. 

解析：依题意有，
解得：．
故答案为：．
由同时满足分式及二次根式有意义列出不等式组，解不等式组即可得到答案．
本题考查函数自变量的取值范围，能根据函数有意义的条件列出不等式组是解题的关键．
14. 

解析：点与点关于原点对称，
，，
则．
故答案为：．
直接利用关于原点对称点的性质得出，的值，即可求出答案．
此题主要考查了关于原点对称点的性质，正确掌握横纵坐标的符号关系是解题关键．
15. 

解析：根据题意得：，
即，
，，
这个等腰三角形的三边长分别为，，或，，不符合三角形三边关系舍去，
这个等腰三角形的周长为：．
故答案为：．
先根据非负数的性质求出、的值，再由三角形的三边关系判断出等腰三角形的腰与底边长，进而可得出结论．
本题主要考查了等腰三角形的性质以及三角形三边关系的知识，解题的关键是熟练掌握三角形三边关系．
 

16.或 

解析：当为菱形的对角线时，如图，设菱形的边长为，
，，
，，
四边形为菱形，
，，
，
在中，，解得，
；
当为菱形的边时，如图，

，
四边形为菱形，
，，
，
综上所述，点坐标为或，
故答案为：或．
分两种情况讨论，由菱形的性质和勾股定理可求解．
本题考查了菱形的判定，勾股定理，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键．
 

17.解：原式

． 

解析：直接利用负整数指数幂的性质、特殊角的三角函数值、零指数幂的性质、立方根的性质分别化简，再计算得出答案．
此题主要考查了实数的运算，正确化简各数是解题关键．
 

18.证明：是的中点，
．
在与中，
．
≌；
解：由可知．
，
．
在中，，
．
． 

解析：利用全等三角形的判定定理证得：≌；
利用勾股定理求得然后通过解直角三角形求得答案．
本题主要考查了全等三角形的判定与性质，解直角三角形，在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边、公共角以及对顶角，必要时添加适当辅助线构造三角形．
 

19.   

解析：本次调查的总人数为人，
，
组所占百分比为，
所以组的百分比为，
则，
故答案为：，；
组人数为人，
故B组的频数为；
人，
答：该校安全意识不强的学生约有人．
由组人数及其百分比求得总人数，再用总人数乘以组百分比可得的值，先求得组的百分比，用乘以组百分比可得的值；
总人数乘以组的百分比可得其人数，据此补全图形可得；
总人数乘以样本中、百分比之和．
本题考查了频数率分布直方图：提高读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力．利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题．也考查了用样本估计总体．
 

20.解：小明被分配到国家冬季两项中心场馆做志愿者的概率是；
画树状图如下：

共有种等可能的结果，其中小明和小颖被分配到同一场馆做志愿者的结果有种，
小明和小颖被分配到同一场馆做志愿者的概率为． 

解析：直接由概率公式求解即可；
画树状图，共有种等可能的结果，其中小明和小颖被分配到同一场馆做志愿者的结果有种，再由概率公式求解即可．
此题考查了用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
 

21.证明：四边形是菱形，
，，
是的中点，
是的中位线，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
，
四边形是矩形；
解：四边形是菱形，
，
由得：，四边形是矩形，
，，，
是的中点，
，
在中，由勾股定理得：，
． 

解析：

根据菱形的性质得，，再由三角形中位线定理得，得四边形是平行四边形，然后证，即可得出结论；
由三角形的中位线定理得，再由矩形的性质得，，，然后由勾股定理求出的长，即可得出的长．
22.解：由题意可得：销售量套，
则

，
与的函数关系式为：；
由题意可得：当时，即，
解得：，，
元，元，
答：若要书店每天盈利元，则每套书销售定价应为元或元；
由可知：，
，
当时，有最大值，最大值为，
此时，售价元，
答：当每套书销售定价为元时，书店一天可获得最大利润，最大利润为元． 

解析：根据题意先用含有的式子表示出销售量，然后根据销售利润销售量单件利润，即可写出与的函数关系式；
根据所求，列出方程，解出的值，然后再利用减去即可算出售价；
把一般式配成顶点式，即可求出当时，有最大值，然后利用减去即可算出售价．
本题主要考查的是一元二次方程以及二次函数的实际应用，解题关键：一是写出函数关系式，二是配成顶点式．
 

23.证明：连接，

，
，
是的直径，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
是的半径，
是的切线；
解：连接，

直径，
，
，
，，
，
，
扇形的面积，的面积，
阴影的面积扇形的面积的面积． 

解析：连接，由等腰三角形的性质，对顶角的性质得到，由圆周角定理得到，于是得到，即可证明问题；
连接，可以证明是直角三角形，求出扇形的面积，的面积，即可求出阴影的面积．
本题考查切线的判定，等腰三角形的性质，直角三角形的判定，扇形的面积，三角形的面积，掌握以上知识点是解题的关键．
 

24.解：当，时，，
把，代入得，
，
；
由得，
，，
，
抛物线的顶点坐标为：，
，，
，
，
，
；
，
，
，
，
：，
，
，
，
，
当时，，
即时，． 

解析：把，代入，从而求得结果；
根据题意，表示出和，根据，得出，从而求得结果；
根据，从而得出，从而求得的值，进而得出，的关系式，将其代入，进一步求得结果．
本题考查二次函数及其图象性质，二次函数和一元二次方程之间的关系，平行线分线段成比例定理，锐角三角函数定义等知识，解决问题的关键根据点的坐标表示出线段．